1，2

将l.g.f.与：Sum{n=-oo..+oo，n<>0}（x-x^n）^n/n=-log（1-x）。

这里l.g.f.l（x）=和{n>=1}a（n）*x^（2*n-1）/（2*n-1）。

a（2^n+1）=1表示n>=1（猜想）。

保罗·D·汉娜，n=1的n，a（n）表。。2050

五十、 g.f.：Sum{n=-oo..+oo}（x+x^（2*n-1））^（2*n-1）/（2*n-1）-注意加号。

五十、 g.f.：-log（1-x）-Sum{n=-oo..+oo，n<>0}（x-x^（2*n））^（2*n）/（2*n）。

五十、 g.f.：L（x）=P（x）+Q（x），其中

P（x）=和{n>=1}（x-x^（2*n-1））^（2*n-1）/（2*n-1），

Q（x）=和{n>=1}x^（（2*n-1）^2）/（（2*n-1）*（1-x^（2*n））^（2*n-1））。

五十、 g.f.“g.f.：L（x）L（x）=x+4*x^3/3+x^5/5/5+15*x x^7/7+x x^9/9+12*x^11/11/11+40*x^13/13+16*x^15/15+15/15+x 17/17+77*x ^19/19+19+92*x^21/21+24*x^23/23/23+101*x^25/25+25+28*x 27/27+204*x^29/29/29+373*x^31/31/31+x^33/33+36*x^35/35+667*x^37/37/37+40*40*21/21+24+24*x^23+33/33/33+x^39/39+575*x^41/41+689*x^43/43+826*x^45/45+48*x^47/47+393*x^49/49+1582*x^51/51+1379*x^53/53+1937年x^55/55+590*x^57/57+60*x^59/59+。。。

使L（x）=和{n=-oo..+oo}（x-x^（2*n-1））^（2*n-1）/（2*n-1）。

n>=1时，L（x）中x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数开始：

[4，1，1，1，1，1，1，1，1，…]，

而且a（k）=1仅在k=1和k=2^n+1（n>=1）时才出现。

我们可以写L（x）=P（x）+Q（x），其中

P（x）=（x-x）+（x-x ^3）^3/3+（x-x ^5）^5/5+（x-x ^7）^7/7+（x-x ^9）^9/9+（x-x ^11）^11/11+（x-x ^13）^13/13+（x-x ^15）^15/15+（x-x ^17）^17/17+（x-x ^19）^19/19+（x-x ^21）^21/21+…+（x-x^（2*n-1））^（2*n-1）/（2*n-1）+。。。

Q（x）=x/（1-x^2）+x^9/（3*（1-x^4）^3）+x^25/（5*（1-x^6）^5）+x^49/（7*（1-x ^8）^7）+x^81/（9*（1-x ^10）^9）+x^121/（11*（1-x ^12）^11）+x^169/（13*（1-x^14）^13）+…+x^（（2*n-1）^2）/（（2*n-1）*（1-x^（2*n））^（2*n-1））+。。。

明确地，

P（x）P（x）P（x）=x^3/3-4*x^5/5+8*x x^7/7—11*x^9/9+x^11/11+14*x x^13/13+x^15/15—50*x ^ 17/17+58*x ^ 19/19+x ^ 21/21+x ^ 23/23-54*x ^ 25/25+x ^27/27 x 27/27 x 27/27*28*x 29/29+31*x ^ 31/31 ^ 340 x ^ 33/33+x ^ 35/35+75*x ^ 11/11/11+14*x ^ 13/13 ^ x ^ 13/13/15 ^ 15 x^43/43-44*x^45/45+x^47/47-1427*x^49/49+1531*x^51/51-52*x^53/53+496*x^55/55-1253*x^57/57+x^59/59+1343*x^61/61+x^63/63-2924*x^65/65+。。。

Q（x）Q（x）=x+x+3*x^3/3+5*x^5/5/5+7*x^7/7/7+12*x^9/9+11*x^11/11/11+26*x^13/13/13+15*x^15/15+51*x^17/17+19*x^19/19/19+91*x ^21/21+21+23*x^23/23+155*x^25/25/25+27*x 27/27/27+232*x^29/29/29+62*x^31/31+31+341*x^31/31+341*x^33/33+35*x^35/35/35*x^19/19/19/19+91*21/21/21/23 37+39*x^39/39+656*x^41/41+344*x^43/43+870*x^45/45+47*x^47/47+1820*x^49/49+51*x^51/51+1431*x^53/53+1441*x^55/55+1843*x^57/57+59*x^59/59+4758*x^61/61+63*x^63/63+2925*x^65/65+。。。

P（x）中n>=1时x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数开始：

[1，-4，-11，-50，-340，-2924，-169032，-33445208，-21619038032，1-A293599号（n） ，…]。

当n>=1时，Q（x）中x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数开始：

[3，5，12，51，341，2925，169033，33445209，21619038033。。。，A293599号（n） ，…]。

（PARI）{a（n）=my（P，Q，Ox=O（x^（2*n+1）））；

P=和（m=1，n+1，（x-x^（2*m-1）+x）^（2*m-1）/（2*m-1））；

Q=和（m=1，平方（n+1），x^（（2*m-1）^2）/（（2*m-1）*（1-x^（2*m）+Ox）^（2*m-1））；

（2*n-1）*polcoeff（P+Q，2*n-1）}

对于（n=1，80，打印1（a（n），“，”）

囊性纤维变性。A293597号（P（x）），A293598号（Q（x）），A293599号,邮编：A291937.

