搜索： a281855-编号：a281856
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A046072号
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| 将模n为n的整数乘法群分解为循环群C_{k_1}xC_{k_2}x。。。x C_{k_m}，其中k_i除以k_j得到i<j；则a（n）=m。 |
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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乘法群模n可以写成a（n）（但不少于）循环群的直积-乔格·阿恩特，2014年12月25日
这个序列给出了模n的乘法整数群的最小生成元数，该整数群同构于Galois群Gal（Q（zeta_n）/Q），其中zeta_n=exp（2*Pi*I/n）。参见Cox参考文献第235页定理9.1.11。另请参阅维基百科链接表-沃尔夫迪特·朗2017年2月28日
在这个因式分解中，平凡群C_1={1}只允许作为n=0和1的因子（否则，当n>=3时，可以有任意多个前导C_1因子）-沃尔夫迪特·朗，2017年3月7日
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参考文献
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大卫·考克斯（David A.Cox），《伽罗瓦理论》（Galois Theory），约翰·威利父子公司（John Wiley&Sons），新泽西州霍博肯（Hoboken），2004年，第235页。
Shanks，D.《数论中已解决和未解决的问题》，第4版，纽约：切尔西出版社，第92-93页，1993年。
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链接
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配方奶粉
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数学
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f[n_]：=哪个[OddQ[n]、PrimeNu[n]和EvenQ[n]&&！整数Q[n/4]，
PrimeNu[n]-1，整数Q[n/4]&&！整数Q[n/8]，PrimeNu[n]，
整数Q[n/8]，PrimeNu[n]+1]；连接[{1，1}，
表[f[n]，{n，3，102}]](*杰弗里·克雷策，2014年12月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<=2，1，#znstar（n）[3]）\\乔格·阿恩特2014年8月26日
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的
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作者
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经核准的
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3, 5, 5, 7, 2, 11, 3, 7, 3, 11, 2, 13, 5, 7, 13, 3, 13, 7, 11, 3, 31, 2, 23, 19, 13, 5, 19, 17, 5, 3, 11, 29, 5, 13, 3, 43, 11, 17, 5, 7, 17, 5, 35, 3, 5, 19, 23, 3, 13, 29, 2, 37, 7, 11, 19, 2, 5, 3, 31, 2, 31, 5, 43, 3, 67, 2, 68, 19, 13, 5, 17, 19, 11, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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在其阶数（周期长度）的乘积为φ（N（N））的意义上，最少地选择生成器=A000010号带N（N）=A033949号（n） ●●●●。此外，生成器按非递增顺序排序，并列出具有这些顺序的最小数字。
注意，需要复合生成器的第一个实例是N=51=A033949号（20） 带发电机35。下一个这样的数字是N=69=A033949号（31）带发电机68。这样的数字N将被称为例外。
对于n=1..69，n=8，12。。。，130，请参阅W.Lang链接。将此与维基百科表进行比较（其中会更正一些生成器错误）。还使用了非最小生成元，即生成元的阶数乘积大于φ（N）。当素数起作用时，维基百科表通常使用复合生成器。例如，N=16，发电机为2、14而不是2、11；或者N=16，其中3、15而不是3、7等。
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链接
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例子
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不规则三角形T（n，k）开始于（此处为n=A033949号（n） ，并给出了各自的本原循环长度和φ（n））
n、 否1 2 3。。。周期长度，φ（N）
1, 8: 3 5 2 2 4
2, 12: 5 7 2 2 4
3, 15: 2 11 4 2 8
4, 16: 3 7 4 2 8
5, 20: 3 11 4 2 8
6，21:2 13 6 2 12
7, 24: 5 7 13 2 2 2 8
8, 28: 3 13 6 2 12
9, 30: 7 11 4 2 8
10, 32: 3 31 8 2 16
11, 33: 2 23 10 2 20
12, 35: 19 13 6 4 24
13, 36: 5 19 6 2 12
14, 39: 17 5 6 4 24
15, 40: 3 11 29 4 2 2 16
16: 42: 5 13 6 2 12
17，44:3 43 10 2 20
18, 45: 11 17 6 4 24
19, 48: 5 7 17 4 2 2 16
20, 51: 5 35 16 2 32
…有关更多信息，请参阅链接。
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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经核准的
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A281854型
