搜索： a286718-编号：a286728
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1, 12, 159, 2485, 45474, 959070, 22963996, 616224492, 18331744896, 599061555136, 21339235262784, 823098817664448, 34183157124707200, 1520908498941532800, 72182781516370886400, 3640264913563748243200, 194408478299496756556800, 10961007293837647131724800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）是，对于n>=1，由n个正交向量构成的二项（n+2，n）矩形多边形（超截形）的总体积，其边长来自集合{1+3*j|j=0..n+1}。参见公式a（n）=σ[3,1]^{（n+2）}_n和下面的示例。
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链接
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配方奶粉
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例如：（d^2/dx^2）（（1-3*x）^（-1/3）*（-1/3*log（1-3*x））^2/2！）=（2*（对数（1-3*x））^2-15*log（1-3*x）+9）/（3^2*（1-3**）^（7/3））。
a（n）=sigma[3,1]^{（n+2）}_n，n>=0，其中n+2数1，4，7。。。，（1+3*（n+1））。
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例子
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a（2）=159，因为sigma[3,1]^{（4）}_2=1*（4+7+10）+4*（7+10，+7*10=159。从总面积159的{1,4,7,10}集合中，由两个长度不同的正交向量构成六个矩形（2D矩形多边形）。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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A290595型
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| 按行读取的三角形T（n，k）：第n行给出Sheffer三角形（n+1）-第对角线的o.g.f.的分子多项式的系数A286718型（|S1hat[3,1]|generalized Stirling 1），对于n>=0。 |
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+20
0
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1, 1, 2, 4, 19, 4, 28, 222, 147, 8, 280, 3194, 4128, 887, 16, 3640, 55024, 113566, 52538, 4835, 32, 58240, 1107336, 3268788, 2562676, 555684, 25167, 64, 1106560, 25526192, 100544412, 117517960, 45415640, 5301150, 128203, 128, 24344320, 663605680, 3325767376, 5352311764, 3189383200, 695714590, 47537320, 646519, 256, 608608000, 19213911360, 118361719296, 248493947496, 208996478388, 72479948400, 9696965250, 410038434, 3245139, 512
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Sheffer三角形第（n+1）对角序列的普通生成函数（o.g.f.）A286718型=（（1-3*x）^（-1/3），-log（1-3**）/3），称为|S1hat[3,1]|，是GD（3,1；n，x）=P（n，x，）/（1-x）^（2*n+1），行多项式P（n、x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，n>=0。
对于双参数Sheffer情形|S1hat[d，a]|=（（1-d*x）^{-a/d}，-log（1-d*x）/d）（当gcd（d，a）=1，d>=0，a>=0时，d=1取a=0），元素为d（d，b；n，m）=|S1hat[d，a]|（n+m，m）（主对角线为n=0）。它可以通过拉格朗日定理进行计算。对于特殊Sheffer案例（1，f（x）），这是由P.Bala完成的（参见链接）。这种方法可以推广到Sheffer（g（x），f（x）），如W.Lang链接所示。
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0: 1
1: 1 2
2: 4 19 4
3: 28 222 147 8
4: 280 3194 4128 887 16
5: 3640 55024 113566 52538 4835 32
6: 58240 1107336 3268788 2562676 555684 25167 6
7: 1106560 25526192 100544412 117517960 45415640 5301150 128203 128
...
n=8:24344320 663605680 3325767376 5352311764 3189383200 695714590 47537320 646519 256，
电话：608608000 19213911360 118361719296 248493947496 208996478388 72479948400 9696965250 410038434 3245139 512。
n=3：第四对角线序列的o.g.fA286718型, [28, 418, 2485, ...] =A024213号（n+1），n>=0，是P（3，x）=（28+222*x+147*x^2+8*x^3）/（1-3*x）^7。
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A007559号
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| 三阶阶乘数（3*n-2）！！！添加了前导1。
（原名M3627）
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+10
116
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1, 1, 4, 28, 280, 3640, 58240, 1106560, 24344320, 608608000, 17041024000, 528271744000, 17961239296000, 664565853952000, 26582634158080000, 1143053268797440000, 52580450364682240000, 2576442067869429760000, 133974987529210347520000, 7368624314106569113600000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a（n）是k模为3=1的正整数k≤3*n的乘积-彼得·卢什尼2011年6月23日
对于n>2，a（n）是Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫，2020年1月28日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021年。
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配方奶粉
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a（n）=产品{k=0..n-1}（3*k+1）。
a（n）=（3*n-2）！！！，n>=1，a（0）=1。
例如：（1-3*x）^（-1/3）。
a（n）~sqrt（2*Pi）/伽马（1/3）*n^（-1/6）*（3*n/e）^n*（1-（1/36）/n-…）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2001年11月22日
a（n）=3^n*Pochhammer（1/3，n）。
a（n）=n*（和{m=1..n}（m/n）*和{k=1..n-m}（二项式（k，n-m-k）*（-1/3）^（n-m-k-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
a（n）=M^n中的左上项，M=Pascal（1,3）三角形的变体（Cf。A095660号); 作为无穷平方生产矩阵：
1, 3, 0, 0, 0,...
