搜索： a316824-id:a316824
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A010060型
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| Thue-Morse序列：让A_k表示前2^k项；然后A_0=0，对于k>=0，A_{k+1}=A_kB_k，其中B_k是通过交换0和1从A_k获得的。 |
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以Axel Thue命名，其名字的发音好像是拼写为“Tü”，其中u的发音与德语单词u ben大致相同。（说“Too-ee”或“Too-eh”是不正确的。）-N.J.A.斯隆，2018年6月12日
也称为Thue-Morse无限字，或Morse-Hedlund序列，或奇偶序列。
同态0-->01、1-->10的不动点，请参见示例-乔格·阿恩特2013年3月12日
该序列是立方体的（不包含三个连续的相同块）[请参阅Offner以获得直接证明]，并且是无重叠的（不包含XYXYX，其中X是0或1，Y是0和1的任何字符串）。
a（n）=“奇偶序列”=n的二进制表示中1个数的奇偶性。
a（n）=S2（n）mod 2，其中S2（n）=以2为基数的n，n的位数之和。存在一类广义Thue-Morse序列：设Sk（n）=n的位数之和；n采用base-k表示法。设F（t）是某个算术函数。则a（n）=F（Sk（n））mod m是广义Thue-Morse序列。经典的Thue-Morse序列是k=2，m=2，F（t）=1*t的情况-Ctibor O.Zizka公司，2008年2月12日（修正自丹尼尔·汉格2017年5月19日）
更一般地，广义Thue-Morse序列a（n）=F（Sk（n））modm的部分和是分形的，其中Sk（n）是以k为基数的n，n的位数之和；F（t）是一个算术函数；m整数-Ctibor O.Zizka公司2008年2月25日
从偏移量1开始，=揉捏序列的模2运行总和(A035263号, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...); 也等于A005187号: (1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, ...). -加里·亚当森2008年6月15日
广义Thue-Morse序列mod n（n>1）=A141803号当n->无穷大时，序列->（1，2，3，…）-加里·亚当森2008年7月10日
对于所有正整数k，子序列a（0）到a（2^k-1）与子序列a，（2^k+2^（k-1））到a，2^（k+1）+2^。也就是说，A_k的前半部分与B_k的后半部分相同，A_k的后半部分与B_{k+1}的第一个四分之一相同，B_{k+1}由紧接在B_k之后的k/2项组成。
证明：子序列a（2^k+2^（k-1））到a（2qu（k+1）-1）是B_k的后半部分，根据定义，它是由a_k的后半部分a（2~（k-1，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，a_k的前半部分，根据定义也是a_{k-1}，通过交换其0和1。交换子序列的0和1两次使其保持不变，因此子序列a，必须与子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）相同，即a_k的前半部分。
此外，子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，根据定义，是通过互换其0和1，从子序列a的（0）到a_{k+1}的第二个四分之一，即a_k的后半部分，形成的，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，根据定义a{k-1}，也是通过交换其0和1而形成的。如果通过交换其0和1，从同一子序列形成两个子序列，那么它们必须相同，因此子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，必须与子序列a。
因此，子序列a（0）。。。，a（2^（k-1）-1），a。。。，a（2^k-1）与子序列a（2q+2^（k-1））相同。。。，a（2^（k+1）-1），a（2^（k+1））。。。，a（2^（k+1）+2^（k-1）-1），量子电动力学。
根据1929年德国国际象棋规则，如果相同的动作顺序连续重复三次，就可以下棋。尤韦（Euwe），见参考文献，证明了这个规则可以导致无限游戏。为了证明这一点，他重新设计了Thue-Morse序列-约翰内斯·梅耶尔2010年2月4日
“Thue-Morse 0->01&1->10，在每个阶段用补码附加前一个。从0、1、2、3开始，用二进制写。然后计算数字之和（mod 2），即除以2，然后使用余数。”数学书Pickover。
设s2（n）是n和epsilon的2位基数之和（n）=（-1）^s_2（n），Thue-Morse序列，然后prod（n>=0，（2*n+1）/（2*n+2））^epsilon（n））=1/sqrt（2）-乔纳森·沃斯邮报2012年6月6日
德金表明，通过将这个序列解释为二进制展开而获得的常数是超越的；另请参阅“无处不在的彩色莫尔斯序列”-查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月23日
虽然0或1的概率相等，但根据看到的最新位进行猜测会产生3次正确匹配中的2次-比尔·麦克阿欣2015年3月13日
从a（0）到a（2n+1），n+1项等于0，n+1项等于1（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）-伯纳德·肖特2022年1月21日
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参考文献
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公式
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a（2n）=a（n），a（2n+1）=1-a（n）、a（0）=0。此外，如果0<=k<2^m，a（k+2^m）=1-a（k）。
如果n=总和b_i*2 ^i是n的二进制展开式，则a（n）=总和b_i（mod 2）。
设S（0）=0，对于k>=1，通过映射0->01和1->10从S（k-1）构造S（k）；序列是S（无穷大）。
通用公式：（1/（1-x）-产品{k>=0}（1-x^（2^k）））/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
