搜索： a271510-编号：a271510
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A271518型
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| 用x+3*y+5*z平方将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w、x、y和z是非负整数。 |
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1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 5, 5, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 5, 5, 2, 2, 5, 8, 1, 2, 6, 3, 3, 2, 3, 7, 5, 2, 8, 6, 1, 4, 6, 6, 2, 2, 6, 9, 5, 4, 3, 7, 6, 2, 6, 7, 5, 2, 1, 6, 6, 2, 10, 9, 6, 3, 3, 6, 2, 3, 8, 12, 5, 5, 7, 11, 5, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，并且a（n）=1仅适用于n=0，4^k*6（k=0，1，2，…），16^k*m（k=0，1，2，…和m=5，7，8，31，43，61116）。
（ii）任何大于15的整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，6*x+10*y+12*z为正方形。
（iii）不在7、15、23、71、97之间的每个非负整数n可以用w、x、y、z非负整数和2*x+6*y+10*z平方写为w^2+x^2+y^2+z^2。此外，任何不在7，43，79之间的非负整数n都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中包含w，x，y，z个非负整数和3*x+5*y+6*z个平方。
a（n）>0验证所有n<=3*10^7-孙志伟2016年11月28日
天津大学的侯庆虎（Qing-Hu Hou Hou）已经验证了上述猜想的a（n）>0以及部分（ii）和（iii），其中n的最大值为10^9-孙志伟2016年12月4日
假设所有n的a（n）>0=0,1,2，。。。被称为“1-3-5猜想”，作者已宣布为其解决方案颁发1350美元的奖金-孙志伟2017年1月17日
侯庆虎已经完成了对n到10^10的a（n）>0的验证-孙志伟2017年2月17日
António Machiavelo和Nikolaos Tsopanidis在2021年发表的JNT论文中最终证明了1-3-5猜想。这是一个伟大的成就-孙志伟2021年3月31日
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链接
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例子
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a（5）=1，因为5=2^2+1^2+0^2+0 ^2，1+3*0+5*0=1^2。
a（6）=1，因为6=2^2+1^2+1 ^2+0^2，1+3*1+5*0=2^2。
a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1*2+1^2，1+3*1+5*1=3^2。
a（8）=1，因为8=0^2+0^2+2^2+2，0+3*2+5*2=4^2。
a（24）=1，因为24=4^2+0^2+2^2+2 ^2，0+3*2+5*2=4^2。
a（31）=1，因为31=1^2+5^2+2^2+1^2，其中5+3*2+5*1=4^2。
a（43）=1，因为43=1^2+1^2+5^2+4^2，1+3*5+5*4=6^2。
a（61）=1，因为61=6^2+0^2+0 ^2+5 ^2，0+3*0+5*5=5 ^2。
a（116）=1，因为116=10^2+4^2+0^2+0 ^2，4+3*0+5*0=2^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[如果[SQ[n-x^2-y ^2-z ^2]和&SQ[x+3y+5z]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x^2]}，{z，0，Sqrt[n-x^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，80}]
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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A271513型
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| 用3*x^2+4*y^2+9*z^2平方将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w、x、y和z是非负整数。 |
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1, 3, 2, 1, 4, 6, 3, 2, 2, 5, 6, 1, 2, 5, 4, 2, 4, 4, 3, 2, 6, 5, 1, 1, 3, 8, 6, 2, 4, 6, 6, 4, 2, 3, 8, 3, 7, 7, 1, 6, 6, 8, 6, 1, 2, 11, 7, 1, 2, 12, 8, 2, 7, 5, 9, 4, 4, 4, 7, 2, 4, 9, 4, 7, 4, 11, 6, 1, 5, 8, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，a（n）=1仅适用于n=0、3、11、23、43、47、67、83、107、155、323、683、803、4^k*m（k=0、1、2…和m=22、38）。