1、4、3、0、0、，。。。
1, 5, 7, 3, 0,...
...
a（n+1）=M^n顶行项之和（结束）
a（n）=（-2）^n*Sum_{k=0..n}（3/2）^k*s（n+1，n+1-k），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994美元. -米尔恰·梅卡2012年5月3日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（3*k+1）/（1-x*（3*k+3）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月21日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k+1）/（x*（3+k+1）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-x*（3*k+1）/（x*（3+k+1）+（k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
O.g.f.：浅层（[1,1/3]，[]，3*x）-彼得·卢什尼2015年10月8日
a（n）=3^n*伽马（n+1/3）/伽马（1/3）-阿图尔·贾辛斯基2016年8月23日
a（n）=sigma[3,1]^{（n）}_n，n>=0，n个数1，4，7，…中n次的初等对称函数。。。，1+3*（n-1），σ[3,1]^{（n）}_0:=1。参见第一个公式-沃尔夫迪特·朗2017年5月29日
a（n）=（-1）^n/A008544号（n） ，对于Z中的所有n，0=a（n）*（+3*a（n+1）-a（n+2））+a（n/1）*a（n+1）-迈克尔·索莫斯2018年9月30日
递归D-有限：a（n）+（-3*n+2）*a（n-1）=0，n>=1-R.J.马塔尔2020年2月14日
和{n>=1）1/a（n）=（e/9）^（1/3）*（伽马（1/3）-伽马（1/3，1/3））-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月29日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+28*x^3+280*x^4+3640*x^5+58240*x^6+。。。
a（3）=28，a（4）=280；顶行M^3=（28，117，108，27），总和=280。
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，1/乘积[k，{k，-2，3n-1，-3}]，
乘积[k，{k，1，3n-2，3}]]；(*迈克尔·索莫斯，2011年10月14日*）
文件夹列表[次数，1，范围[1，100，3]](*哈维·P·戴尔2013年7月5日*）
范围[0，19]！系数列表[系列[（（1-3 x）^（-1/3）），｛x，0，19｝]，x](*文森佐·利班迪2015年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）a（n）：=如果n=1，则1其他（n）*（总和（m/n*总和（二项式（k，n-m-k）*（-1/3）^（n-m-k\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n/prod（k=0，-1-n，3*k+2），prod（k=0,n-1，3*k+1））}/*迈克尔·索莫斯2011年10月14日*/
（PARI）x='x+O（'x^33）；Vec（塞拉普拉斯（（1-3*x）^（-1/3））/*乔格·阿恩特2011年4月24日*/
（鼠尾草）
（哈斯克尔）
a007559 n=a007559_列表！！n个
a007559_list=扫描（*）1 a016777_list
（马格玛）
b： =func<n|（nlt 2）选择n个else（3*n-2）*Self（n-1）>；
[1] cat[1..20][b（n）:n//G.C.格鲁贝尔2019年8月20日
（GAP）列表（[0..20]，n->产品（[0..n-1]，k->3*k+1））#G.C.格鲁贝尔2019年8月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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另一个名称：第一类无意义斯特林数三角形。
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]-拉尔夫·斯蒂芬2014年2月7日
这是相关或Jabotinsky型的下三方Sheffer矩阵|S1|=（1，-log（1-x））（参见下的W.Lang链接A006232号表示法和参考）。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac（x，n）}的转移矩阵，n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1，T（n，k）也是由从集合{1，2，…，n-1}中选择的不同长度的n-k正交向量组成的n-k维单元（多面体）的总体积。参见T（n，k）的基本对称函数公式和下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
y=y（t；x）=x*（1-t（-log（1-x）/x））=x+t*log（1-x）的组成逆w.r.t.x是x=x（t；y）=ED（y，t）：=Sum_{d>=0}d（d，t）*y^（d+1）/（d+1）！，当前三角形对角序列的o.g.f.s D（D，t）的e.g.f=Sum{m>=0}t（D+m，m）*t^m。参见P.Bala链接以获得证明（其中d=n-1，n>=1是对角线的标签）。
这个反演得到D（D，t）=P（D，t）/（1-t）^（2*D+1），分子多项式P（D、t）=Sum_{m=0..D}A288874型（d，m）*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.（结束）
对于n>0，T（n，k）是从1到n的整数的排列数，当从特定的一端查看时，这些整数有k个可见数字，从这个意义上讲，较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫2019年7月12日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第31、187、441、996页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，第二名。编辑，表259，第259页。