a（0）=0，a（n）=（n+a（楼层（n/2）））模块2；同时a（0）=0，a（n）=（n-a（楼层（n/2）））mod 2-贝诺伊特·克洛伊特2003年12月10日
设b（1）=1，b（n）=b（天花板（n/2））-b（地板（n/2）），则a（n-1）=（1/2）*（1-b（2n-1））-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月26日
G.f.A.（x）满足：A（x）=x/（1-x^2）+（1-x）*A-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月29日
对于k>=0，a（n）=a（n*2^k）。
a（（2^m-1）^2）=（1-（-1）^m）/2（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）。（结束）
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例子
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从0开始的演变是：
0
0, 1
0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
.......
A_2=0 1 1 0，所以B_2=1 0 0 1和A_3=A_2 B_2=0 11 0 1 0 1。
迭代替换的第一步是
开始时间：0
规则：
0 --> 01
1-->10
-------------
0: (#=1)
0
1: (#=2)
01
2: (#=4)
0110
3: (#=8)
01101001
4: (#=16)
0110100110010110
5: (#=32)
01101001100101101001011001101001
6: (#=64)
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
（结束）
0;
1;
1,0;
1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0;
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0;
（结束）
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MAPLE公司
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s：=proc（k）局部i，ans；ans:=[0,1]；对于从0到k的i，执行ans:=[op（ans），op（map（n->（n+1）mod 2，ans））]od；返回ans；结束；t1:=s（6）；A010060型：=n->t1[n]；#s（k）给出了前2^（k+2）项。
a:=proc（k）b:=[0]：对于n从1到k做b:=subs（{0=[0，1]，1=[1，0]}，b）od:b；结束；#去掉括号后，a（k）给出了前2^k项示例：a（3）；给出[[[0，1]，[1，0]]，[[1，0]，[0，1]]]
添加（i，i=转换（n，base，2））mod 2；
结束进程：
map（`-`，convert（StringTools[ThueMorse]（1000），字节），48）#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月22日
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数学
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表[If[OddQ[Count[InterDigits[n，2]，1]]，1，0]，{n，0100}]；
mt=0；Do[mt=ToString[mt]<>ToString[（10^（2^n）-1）/9-ToExpression[mt]]，{n，0，6}]；前缀[RealDigits[N[ToExpression[mt]，2^7]][[1]，0]
Mod[Count[#，1]&/@表格[Integer Digits[i，2]，{i，0，2^7-1}]，2](*哈兰·J·兄弟2005年2月5日*）
嵌套[#/.{0->{0，1}，1->{1，0}}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2006年9月26日*）
a[n_]：=如果[n==0，0，如果[Mod[n，2]==0，a[n/2]，1-a[（n-1）/2]](*本·布兰曼2010年10月22日*）
a[n_]：=Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#，#-1]&，n]]，2](*简·曼加尔丹，2015年7月23日*）
表[2/3（1-Cos[Pi/3（n-求和[（-1）^二项式[n，k]，{k，1，n}]），{n，0，100}]（*或，对于10.2或更高版本*）(*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年5月6日*）
ThueMorse[Range[0100]]（*程序使用Mathematica版本11*中的ThueMosse函数）(*哈维·P·戴尔2016年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010060 n=a010060_列表！！n个
a010060_列表=
0：交错（补码a010060_list）
其中补码=映射（1-）
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
--道格·麦克罗伊（Doug（AT）cs.dartmouth.edu），2003年6月29日
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，subst（Pol（binary（n）），x，1）%2）
（PARI）默认值（realprecision，6100）；x=0.0；m=20080；对于（n=1，m-1，x=x+x；x=x+和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）；x=2*x/2^m；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*2；写入（“b010060.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月28日