（ii）任何自然数都可以用x，y，z整数和a*x^2+b*y^2+c*z^2平方写为w^2+x^2+y^2+z^2，只要（a，b，c）是以下三元组之一：（1,3,12），1280560），（3,9,13），（4,5,12）， (4,5,60), (4,9,60), (4,12,21), (4,12,45), (4,12,69), (4,12,93), (4,12,237), (4,21,24), (4,21,36), (4,21,504), (4,24,93), (4,28,77), (4,45,120), (4,45,540), (4,45,600), (5,36,40), (7,9,126), (7,9,588), (8,16,73), (8,16,97), (8,49,112), (9,13,27), (9,16,24), (9,19,36), (9,21,91), (9,24,232), (9,28,63), (9,40,45), (9,40,56), (9,40,120), (9,45,115),(9,45,235), (12,13,24), (12,13,36), (12,36,37), (12,36,133), (13,36,72), (13,36,108), (15,24,25), (15,49,105), (16,17,48), (16,20,45), (16,21,84), (16,33,72), (16,33,176), (16,45,180), (16,48,57), (16,48,105), (16,48,233), (16,48,249), (19,45,57), (19,45,180), (21,25,35), (21,25,75), (21,28,36), (21,28,60), (21,43,105), (21,100,105),(24,25,72), (24,25,120), (24,48,97), (24,81,184), (24,120,145), (25,36,75), (25,40,56), (25,45,51), (25,45,99), (25,48,96), (25,48,144), (25,54,90), (25,75,81), (25,80,184), (25,96,120), (25,200,216), (28,33,36), (28,36,77), (28,72,189), (32,64,73), (33,36,220), (33,48,144), (33,72,256), (33,88,144), (36,45,100), (36,45,172), (37,81,243), (40,81,120), (40,81,240), (41,64,256), (45,48,76), (48,144,177), (49,56,64), (49,63,72), (55,141,165), (57,64,192), (60,105,196), (64,65,160), (72,73,144), (81,160,240), (85,140,196), (105,112,144), (112,144,153), (136,144,153), (144,145,240), (144,160,225),(148,189,252), (175,189,225).
（iii）如果a、b和c是正整数，任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中包含x、y、z整数和a*x^2+b*y^2+c*z^2a平方，那么a、b、c不能是两两互质。
这个猜想比拉格朗日的四平方定理更强。此外，为了我们的目的，还有许多其他合适的三元组（a，b，c）没有在猜想的第（ii）部分中列出。如果a、b和c是正整数，使得任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中x、y、z是整数，a*x^2+b*y^2+c*z^2是正方形，那么a+b+c、4*a+b+c、a+4*b+c和a+b+4*c中的一个必须是正方形，因为2^2+1^2+1^2+1^2是将7表示为四个正方形之和的唯一方法。
显然，对于所有m，n=1,2,3，……，a（m^2*n）>=a（n），。。。。
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链接
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例子
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a（3）=1，因为3=0^2+1^2+1 ^2+1'^2，其中3*1^2+4*1^2+9*1^2=4^2。
a（11）=1，因为11=1^2+3^2+0^2+1^2，其中3*3^2+4*0^2+9*1^2=6^2。
a（22）=1，因为22=4^2+2^2+1^2+1*1^2，其中3*2^2+4*1^2+9*1^2=5^2。
a（23）=1，因为23=3^2+1^2+2^2+3^2，其中3*1^2+4*2^2+9*3^2=10^2。
a（38）=1，因为38=0^2+6^2+1^2+1 ^2，其中3*6^2+4*1^2+9*1^2=11^2。
a（43）=1，因为43=4^2+3^2+3 ^2+3,3^2，其中3*3^2+4*3^2+9*3^2]=12^2。
a（47）=1，因为47=3^2+6^2+1^2+1 ^2，其中3*6^2+4*1^2+9*1^2=11^2。
a（67）=1，因为67=8^2+1^2+1*2+1^2，3*1^2+4*1^2+9*1^2=4^2。
a（83）=1，因为83=0^2+9^2+1^2+1 ^2，其中3*9^2+4*1^2+9*1^2=16^2。
a（107）=1，因为107=9^2+3^2+4^2+1^2，其中3*3^2+4*4^2+9*1^2=10^2。
a（155）=1，因为155=0^2+9^2+5^2+7^2，其中3*9^2+4*5^2+9*7^2=28^2。
a（323）=1，因为323=3^2+15^2+8^2+5^2，3*15^2+4*8^2+9*5^2=34^2。
a（683）=1，因为683=15^2+11^2+16^2+9^2，其中3*11^2+4*16^2+8*9^2=46^2。
a（803）=1，因为803=24^2+13^2+7^2+3^2，其中3*13^2+4*7^2+9*3^2=28^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[如果[SQ[n-x^2-y ^2-z ^2]和&SQ[3x^2+4y ^2+9z ^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x^2]}，{z，0，Sqrt[n-x^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A271608型
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| 用u，v，x，y，z非负整数将n写为pen（u）+pen（v）+pen（x）+peng（y）+peen（z）的有序方式的数量，例如u+2*v+4*x+5*y+6*z是五边形数，其中pen（k）表示五边形数字k*（3k-1）/2。 |
