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搜索: a307747-编号:a307797
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A307720型 词法上最早的正整数序列,其中对于所有正k,正好有k对连续项,其乘积为k。 +10
43
1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 7, 1, 7, 1, 7, 1, 7, 2, 5, 2, 5, 2, 5, 2, 5, 2, 5, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 5, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 8, 2, 8 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
所有自然整数迟早会出现在序列中(根据定义)-但大多是“稍后”!事实上,序列增长非常缓慢:在100000个术语之后,尚未出现的最小术语是32个。
以下是迄今为止在相同范围内的计数{术语,出现次数}示例:
{1,192},{2,396},{3,618},{4,796},{5,1160},{6,1296},{7,2294},{8,2080},{9,2489},{10,2826},{11,3487},{12,1596},{13,2295},{14,1960},{15,2370},{16,2640},{17,4097},{18,2214},{19,4598},{20,2770},{21,3759},{22,4477},{23,5612},{24,4884},{25,5825},{26,6006},{27,6359},{28,4676},{29,5481},{30,3060},{31,1411},{32,0},{33,182},{34,0},{35,315},{36,0},{37,1221},{38,0},{39,214},{40,0},{41,1353},{42,0},{43,1183},{44,0},{45,0},{46,0},{47,1058},{48,0},{49,172},{50,0},{51,0},{52,0},{53,580},...
在100000个术语之后,第一个尚未出现的产品是(质数):59、61、67、71、73、79、83、89、97、101。。。以及(复合材料)118、122、134。。。
以下是迄今为止{乘积,乘积的出现次数}的样本(计算100000项):
{1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5},{6,6},{7,7},{8,8},{9,9},{10,10},{11,11},{12,12},{13,13},{14,14},{15,15},{16,16},{17,17},{18,18},{19,19},{20,20},{21,21},{22,22},{23,23},{24,24},{25,25},{26,26},{27,27},{28,28},{29,29},{30,30},{31,31},{32,32},{33,33},{34,34},{35,35},{36,36},{37,37},{38,38},{39,39},{40,40},{41,41},{42,42},{43,43},{44,44},{45,45},{46,46},{47,47},{48,48},{49,49},{50,50},{51,51},{52,52},{53,53},{54,54},{55,55},{56,56},{57,57},{58,58},{59,0},{60,60},{61,0},{62,62},{63,63},{64,64},{65,65},{66,66},{67,0},{68,68},{69,69},{70,70},{71,0},{72,72},{73,0},{74,74},{75,75},{76,76},{77,77},{78,78},{79,0},{80,80},{81,81},{82,82},{83,0},{84,84},{85,85},{86,86},{87,87},{88,88},{89,0},{90,90},{91,91},{92,92},{93,93},{94,94},{95,95},{96,96},{97,0},{98,98},{99,99},{100,100},{101,0},{102,102},{103,0},{104,104},{105,105},{106,106},{107,0},{108,108},{109,0},{110,110},{111,111},{112,112},{113,0},{114114},{115115},{116116},{117117},{118,0},{119119},{120120},{121121},{122,0},{123,123},{124,124},{125,125},{126,126},{127,0},{128,128},{129,129},{130,130},{131,0},{132,132},{133,133},{134,0},{135,135},{136,136},{137,0},{138,138},{139,0},{140,140},{141,141},{142,0},...