Steve Roman，《数学微积分》，多佛出版社，纽约（1984年），第149-150页
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量，预印本，2016年。
W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。
Tanya Khovanova和J.B.Lewis，摩天大楼数量，J.国际顺序。16（2013）#13.7.2。
谢尔盖·基塔耶夫（Sergey Kitaev）和菲利普·张（Philip B.Zhang），短长网格图案的分布，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018年。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k），n，k>=1；T（n，0）=T（0，k）；T（0,0）=1。
展开1/（1-t）^x=Sum_{n>=0}p（x，n）*t^n/n！；然后p（x，n）的系数产生三角形-罗杰·巴古拉2008年4月18日
求和{k=0..n}x^k*T（n，k）=x*（1+x）*（2+x）*（n-1+x），n>=1-菲利普·德莱厄姆，2008年10月17日
例如，第k列：（-log（1-x））^k，k>=0。
例如，三角形（见2008年4月18日Baluga的评论）：exp（-x*log（1-z））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，对于n>=0，是R（n、x）=risefac（x，n-1）：=Product_{j=0..n-1}x+j，其中n=0的空乘积被置为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着：
T（n，k）=sigma^{（n-1）}_（n-k），对于n>=k>=1，在n-1符号1，2，…，n-1中使用阶数为m的基本对称函数sigma_{（n-1））_m，使用二项式（n-1，m）项。见下面的示例。（结束）
列序列k的Boas-Buck型递归：T（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}β（n-1-p）*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式：n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-x，k）*二项法（-x、2*n-k）=n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（1-x，k）*二项（-x，2*n-k）-彼得·巴拉2024年3月31日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0、6、11、6、1；
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0、720、1764、1624、735、175、21、1；
0、5040、13068、13132、6769、1960、322、28、1；
---------------------------------------------------
生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0, 1, 5, 10, 10, 5, 1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
三期复发：50=T（5,2）=1*6+（5-1）*11=50。
Sheffer a序列的递归[1，1/2，1/6，0，…]：50=T（5，2）=（5/2）*（二项式（1，1）*1*6+二项式。消失的z序列从T（0，0）=1生成k=0列。（结束）
初等对称函数T（4，2）=sigma^{（3）}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格（多边形）是3个矩形，总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s：d=2（第三对角线）[0,6,50，…]有d（2，t）=P（2，t）/（1-t）^5，其中P（2、t）=2+t，n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推：T（5，2）=（5！*2/3）*（（3/8）*T（2,2）/2！+（5/12）*T（3,2）/3！+（1/2）*T（4,2）/4！）=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始：{1/2，5/12，3/8，…}-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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a132393_row:=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年11月28日
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数学
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p[t]=1/（1-t）^x；表[ExpandAll[（n！）SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[（n！）*系数列表[系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a](*罗杰·巴古拉2008年4月18日*）
压扁[表[Abs[StirlingS1[n，i]]，{n，0，10}，{i，0，n}]](*哈维·P·戴尔2014年2月4日*）
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黄体脂酮素
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（Maxima）create_list（abs（stirling1（n，k）），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a132393 n k=a132393_tabl！！不！！k
a132393_当前n=a132393_启用！！n个