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1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 6, 4, 2, 1, 1, 8, 4, 5, 2, 2, 7, 10, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 2, 7, 11, 11, 4, 1, 5, 8, 13, 8, 6, 5, 3, 8, 8, 12, 7, 3, 8, 18, 16, 12, 2, 7, 10, 15, 11, 10, 4, 4, 11, 15, 22
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，而a（n）=1仅适用于n=0、2、4、5、7、9、21、22、43。此外，每n=0,1,2，。。。可以用u，v，x，y，z非负整数写成pen（u）+pen（v）+pen（x）+peen（y）+peen（z），这样3*u+5*v+11*x+16*y+19*z也是五边形数。
（ii）任何大于43的整数都可以写成五个五边形数u、v、x、y和z的和，因此u+2*v+5*x+7*y+10*z也是五边形数字。此外，每个整数n>10都可以写成五个五边形数u、v、x、y和z的和，使得u+2*v+5*x+7*y+10*z是一个正方形。
（iii）任何自然数n都可以写成u^2+v^2+x^2+y^2+z^2，其中u^2+2*v^2+3*x^2+4*y^2+5*z^2是一个正方形，其中u、v、x、y和z是整数。
正如费马猜想和柯西证明的那样，每个自然数都可以写成五个五边形数的和。
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链接
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Z.-W.孙，关于多边形数的泛和，科学。中国数学。58（2015），第7期，1367-1396。
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例子
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a（7）=1，因为7=5+0+1+0+1=笔（2）+笔（0）+笔。
a（9）=1，因为9＝1+1+5+1+1＝笔（1）+笔（1）+笔（2）+笔（1）+笔（1），其中1+2*1+1+4*2+5*1+6*1＝22＝笔（4）。
a（22）=1，因为22=0+0+5+12+5=笔（0）+笔（0。
a（43）=1，因为43=5+1+35+1+1=笔（2）+笔（1）+钢笔（5）+笔〔1〕+钢笔（1），带有2+2*1+4*5+5*1+6*1=35=笔（5）。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
笔[x_]：=笔[x]=x*（3x-1）/2
pQ[n]：=pQ[n]=SQ[24n+1]&&（n==0 ||Mod[Sqrt[24n+1]+1，6]==0）
Do[r=0；Do[If[pQ[n-pen[x]-pen[y]-pen[z]-pen[w]]&&pQ[x+2y+4z+5w+6*Floor[（Sqrt[24（n-pen[x]-pen[Py]-pen[z]-pen][w]）+1]+1）/6]]，r=r+1]，{x，0，（Sqrt[24n+1）/6}，{y，0，[Sqrt[24（n-pen[x]）+1）/6}，{z，0，（Sqrt[24（n-pen[x]-pen[y]）+1]+1）/6}，{w，0；打印[n，“”，r]；标签[aa]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271714型
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，这样（10*w+5*x）^2+（12*y+36*z）^2是一个正方形，其中w是一个正整数，x，y，z是非负整数。 |
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 4, 2, 2, 1, 3, 3, 5, 2, 2, 5, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 9, 2, 3, 1, 1, 6, 2, 3, 4, 6, 4, 1, 2, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 1, 4, 5, 1, 3, 6, 6, 1, 3, 4, 5, 12, 2, 4, 6, 2, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=7，9，19，49，133，589，2^k，2^k*3，4^k*q（k=0,1,2，…和q=14，67，71，199）。
（ii）如果P（y，z）是2y-3z、2y-8z和4y-6z中的一个，那么任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中包含w、x、y、z非负整数，这样（w-x）^2+P（y、z）^2就是一个正方形。
（iii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,4,4），（1,12,12），（2,4,8），（2.6,6），（2.12,12），（3,4,4（36，36），（11，12，12），（13，4，4），（15，12，12,12），（16，12，13），（21，20，20），（21,24，24），（23，12，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数写成w^2+x^2+y^2+z^2，这样（w+a*x）^2+（b*y-c*z）^2就是一个正方形。
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链接
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例子
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a（2）=1，因为2=1^2+1^2+0^2+0^2，其中（10*1+5*1）^2+（12*0+36*0）^2=15^2+0 ^2=15 ^2。
a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2带有（10*1+5*1）^2+（12*0+36*1）*2=15^2+36^2=39^2。
a（4）=1，因为4=2^2+0^2+0 ^2+0^2+0 ^2，其中（10*2+5*0）^2+（12*0+36*0），^2=20^2+0.^2=20 ^2。
a（6）=1，因为6=2 ^2+0 ^2+1 ^2+1 ^2与（10*2+5*0）^2+（12*1+36*1）^2=20 ^2+48 ^2=52 ^2。