来自的评论N.J.A.斯隆,2021年10月19日:(开始)
定理。这个序列也可以由贪婪算法定义。也就是说,设b(1)=1,对于n>=1,设b是最小的正整数k,使得m=k*b(n)在列表[b(i)*b(i+1):i=1..n-1]中最多出现n-1次。则b(n)=a(n),对于所有n>=1。
(注意,对于n=1,列表是空的,所以我们取k=b(1)=1。)
备注:该定理并不明显,需要在下面的链接中给出证明。“词汇学上最早的”序列通常需要一些回溯,但定理的要点是这里不需要回溯。
证明还表明序列中有无穷多个1,每个k在乘积a(i)*a(i+1)序列中出现k次。(结束)
链接
Jean-Marc Falcoz,n=1..28446的n,a(n)表
威廉·切西克,A307720前200项彩色图(请参阅中的注释A348248型用于解释这些图片中的颜色)
威廉·切西克,A307720前1000项彩色图
威廉·切西克,A307720前10^5项彩色图
威廉·切西克,A307720前10^6项彩色图
罗伯特·道赫特·布利斯,前10^6项与连续点相连的图形。[这有效地用黑色墨水填充了左右手轨迹之间的区域。]
雷米·西格里斯特,前10000000项的散点图
雷米·西格里斯特,A307720的PARI计划
N.J.A.斯隆,n=1..1000000时的n,a(n)表[使用Rémy Sigrist的PARI程序计算]
N.J.A.斯隆,五十年后的《整数序列手册》,arXiv:2301.03149[math.NT],2023年,第9页。
柴华武,A348446前1亿项散点图[显示了潜在客户如何在左手和右手之间变化]
例子
序列从1,1,2,1,3,1,3,3,2,2,2,2,3……开始,。。。
乘积a(n)*a(n+1)=1只有一次为真[这是乘积a〔1〕*a(2)=1*1=1];
乘积a(n)*a(n+1)=2正好是真的两倍[这是乘积a;
乘积a(n)*a(n+1)=3精确地为真三次[这是乘积a;
...
乘积a(n)*a(n+1)=4正好四次为真[这是乘积a;等等。
数学
nmax=1000;时间={0};v=1;
A307720型=收获[n=1,n<=nmax,n++,Sow[v];对于[o=1,True,o++,While[Length[time]<o*v,time=Join[time,Table[0,{Length[时间]}]];如果[time[[o*v]]+1<=o*v,时间[[o*v]]++;v=o;中断[]]]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2021年10月23日之后雷米·西格里斯特的PARI计划*)
黄体脂酮素
(PARI)\\请参阅链接部分。
(Python)
从itertools导入islice
从集合导入计数器
定义A307720型():#术语生成器。贪婪算法
产量1
c、 b=计数器(),1
而True为真:
k、 kb=1,b
当c[kb]>=kb时:
k+=1
kb+=b
c[kb]+=1
b=k
产量k
A307720型_list=列表(岛屿(A307720型(),100)#柴华武2021年10月21日
交叉参考
囊性纤维变性。A307707型(想法相同,但使用连续项的总和而不是乘积),A307730型(产品),A307630型(当n出现时),A307631型(记录索引),A307632型(素数指数),A348241飞机A348242型(二等分),A307633型A307634型(运行对分变换),348446美元(平分差),A348458型(部分金额)。
另请参见A307747型.
关键词
非n,,美好的
作者
扩展
定义稍作修改艾伦·C·韦克斯勒2019年4月24日
示例由澄清雷米·西格里斯特2021年10月24日
状态
经核准的
A307630 n第一次出现的索引A307720型. +10
5
1, 3, 5, 27, 47, 99, 53, 137, 177, 1024, 1374, 2474, 1386, 3326, 3662, 5274, 3738, 6290, 3756, 8954, 9374, 12878, 6680, 9682, 9850, 10324, 11010, 14578, 6704, 78506, 84626, 106968, 88474, 127682, 86802, 143544, 84658, 160664, 97850, 274079, 89480, 326195 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
链接
雷米·西格里斯特,n=1..10000时的n,a(n)表(汉斯·哈弗曼第1..239条,拉尔斯·布隆伯格第240.669条)
雷米·西格里斯特,前5000个术语的对数图.
雷米·西格里斯特,A307630的C++程序.
黄体脂酮素
(C++)请参阅链接部分。
交叉参考
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆2019年4月25日
扩展
更多术语来自汉斯·哈弗曼2019年4月25日
状态
经核准的
第页1

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日08:22。包含371236个序列。(在oeis4上运行。)