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搜索： a298946-编号：a298944
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A088164号 Wolstenholme素数：素数p使得二项式（2p-1，p-1）==1（mod p^4）。 +10
31
16843, 2124679 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
McIntosh和Roettger表明，下一项如果存在，必须大于10^9-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2014年8月23日
当cb（m）=二项式（2m，m）表示第m个中心二项式系数时，显然，cb（a（n））=2 mod a（n）^4。我已经证实，在所有自然数1<m<=278000中，cb（m）=2 mod m^4只有当m是Wolstenholme素数时才成立（见A246134号). 因此，人们可能会怀疑这是否普遍正确-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月26日
Romeo Mestrovic，Wolstenholme素数的同余，引理2.3，表明p是Wolstenholme素数的标准等价于p的除法A027641号（第3页）。1847年，Cauchy证明了这是指数p的费马最后定理第一种情况失败的必要条件（见Ribenboim，13讲，第29页）-约翰·布莱斯·多布森2015年5月1日
素数p使p^3除A001008号（第1页）（赵，2007年，第18页）。另外：素数p使得（p，p-3）是一个不规则对（参见Buhler，Crandall，Ernvall，Metsänkylä，1993，p.152）。Keith Conrad观察到，对于两个已知的（截至2015年）项ord_p（H_p-1）=3是满足的，其中ord_p。Romeo Mestrovic猜想p是Wolstenholme素数当且仅当S_（p-2）（p）==0（mod p^3），其中S_k（i）表示（i-1）之前（包括i-1）的正整数的k次幂之和（参见Mestrovic，2012，猜想2.10）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2015年5月20日
素数p除以Wolstenholme商W_p(A034602号). 此外，素数p使得p^2除以巴贝奇商b_p(A263882型). -乔纳森·桑多2015年11月24日
唯一已知的二项式（2n-1，n-1）与1模n^2同余的复合数n是n=p^2，其中p是Wolstenholme素数：参见A267824型. -乔纳森·桑多2016年1月27日
Wolstenholme定理的逆命题意味着，如果一个整数n满足二项式（2*n-1，n-1）==1（mod n^4），那么n是这个序列的一个项，也就是说，n必然是素数，或者等价地，A298946型（i） 对于所有i>0，>1。对于所有这样的n，这是否属实是一个悬而未决的问题-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年2月21日
素数p使得二项式（2*p-1，p-1）==1-2*p*Sum_{k=1..p-1}1/k-2*p^2*Sum_{k=1.p-1}1/k^2（mod p^7）（参见Mestrovic，2011，推论4）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年2月21日
这些是素数p，所以p^2除以A007406号（p-1）（梅斯特罗维奇，2015年，第241页，引理2.3）-阿米拉姆·埃尔达尔和托马斯·奥多夫斯基2019年7月29日
如果存在第三个Wolstenholme素数，则其大于6*10^10（参见Hathi，Mossinghoff，Trudgian，2021）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2021年4月27日
以英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍尔姆（1829-1891）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第。B31。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《费马大定理13讲》（Springer，1979）。
链接
n=1..2时的n，a（n）表。
罗纳德·布鲁克，沃尔斯滕霍姆定理、斯特林数和二项式系数.
Joe Buhler、Richard Crandall、Reijo Ernvall和Tauno Metsänkylä，400万的不规则素数和分圆不变量，数学。公司。，第61卷，第203号（1993年），第151-153页。
Chris Caldwell，主要词汇表，Wolstenholme素数.
莱昂纳多·卡罗菲利奥（Leonardo Carofiglio）、路易吉·德·菲尔波（Luigi De Filpo）和亚历山德罗·甘比尼（Alessandro Gambini），调和和的p-adic估计及其与Wolstenholme素数的联系，arXiv:2303.15010[math.NT]，2023。
基思·康拉德，调和和的p-adic增长.
Shehzad Hathi、Michael J.Mossinghoff和Timothy S.Trudgian，Wolstenholme和Vandiver素数《拉马努扬杂志》（The Ramanujan Journal），（2021）；arXiv版本，2101.11157[math.NT]，2021。
理查德·麦金托什，关于Wolstenholme定理的逆《算术学报》，第71卷，第4期（1995年），第381-389页。
Richard J.McIntosh和Eric L.Roettger，Fibonacci-Wieferich和Wolstenholme素数的搜索，数学。公司。第76卷，第260号（2007年），第2087-2094页。
R.Mestrovic，沃尔斯滕霍尔姆定理：五十年来的推广与推广（1862-2011），arXiv:11111.3057[math.NT]，2011年。
罗密奥·梅什特罗维奇，关于包含两个连续幂和的同余模n^3《整数序列杂志》，第17卷（2014年），第14.8.4条。
罗密奥·梅什特罗维奇，Wolstenholme素数的同余，arXiv:1108.4178[math.NT]，2011年。
罗密奥·梅什特罗维奇，Wolstenholme素数的同余《捷克斯洛伐克数学杂志》，第65卷（2015年），第237-253页。
罗密奥·梅什特罗维奇，包含两个连续幂和的同余模n^3及其应用，arXiv:1211.4570[math.NT]，2012年。
罗密奥·梅什特罗维奇，Chu-Vandermonde恒等式的几个推广和变化，arXiv:1807.10604[math.CO]，2018年。
Jonathan Sondow，扩展巴贝奇（非）素性测试，年组合与加法数论II，Springer程序。数学和Stat.，第220卷，CANT 2015和2016，纽约，2017年，第269-277页；arXiv:1812.07650[数学.NT], 2018.