a（7）=1，因为7=1^2+2^2+1^2+1 ^2，其中（10*1+5*2）^2+（12*1+36*1）^2=20^2+48^2=52^2。
a（9）=1，因为9=3^2+0^2+0 ^2+0^2+0 ^2，其中（10*3+5*0）^2+（12*0+36*0），^2=30^2+0.^2=30 ^2。
a（19）=1，因为19=3^2+0^2+3^2+1^2带有（10*3+5*0）^2+（12*3+36*1）^2=30^2+72^2=78^2。
a（49）=1，因为49=7^2+0^2+0 ^2+0^2+0 ^2，其中（10*7+5*0）^2+（12*0+36*0），^2=70^2+0 ^2=70 ^2。
a（133）=1，因为133=9^2+0^2+6^2+4^2，其中（10*9+5*0）^2+（12*6+36*4）^2=90^2+216^2=234^2。
a（589）=1，因为589=17^2+10^2+2^2+14^2，其中（10*17+5*10）^2+（12*2+36*14）^2=220^2+528^2=572^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[（10*Sqrt[n-x*2-y^2z^2]+5x）^2+（12y+36z）^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}，[z，0，Siqrt[n1-x^2-y ^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，｛n，1，80｝]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271719型,A271721型,A271724型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271665型
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，这样w^2+4*x*y+8*y*z+32*z*x是一个正方形，其中w是一个正整数，x，y，z是非负整数。 |
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1, 3, 1, 1, 6, 3, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 7, 10, 1, 1, 9, 3, 2, 6, 2, 2, 3, 3, 8, 10, 1, 1, 10, 2, 2, 3, 5, 8, 11, 1, 7, 13, 2, 6, 16, 6, 1, 2, 6, 2, 3, 1, 3, 16, 4, 7, 9, 3, 2, 10, 4, 9, 4, 1, 8, 15, 1, 1, 15, 5, 2, 9, 6, 8, 2, 3, 10, 13, 4, 2, 17, 7, 1, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，a（n）=1仅表示n=4^k*3^m，4^k*13^m*43，4^k*9^m*q（k，m=0，1，2，……和q=7，15，79，95，141，159，183）。
（ii）任何正整数n都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w是正整数，x，y，z是非负整数。
（iii）对于每个k=1，2，8，任何正整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w^2+k*（x*y+y*z）是一个正方形，其中w是正整数，x，y，z是非负整数。
（iv）对于每个有序对（b，c）=（16,4），（24,4）和（32,16），任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2和x，y，z，w非负整数，这样x^2+b*y^2+c*x*z+c*y*z+c*z*w就是一个正方形。
我们还猜测，对于每个三元组（b，c，d）=（1,3,4），（1,6,8），（1.7,24），（1.8,15），（1.10,24）（3，1，16），（3，2，14），（3,6,6），（3,6，26），（3，8，2），（三，8，13），（三,8，22），（3+9，39），（312,12），（3-12,33），（3.15,1），任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，x^2+b*y^2+c*x*z+d*y*z为正方形。
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链接
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例子
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a（3）=1，因为3=1 ^2+0 ^2+1 ^2+1^2，1 ^2+4*0*1+8*1*1+32*1*0=3 ^2。
a（4）=1，因为4=2^2+0^2+0 ^2+0^2+0 ^2，2 ^2+4*2*0+8*0*0+32*0*0=2^2。
a（7）=1，因为7=1^2+2^2+1^2+1 ^2，1 ^2+4*2*1+8*1*1+32*1*2=9^2。
a（15）=1，因为15=1^2+2^2+1^2+3^2，其中1^2+4*2*1+8*1*3+32*3*2=15^2。
a（43）=1，因为43=3^2+3^2+4^2+3 ^2，其中3^2+4*3*4+8*4*3+32*3=21 ^2。
a（79）=1，因为79=5^2+3^2+6^2+3 ^2，其中5^2+4*3*6+8*6*3+32*3=23^2。
a（95）=1，因为95=5^2+6^2+5^2+3^2，其中5^2+4*6*5+8*5*3+32*3*6=29^2。
a（129）=1，因为129=5^2+6^2+8^2+2^2，其中5^2+4*6*8+8*8*2+32*2*6=27^2。
a（141）=1，因为141=8^2+5^2+4^2+6^2，8^2+4*5*4+8*4*6+32*6*5=36^2。
a（159）=1，因为159=11^2+1^2+6^2+1 ^2，11^2+4*1*6+8*6*1+32*1*1=15^2。
a（183）=1，自183=1^2+9^2+10^2+1^2起，其中1^2+4*9*10+8*10*1+32*1*9=27^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[4x*y+8*y*z+32*z*x+（n-x^2-y^2-z ^2）]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，[z，0，rqrt[n-1-x^2-y ^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，｛n，1，80｝]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271724型
