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交替群A_n的顺序，或n个字母的偶数置换数。
（原名M2933 N1179）
+10
213
1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800, 3113510400, 43589145600, 653837184000, 10461394944000, 177843714048000, 3201186852864000, 60822550204416000, 1216451004088320000, 25545471085854720000, 562000363888803840000
评论
对于n>=3，a（n-1）也是对称群S_n中的3个循环可以写成2个长循环（长度为n）的乘积的次数艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年8月14日
a（n）是无向图的nXn邻接矩阵的哈密顿回路掩码数-乍得酿酒师2003年1月31日
a（n-1）是用n个不同的珠子可以制作的项链数量：n！珠子排列，除以2表示翻转项链，除以n表示旋转项链。与第一类斯特林数，斯特林循环有关-乍得酿酒师2003年1月31日
[n-1]（n>=2）的所有排列中递增的运行次数。例如：a（4）=12，因为我们在[3]的所有排列中有12个递增运行（如括号所示）：（123），（13）（2），（3）（12），（2）（13），（23）（1）-Emeric Deutsch公司2004年8月28日
在所有n×n（0，1）-矩阵上具有精确n/2个零的最小永久性-西蒙·塞韦里尼2004年10月15日
对于n>=1，1..n的置换数为0，1，3，12，60，360，2520，20160-乔恩·佩里2008年9月20日
起始（1，3，12，60，…）=的二项式变换A000153号: (1, 2, 7, 32, 181, ...). -加里·亚当森2008年12月25日
高阶指数积分E（x，m=1，n=3）~exp（-x）/x*（1-3/x+12/x^2-60/x^3+360/x^4-2520/x^5+20160/x^6-81440/x^7+…）的渐近展开导致了上面给出的序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
起始（1、3、12、60…）=三角形的特征序列A002260号，（给定k=1,2,3，…，每行中k项为（1,2,3，..）的三角形）。示例：a（6）=360，由（1，2，3，4，5）点（1，1，3，12，60）=（1+2+9+48+300）生成-加里·亚当森2010年8月2日
a（n-1）是指，当n>=2时，带有n个珠子（只有C_n对称，没有翻边）的项链数量，带有n-1个不同颜色和签名C[.]^2c[.]^（n-2）。这意味着两个珠子具有相同的颜色，对于n=2，忽略第二个因子。也就是说，循环（c[1]c[1]c[2]c[3]…c[n-1]），简而言之，1123…（n-1），是循环的。例如，n=2:11，n=3:112，n=4:1123，1132，1213，n=5:11234，11243，11324，11342，11423，11432，12134，12143，13124，13142，14123，14132。参见代表性项链分区数组第n>=2行中的倒数第二项A212359型. -沃尔夫迪特·朗2012年6月26日
阶乘基数(A007623号)这些数字有一个简单的模式：1，1，11，200，2200，30000，330000，4000000，44000000，500000000，5500000000，600000000000，66000000000，700000000000，770000000000，80000000000000000，880000000000000，9000000000000，9900000000000000等。另请参阅基于此观察的公式，如下所示-安蒂·卡图恩2015年12月19日
包含偶数个偶数圈的n个字母的排列数-迈克尔·索莫斯2018年7月11日
与Brewbaker和Sykora的注释等效，a（n-1）是覆盖n个标记顶点的无向循环数，因此是A002135号. -古斯·怀斯曼2018年10月20日
a（n）是固定单反射s在s_n上的弱阶形式[s，w]的格数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
对于n>3，a（n）=p_1^e_1**p_m^e_m，其中p_1=2和e_m=1。存在p_1^x，其中x<=e_1，因此p_1^x*p_m^e_m是原始Zumkeller数(A180332号)p_1^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此，对于n>3，a（n）=p_1^e_1*p_m^e_m*r，其中r是p_1*p_m的相对素数，也是一个Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫2020年3月11日
对于n>1，a（n）是[n]的置换数，其中1和2是循环配对，即1和2包含在[n]置换的循环表示的相同循环中。例如，a（4）将带有1和2的12个排列作为循环配对进行计数，即（1 2 3 4）、（1 2 4 3）、（13 2 4）、、（1 3 4 2）、（14 2 3）、。因为a（n+2）=的行和A162608型，我们的结果随之而来-丹尼斯·沃尔什2020年5月28日
参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔，彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》，第24卷（2021年），第21.10.4条。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），等级Schröder树，arXiv:1808.08376[cs.DS]，2018年。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）、塞西尔·梅勒（Cécile Mailler）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），进化过程中产生的严格单调树：组合和概率研究，hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM]，2020年。
谢拉利·卡德罗夫（Shirali Kadyrov）和法鲁赫·马斯胡洛夫（Farukh Mashurov），Pi和E的广义连分式展开，arXiv:1912.03214[math.NT]，2019年。
Chanchal Kumar和Amit Roy，整数序列与单项式理想，arXiv:2003.10098[math.CO]，2020年。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。假的。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
S-Z Song、S-G Hwang、S-H Rim和G-S Cheon，（0,1）-矩阵的永久数极值，《组合矩阵理论会议专刊》（Pohang，2002）。线性代数应用。373 (2003), 197-210.