a132393_tabl=地图（地图abs）a048994_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德莱厄姆，2007年11月10日，2008年10月15日，2007年10月17日
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状态
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已批准
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A028338号
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| （x+1）*（x+3）*展开式中系数的三角形*（x+2n-1）在x的上升幂中。 |
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+10
27
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1, 1, 1, 3, 4, 1, 15, 23, 9, 1, 105, 176, 86, 16, 1, 945, 1689, 950, 230, 25, 1, 10395, 19524, 12139, 3480, 505, 36, 1, 135135, 264207, 177331, 57379, 10045, 973, 49, 1, 2027025, 4098240, 2924172, 1038016, 208054, 24640, 1708, 64, 1, 34459425, 71697105, 53809164, 20570444, 4574934, 626934, 53676, 2796, 81, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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指数Riordan数组（1/sqrt（1-2*x），log（1/squart（1-2-*x））-保罗·巴里2011年5月9日
列序列的o.g.f.s D（D，x），对于D，D>=0，（对于主对角线，D=0）是P（D，x）/（1-x）^（2*D+1），其中行多项式P（D、x）=和{m=0..D}A288875型（d，m）*x^m参见A288875型了解详细信息-沃尔夫迪特·朗2017年7月21日
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链接
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Priyavrat Deshpande、Krishna Menon和Anurag Singh，标记阈值图的组合统计，arXiv:2103.03865[math.CO]，2021。
托马斯·戈德兰（Thomas Godland）和扎哈尔·卡布卢科（Zakhar Kabluchko），多面体和其他多面体的投影和角度和，arXiv:2009.04186[math.MG]，2020年。
托马斯·戈德兰（Thomas Godland）和扎哈尔·卡布卢科（Zakhar Kabluchko），带多面体和二倍体的投影和角和，Res.数学。（2023）第78卷，第140条。
Z.Kabluchko、V.Vysotsky和D.Zaporozhets，随机游动、超平面排列和Weyl腔的凸壳，arXiv预印本arXiv:15100.04073[math.PR]，2015。
Bruce E.Sagan和Joshua P.Swanson，q-类型B中的轮胎编号，arXiv:2205.14078[math.CO]，2022。
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配方奶粉
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三角形T（n，k），按行读取，由[1，2，3，4，5，6，7，…]DELTA[1，0，1，0，1，0，…]给出，其中DELTA是A084938号. -菲利普·德莱厄姆2005年2月20日
T（n，k）=Sum_{i=k.n}（-2）^（n-i）*二项式（i，k）*s（n，i），其中s（n，k）是第一类有符号斯特灵数。-弗朗西斯·伍德豪斯（fwoodhouse（AT）gmail.com），2005年11月18日
y中行多项式的G.f:1/（1-（x+x*y）/（1-2*x/（1-（3*x+xx*y-保罗·巴里2009年2月7日
T（n，m）=（2*n-1）*T（n-1，m）+T！！T（n，n）=1-约翰内斯·梅耶尔，2009年6月8日
例如y中的行多项式：（1/sqrt（1-2*x））*exp。
m列序列的示例：（1/sqrt（1-2*x））*（-log（sqrt）（1-2**））^m/m！。对于特殊的Sheffer，也称为指数Riordan数组，请参阅上面的注释。（结束）
列序列k的Boas-Buck型递推：T（n，k）=（n！/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}2^（n-1-p）*（1+2*k*beta（n-1-p））*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月9日
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例子
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当n=4时，G.f:（x+1）*（x+3）*（x+5）*（x+7）=105+176*x+86*x ^2+16*x ^3+x ^4。
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2: 3 4 1
3: 15 23 9 1
4: 105 176 86 16 1
5: 945 1689 950 230 25 1
6: 10395 19524 12139 3480 505 36 1
7: 135135 264207 177331 57379 10045 973 49 1
8: 2027025 4098240 2924172 1038016 208054 24640 1708 64 1
9: 34459425 71697105 53809164 20570444 4574934 626934 53676 2796 81 1
...