不

保罗·D·汉娜2017年10月11日

经核准的

1，2

保罗·D·汉娜，n=1的n，a（n）表。。2050

五十、 g.f.：A（x）=x+3*x^3/3+5*x^5/5+7*x^7/7/7+12*x x^9/9+11*x x^11/11+26*x^13/13+15*x^15/15+15*x^15/15+51*x ^17/17+17+19*x^19/19+19+91*x^21/21+21+23*x^23/23/23+23+155*x^25/25/25+25+27*x 27/27/27+232*232*x^29/29/29+62*x^31/31+31+341*x^33/33+35*35*x^35/35+592*19/19+91+91*x+21+21 x^37/37+39*x^39/39+656*x^41/41+344*x^43/43+870*x^45/45+47*x^47/47+1820*x^49/49+51*x^51/51+1431*x^53/53+1441*x^55/55+1843*x^57/57+59*x^59/59+4758*x^61/61+63*x^63/63+2925*x^65/65+。。。

可以写成

A（x）=x/（1-x^2）+x^9/（3*（1-x^4）^3）+x^25/（5*（1-x^6）^5）+x^49/（7*（1-x^8）^7）+x^81/（9*（1-x^10）^9）+x^121/（11*（1-x^12）^11）+x^169/（13*（1-x^14）^13）+…+x^（（2*n-1）^2）/（（2*n-1）*（1-x^（2*n））^（2*n-1））+。。。

对于n>=1，A（x）中x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数开始：

[3，5，12，51，341，2925，169033，33445209，21619038033。。。，A293599号（n） ，…]。

nmax=80；表[（系数列表[系列[Sum[x^（（2*k-1）^2）/（（2*k-1）*（1-x^（2*k））^（2*k-1）），{k，1，2*nmax+1}]，{x，0，2*nmax+1}]，x]*范围[0，2*nmax+1]）[[2*n]]，{n，1，nmax}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月15日*）

（PARI）{a（n）=my（a，Ox=O（x^（2*n+1）））；

A=和（m=1，平方（n+1），x^（（2*m-1）^2）/（（2*m-1）*（1-x^（2*m）+Ox）^（2*m-1））；

（2*n-1）*polcoeff（A，2*n-1）}

对于（n=1，80，打印1（a（n），“，”）

囊性纤维变性。A293129号,A293597号,A293599号.

不

保罗·D·汉娜2017年10月12日

经核准的

1，1

的l.g.fA293598号是和{n>=1}x^（（2*n-1）^2）/（（2*n-1）*（1-x^（2*n））^（2*n-1））。

x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数A293597号等于1-a（n）表示n>=2。

这个序列的增长率是多少？

瓦茨拉夫·科特索维奇，n=1的n，a（n）表。。19

五十、 g.f.的A293598号：Q（x）=x/（1-x^2）+x^9/（3*（1-x^4）^3）+x^25/（5*（1-x^6）^5）+x^49/（7*（1-x ^8）^7）+x^81/（9*（1-x ^10）^9）+x^121/（11*（1-x ^12）^11）+x^169/（13*（1-x^14）^13）+…+x^（（2*n-1）^2）/（（2*n-1）*（1-x^（2*n））^（2*n-1））+。。。

明确地，

Q（x）=x+（3）*x^3/3+（5）*x^5/5+7*x^7/7+（12）*x^9/9+11*x 11/11/11+26*x^13/13+15*x^15/15+（51）*x x^17/17/17+19*x 19/19+91*x^21/21+23*x x^23/23+155*x^25/25+25+27*x^27/27+27+232*x^29/29+62*x^31/31+31+（341）*x^33/33/33+35*x^35 x^35/35*x^19/19+91*x^21/21+23*x^23/23+155X^155X^25（34/35+592*x^37/37+39*x^39/39+656*x^41/41+344*x^43/43+870*x^45/45+47*x^47/47+1820*x^49/49+51*x^51/51+1431*x^53/53+1441*x^55/55+1843*x^57/57+59*x^59/59+4758*x^61/61+63*x^63/63+（2925）*x^65/65+。。。

这个序列等于Q（x）中x^（2^n+1）/（2^n+1）的系数，n>=1。

nmax=10；表[（系数列表[系列[Sum[x^（（2*k-1）^2）/（（2*k-1）*（1-x^（2*k））^（2*k-1）），{k，1，2^nmax+1}]，{x，0，2^nmax+1}]，x]*范围[0，2^nmax+1]）[[2^n+2]，{n，1，nmax}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月15日*）

（平价）{A293598号（n） =我的（Q，Ox=O（x^（2*n+1）））；

Q=和（m=1，平方（n+1），x^（（2*m-1）^2）/（（2*m-1）*（1-x^（2*m）+Ox）^（2*m-1））；

（2*n-1）*polcoeff（Q，2*n-1）}

对于（n=0，15，打印1(A293598号（2^n+1），“，”）

囊性纤维变性。A293129号,A293597号,A293598号.

不

保罗·D·汉娜2017年10月12日

经核准的