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| 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2并带有w*（x+2*y+3*z）正方形的有序方式的数量，其中w、x、y、z是x>0的非负整数。 |
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=7，15，47，151，4^k*q（k=0,1,2，…和q=1，23，71）。
（ii）对于gcd（a，b，c）为无平方的正整数a，b和c，任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，w*（a*x+b*y+c*z）是一个平方，当且仅当{a，b、c}位于{1,2,3}，{1,3,6}，}1,6,9}，[5,6,9]，{18,3014}之间。
（iii）对于每个四元组（a，b，c，d）=（1,1,2,12），（1,2,7,60），10,15,24），（6,9,15,20），（7,14,28,60），（3,21，33,80），（4,5，9120），（4，12，16105），任何自然数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，这样（a*x+b*y+c*z）^2+（d*w）^2就是一个正方形。
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链接
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例子
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a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0 ^2，1>0，0*（1+2*0+3*0）=0^2。
a（3）=2，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2带有1*（1+2*0+3*1）=2^2，3=0^2+1*2+1^2带有0*（1+2*1+3*1”）=0^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，其中1*（1+2*1+3*2）=3^2。
a（15）=1，因为15=2^2+3^2+1^2+1 ^2，其中2*（3+2*1+3*1）=4^2。
a（23）=1，因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2，其中1*（3+2*2+3*3）=4^2。
a（31）=2，因为31=2^2+1^2+1^2+5^2，其中2*（1+2*1+3*5）=6^2，并且31=2^2+3^2+3^2+3^2，其中2*（3+2*3+3*3）=6^2。
a（47）=1，因为47=1^2+1^2+3^2+6^2，其中1*（1+2*3+3*6）=5^2。
a（71）=1，因为71=1^2+6^2+5^2+3^2，其中1*（6+2*5+3*3）=5^2。
a（151）=1，因为151=9^2+6^2+5^2+3^2，9*（6+2*5+3*3）=15^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y ^2-z ^2]&&SQ[Sqrt[n-x^2-y ^2-z ^2]（x+2y+3z）]，r=r+1]，{x，1，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x^2]}，{z，0，Sqrt[n-x^2-y ^2]}]；打印[n，“”，r]；标签[aa]；继续，｛n，1，80｝]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,A271721型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271775型
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| 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2（x>=y>=z<=w）的有序方式的数量，其中w、x、y、z是非负整数。 |
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，a（n）=1仅适用于n=0，3，11，47，2^{4k+3}*m（k=0，1，2，…和m=1，3，7，15，79）。
（ii）设a和b是a≤b且gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x-b*y平方，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（2,1），，（2,2），（4,3），（6,2）之间。
（iii）设a和b是gcd（a，b）无平方的正整数。那么任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含x，y，z，w非负整数和a*x+b*y正方形，当且仅当{a，b}位于{1,2}，{1,3}和{1,24}之间。
（iv）设a，b，c是a≤b且gcd（a，b、c）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-c*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c）是三元组（1,1,1），（1,1,2），（1.2,2），1），（1,18,1），（2,2,2），（2.2,4），（2.3,2）， (2,4,1), (2,4,2), (2,6,1), (2,6,2), (2,6,6), (2,7,4), (2,7,7), (2,8,2), (2,9,2), (2,32,2), (3,3,3), (3,4,2), (3,4,3), (3,8,3), (4,5,4), (4,8,3), (4,9,4), (4,14,14), (5,8,5), (6,8,6), (6,10,8), (7,9,7), (7,18,7), (7,18,12), (8,9,8), (8,14,14), (8,18,8), (14,32,14), (16,18,16), (30,32,30), (31,32,31), (48,49,48), (48,121,48).