第n=10行：654729075 1396704420 1094071221 444647600 107494190 16486680 1646778 106800 4335 100 1。
对角线的O.g.f.s d>=0：d（2，x）=（3+8*x+x^2）/（1-x）^5生成[3，23，86，…]=A024196号（n+1），从行d=2个条目A288875型[3, 8, 1]. -沃尔夫迪特·朗2017年7月21日
列k=2和n=4的Boas-Buck递推：T（4，2）=（4！/2）*（2*（1+4*（5/12）*T（2，2）/2！+1*（1+4*（1/2））*T（3,2）/3！）=(4!/2)*(8/3*1 + 3*9/3!) = 86. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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nmax:=8；对于从0到nmax的n，做a（n，0）：=双阶乘（2*n-1）od：对于从0至nmax，做a；od:seq（seq（a（n，m），m=0..n），n=0..nmax）#约翰内斯·梅耶尔，2009年6月8日，2012年11月25日修订
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数学
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T[n_，k_]：=和[（-2）^（n-i）二项式[i，k]斯特林S1[n，i]，{i，k，n}]（*Woodhouse*）
连接[{1}，展平[Table[CoefficientList[Expand[Times@@Table[x+i，{i，1，2n+1，2}]，x]，{n，0，10}]](*哈维·P·戴尔2013年1月29日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A282629型
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| Sheffer三角形（exp（x），exp（3*x）-1）。命名为S2[3,1]。 |
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+10
22
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1, 1, 3, 1, 15, 9, 1, 63, 108, 27, 1, 255, 945, 594, 81, 1, 1023, 7380, 8775, 2835, 243, 1, 4095, 54729, 109890, 63180, 12393, 729, 1, 16383, 395388, 1263087, 1151010, 387828, 51030, 2187, 1, 65535, 2816865, 13817034, 18752391, 9658278, 2133054, 201204, 6561, 1, 262143, 19914660, 146620935, 285232185, 210789621, 69502860, 10825650, 767637, 19683
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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对于Sheffer三角形（无限下三角指数卷积矩阵），请参阅下面的W.Lang链接A006232号，带参考）。
m列序列的示例f.为（Sheffer属性）exp（x）*（exp（3*x）-1）^m/m！。
这是Sheffer三角形Stirling2（n，m）的推广=A048993号（n，m）表示为（exp（x），exp（x）-1），可命名为S2[1,0]。
z序列具有例如f.（3/（log（1+x）））*（1-1/（1+x）^（1/3）），并且是A284857型（n）/248万元（n） ●●●●。
三角形出现在序列{（1+3*m）^n}_{m>=0}的o.g.f.g（n，x）中，如g（n、x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*m*x^m/（1-x）^（m+1），n>=0。因此，相应的例如f.是通过线性拉普拉斯逆变换，e（n，t）=和{m>=0}（1+3*m）^n t^m/m！=exp（t）*Sum_{m=0..n}t（n，m）*t^m。
对应的具有反向行的欧拉三角形是rEu（n，k）=Sum_{m=0..k}（-1）^（k-m）*二项式（n-m，k-m）*T（n，k）*k！，0<=k<=n。这是A225117型带有行反转。
Sheffer三角形S2[d，a]的一般行多项式R（d，a；n，x）=和{k=0..n}T（d，a；n，m）*x^m作为Boas-Buck类的特殊多项式满足恒等式（参见参考文献，我们使用Rainville定理50的符号，第141页，适用于指数生成函数）
（E_x-n*1）*R（d，a；n，x）=-n*a*R（d，a；n-1，x）-求和{k=0..n-1}二项式（n，k+1）*（-d）^（k+1）*Bernoulli（k+1。
对于n>m，这需要对列m的序列进行重复：
T（d，a；n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2*a+d*m）*T-沃尔夫迪特·朗，2017年8月9日（结束）
三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆矩阵是S1[3,1，有理元素S1[3,1]（n，k）=（-1）^（n-k）*A286718型（n，k）/3^k-沃尔夫迪特·朗2018年11月15日
以美国数学家Isador Mitchell Sheffer（1901-1992）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月19日
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参考文献
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Ralph P.Boas，Jr.和R.Creighton Buck，分析函数的多项式展开，Springer，1958年，第17-21页，（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。
Earl D.Rainville，《特殊职能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，第8章，第。第76140-146页。
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链接
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配方奶粉
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从上面给出的z序列中，列m=0的项T（n，0）=1的一个非平凡递归：T（n、0）=n*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），n>=1，T（0，0）=1。
上述a序列中列m>=1项的递归：T（n，m）=（n/m）*Sum_{j=0..n-m}二项式（m-1+j，m-1）*a（j）*T（n-1，m-1+j），m>=1。
行多项式R（n，x）（Meixner型）的递归性：R（n、x）=（（3*x+1）+3*x*d_x）*R（n-1，x），带微分d_x，对于n>=1，输入R（0，x）=1。
T（n，m）=和{k=0..m}二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！，0<=m<=n。
三角形的示例：exp（z）*exp（x*（exp（3*z）-1））（谢弗型）。
例如，m列的序列为exp（x）*（（exp（3*x）-1）^m）/m！（谢弗财产）。
标准三项递归：如果n<m，T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（m，n）=3*T（n-1，m-1）+（1+3*m）*T（n-1，m），如果n>=1。根据T（n，m）公式。与中给出的S2[3,2]的重现性进行比较A225466型.
