搜索： a299041-编号：a299042
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 6, 6, 0, 1, 14, 36, 24, 0, 1, 30, 150, 240, 120, 0, 1, 62, 540, 1560, 1800, 720, 0, 1, 126, 1806, 8400, 16800, 15120, 5040, 0, 1, 254, 5796, 40824, 126000, 191520, 141120, 40320, 0, 1, 510, 18150, 186480, 834120, 1905120, 2328480
(列表；桌子；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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0,6
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,0，…]DELTA[1,1,2,2,3,4,5,6,6，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号; 的另一个版本A019538年.
T（n，k）给出了标准（n-1）维单纯形的第一个重心细分内部的（k-1）维面数。例如，1-单形的重心细分为o--o-o-o，有1个内部顶点和2个内部边，因此T（2,1）=1，T（2,2）=2。
该三角形用于计算简单复数重心细分的面向量。设S是一个n维单形复形，用f_k表示S的k维面数，通常的约定是f_（-1）=1，因此f:=（f_（-1-），f_0，f_1，。。。，f_n）是S的f向量。如果M（n）表示由当前三角形的前n+1行和n+1列组成的平方矩阵，那么向量f*M（n。例如，帕斯卡三角形的行A007318号（但行和列索引从-1开始）是标准n-单形的f向量。由此可见A007318号*A131689型，等于A028246号，是标准n单纯形的第一个重心细分的f向量数组。（结束）
这个三角形T（n，k）出现在o.g.f.g（n，x）=Sum_{m>=0}S（n，m）*x^m中，其中S（n、m）=Summ_{j=0..m}j^n表示n>=1，如g（n、x）=Sum_{k=1..n}（x^k/（1-x）^（k+2）））*T（n、k）。另请参见欧拉三角形A008292号2017年3月31日，对改写后的表格发表评论。例如，参见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗2017年3月31日
T（n，k）=长度为1的n个字符串的长度k的对齐次数。请参阅Slowinski。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A122193号（长度为2的字符串对齐）和A299041型（长度为3的字符串对齐）-彼得·巴拉，2018年2月4日
还有具有k个不同部分（或具有最大部分k）的长度为n的模式的数量，其中我们将模式定义为覆盖正整数的初始区间的有限序列。例如，第n=3行统计以下模式：
(1,1,1) (1,2,2) (1,2,3)
(2,1,2) (1,3,2)
(2,2,1) (2,1,3)
(1,1,2) (2,3,1)
(1,2,1) (3,1,2)
(2,1,1) (3,2,1)
（结束）
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链接
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F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356[math.CO]，数学。Z.，259（4），849-8652008年。
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹，囚犯问题变体《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.7条。
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配方奶粉
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通用公式：f（x，t）=1+x*t+（x+x^2）*t^2/2！+（x+6*x^2+6*x*^3）*t^3/3！+…=和{n>=0}R（n，x）*t^n/n！。
行多项式R（n，x）满足递归R（n+1，x）=（x+x^2）*R'（n，x）+x*R（n、x），其中'表示关于x的微分-菲利普·德尔汉姆2013年2月11日
T（n，k）=[T^k]（n！[x^n]（1/（1-T*（exp（x）-1）））-彼得·卢什尼2017年1月23日
第n行多项式的形式为xoxo。。。o x（n个因子），其中o表示Dukes和White的黑钻石乘法运算符。另见Bala，示例E8-彼得·巴拉2018年1月8日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 0 1 2
3: 0 1 6 6
4: 0 1 14 36 24
5: 0 1 30 150 240 120
6: 0 1 62 540 1560 1800 720
7: 0 1 126 1806 8400 16800 15120 5040
8: 0 1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320
9: 0 1 510 18150 186480 834120 1905120 2328480 1451520 362880
10: 0 1 1022 55980 818520 5103000 16435440 29635200 30240000 16329600 3628800
T（4,2）=14条长度为2的路线，共4条长度为1的字符串。示例包括
（i） A-（ii）A-（iii）A-
B-B-B
C-C-C
-D-D-D
有C（4,1）=4条带单个间隙字符的类型（i）对齐-在第1列中，C（4,2）=6条带两个间隙字符的（ii）对齐，C（3,3）=4个带三个间隙字符（iii）的类型对齐，总共有4+6+4=14条对齐。（结束）
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MAPLE公司
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#或者：
A131689型_行：=进程（n）1/（1-t*（exp（x）-1））；展开（级数（%，x，n+1））；不*系数（%，x，n）；多项式工具：-系数列表（%，t）结束：
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数学
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T[n_，k_]：=如果[n<=0||k<=0，Boole[n==0&k==0]，求和[（-1）^（i+k）二项式[k，i]i^（n+k），{i，0，k}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，sum（i=0，k，（-1）^（k+i）*二项式（k，i）*i^n））}；
（朱莉娅）
函数T（n，k）
如果k<0 | | k>n，则返回0 end
如果n==0&&k==0，返回1结束
k*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k））