（v） 设a，b，c是b<=c且gcd（a，b、c）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w，x，y，z是非负整数，a*x-b*y-c*z是平方，当且仅当（a，b，c）在三元组（1,1,1）、（2,1,1）、（2,1,2）、（3,1,2）和（4,1,2）中。
（vi）设a、b、c、d为正整数，a<=b、c<=d和gcd（a、b，c、d）不平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y-（c*z+d*w）写成x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c，d）是四元组（1,2,1,1），（1,2,1）。
（vii）设a、b、c、d为正整数，a≤b≤c，gcd（a，b，c，d）无平方。然后，任何自然数都可以用w，x，y，z非负整数和a*x+b*y+c*z-d*w平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b，c，d）是四元组（1,1,2,1），（1,2,3,1），（1,2,3,3），（1.2,4,2），和（2,4,8,2）。
众所周知，任何非4^k*（16*m+14）形式的自然数（k，m=0,1,2，…）都可以用x，y，z非负整数写成x^2+y^2+2*z^2=x^2+y^2+z^2+z ^2。
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参考文献
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L.E.Dickson，《现代基本数论》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1939年，第112-113页。
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链接
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Z.-W.孙，关于多边形数的泛和，科学。中国数学。58(2015), 1367-1396.
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例子
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a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2，其中1=1>0<1和1-1=0^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，1=1=1<2和1-1=0^2。
a（8）=1，因为8=2^2+2^2+0^2+0 ^2，2=2>0=0，2-2=0^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+0^2+3^2，其中1=1>0<3和1-1=0^2。
a（24）=1，因为24=2^2+2^2+0^2+4^2，其中2=2>0<4和2-2=0^2。
a（47）=1，因为47=3^2+3^2+2^2+5^2，其中3=3>2<5和3-3=0 ^2。
a（53）=2，因为53=3^2+2^2+2 ^2+6^2，其中3>2=2<6和3-2=1^2，以及53=6^2+2^2+2 ^2+3^2，中6>2=2<3和6-2=2^2。
a（56）=1，因为56=6^2+2^2+0^2+4^2，其中6>2>0<4和6-2=2^2。
a（120）=1，因为120=8^2+4^2+2^2+6^2，8>4>2<6和8-4=2^2。
a（632）=1，因为632=16^2+12^2+6^2+14^2，16>12>6<14和16-12=2^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
做[r=0；做[If[SQ[x-y]&&SQ[n-x^2-y^2-z^2]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[n/4]}，{y，z，Sqrt[（n-z^2）/2]}；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A259789型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271721型
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| 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x>=y>=z>=0，x>0和w>=z使得（x-y）*（w-z）是一个正方形。 |
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37
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1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 4, 2, 3, 5, 1, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 3, 3, 5, 3, 8, 4, 6, 3, 2, 4, 6, 3, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 7, 6, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 8, 3, 7, 3, 2, 2, 3, 6, 11, 5, 8, 5, 8, 4, 2, 3, 8, 4, 5, 5, 3, 1, 2, 9, 10, 5, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=1，3，5，11，15，23，35，95，4^k*190（k=0,1,2，…）。
（ii）对于每个k=4、5、6、7、8、11、12、13、15、17、18、20、22、25、27、29、33、37、38、41、50、61，任何自然数都可以用x、y、z、w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样（x-y）*（w-k*z）就是一个正方形。
（iii）对于每个三元组（a，b，c）=（3,1,1），（1,2,1），（2,2,1）1,8,1）、（1,8,5）、（3,9,1），（1,10,1，（1,20,2），（1,2,1,1），（3,21,1），（1,23,1）（1,24,1）、（1,27,1）或（3,27,1”，（1,34,1）和（1,45,1）。
这比拉格朗日的四平方定理更强。注意，对于k=2或3，任何自然数n都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w，x，y，z为非负整数，（x-y）*（w-k*z）=0，因为，如果n不能用x^2+y^2+2*z^2表示，那么它的形式是4^k*（16*m+14）（k，m=0,1,2，…），因此可以用x^2+y^2+（k^2+1）*z^2。众所周知，没有用x^2+y^2+5*z^2表示的自然数的形式是4^k*（8*m+3），没有用x^2+y ^2+10*z^ 2表示的正偶数的形式则是4^k*（16*m+6）（由S.Ramanujan推测，由L.E.Dickson证明）。