m列序列的o.g.f.为3^m*x^m/Product_{j=0..m}（1-（1+3*j）*x）。（结束）
就箍筋2而言=A048993号：T（n，m）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^k*Stirling2（k，m），0<=m<=n-沃尔夫迪特·朗2017年4月13日
列序列m:T（n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2+3*m）*T（n-1，m）+m*Sum_{p=m..n-2}二项式（n，p）（-3）^-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 3
2: 1 15 9
3: 1 63 108 27
4:1 255 945 594 81
5: 1 1023 7380 8775 2835 243
6: 1 4095 54729 109890 63180 12393 729
7:1 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187
8:1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561
9: 1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683
...
------------------------------------------------------------------------------------
z序列中m=0列的非平凡递归：T（4,0）=4*（1*1+63*（-1/6）+108*（11/54）+27*（-49/108））=1。
a序列中m=2列的递归：T（4，2）=（4/2）*（1*63*3+2*108*（3/2）+3*27*（-3/6））=945。
行多项式R（3，x）（Meixner型）的递归：（（3*x+1）+3*x*d_x）*（1+15*x+9*x^2）=1+63*x+108*x^2+27*x^3。
n=1的E.g.f.和o.g.f.的幂{（1+3*m）^1}_{m>=0}A016777号：E（1，x）=exp（x）*（T（1，0）+T（1、1）*x）=exp（x）*（1+3*x）。O.g.f.：g（1，x）=T（1，0）*0/（1-x）+T（1,1）*1*x/（1-x）^2=（1+2*x）/（1-x）^2。
列m=2和n=4:T（4，2）=（1/2）*[2*（2+3*2）*T（3，2）+2*6*（-3）^2*bernoulli（2）*T（2，2））]=（1/2）*（16*108+12*9*（1/6）*9）=945的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日
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数学
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表[总和[二项式[m，k]（-1）^（k-m）（1+3 k）^n/m！，{k，0，m}]，{n，0，9}，{m，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年4月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，m）=总和（k=0，m，二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！）；
对于（n=0，9，对于（m=0，n，打印1（T（n，m），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年4月8日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号,A000244号,A006232号/A006233号,A016777号,A024036号,A111577号,A225117型,A225466型,A284857型,A284858型,A284859型,A284860型,A284861型,286718英镑.
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A024212号
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| 第一个n+1个正整数与1模3同余的第二初等对称函数。 |
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+10
10
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4, 39, 159, 445, 1005, 1974, 3514, 5814, 9090, 13585, 19569, 27339, 37219, 49560, 64740, 83164, 105264, 131499, 162355, 198345, 240009, 287914, 342654, 404850, 475150, 554229, 642789, 741559, 851295, 972780, 1106824, 1254264, 1415964, 1592815, 1785735
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n+1）*（9*n^2+9*n-2）/8。
a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n3）-5*a（-n4）+a（n-5）-克拉克·金伯利2012年8月18日
总尺寸：（4+19*x+4*x^2）/（1-x）^5-克拉克·金伯利2012年8月18日
例如：exp（x）*x*（32+124*x+72*x^2+9*x^3）/8=exp（x）*xx（2+x）*（16+54*x+9*x^2）/8。
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数学
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表[n（n+1）（9n^2+9n-2）/8，{n，40}]（*或*）线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{4，39，159，445，1005}，40](*哈维·P·戴尔2023年10月16日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..40]]中的[n*（n+1）*（9*n^2+9*n-2）/8:n//文森佐·利班迪2011年10月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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A225470型
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| 按行读取的三角形，s_3（n，k），其中s_m（n，k）是m阶的斯特林-富勒尼乌斯循环数；n>=0，k>=0。 |
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+10
10
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1, 2, 1, 10, 7, 1, 80, 66, 15, 1, 880, 806, 231, 26, 1, 12320, 12164, 4040, 595, 40, 1, 209440, 219108, 80844, 14155, 1275, 57, 1, 4188800, 4591600, 1835988, 363944, 39655, 2415, 77, 1, 96342400, 109795600, 46819324, 10206700, 1276009, 95200, 4186, 100, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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对于m>=1固定的Stirling-Robenius子集数S_{m}（n，k），作为一个无限下三角矩阵，可以用Sum_{k}S_{m{（n、k）*S_{m}（k，j）*（-1）^（n-k）=[j=n]求逆。无符号的倒数s_{m}（k，j）是Stirling-Robenius循环数。对于m=1，这给出了经典的斯特林循环数A132393号Stirling-Robenius子集数定义见A225468型.