结束
对于0:7中的n
println（[T（n，k）for k in 0:n]）
结束
（SageMath）
@缓存函数
def F（n）：#Fubini多项式
R.<x>=多项式环（ZZ）
如果n==0：返回R（1）
返回R（总和（二项式（n，k）*F（n-k）*x（1..n）中的k））
对于（0..9）中的n：打印（F（n）.list（））#彼得·卢什尼，2021年5月21日
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交叉参考
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列k=0..10为A000007号,A000012号,A000918号,A001117号,A000919号,A001118号,A000920号,A135456号,A133068号,A133360型,A133132号,
图案类别：
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A087107号
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| 此表显示了生成四面体数的p次幂序列和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i=1到3*p-2的（i，p），其中a（i，p）满足和{i=1..n}C（i+2.3）^p=4*C（n+3.4）*和{i=1..3*p-2}a（i、p）*C（n-1，i-1）/（i+3）。 |
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+10
12
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1, 1, 3, 3, 1, 1, 15, 69, 147, 162, 90, 20, 1, 63, 873, 5191, 16620, 31560, 36750, 25830, 10080, 1680, 1, 255, 9489, 130767, 919602, 3832650, 10238000, 18244380, 21990360, 17745000, 9198000, 2772000, 369600, 1, 1023, 97953, 2903071, 40317780
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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让s_n表示序列（1，4^n，10^n，20^n，…）作为无限列向量，其中1，4，10，20。。。是四面体数的序列A000292号该表的第n行似乎由矩阵乘积P^（-1）s_n确定，其中P表示Pascal三角形A007318号. -彼得·巴拉2017年11月26日
上述观察结果是正确的。
表项T（n，k）是用下降阶乘表示3*p次多项式C（x+3,3）^p时的系数：C（x=3,3）p=Sum_{k=0..3*p}T（p，k）*C（x，k）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=求和{k=0..3*p}T（p，k）*C（n，k+1）。
四面体数的p次幂之和也由和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=和{k=3..3*p}给出A299041型当p>=1时，（p，k）*C（n+3，k+1）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1,2*k-2）*C（i-2*k+4，i-2*k+1）^。
表项的推测公式：T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k+j）*二项式（k，j）*二项式（j+3,3）^n。
推测，第n行多项式R（n，x）=1/（1+x）*Sum_{i>=0}二项式（i+3,3）^n*（x/（1+x））^n。（完）
上述推测是正确的。
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n+1，k）=C（k+3,3）*T（n，k）+3*C（k+2,3）*1（n，k-1）+3*C。
求和{k=0..3*n}T（n，k）*二项（x，k）=（二项（x+3,3））^n。
R（n+1，x）=1/3*（1+x）^3*（d/dx）^3（x^3*R（n，x））。
R（n，x）=（1+x）^3 o（1+x）^3 o。。。o（1+x）^3（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。注意多项式x^3o。。。o x ^3（n因子）是的第n行多项式A299041型.（结束）
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例子
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第3行包含1,15,69147162,90,20，因此求和{i=1..n}C（i+2,3）^3=4*C（n+3,4）*[a（1,3）/4+a（2,3）*C（n-1,1）/5+a（3,3）*C（n-1,2）/6+…+a（7,3）*C（n-1.6）/10]=4*C+162*C（n-1,4）/8+90*C（-1,5）/9+20*C（1-1,6）/10]。囊性纤维变性。A086021号了解更多详细信息。
表格开始
n=0 |1
n=1 | 1 3 3 1
n=2 | 1 15 69 147 162 90 20
n=3 | 1 63 873 5191 16620 31560 36750 25830 10080 1680
...
第2行：C（i+3，3）^2=C（i，0）+15*C（i、1）+69*C（i，2）+147*C（ii，3）+162*C。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^2=C（n，1）+15*C（n、2）+69*C（n，3）+147*C（m，4）+162*C（k，5）+90*C（w，6）+20*C（ns，7）。（结束）
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+3，3）^n，i=0..k），k=0..3*n），n=0..8）#彼得·巴拉2018年3月11日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+4，i-2*k+1]^；表[If[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，3*p-2}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,3*p-2，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A087127号,A024166号,A085438号,A085439号,A085440美元,A085441号,A085442号,A000332号,A086020号,A086021号,A086022号,A087108号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579号,A086025号,A086026型,A087110号,A000580型,A086027号,A086028号,A087111号,A027555号,A086029号,A086030型.