埃里克·魏斯坦的数学世界，沃尔斯滕霍尔姆总理.
埃里克·魏斯坦的数学世界，整数序列素数.
维基百科，Wolstenholme素数.
赵建强，伯努利数、沃尔斯滕霍姆定理和卢卡斯定理的p^5变种《数论》，第123卷（2007年），第18-26页。
配方奶粉
A000984号（a（n））=2 mod a（n）^4-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月26日
A099908号（a（n））==1模a（n”）^4-乔纳森·桑多2015年11月24日
A034602号（PrimePi（a（n）））==0 mod a（nA263882型（PrimePi（a（n）））==0 mod a（n）^2-乔纳森·桑多2015年12月3日
数学
对于[i=2，i<=20000，i++，{If[PrimeQ[i]&&Mod[二项式[2*i-1，i-1]，i^4]==1，打印[i]}](*迪伦·德尔加多2021年3月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）表示素数（n=2，10^9，如果（Mod（二项式（2*n-1，n-1），n^4）==1，print1（n，“，”））\\费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年5月18日
（岩浆）[p:p在素数UpTo（2*10^4）|（二项式（2*p-1，p-1）mod（p^4）eq 1）中]//文森佐·利班迪2015年5月2日
交叉参考
囊性纤维变性。A000984号,A001008号,A007406号,A027641号,A034602号,A099908号,A246130型,A246132型,A246133型,A246134号,A263882型,A267824型,A298946型.
关键词
坚硬的,非n,布雷夫,更多
作者
克里斯蒂安·施罗德2003年9月21日
状态
经核准的
A298944型 a（n）=2^（c-1）mod c^2，其中c是第n个复合数。 +10
三
8, 32, 0, 13, 12, 32, 156, 184, 0, 176, 288, 319, 464, 320, 341, 496, 40, 64, 212, 0, 301, 308, 9, 1040, 952, 472, 1088, 1544, 800, 391, 508, 2048, 1191, 1312, 922, 2608, 284, 2359, 1920, 688, 1800, 3488, 2668, 2524, 0, 2291, 428, 144, 3109, 2612, 1472, 2888 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
a（n）=0当c是A000079号> 4.
a（n）=1的复合c可以称为“Wieferich伪素数”。是否存在此类复合材料？
c是“Wieferich伪素数”的一个必要条件是它是这两者的项A001567号和A270833型（请参阅中的注释A240719型).
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10000时的n，a（n）表
MAPLE公司
map（c->2&^（c-1）mod c^2，remove（isprime，[$4..1000]）#罗伯特·伊斯雷尔2018年2月27日
数学
复合[n_Integer]：=固定点[n+PrimePi@#+1&，n+PrimPi@n+1]；数组[With[{c=composite@#}，Mod[2^（c-1），c^2]&，52](*迈克尔·德弗利格，2018年1月31日，复合功能罗伯特·威尔逊v在A066277号*)
黄体脂酮素
（PARI）用于复合材料（c=1200，打印1（提升（Mod（2，c^2）^（c-1）），“，”））
交叉参考
囊性纤维变性。A000079号,A001220号,A001567号,A240719型,A270833型,A298945型,A298946型.
关键词
非n
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2018年1月30日
状态
经核准的
A298945型 a（n）=F_{c-（5/c）}mod c^2，其中c是第n个复合数，F_i=A000045号（i） （5/c）是克罗内克符号。 +10
三
2, 5, 34, 21, 55, 89, 37, 160, 98, 293, 365, 150, 101, 433, 25, 665, 696, 709, 440, 994, 883, 1090, 765, 1241, 230, 1511, 1355, 257, 805, 20, 1382, 289, 2275, 1525, 1414, 821, 1373, 1820, 685, 1504, 2177, 720, 3102, 1302, 1250, 190, 2425, 2178, 2832, 3935 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
a（n）=0的复合物c可以称为“墙-太阳-太阳伪素数”或“斐波那契-维费里伪素数”。是否存在此类复合材料？
任何这样的c都必须是A241505型.
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10000时的n，a（n）表
MAPLE公司
N： =100:#以获得（1）。。a（否）
计数：=0:R:=NULL：
当计数<n do时，从4开始计算n
如果不是i素数（n），则
计数：=计数+1；
R： =R，组合：fibonacci（n-数量理论：-jacobi（5，n））mod n^2；
fi（菲涅耳）
日期：
R#罗伯特·伊斯雷尔2018年2月2日
数学
复合[n_Integer]：=固定点[n+PrimePi@#+1&，n+PrimPi@n+1]；数组[With[{c=composite@#}，Mod[Fibonacci[c-KroneckerSymbol[5，c]]，c^2]&，50](*迈克尔·德弗利格，2018年1月31日，复合功能罗伯特·威尔逊v在A066277号*)
黄体脂酮素
（PARI）对于复合材料（c=1200，print1（lift（Mod（fibonacci（c-kronecker（5，c）），c^2）），“，”）
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A241505型,A298944型,A298946型.
关键词
非n
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2018年1月30日
状态
经核准的
第页1

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