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搜索: a307747-编号:a307747
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A307720 字典上最早的正整数序列,其中,对于所有正k,正好有k对乘积为k的连续项。 +10个
43
1、1、1、1、1、3、1、3、3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、4、4、4、4、2、4、4、4、4、3、3、3、5、1、1、5、5、5、5、5、2、2、2、2、2、2、5、5、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3 2、7、2、7、2、7、2、7、3、5、3、5、3、5、3、5、3、5、3、5、3、6、3、6、6、3、6、3、6、3、6、3、3、6、6、6、6、3、3、3、6、6、3、3、7,3、7、3、7、3、7、3、7、3、7、3、7、3、7、3、7、3、8、2、8 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,3

评论

所有的自然整数迟早都会出现在序列中(根据定义),但大多是“晚一点”!在第32项之后,第32项确实是缓慢增加的。

在同一范围内,以下是迄今为止count{term,occurrents}的示例:

{1192},{2396},{3618},{4796},{51160},{61296},{72294},{82080},{92489},{10,2826},{113487},{121596},{132295},{141960},{152370},{162640},{174097},{18,2214},{194598},{202770},{213759},{224477},{235612},{244884},{255825},{26,6006},{276359},{284676},{295481},{303060},{311411},{32,0},{33182},{34,0},{35,315},{36,0},{371221},{38,0},{39214},{40,0},{411353},{42,0},{431183},{44,0},{45,0},{46,0},{471058},{48,0},{49172},{50,0},{51,0},{52,0},{53580}。。。

在100000个术语之后,第一个尚未出现的产品是(primes):59、61、67、71、73、79、83、89、97、101,。。。以及(复合材料)118、122、134,。。。

以下是迄今为止{product,product的出现次数}的示例(已计算100000个术语):

{1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5},{6,6},{7,7},{8,8},{9,9},{10,10},{11,11},{12,12},{13,13},{14,14},{15,15},{16,16},{17,17},{18,18},{19,19},{20,20},{21,21},{22,22},{23,23},{24,24},{25,25},{26,26},{27,27},{28,28},{29,29},{30,30},{31,31},{32,32},{33,33},{34,34},{35,35},{36,36},{37,37},{38,38},{39,39},{40,40},{41,41},{42,42},{43,43},{44,44},{45,45},{46,46},{47,47},{48,48},{49,49},{50,50},{51,51},{52,52},{53,53},{54,54},{55,55},{56,56},{57,57},{58,58},{59,0},{60,60},{61,0},{62,62},{63,63},{64,64},{65,65},{66,66},{67,0},{68,68},{69,69},{70,70},{71,0},{72,72},{73,0},{74,74},{75,75},{76,76},{77,77},{78,78},{79,0},{80,80},{81,81},{82,82},{83,0},{84,84]},{85,85},{86,86},{87,87},{88,88},{89,0},{90,90},{91,91},{92,92},{93,93},{94,94},{95,95},{96,96},{97,0},{98,98},{99,99},{100100},{101,0},{102102},{103,0},{104104},{105105},{106106},{107,0},{108108},{109,0},{110110},{111111},{112112},{113},0},{114114},{115115},{116116},{117117},{118,0},{119119},{120120},{121121}},{122,0},{123123},{124124},{125125},{126126},{127,0},{128128},{129129},{130,130},{131,0},{132132},{133133},{134,0},{135135},{136136},{137,0},{138138},{139{140,140},{140},},。。。

评论来自N、 斯隆2021年10月19日:(开始)

定理。这个序列也可以用贪婪算法来定义。也就是说,设b(1)=1,对于n>=1,设b(n+1)是最小的正整数k,使得m=k*b(n)在列表[b(i)*b(i+1):i=1..n-1]中最多出现n-1次。则b(n)=a(n)表示所有n>=1。

(请注意,对于n=1,列表是空的,因此我们取k=b(1)=1。)

注:定理不明显,需要证明,在下面的链接中给出。“词典最早”序列通常需要一些回溯,但定理的要点是这里不需要回溯。

证明了序列中存在无穷多个1,并且在乘积a(i)*a(i+1)的序列中每个k出现k次。(结束)