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关键字
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容易的,非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A122193号
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| 具有n条标记边和k条标记顶点且没有孤立顶点的无圈多重图个数的三角T（n，k），n>=1；2<=k<=2*n。 |
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+10
10
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1, 1, 6, 6, 1, 24, 114, 180, 90, 1, 78, 978, 4320, 8460, 7560, 2520, 1, 240, 6810, 63540, 271170, 604800, 730800, 453600, 113400, 1, 726, 43746, 774000, 6075900, 25424280, 61923960, 90720000, 78813000, 37422000, 7484400
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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T（n，k）等于具有k个不同端点的n（非退化）有限闭区间线上的排列数。请参阅“IBM思考这个”链接。下面给出了一个示例-彼得·巴拉2018年1月28日
T（n，k）等于长度为2的n个字符串的长度k的对齐次数。请参阅Slowinski。囊性纤维变性。A131689型（长度为1的字符串的对齐）和A299041型（长度为3的字符串对齐）-彼得·巴拉，2018年2月4日
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链接
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配方奶粉
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双精度例如：exp（-x）*Sum_{n>=0}exp（二项式（n，2）*y）*x^n/n！。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*（i*（i-1）/2）^n。
对于2<k<=2*n，T（n，k）=k*（k-1）/2*（T（n-1，k）+2*T（n-1,k-1）+T（n-1,k-2）），对于n>=1，边界条件T（n、2）=1，如果（k<2）或（k>2*n），T（n，k）=0。
第n行多项式R（n，x）=Sum_{i>=2}（i*（i-1）/2）^n*x^i/（1+x）^（i+1）对于n>=1。
1/（1x）*R（n，x/（1-x））=Sum_{i>=2}（i*（i-1）/2）^n*x^i表示n>=1。
R（n，x）=1/2 ^n*和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*F（n+k，x），其中F（n，x）=和{k=0..n}k*Stirling2（n，k）*x^k是第n个Fubini多项式A131689型.
R（n，x）=x/（1+x）*1/2^n*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*F（n+k，x）对于n>=1。
多项式和{k=2..2*n}T（n，k）*x^（k-2）*（1-x）^（2*n-k）是A154283号.
求和{k=2..2*n}T（n，k）*二项式（x，k）=（二项式）^n。等价地，求和{k=2..2*n}（-1）A019538年（n，k）*二项式（x，k）=x^n。
Sum_{i=2..n-1}（i*（i-1）/2）^m=Sum_{k=2..2*m}T（m，k）*二项式（n，k+1），对于m>=1。参见下面的示例。
R（n，x）=x^2 o x ^2 o。。。o x ^2（n因子），其中o是Dukes and White中定义的幂级数的黑钻石乘积。注意多项式x o x o。。。o x（n因子）是的第n行多项式A019538年.
x^2*R（n，-1-x）=（1+x）^2*R（n，x）对于n>=1。
R（n+1，x）=1/2*x^2*（d/dx）^2（（1+x）^2*R（n，x））。
R（n，x）的零属于区间[-1，0]。
交替行和等于1，即R（n，-1）=1。
4^n*Sum_｛k=2..2*n｝T（n，k）*（-1/2）^k看起来等于（-1）^（n+1）*A005799号（n） 对于n>=1。
对于非零整数k，幂级数a（k，x）：=exp（和{n>=1}1/k^2*R（n，k）*x^n/n）似乎具有整数系数。请参阅示例部分。
求和{k=2..2*n}T（n，k）*二项式（x，k-2）=二项式A019538年去掉系数x）。（结束）
第n行多项式R（n，x）=（z_1）^2*…*的系数有理函数1/（1+x-x*（1+z_1）*展开式中的（z_n）^2*（1+zn））。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 6, 6;
1, 24, 114, 180, 90;
1, 78, 978, 4320, 8460, 7560, 2520;
...
对于n=3条边和k=4个顶点，有三个没有孤立顶点的无环多重图：一个路径、一个Y图和多重图{12、34、34}。每个标签的数量是3！4!/a、 其中a是自同构的数量。这分别给出3个！4!/2 = 72, 3!4/6=24和3！4!/8=18，加起来是72+24+18=114。（结束）
T（2,3）=6：考虑2个（非退化）有限闭区间[a，b]和[c，d]。这两个间隔有6个排列，有3个不同的端点：
…a--b--d…a<b=c<d
…a…c…b…a<c<b=d
…a--d…b…a=c<d<b
…a--b…d…a=c<b<d
…c…a--d…c<a<b=d
…c--a--b…c<a=d<b
T（2,4）=6：两个区间有6个排列，有4个不同的端点：
…a--b…c--d…..无交叉口a<b<c<d
…a…c…b…d…a<c<b<d
…a…c…d…b…[c，d]是[a，b]的适当子集
…c…a…d…b…c<a<d<b
…c…a…b…d…[a，b]是[c，d]的适当子集
…c--d…a--b…..无交叉点c<d<a<b。
三角数的幂和：
第2行：求和{i=2..n-1}C（i，2）^2=C（n，3）+6*C（n、4）+6*C（n，5）；
第3行：求和{i=2..n-1}C（i，2）^3=C（n，3）+24*C（n、4）+114*C（n，5）+180*C（n-6）+90*C（n,7）。请参见A024166号和A085438号.