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参考文献
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L.E.Dickson，正三元二次型表示的整数，布尔。阿默尔。数学。《社会学》第33卷（1927年），第63-70页。
L.E.Dickson，《现代基本数论》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1939年，第112-113页。
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链接
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例子
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a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+0 ^2，1=1>0=0和（1-1）*（0-0）=0^2。
a（5）=1，因为5=2^2+1^2+0^2+0 ^2，其中2>1>0=0和（2-1）*（0-0）=0^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+0^2+3^2，1=1>0<3和（1-1）*（3-0）=0^2。
a（14）=2，因为14=3^2+1^2+0^2+2^2，其中3>1>0<2和（3-1）*（2-0）=2^2，以及14=3^2+2^2+0 ^2+1 ^2，中3>2>0<1和（3-2）*。
a（15）=1，因为15=3^2+2^2+1^2+1 ^2，其中3>2>1=1和（3-2）*（1-1）=0^2。
a（23）=1，因为23=3^2+3^2+1^2+2^2，其中3=3>1<2和（3-3）*（2-1）=0^2。
a（35）=1，因为35=3^2+3^2+1^2+4^2，其中3=3>1<4和（3-3）*（4-1）=0^2。
a（95）=1，因为95=5^2+5^2+3^2+6^2，其中5=5>3<6和（5-5）*（6-3）=0^2。
a（190）=1，因为190=13^2+4^2+1^2+2^2，13>4>1<2和（13-4）*（2-1）=3^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（Sqrt[n-x^2-y^2-z ^2]-z）*（x-y）]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[n/4]}，{y，z，Sqrt[（n-z^2）/2]}；打印[n，“”，r]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,1979年2月,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271644型,A271665型,A271714型,2017年2月19日,A271724型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A271778型
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| 用x，y，z，w非负整数和x^2+3*y^2+5*z^2-8*w^2写n为x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量。 |
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 1, 2, 4, 1, 1, 5, 4, 6, 3, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 6, 5, 3, 1, 4, 5, 4, 4, 4, 1, 6, 7, 4, 4, 1, 3, 4, 6, 5, 5, 2, 1, 8, 7, 6, 7, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，而a（n）=1仅适用于n=0、1、15、29、33、47、53、65、89、129、689、1553、2^（2k+1）*m（k=0,1,2，…和m=1,29）。
（ii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x^2+b*y^2+c*z^2-d*w^2平方，如果（a，b，c，d）是以下四元组中的一个：（1,3,6,3），（1,3,12,3），，（4,5,16,4），（4,11,33,11），（4-12,16,7），（5,16,10,20）， (5,25,36,5), (6,10,25,10), (9,12,28,12), (9,21,28,21), (15,21,25,15), (15,24,25,15), (1,5,60,5), (1,20,60,20), (9, 28,63,63), (9,28,84,84), (12,33,64,12), (16,21,105,21), (16,33,64,16), (21,25,45,45), (24,25,75,75), (24,25,96,96), (25,40,96,40), (25,48,96,48), (25,60,84,60), (25,60,96,60), (25,75,126,75), (32,64,105,32).
（iii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中包含w，x，y，z非负整数和a*x^2+b*y^2-c*z^2-d*w^2平方，只要（a，b，c，d）是四元组（3,9,3,20）、（5,9,5,20），（5,25,4,5）、6,64,15,30），（32,64,15-32），（48,64,15.48），（60,64,15.60）， (60,81,20,60), (64,80,15,80).
（iv）对于每个三元组（a，b，c）=（21,5,15），（36,3,8），（48,8,39），（64,7,8）、（40,15144），（45,20144），（69,20,60），任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w，x，y，z是非负整数，a*x^2-b*y^2-c*z^2是平方。
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链接
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例子
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a（2）=1，因为2=1^2+1^2+0^2+0 ^2，1 ^2+3*1^2+5*0^2-8*0^2=2^2。
a（15）=1，因为15=1^2+3^2+1^2+2^2，其中1^2+3*3^2+5*1^2-8*2^2=1^2。
a（29）=1，因为29=3^2+4^2+0^2+2^2，其中3^2+3*4^2+5*0^2-8*2^2=5^2。
a（33）=1，因为33=2^2+4^2+2^2+3^2，2^2+3*4^2+5*2^2-8*3^2=0。
a（47）=1，因为47=5^2+3^2+2^2+3 ^2，其中5^2+2*3^2+5*2^2-8*3^2=0^2。
a（53）=1，因为53=3^2+2^2+6^2+2^2与3^2+3*2^2+5*6^2-8*2^2=13^2。
a（58）=1，因为58=4^2+1^2+5^2+4^2，4^2+3*1^2+5*5^2-8*4^2=4^2。
