搜索： a268684-编号：a268688
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0, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, 306, 380, 462, 552, 650, 756, 870, 992, 1122, 1260, 1406, 1560, 1722, 1892, 2070, 2256, 2450, 2652, 2862, 3080, 3306, 3540, 3782, 4032, 4290, 4556, 4830, 5112, 5402, 5700, 6006, 6320, 6642, 6972, 7310, 7656, 8010, 8372
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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写入0,1,2，。。。呈螺旋状；序列在四条对角线中的一条上给出数字（参见示例部分）。
对于n>2，这些项表示斜边（H）比最长边（L）长一个单位或H=L+1的原始毕达哥拉斯三元组的和-理查德·福伯格2015年6月9日
对于n>1，a（n）是具有奇数支2*n-1的毕达哥拉斯三角形的周长-阿戈拉·基西拉·奥德罗2016年4月26日
A338109飞机（n） /a（n+1）是n个顶点上两个完全图与n+1个顶点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地，该图可以描述为3*n+1顶点上的图，标签为0..3*n，且i和j相邻iff iff i+j>0 mod 3。
A338588型（n） /a（n+1）是n个和n+1个顶点上的两个完全图与n+1个点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地，该图可以描述为3*n+2个顶点上的图，标签为0..3*n+1，且i和j相邻，当i+j>0 mod 3。
这些图是有向图。（结束）
a（n），n>=1，是从原点到Z^n中尺寸为2的十字多面体的最小长度（长度=2）的路径数（第2列A371064型)-谢尔·卡潘2024年3月9日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
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链接
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H-Y.Ching、R.Florez和A.Mukherjee，三角阵列中的积分余图族，arXiv:2009.02770[math.CO]，2020年。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
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配方奶粉
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Sum_{n>=1}1/a（n）=log（2）（参见Tijdeman）。
Log（2）=Sum_｛n>=1｝（（1-1/2）+（1/3-1/4）+（1/5-1/6）+（1/7-1/8）+…）=Sum_｛n>=0｝（-1）^n/（n+1）。对数（2）=Integral_{x=0..1}1/（1+x）dx-加里·亚当森2003年6月22日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：2*x*（1+3*x）/（1-x）^3。（结束）
a（n）=a（n-1）+8*n-6（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月12日
对于Z中的所有n，0=12+a（n）*（-8+a（n）-2*a（n+1））+a（n+1）*（-8+a（n+1））-迈克尔·索莫斯2017年1月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4-log（2）/2-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月31日
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例子
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G.f.=2*x+12*x^2+30*x^3+56*x^4+90*x^5+132*x^6+182*x^7+240*x^8+。。。
在正方形晶格上，将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上，如下所示：将“0”放置在原点；然后向四个基本方向中的任何一个方向移动一步，并将“1”放置在到达的晶格点处；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；等。序列中的项将沿着其中一条对角线，如下例所示：
.
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
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98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
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97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
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96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
| | | | | | | | |
95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
|||||||||
94 59 32 13*2*-1 8 23 46 77
|||||||
93 58 31 *12*-11--10---9 24 47 78
| | | | | |
92 57 *30*-29--28--27--26--25 48 79
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91 *56*-55--54--53--52--51--50--49 80
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*90*-89--88--87--86--85--84--83--82--81
.
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MAPLE公司
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数学
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2#（2#-1）和/@范围[0，50](*哈维·P·戴尔2011年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2*n*（2*n-1）：[0.50]]中的n//文森佐·利班迪2011年7月26日
（哈斯克尔）
a002939 n=（*2）。a000384号
a002939_list=扫描1（+）a017089_list
（Python）a=lambda n:2*n*（2*n-1）#因德拉尼尔·戈什2017年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A333446飞机
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| 表T（n，k）由向上的反对偶项读取。T（n，k）=和{i=1..n}乘积{j=1..k}（i-1）*k+j。 |
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+10
2
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1, 3, 2, 6, 14, 6, 10, 44, 126, 24, 15, 100, 630, 1704, 120, 21, 190, 1950, 13584, 30360, 720, 28, 322, 4680, 57264, 390720, 666000, 5040, 36, 504, 9576, 173544, 2251200, 14032080, 17302320, 40320, 45, 744, 17556, 428568, 8626800, 110941200, 603353520, 518958720, 362880
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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T（n，k）是{1..kn}的所有置换r中Sum_{i=1..n}Product_{j=1..k}r[（i-1）*k+j]的最大值。有关最小值，请参见A331889型.