（Python）
对于范围（14）内的_：
（Python）
（右）
maxrow<-8#（可选）
b01<-1
for（m in 0:maxrow）for（k in 0:（2^m-1））{
b01[2^（m+1）+k]<-b01[2^ m+k]
b01[2^（m+1）+2^m+k]<-1-b01[2^m+k]
}
（b01<-c（0，b01））
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A003849号
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| 无限斐波那契单词（以0开头，应用0->01，1->0，接受极限）。 |
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0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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斯图尔曼语。
定义字符串S（0）=0，S（1）=01，S（n）=S（n-1）S（n-2）；迭代；序列是S（无穷大）。如果对于n>0，从S（n）中省略了初始0，则可以得到A288582型（n+1）。
将无限斐波那契单词中的每个run（1；1）替换为（1；0）A005614号（并添加0作为前缀）A005614号开始时间：1,0,1,1,0,1,1,1,0，。。。用（1,0）改变行程（1,1）会产生1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月10日
前n项中0的分数接近1/phi（参见示例Allouche和Shallit）-N.J.A.斯隆2007年9月24日
前n项的极限平均值和方差分别为2-phi和2*phi-3-克拉克·金伯利2014年3月12日，2018年8月16日
让S（n）定义如上。然后这个序列是S（1）+Sum_{n=0..}S（n），其中字符串的添加表示串联-艾萨克·萨福克2019年5月3日
该单词是三个运行的串联：0、1和00。它们的极限比例分别为1-φ/2、1/2和（φ-1）/2。平均运行长度为（φ+1）/2-克拉克·金伯利2010年12月26日
a（n）是（n+1）的对偶Zeckendorf表示中尾随0的数目(A104326号).
k（0或1）出现的渐近密度是1/phi^（k+1），其中phi是黄金比率(A001622号).
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年。
Jean Berstel，《斐波那契词汇概览》，《L书》，第13-27页。施普林格-柏林-海德堡，1986年。
J.C.Lagarias，《数论与动力系统》，S.A.Burr主编，第35-72页，《数理的不合理有效性》，Proc。交响乐。申请。数学。，46 (1992). 阿默尔。数学。Soc.-见第64页。
沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang），《Wythoff和Zeckendorf对数字的表示是等价的》（The Wythof and The Zeckenderf representations of numbers are equivalent），载于G.E.Bergum et al.（edts.）《斐波那契数的应用》（Application of Fibonacci numbers）第6卷，克卢沃（K。[参见A317208型链接。]
G.Melançon，使用Maple分解无限单词，MapleTech期刊，第4卷，第1期，1997年，第34-42页，特别是第36页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提到这个序列-参见第2卷中的“序列列表”。
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链接
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A.G.M.Ahmed，AA编织，《桥梁学报2013：数学、音乐、艺术、建筑、文化》。
Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit和Luca Q.Zamboni，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。
J.-P.Allouche和M.Mendes France，自动机和自动序列，in：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超越准晶》。Houches体育中心，第3卷。施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；DOI程序https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。
J.-P.Allouche和M.Mendes France，自动机和自动序列，in：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超越准晶》。Houches体育中心，第3卷。施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；DOI程序https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。[本地副本]
P.Arnoux和E.Harriss，什么是Rauzy分形？，通知Amer。数学。Soc.，61（2014年第7期），768-770，另见第704页和封面。
Scott Balchin和Dan Rust，符号替换的计算《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.4.1条。
Galyna Barabash、Yaroslav Kholyavka和Iryna Tytar，与卢卡斯数相关的周期词利沃夫大学的Visnyk系列机械。数学。（2017），第84期，第62-66页。
J.Berstel和J.Karhumaki，单词组合学教程，公牛。EATCS，#79（2003），第178-228页。
克里斯蒂安·科贝利和亚历山德鲁·扎哈里斯库，斯图尔语单词的偏等问题，arXiv:1811.06509[math.NT]，2018年。
J.Endrullis、D.Hendriks和J.W.Klop，溪流度数.