exp（Sum_{n>=1}R（n，2）*x^n/n）=（1+x+19*x^2+1147*x^3+145606*x^4+31784062*x^5+…）^4
exp（和{n>=1}R（n，3）*x^n/n）=（1+x+37*x^2+4453*x^3+1126375*x^4+489185863*x*5+…）^9
exp（和{n>=1}R（n，4）*x^n/n）=（1+x+61*x^2+12221*x^3+5144411*x_4+3715840571*x~5+…）^16（结束）
T（3,3）=24条长度为3的线路，每条线路长度为2。示例包括
（i） A B-（ii）A-B
-C D-C D
-E、F、E、F-
在其中一列中有18条类型为（i）的对齐方式，其中有两个空格字符（3种方式将2个空格字符放在一列中，2种方式将另一个字母放在还没有空格字符的行中，3列：有6条类型（ii）对齐方式每列中有一个空格字符（在第一列中放置一个空格的方法有3种，然后在第二列中放置单个空格字符的方法有2种）。（结束）
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MAPLE公司
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#请注意，该函数实现了完整的三角形，因为它可以
#在这个表单中更好地重用和引用。
#显示定义中的截断三角形：
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数学
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关键字
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容易的,非n,标签
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经核准的
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A062208号
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| a（n）=和{m>=0}二项式（m，3）^n*2^（-m-1）。 |
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+10
7
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1, 1, 63, 16081, 10681263, 14638956721, 35941784497263, 143743469278461361, 874531783382503604463, 7687300579969605991710001, 93777824804632275267836362863, 1537173608464960118370398000894641, 32970915649974341628739088902163732463
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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长度为3的n个字符串的对齐次数。
猜想：a（2*n）=3（mod 60）和a（2*n+1）=1（mod60）；对于固定k，序列a（n）（mod k）最终变为周期，精确周期为φ（k）的除数，其中φ（kA000010号. -彼得·巴拉，2018年2月4日
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链接
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配方奶粉
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a（n）~3^（2*n+1/2）*n^3/（Pi*n*2^（n+3）*（log（2））^（3*n+1））。
a（n）~sqrt（Pi）*3^（2*n+1/2）*n^（3*n+1/2）/（2^（n+3/2）*exp（3*n）*（log（2））^（3*n+1））。
（结束）
a（n）=和{k=3..3*n}和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i，3）^n的行和A299041型. -彼得·巴拉，2018年2月4日
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MAPLE公司
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A000629号：=进程（n）局部k；总和（k^n/2^k，k=0..无穷大）；结束时间：A062208号：=proc（n）局部a，stir，ni，n1，n2，n3，stir2，i，j，tmp；a:=0；如果n=0，则返回（1）；fi；搅拌：=组合[分割]（n）；搅拌2:={}；对于搅拌中的i，如果nops（i）<=3，那么tmp:=i；当nops（tmp）<3时，做tmp:=[op（tmp，0]；od:tmp:=组合[排列]（tmp）；对于tmp中的j，执行stir2:=stir2联合{j}；od:fi；od：对于stir2中的ni，don1:=op（1，ni）；n2：=op（2，ni）；n3：=op（3，ni）；a:=a+组合[多项]（n，n1，n2，n3）*(A000629号（3*n1+2*n2+n3）-1/2-2^（3*n 1+2*n 2+n 3）/4）*（-3）^n 2*n3；od:a/（2*6^n）；结束：seq(A062208号（n） ，n=0..14）#R.J.马塔尔2008年4月1日
a： =proc（n）选项运算符，箭头：和（二项式（m，3）^n*2^（-m-1），m=0..无穷大）结束proc:seq（a（n），n=0..12）#Emeric Deutsch公司2008年3月22日
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数学
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使用[{r=3}，展平[{1，表[Sum[Sum[（-1）^i*二项式[j，i]*二项法[j-i，r]^k，{i，0，j}]，{j，0，k*r}]，}，{k，1，15}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年3月22日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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