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=和{i=1..n}伽马（ik+1）/伽马（（i-1）k+1）。
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例子
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T（3,2）=和{i=1..3}乘积{j=1..2}（i-1）*2+j=1*2+3*4+5*6=44。
方形数组开始：
1, 2, 6, 24, 120, 720, ...
3, 14, 126, 1704, 30360, 666000, ...
6, 44, 630, 13584, 390720, 14032080, ...
10, 100, 1950, 57264, 2251200, 110941200, ...
15、190、4680、173544、8626800、538459200。。。
21、322、9576、428568、25727520、1940869440等。。。（结束）
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黄体脂酮素
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（Python）
c、 l=0，列表（范围（1，k*n+1，k））
lt=列表（l）
对于范围（n）内的i：
对于范围（1，k）中的j：
lt[i]*=l[i]+j
c+=lt[i]
返回c
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A300254型
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| a（n）=25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3。 |
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+10
1
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100, 1050, 3850, 9500, 19000, 33350, 53550, 80600, 115500, 159250, 212850, 277300, 353600, 442750, 545750, 663600, 797300, 947850, 1116250, 1303500, 1510600, 1738550, 1988350, 2261000, 2557500, 2878850, 3226050, 3600100, 4002000, 4432750, 4893350, 5384800, 5908100, 6464250
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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Hirschhorn发现p（20*n+11,4）+p（20*n+12,4）+p（20*n+13,4）=25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3，其中p（m，k）表示m最多分成k个部分的数量。因此，p（20*n+11,4）+p（20*n+12,4）+p（20*n+13,4）==0（mod 50）[见Hirschorn在参考文献部分的论文]。
如果n的形式为2*h+3*floor（h/3+2/3）+1，则a（n）==0（mod 3）。
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参考文献
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Michael D.Hirschhorn，将同余模5划分为最多四个部分，《斐波纳契季刊》，第56卷，第1期，2018年，第32-37页【方程式1.7包含一个错误】。
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链接
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配方奶粉
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O.g.f:50*（2+13*x+5*x^2）/（1-x）^4（Hirschorn论文中的公式4.3）。
例如：25*（12+114*x+111*x^2+20*x^3）*exp（x）/3。
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）
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数学
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表[25（n+1）（4n+3）（5n+4）/3，{n，0，40}]
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（40，n，n-；25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3）
（鼠尾草）[25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3代表n in（0..40）]
（最大值）makelist（25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3，n，0，40）；
（GAP）列表（[0..40]，n->25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3）；
（岩浆）[0..40]]中的[25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3:n；
（Python）[25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4）/3代表范围（40）内的n]
（Julia）[div（25*（n+1）*（4*n+3）*（5*n+4），3）for n in 0:40]|>打印
（PARI）Vec（50*（2+13*x+5*x^2）/（1-x）^4+O（x^60））\\科林·巴克2018年3月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A267522型
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| a（n）=4*（n+1）*（n+2）*（4*n+3）/3。 |
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+10
0
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8, 56, 176, 400, 760, 1288, 2016, 2976, 4200, 5720, 7568, 9776, 12376, 15400, 18880, 22848, 27336, 32376, 38000, 44240, 51128, 58696, 66976, 76000, 85800, 96408, 107856, 120176, 133400, 147560, 162688, 178816, 195976, 214200, 233520, 253968, 275576, 298376, 322400
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：8*（1+3*x）/（1-x）^4。
例如：（4/3）*exp（x）*（6+36*x+27*x^2+4*x^3）。
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）。
求和{n>=0}1/a（n）=-3*（2*Pi-12*log（2）+1）/20=0.15518712893。。。
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例子
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a（0）=（0+2）*（1+3）=8；
a（1）=（0+2）*（1+3）+（2+4）*（3+5）=56；
a（2）=（0+2）*（1+3）+（2+4）*（3+5）+（4+6）*（5+7）=176；
a（3）=（0+2）*（1+3）+（2+4）*（3+5）+（4+6）*（5+7）+（6+8）*（7+9）=400等
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数学
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表[（4（n+1））（n+2）（（4n+3）/3），{n，0，38}]
线性递归[{4，-6，4，-1}，{8，56，176，400}，39]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=4*（n+1）*（n+2）*（4*n+3）/3\\米歇尔·马库斯2016年4月10日
（PARI）x='x+O（'x^99）；Vec（8*（1+3*x）/（1-x）^4）\\阿尔图·阿尔坎2016年4月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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