三角形T（n，k），按行读取，由（2，3，5，6，8，9，11，12，14，15(A007494号))DELTA（1,0,1,0,1,0，1,0，1,0,1，0，1，0，0，…），其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德莱厄姆2015年5月14日
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链接
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配方奶粉
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有关复发，请参阅Maple程序。
这是谢弗三角形（1/（1-3*x）^{-2/3}，-（1/3）*log（1-3+x））。请参阅P.Bala链接，其中称为指数Riordan数组，签名版本用s_{（3,0,2）}表示。
变量x（即三角形）中的行多项式的E.g.f.：（1-3*z）^{-（2+x）/3}。
k列的示例：（1-3*x）^（-2/3）*（-（1/3）*log（1-3**））^k/k！，k>=0。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k:R（n、x）=（x+2）*R（n-1，x+3）的递归性，其中R（0，x）=1。
R（n，x）=risefac（3,2；x，n）：=产品{j=0..（n-1）}（x+（2+3*j））。（关于带符号的s_{3,0,2}行多项式，请参见P.Bala链接，等式（16）。）
T（n，k）=和{j=0..（n-m）}二项式（n-j，k）*S1p（n，n-j）*2^（n-k-j）*3^j=A132393号（n，m）。（结束）
列序列k的Boas-Buck型递推：T（n，k）=（n！/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}3^（n-1-p）*（2+3*k*beta（n-1-p））*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1），开始{1/2，5/12，3/8，251/720，…}。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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[n\k][0，1，2，3，4，5，6]
[0] 1,
[1] 2, 1,
[2] 10, 7, 1,
[3] 80, 66, 15, 1,
[4] 880, 806, 231, 26, 1,
[5] 12320, 12164, 4040, 595, 40, 1,
[6] 209440, 219108, 80844, 14155, 1275, 57, 1.
...
递归（请参阅Maple程序）：T（4，2）=T（3，1）+（3*4-1）*T（3,2）=66+11*15=231。
列k=2和n=4:T（4，2）=（4！/2）*（3*（2+6*（5/12））*T（2，2）/2！+的Boas-Buck型递推1*（2+6*（1/2））*T（3,2）/3！）=(4!/2)*(3*9/4 + 5*15/3!) = 231. （结束）
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MAPLE公司
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SF_C:=proc（n，k，m）选项记住；
如果n＝0并且k＝0，则返回（1）fi；
如果k>n或k<0，则返回（0）fi；
SF_C（n-1，k-1，m）+（m*n-1）*SF_C
seq（打印（seq（SF_C（n，k，3），k=0..n）），n=0..8）；
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数学
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证监会[0,0，_]=1；证监会[n_，k_，_]/；（k>n|k<0）=0；SFC[n_，k_，m]：=SFC[n，k，m]=SFC[n-1，k-1，m]+（m*n-1）*SFC[n-1，k，m]；表[SFC[n，k，3]，{n，0，8}，{k，0，n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2013年7月26日，Maple之后*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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225471英镑
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| 按行读取的三角形，s_4（n，k），其中s_m（n，k）是m阶的斯特林-富勒尼乌斯循环数；n>=0，k>=0。 |
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+10
7
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1, 3, 1, 21, 10, 1, 231, 131, 21, 1, 3465, 2196, 446, 36, 1, 65835, 45189, 10670, 1130, 55, 1, 1514205, 1105182, 290599, 36660, 2395, 78, 1, 40883535, 31354119, 8951355, 1280419, 101325, 4501, 105, 1, 1267389585, 1012861224, 308846124, 48644344, 4421494, 240856, 7756, 136, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T（n，k），按行读取，由（3，4，7，8，11，12，15，16，19，20(A014601号))DELTA（1,0,1,0,1,0，1,0，1,0,1，0，1，0，0，…），其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德莱厄姆2015年5月14日