J.Grytczuk，无限半相似词，离散数学。161（1996），133-141。
T.Karki、A.Lacroix和M.Rigo，关于自生成集的可识别性，JIS 13（2010）#10.2.2。
克拉克·金伯利，自发电集与中庸《整数序列》，3（2000），#00.2.8。
F.Mignosis、A.Restivo和M.Sciortino，文字和禁止因素，WORDS（鲁昂，1999）。理论。计算。科学。273（2002），第1-2、99-117号。MR1872445（2002m:68096）-来自N.J.A.斯隆，2012年7月10日
凯里·米切尔，此序列的螺旋形图像[经许可，摘自Integer Sequences的Spirolateral-Type Images文章]
朱塞佩·皮里略，斐波那契数词，离散数学。173（1997），编号1-3197--207。MR1468849（98克：68135）
何塞·拉米雷斯（JoséL.Ramírez）、古斯塔沃·鲁比亚诺（Gustavo N.Rubiano）和罗德里戈·德卡斯特罗（Rodrigo de Castro），斐波那契词分形和斐波那奇雪花的推广，arXiv预印本arXiv：1212.1368[cs.DM]，2012年。
Aayush Rajasekaran、Narad Rampersad和Jeffrey Shallit，Overpals、Underlaps和Underpals收信人：Brlek S.、Dolce F.、Reutenauer C.、Vandomme E。（eds）单词组合学，Words 2017，计算机科学课堂讲稿，第10432卷。
M.Rigo、P.Salimov和E.Vandomme，阿贝尔返回词的一些性质《整数序列杂志》，第16卷（2013年），#13.2.5。
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公式
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a（n）=楼层（n+2）*r）-楼层（n+1）*r，其中r=φ/（1+2*phi），φ是黄金比率-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月10日
克洛伊特的第一个公式只是无穷大公式家族中的一个。使用φ^2=1+phi，得出r=phi/（1+2*phi）=2-phi。那么对于非整数x，从floor（-x）=floor（x）-1可以得出a（n）=2-A014675号（n） =2-（地板（（n+2）*phi）-地板（（n+1）*φ））-米歇尔·德金2016年8月27日
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例子
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单词是010010100100101001010010010100。。。
在字母表{a，b}上，这是a，b，a，a，b b、a、a、b、a，b，a，a，b， ...
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MAPLE公司
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z:=proc（m）选项记住；如果m=0，则[0]elif m=1，然后[0，1]其他[op（z（m-1）），op（z）（m-2））]；fi；结束；z（12）；
M： =19；S[0]：=`0`；S[1]：=`01`；对于从2到M的n，S[n]：=猫（S[n-1]，S[n-2]）；日期：
t0:=S[M]：l:=长度（t0）；对于i从1到l进行lprint（i-1，子串（t0，i..i））；操作：#N.J.A.斯隆2006年11月1日
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数学
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嵌套[扁平[#/.{0->{0，1}，1->{0}}]&，{0}，10](*罗伯特·威尔逊v2005年3月5日*）
表[楼层[（n+2）#]-楼层[（n+1）#]，{n，0，120}]&[2-黄金比率](*迈克尔·德弗利格2016年8月15日*）
替换系统[{0->{0，1}，1->{0}}，{0}，}10}][1](*哈维·P·戴尔2021年12月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）t1:=[n le 2 select[“0”，“0，1”][n]else Self（n-1）cat“，”cat Self“（n-2）：n in[1..12]]；t1[12]；
（哈斯克尔）
a003849 n=a003849_列表！！n个
a003849_list=尾部$concat fws，其中
fws=[1]：[0]：（zipWith（++）fws$tail fws）
（PARI）a（n）=我的（k=2）；而（fibonacci（k）<=n，k++）；而（n>1，而（fibonacci（k-）>n，）；n-=斐波那契（k））；n==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年2月3日
（PARI）M3849=[2，2，1，0]/*L（k），S（k）、L（k-1）、S（k-1）*/；A003849号（n） ＝｛while（n>M3849[1]，M3849=vecextract（M3849，[1，2，1，2]）+[M3849[3]，M3849[4]＜＜M3849[1]，0，0]）；bittest（M3849[2]，n）｝\\以使用约Nmax/5字节的内存为代价，速度要快得多（对于n＜=1.3e6，约250KB）-M.F.哈斯勒2021年4月7日
（Python）
定义fib（n）：
斐波那契数>n，因此结果在索引n处包含a（n）。“”
a、 b=“10”
而len（b）<=n：
a、 b=b，b+a
（Python）
从数学导入isqrt
定义A003849号（n） ：返回2-（n+2+isqrt（m:=5*（n+2）**2）>>1）+（n+1+isqrt（m-10*n-15）>>一）#柴华武2022年8月25日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和168万元人民币, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
以下序列在本质上都是相同的，因为它们是彼此之间的简单转换A000201号作为家长：A000201号,A001030号,A001468号,A001950号,A003622号,A003842号,A003849号,A004641号,A005614号,A014675号,A022342号,A088462号,A096270美元,A114986号,A124841号. -N.J.A.斯隆2021年3月11日
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A010056号
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| 斐波那契数的特征函数：如果n是斐波那奇数，则a（n）=1，否则为0。 |
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+10
64
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1，1，1，1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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a（n）=1当且仅当存在整数m，使得x=n是p（x）=25*x^4-10*m^2*x^2+m^4-16的根。当楼层（c）或天花板（c）时，a（n）=1，其中s=arcsinh（sqrt（5）*n/2）/log（phi），c=arccosh（squart（5-Hieronymus Fischer公司2007年5月17日
图像，在发送a，b，c->1，d，e，f->0的映射下，从a开始，发送a->ab，b->c，c->cd，d->d，e->ef，f->e的态射的不动点-杰弗里·沙利特2016年5月14日
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit和Luca Q.Zamboni，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。
D.Bailey等人。，关于代数数的二进制展开式《波尔多葡萄酒名酒杂志》（2004），第16卷，第3期，第487-518页。
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公式
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MAPLE公司