a（65）=1，因为65=3^2+6^2+2^2+4^2，其中3^2+3*6^2+5*2^2-8*4^2=3^2。
a（89）=1，因为89=6^2+4^2+6^2+1^2，其中6^2+3*4^2+5*6^2-8*1^2=16^2。
a（129）=1，因为129=9^2+4^2+4 ^2+4^2，9^2+3*4^2+5*4^2-8*4^2=9^2。
a（689）=1，因为689=11^2+18^2+10^2+12^2，11^2+3*18^2+5*10^2-8*12^2=21^2。
a（1553）=1，自1553年起=21^2+6^2+26^2+20^2，其中21^2+3*6^2+5*26^2-8*20^2=27^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[x^2+3*y^2+5*z^2-8*（n-x^2-y^2-z ^2；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，70}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A271824型
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| 用（x+2*y）^2+8*z^2+40*w^2平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x是正整数，y、z、w是非负整数。 |
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+10
32
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1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 6, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 2, 1, 3, 3, 3, 5, 1, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 3, 3, 3, 2, 8, 3, 6, 6, 4, 4, 2, 4, 6, 3, 3, 5, 3, 4, 1, 5, 5, 4, 4, 2, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 4, 3, 5, 7, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=9，11，15，23，33，71，129，167，187，473，4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，22，38，278）。此外，任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中9*（x+2*y）^2+16*z^2+24*w^2是正数，y、z、w是非负整数。
（ii）任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x-b*y）^2+c*z^2+d*w^2a平方写成x^2+y^2+z^2+w^2，前提是（a，b，c，d）是四元组（4,8,1,8），（12,24,1,24），（2,4,5,40），40），（2,6,9,12），（3,5,9,15），（4,8,9,16），（12,24,9,17），（3,6,15,25），（3,6，16，24），（3，12，16，二十四），（6,9,16,24）。
（iii）设a和为正整数，a<=b，gcd（a，b）不平方。那么任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x+b*y）*z平方写为x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b）在有序对（1,1），（1,2），（1.3），（2,5），（3,3）。
（iv）设a和b是a<=b且gcd（a，b）无平方的正整数。然后，任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数和（a*x^2+b*y^2）*z平方写成x^2+y^2+z^2+w^2，当且仅当（a，b）在有序对（3,13）、（5,11）、（15,57）、（15165）和（138150）之间。
有许多有序的整数对（a，b）与gcd（a，b）平方无关，因此任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2与x，y，z，w整数和a*x^2+b*y^2a平方。例如，我们已经证明（1，-1），（2，-2），（3，-3）和（1,2）确实是这样的有序对。
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链接
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例子
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a（9）=1，因为9=3^2+0^2+0 ^2+0^2，其中（3+2*0）^2+8*0^2+40*02=3^2。
a（11）=1，因为11=1 ^2+1 ^2+3 ^2+0 ^2与（1+2*1）^2+8*3 ^2+40*0 ^2=9 ^2。
a（15）=1，因为15=1^2+3^2+2^2+1^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*1^2=11^2。
a（22）=1，因为22=3^2+2^2+3^2+0^2，其中（3+2*2）^2+8*3^2+40*0^2=11^2。
a（23）=1，因为23=1^2+3^2+2^2+3 ^2，其中（1+2*3）^2+8*2^2+40*3^2=21 ^2。
a（33）=1，因为33=4^2+1^2+0^2+4^2与（4+2*1）^2+8*0^2+40*4^2=26^2。
a（38）=1，因为38=5^2+2^2+0^2+3^2，其中（5+2*2）^2+8*0^2+40*3^2=21^2。
a（71）=1，因为71=1^2+6^2+5^2+3^2，因为（1+2*6）^2+8*5^2+40*3^2=27^2。
a（129）=1，因为129=5^2+6^2+8^2+2^2，其中（5+2*6）^2+8*8^2+40*2^2=31^2。
a（167）=1，因为167=11^2+1^2+3^2+6^2，其中（11+2*1）^2+8*3^2+40*6^2=41^2。
a（187）=1，自187=3^2+5^2+12^2+3^2起，其中（3+2*5）^2+8*12^2+40*3^2=41^2。
a（278）=1，因为278=3^2+0^2+10^2+13^2，其中（3+2*0）^2+8*10^2+40*13^2=87^2。
a（473）=1，因为473=7^2+10^2+0^2+18^2，其中（7+2*10）^2+8*0^2+40*18^2=117^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[（x+2y）^2+8z^2+40（n-x^2-y^2-z ^2；打印[n，“”，r]；继续，｛n，1，80｝]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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