配方奶粉
带递归的D-有限：a（0）=a（1）=a（2）=1；当n>2时，a（n）=n*a（n-1）-乍得酿酒师，2003年1月31日[更正人N.J.A.斯隆2008年7月25日]
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=和{k=1..n-1}k*a（k）-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月29日
a（n）=0^n+Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k-1）*T（n-1，k）*cos（Pi*（n-k-1）/2）^2。
例如：（2-x^2）/（2-2*x）。
例如，a（n+2），n>=0，等于1/（1-x）^3。
例如：1+sinh（log（1/（1-x）））-杰弗里·克雷策2010年12月12日
a（n）=n/n>=2时为2（例如f的证明）-沃尔夫迪特·朗2010年4月30日
O.g.f.：1+x*Sum_{n>=0}n^n*x^n/（1+n*x）^n-保罗·D·汉纳2011年9月13日
a（n）=如果n<2，则为1，否则为Pochhammer（n，n）/二项式（2*n，n）-彼得·卢什尼2011年11月7日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}s（n，n-2*k），其中s（n、k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月7日
a（n-1），n>=3，是M_1（[2,1^（n-2）]）/n=（n-1/2，对于n的给定n-1部分分区，使用M_1多项式数。请参见第n行中倒数第二项A036038型以及上述W·朗的项链评论-沃尔夫迪特·朗，2012年6月26日
G.f.:A（x）=1+x+x^2/（G（0）-2*x）其中G（k）=1-（k+1）*x/（1-x*（k+3）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日。
通用系数：1+x+（Q（0）-1）*x^2/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（k）=1+（k+2）*sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.：1+x+（x*Q（x）-x^2）/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（x）=和{n>=0}（n+1）*x^n*sqrt（x）*（平方（x）+x*（n+2））-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
通用系数：1+x/2+（Q（0）-1）*x/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（k）=1+（k+1）*sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.：1+x+x^2*G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+1/（k+3）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.：1+x+x^2*W（0），其中W（k）=1-x*（k+3）/（x*（k+3）-1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/W（k+）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
a（0）=a（1）=1；之后，对于偶数n:a（n）=（n/2）*（n-1）！，对于奇数n：a（n）=（n-1）/2*（（n-1（n-2）！）。[该公式是在阶乘基础上查看这些数字后根据经验得出的，A007623号，并通过考虑上述Lang（2010年4月30日）和Detlefs（2010年5月21日）的公式很容易证明。]
对于n>=1，a（2*n+1）=a（2*n）+A153880号（a（2*n））。[从上往下看。]（结束）
a（n）~sqrt（Pi/2）*n^（n+1/2）/exp（n）-伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日
o.g.f.A（x）满足Riccati方程x^2*A'（x）+（x-1）*A（x。
通用公式：A（x）=1+x+x^2/（1-3*x/（1-x/（1-4*x/。
A（x）=1+x+x^2/（1-2*x-x/（1-3*x/（1-4*x/。（结束）
和{n>=0}1/a（n）=2*（e-1）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2/e。（结束）
例子
G.f.=1+x+x^2+3*x^3+12*x^4+60*x^5+360*x^6+2520*x^7+。。。
MAPLE公司
seq（mul（k，k=3..n），n=0..20）#零入侵拉霍斯2007年9月14日
数学
a[n_]：=如果[n>2，n！/2，1]；数组[a，21，0]
a[n_]：=如果[n<3，1，n*a[n-1]]；数组[a，21，0]；(*罗伯特·威尔逊v2011年4月16日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[（2-x^2）/（2-2x），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[1+Sinh[-Log[1-x]]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯，2014年5月22日*）
表[GroupOrder[AlternatingGroup[n]]，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年5月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>=0，n！/2）}；
（PARI）a（n）=polceoff（1+x*和（m=0，n，m^m*x^m/（1+m*x+x*O（x^n））^m），n）\\保罗·D·汉纳
（方案，使用memoization-macro definec，其实现可在http://oeis.org/wiki/Memoization网站 )
（Python）
从数学导入阶乘
（SageMath）
定义A001710号（n） ：return（阶乘（n）+int（n<2））//2
交叉参考
囊性纤维变性。A000142号,A000153号,A000255美元,A001147号,A001286号,A001720号,A002135号,A002260号,A007623号,A007717号,A049444号,A049459号,A093468号,A094587号,A094638号,A138533号,A153880号,A173333号,A213936型,A215771型,319225英镑,A319226型,A320655型.
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2001年8月20日
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