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a： =n->（t->`如果`（issqr（t+4）或issqr，（t-4），1，0））（5*n^2）：
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数学
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连接[{1}，使用[{fibs=Fibonacci[Range[15]]}，如果[MemberQ[fibs，#]，1，0]&/@Range[100]]](*哈维·P·戴尔2011年5月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（k=n^2）；k+=（k+1）<<2；发行方（k）||（n>0&&发行方（k-8））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年7月30日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericIndex）
a010056=通用索引a010056_列表
a010056_list=1:1:ch[2..]（删除3 a000045_list），其中
ch（x:xs）fs“@（f:fs）=如果x==f，则1:ch xs fs其他0:ch xs飞秒”
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
定义A010056号（n） ：return int（is_square（m:=5*n**2-4）或is_square（m+8））#柴华武2023年3月30日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和168万元人民币, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A030302号
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| 将n写在基2上并并置；不规则表格，其中第n行列出n的二进制展开式。 |
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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二进制Champernowne常数：以2为基数是正常的-杰森·金伯利2012年12月7日
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参考文献
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米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit和Luca Q.Zamboni，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。
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公式
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a（n）=（地板（2^（（（n+2^i-2）modi）-i+1）*天花板（（n=2^i-1）/i-1））mod 2，其中i=天花板（W（log（2）/2（n-1））/log（2”+1），W表示Lambert W函数的主分支。另请参阅Mathematica代码大卫·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月19日
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MAPLE公司
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A030302号：=程序（n）局部i，t1，t2；t1:=转换（n，基数，2）；t2：=nops（t1）；[seq（t1[t2+1-i]，i=1.t2）]；结束#N.J.A.斯隆2021年4月8日
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数学
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i[n_]：=天花板[FullSimplify[ProductLog[Log[2]/2（n-1）]/Log[2]+1]]；a[n_]：=Mod[楼层[2^（Mod[n+2^i[n]-2，i[n]]-i[n]+1）天花板[（n+2^i[n]-1）/i[n]-1]]，2]；（*大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月19日*）
联接@@表[IntegerDigits[i，2]，{i，1，40}](*奥利维尔·杰拉德2011年3月28日*）
压扁@IntegerDigits[范围@25，2]（*或*）
almostNatural[n_，b_]：=块[{m=0，d=n，i=1，l，p}，而[m<=d，l=m；m=（b-1）i*b^（i-1）+l；i++]；i——；p=模态[d-l，i]；q=地板[（d-l）/i]+b^（i-1）；如果[p！=0，整数位数[q，b][p]]，Mod[q-1，b]]]；数组[almostNatural[#，2]&，105](*罗伯特·威尔逊v，2014年6月29日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）&cat[Reverse（IntegerToSequence（n，2））：[1..31]]中的n//杰森·金伯利2012年3月2日
（Python）
从itertools导入计数，islice
return（int（d）代表count（1）中的n代表bin（n）[2:]中的d）
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:168万元人民币, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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作者
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经核准的
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A020985号
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| Rudin-Shapiro或Golay-Rudin-Shapiro序列（Shapiro多项式的系数）。 |
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1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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其他名字还有鲁丁·夏皮罗（Rudin-Shapiro）或戈莱·鲁丁·沙皮罗（Golay-Rudin-Shapiro）无限词。
Shapiro多项式由P_0=Q_0=1定义；对于n>=0，P_{n+1}=P_n+x^（2^n）*Q_n，Q_{n+1}=P-n-x^-N.J.A.斯隆2016年8月12日
与纸模序列相关-请参阅Mendès France and Tenenbaum的文章。
以澳大利亚-美国数学家沃尔特·鲁丁（1921-2010）、数学家哈罗德·夏皮罗（1928-2021）和瑞士数学家和物理学家马塞尔·朱尔斯·爱德华·戈雷（1902-1989）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月13日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第78页和其他许多页。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit和Luca Q.Zamboni，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日
Jean-Paul Allouche和M.Mendes France，自动机和自动序列，in：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超越准晶》。Houches体育中心，第3卷，施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；DOI程序https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。