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| 按行读取的不规则三角形。第n行给出了模整数的阿贝尔非循环乘法群的直积分解中作为因子出现的循环群的阶A033949号（n） ●●●●。 |
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2, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 8, 2, 5, 2, 2, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 2, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 2, 16, 2, 4, 3, 2, 5, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 9, 2, 2, 4, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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模n的乘法整数群被写成（Z/（nZ））^x（在环表示法中，单位群）同构于Gal（Q（zeta（n））/Q，zeta（n）=exp（2*Pi*I/n）。下表第n行给出了模非循环整数组的直接积分解因子A033949号（n） （以非递增顺序）。n阶循环群是C_n。注意，只使用素数幂阶的C因子；例如，C_6具有分解C_3 x C_2等。只要n具有相对素因子，如C_30=C_15 x C_2=C_5 x C_3 xC_2，C_n就会被分解。维基百科表格中出现了部分分解。
另请参阅这些组的W.Lang链接。
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链接
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例子
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n、 n，φ（n）\k 1 2 3 4。。。
1, 8, 4: 2 2
2, 12, 4: 2 2
3, 15, 8: 4 2
4, 16, 8: 4 2
5, 20, 8: 4 2
6, 21, 12: 3 2 2
7, 24, 8: 2 2 2
8, 28, 12: 3 2 2
9, 30, 8: 4 2
10, 32, 16: 8 2
11, 33, 20: 5 2 2
12, 35, 24: 4 3 2
13、36、12：3 2 2
14, 39, 24: 4 3 2
15, 40, 16: 4 2 2
16, 42, 12: 3 2 2
17, 44, 20: 5 2 2
18, 45, 24: 4 3 2
19, 48, 16: 4 2 2
20, 51, 32: 16 2
21, 52, 24: 4 3 2
22, 55, 40: 5 4 2
23, 56, 24: 3 2 2 2
24、57、36：9 2 2
25, 60, 16: 4 2 2
...
n=6，A033949号（6） =N=21，phi（21）=12，群（Z/21 N）^x分解C_3 x C_2 x C_2（在维基百科表C_2x C_6中）。模21最小的正约化系统具有素数{2，5，11，13，17，19}，其周期长度分别为{6，6，6、2，6，6}。作为该组的生成器，一个可以取<2，13>。
（维基百科中使用了表<2，20>）。
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循环类型（以下标表示多重性）：12_7、6_4、4_2、3_1、2_2（共16个循环）。循环结构：12_2，6_2（所有其他循环均为子循环）。
从的幂得到的第一个12次循环，例如3，也包含从17到47的12次循环。它还包含从13开始的4个循环、从11开始的3个循环和从29开始的2个循环。
第二个12周期由23的幂构成，也包含37、53和67的12周期，以及43的4周期。
例如，19次幂的第一个6次循环也包含59次幂的6次循环，以及41次幂的2次循环。
例如，31的幂次中的第二个6次循环也包含61的6次循环。
该组为C_6 x C_4=（C_2 x C_3）x C_4=C_4 x C_3 x C_2（参见W.Lang链接，表7）
C_4 X C_3 X C_2的循环图是此链接图4的第7项。
（结束）
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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经核准的
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A282625型
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| 模n为n的整数乘法群的总直积因式分解中的循环群的数目，对于n>=1。 |
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+10
三
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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模n（Z/n*Z）^x的整数乘法群，也是分圆群，具有zeta（n）=exp（2*Pi*I/n）的Galois群Gal（Q（zeta（n））/Q，是n的循环A033948号n的非循环A033949号每一组都是循环因子的直接乘积（包括一个因子）。
在n>=3的全因式分解中，只出现阶数为素数幂的循环因子，因为直积是相联的，并且对于这些交换群，可以用非递增阶对因子进行排序。
对于n=1和n=2，群是C_1={1}（对于n+1，群是1==0（mod 1））。
循环群也可以分解为多个因子。例如，C_6=C_3 x C_2。
这个全因子分解中的因子数是针对循环群C_m的，对于m>=2，由下式给出A001221号（m） ●●●●。对于m=1，这个数字是1（不是A001221号(1)).
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例子
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n=35，非循环情况，因为A033949号(12) = 35. 群可以写成<19_6，13_4>，其中生成器的模35的阶作为下标给出。因此，基团为C_6 x C4=C_4 x C_3 x C_2和a（35）=3，而A046072号（35）=2。
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非n
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