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链接
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配方奶粉
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有关复发的信息，请参阅Sage计划。
这是谢弗三角形（1/（1-4*x）^{-3/4}，-（1/4）*log（1-4*x））。请参阅P.Bala链接，其中称为指数Riordan数组，签名版本用s_{（4,0,3）}表示。
变量x（即三角形）中的行多项式的示例：（1-4*z）^{-（3+x）/4}。
k列的示例：（1-4*x）^（-3/4）*（-（1/4）*log（1-4**））^k/k！，k>=0。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k:R（n、x）=（x+3）*R（n-1，x+4）的递归性，其中R（0，x）=1。
R（n，x）=risefac（4,3；x，n）：=产品{j=0..（n-1）}（x+（3+4*j））。（关于带符号的s_{4,0,3}行多项式，请参见P.Bala链接，等式（16）。）
T（n，k）=和{j=0..（n-m）}二项式（n-j，k）*S1p（n，n-j）*3^（n-k-j）*4^j=A132393号（n，m）。
T（n，k）=sigma[4,3]^{（n）}_{n-k}，在n个数3，7，11。。。，3+4*（n-1），西格玛[4,3]^{（n）}_0:=1。（结束）
列序列k:T（n，k）=（n！/（n-k））*Sum_{p=k.n-1}4^（n-1-p）*（3+8*β（n-1-p））*T（p，k）/p！的Boas-Buck型递推！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1），以{1/2，5/12，3/8，251/720，…}开头。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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[n\k][0，1，2，3，4，5，6]
[0] 1,
[1] 3, 1,
[2] 21, 10, 1,
[3] 231, 131, 21, 1,
[4] 3465, 2196, 446, 36, 1,
[5] 65835, 45189, 10670, 1130, 55, 1,
[6] 1514205, 1105182, 290599, 36660, 2395, 78, 1.
...
递归：T（4,2）=T（3,1）+（4*4-1）*T（3,2）=131+15*21=446。
列k=2和n=4的Boas-Buck递推：T（4,2）=（4！/2）*（4*（3+8*（5/12））*T（2,2）/2！+1*（3+8*（1/2））*T（3,2）/3！）=（4！/2）*（4*（19/3）/2+7*21/3！）=446
（结束）
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数学
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T[0,0]=1；T[n_，k_]：=总和[二项式[n-j，k]*Abs[StirlingS1[n，n-j]*3^（n-k-j）*4^j，{j，0，n-k}]；
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
定义SF_C（n，k，m）：
如果k>n或k<0：返回0
如果n==0且k==0：返回1
返回SF_C（n-1，k-1，m）+（m*n-1）*SF_C
对于n in（0..8）：[SF_C（n，k，4）对于k in（0..n）]
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作者
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A024213号
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| a（n）=第一个n+2个正整数与1模3同余的第三个初等对称函数。 |
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+10
6
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28, 418, 2485, 9605, 28700, 72128, 159978, 322770, 604560, 1066450, 1790503, 2884063, 4484480, 6764240, 9936500, 14261028, 20050548, 27677490, 37581145, 50275225, 66355828, 86509808, 111523550, 142292150, 179829000, 225275778
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n+1）*（n+2）*（3n+5）*。
G.f.-x*（28+222*x+147*x^2+8*x^3）/（x-1）^7-R.J.马塔尔2011年10月8日
例如：x*exp（x）*（1344+8688*x+10520*x^2+4122*x^3+594*x^4+27*x^5）/48。
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..30]]中的[n*（n+1）*（n+2）*（3*n+5）x（9*n^2+21*n-2）/48:n//文森佐·利班迪2011年10月10日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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