Jean-Paul Allouche和M.Mendes France，自动机和自动序列，in：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超越准晶》。Houches体育中心，第3卷。施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；DOI程序https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。[本地副本]
Jean-Paul Allouche和Jonathan Sondow，强B-乘性系数扭曲有理级数的求和，arXiv:1408.5770[math.NT]，2014年；电子。J.Combina.，22#1（2015）P1.59；见第9-10页。
Scott Balchin和Dan Rust，符号替换的计算《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.4.1条。
James D.Currie、Narad Rampersad、Kalle Saari和Luca Q.Zamboni，形态次移位中的极值词，arXiv:1301.4972[math.CO]，2013年。
James D.Currie、Narad Rampersad、Kalle Saari和Luca Q.Zamboni，形态次移位中的极值词，离散数学。，第322卷（2014年），第53-60页。MR3164037。参见第。8
Michel Dekking、Michel Mendes France和Alf van der Poorten，折叠《数学智能》，第4卷，第3期（1982年），第130-138页。
米歇尔·德金（Michel Dekking）、米歇尔·门德斯（Michell Mendes France）和阿尔夫·范德普滕（Alf van der Poorten），折叠II。对称性受到干扰《数学智能》，第4卷，第4期（1982年），第173-181页。
菲利普·拉弗兰斯（Philip Lafrance）、纳拉德·兰佩萨德（Narad Rampersad）和兰迪·叶（Randy Yee），类Rudin-Shapiro序列的一些性质，arXiv:1408.2277[math.CO]，2014年。
D.H.Lehmer和Emma Lehmer，如画的指数和。二《数学杂志》，第318卷（1980年），第1-19页。
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公式
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a（0）=a（1）=1；此后，a（2n）=a（n），a（2n+1）=a（n）*（-1）^n。[Brillhart和Carlitz，定理4的证明]
Brillhart和Morton（1978）列出了许多属性。
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MAPLE公司
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数学
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a[0]=1；a[1]=1；a[n_？EvenQ]：=a[n]=a[n/2]；a[n_？奇Q]：=a[n]=（-1）^（（n-1）/2）*a[（n-1；a/@范围[0,80](*Jean-François Alcover公司2011年7月5日*）
a[n_]：=1-2 Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#，#-1]&，BitAnd[n，商[n，2]]，2](*简·曼加尔丹，2015年7月23日*）
阵列[Rudin Shapiro，81，0](*郑焕敏2016年12月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a020985 n=a020985_列表！！n个
a020985_list=1:1:f（尾部a020985 _list）（-1），其中
f（x:xs）w=x:x*w:f xs（0-w）
（Python）
定义a014081（n）：返回和（[（（n>>i）&3==3）范围内的i（len（bin（n）[2:]）-1）]）
（Python）
定义A020985号（n） ：如果（n&（n>>1））.bit_count（）&1其他1，则返回-1#柴华武2023年2月11日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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签名,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A020987号
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| Golay-Rudin-Shapiro序列（或单词）的零一版本。 |
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0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第78页。
德金、米歇尔、米歇尔·门德斯（Michel Mendes France）和阿尔夫·范德普滕（Alf van der Poorten）。《折叠》，《数学智能》，4.3（1982）：130-138和封面，4:4（1982）:173-181（分两部分印刷）。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
利普希茨、伦纳德和A.van der Poorten。《有理函数、对角线、自动机和算术》，《数论》，理查德·莫林主编，沃尔特·德格鲁伊特，柏林（1990）：339-358。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit、Luca Q.Zamboni、，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日
James D.Currie、Narad Rampersad、Kalle Saari、Luca Q.Zamboni、，形态次移位中的极值词，离散数学。322 (2014), 53--60. MR3164037。参见第。8
Aayush Rajasekaran、Narad Rampersad、Jeffrey Shallit、，Overpals、Underlaps和Underpals单位：Brlek S.、Dolce F.、Reutenauer C.、Vandomme E。（编辑）《单词组合学》，Words 2017，《计算机科学讲义》，第10432卷。
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a020987=（`div`2）。(1 -) . a020985--莱因哈德·祖姆凯勒2012年6月6日
（Python）
定义A020987号（n） ：return（n&（n>>1））.bit_count（）&1#柴华武2023年2月11日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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此外，如果前缀为0，则在重复应用同态0->0,1，1->1,2，2->2,2时，0的轨迹。这是一个纯一致变形的词，但既不是原始变形的，也不是递归的-N.J.A.斯隆2018年7月15日
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参考文献
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德金、米歇尔、米歇尔·门德斯（Michel Mendes France）和阿尔夫·范德普滕（Alf van der Poorten）。《折叠》，《数学智能》，4.3（1982）：130-138和封面，4:4（1982）:173-181（分两部分印刷）。见观测1.8。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit、Luca Q.Zamboni、，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。参见示例35。
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公式
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这是2，除非n=2^k-1，对于某些k，在这种情况下，它是1。
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MAPLE公司
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数学