链接

让-马克·法尔科兹,n=1的n,a(n)表。。28446

比尔·切斯维克,A307720前200期彩色地块(请参阅中的注释A348248用于解释这些图片中的颜色)

比尔·切斯维克,A307720前1000条款彩色图

比尔·切斯维克,A307720前10000条款彩色地块

比尔·切斯维克,A307720前10^5条款彩色图

比尔·切斯维克,A307720前10^6条款彩色图

罗伯特·多尔蒂·布利斯,前10^6项与连续点相连的图。[这将有效地用黑色墨水填充左右手轨迹之间的区域。]

我的信号师,前10000000项的散点图

我的信号师,A307720的PARI计划

N、 J.A.斯隆,n=1的n,a(n)表。。1000000[使用Rémy Sigrist的PARI程序计算]

N、 J.A.斯隆,每个数出现定理的证明

柴华武,A348446前1亿条款散点图[显示了左右手之间的导程如何变化]

例子

序列以1,1,2,1,3,1,3,2,2,2,2,3,。。。

乘积a(n)*a(n+1)=1只有一次为真[这是乘积a(1)*a(2)=1*1=1];

乘积a(n)*a(n+1)=2正好是真的两倍[这是乘积a(2)*a(3)=1*2=2和a(3)*a(4)=2*1=2];

乘积a(n)*a(n+1)=3是真的三次[这是乘积a(4)*a(5)=1*3=3;a(5)*a(6)=3*1=3,a(6)*a(7)=1*3=3];

...

乘积a(n)*a(n+1)=4是真的四次[即a(8)*a(9)=2*2=4;a(9)*a(10)=2*2=4;a(10)*a(11)=2*2=4;a(11)*a(12)=2*2=4];等等。

数学家

nmax=1000;{0}时间;v=1;

A307720=收获[对于[n=1,n<=nmax,n++,Sow[v];对于[o=1,True,o++,而[Length[time]<o*v,time=Join[time,Table[0,{Length[time]]]];如果[time[[o*v]]+1<=o*v,则时间[[o*v]]++;v=o;中断[]]]]][[2,1]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2021年10月23日,之后Rémy Sigrist公司的PARI计划*)

黄体脂酮素

(同等)见链接部分。

(蟒蛇)

从itertools import islice

从集合导入计数器

定义A307720():#术语生成器。贪婪算法

收益率1

c,b=计数器(),1

如果是真的:

k,kb=1,b

当c[kb]>=kb时:

k+=1

kb+=b

c[kb]+=1

b=k

k产量

A307720_list=列表(islice(A307720(),100)#柴华武2021年10月21日

交叉引用

囊性纤维变性。A307707飞机(相同的想法,但用的是连续项的总和而不是乘积),A307730(产品),A307630(当n出现时),A307631型(记录索引),A307632型(素数指数),A348241型A348242(二等分),A307633飞机A307634飞机(运行平分变换),A348458型(部分金额)。

另请参见A307747飞机.

关键字

,,美好的,改变

作者

埃里克·安吉利尼让·法尔科兹2019年4月24日

扩展

定义稍作修订艾伦·C·韦克斯勒2019年4月24日

示例由Rémy Sigrist公司2021年10月24日

状态

经核准的

A307630 第一个n的索引A307720. +10个
5
1、3、5、27、47、99、53、137、177、1024、1374、2474、1386、3326、3662、5274、3738、6290、3756、8954、9374、12878、6680、9682、9850、10324、11010、14578、6704、78506、84626、106968、88474、127682、86802、143544、84658、160664、97850、274079、89480、326195 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

链接

我的信号师,n=1的n,a(n)表。。10000(Lars Blomberg和Hans Haverman的前669个术语)

我的信号师,前5000项对数图

我的信号师,A307630的C++程序

黄体脂酮素

参见链接(C++部分)。

交叉引用

囊性纤维变性。A307720,A307631型-A307634飞机,A307730,A307747飞机.

关键字

作者

N、 斯隆2019年4月25日

扩展

更多条款来自汉斯·哈弗曼2019年4月25日

状态

经核准的

页码1

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上次修改时间:2022年1月24日18:33。包含350565个序列。(运行在oeis4上。)