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（*需要版本>=10.2.*）
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:168万元人民币, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,基础,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A063438号
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| a（n）=楼层（n+1）*Pi）-楼层（n*Pi。 |
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+10
30
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3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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参考文献
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G.H.Hardy，《发散系列》，牛津，1979年。
Zeller，K.和Beekmann，W.，《极限理论》。施普林格·弗拉格，柏林，1970年。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit、Luca Q.Zamboni、，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.108072017年11月29日。
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公式
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例子
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a（6）=3，因为7*Pi=21.99…，6*Pi=18.84…，所以a（6”）=21-18；
a（7）=4，因为8*Pi=25.13…，7*Pi=21.99…，所以a（7。
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数学
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差异[Floor[Pi Range[120]](*哈维·P·戴尔2021年7月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）j=[]；对于（n=1150，j=concat（j，地板（（n+1）*Pi）-地板（n*Pi；j个
（PARI）{默认值（realprecision，50）；对于（n=12000，写入（“b063438.txt”，n，“”，floor（（n+1）*Pi）-floor（n*Pi\\哈里·史密斯2009年8月21日
（PARI）a（n）=楼层（n+1）*Pi）-楼层（n*Pi\\米歇尔·马库斯2013年7月15日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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容易的,非n,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A049320型
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| 非理想Chacon序列：固定在0->0010，1->1。 |
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+10
27
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0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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纯形和原始形的词，但既不是统一形也不是纯原始形-N.J.A.斯隆2018年7月14日
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链接
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J.-P.Allouche、M.Baake、J.Cassaigns和D.Damanik，回文复杂性，arXiv:math/0106121[math.CO]，2001；理论计算机科学, 292 (2003), 9-31.
Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit、Luca Q.Zamboni、，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。
Scott Balchin和Dan Rust，符号替换的计算《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.4.1条。
R.V.Chacon，非强混合的弱混合变换，程序。阿默尔。数学。Soc.，22（1969），第559-562页。
康斯坦蒂诺斯·卡拉马诺斯，重访替代序列的熵分析《物理学报A：数学与一般》34.43（2001）：第9231-9241页。参见等式（31）。
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a049320 n=a049320_列表！！n个
a049320_list=0:0:1:0:f[0，0，1，0]其中
f xs=下降（长度xs）ys++f ys，其中
ys=concatMap ch xs
ch 0=[0，0，1，0]；信道1=[1]
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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168万元人民币
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| 重复应用形态0->0,1,0，1->1,1,1下的0的图像。 |
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+10
26
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0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0
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评论
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纯一致形态和循环的单词，但不是原始形态。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit、Luca Q.Zamboni、，形态序列的分类，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日。
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公式
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）168万元人民币（n） ={while（n，如果（n%3==1，返回（1），n\=3））；（0）；}\\安蒂·卡图恩，2019年9月27日
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985号和A020987号, 5:A191818号，6：A316340型和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号, 21:A316342型, 22:A316343型, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985号和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型，30：A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型, 34:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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