搜索: a268643-编号:a268633
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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态射的不动点:0->010;1 ->121; 2 ->232; ...; n->n(n+1)n,从a(0)=0开始-菲利普·德尔汉姆2011年10月25日
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链接
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配方奶粉
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a(0)=0,a(3n)=a(n),a(3+1)=a-弗拉德塔·乔沃维奇,2001年7月18日
G.f.:(Sum_{k>=0}x^(3^k)/(1+x^(3^k)+x^(2*3^k))/(1-x)。通常,n(0<d<b)的基b表示中等于d的位数的生成函数为(Sum_{k>=0}x^(d*b^k)/(Sum_{i=0..b-1}x^(i*b^k))/(1-x)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2005年11月3日[对于d=0,使用d=b的上式:(Sum_{k>=0}x^(b^(k+1))/(Sum_{i=0..b-1}x^(i*b^k)))/(1-x),如果你认为0的表示有一个零位,则加1。]
a(n)=a(楼层(n/3))+(n模块3)模块2-保罗·D·汉娜2006年2月24日
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数学
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表[Count[Integer Digits[i,3],1],{i,0,200}]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,a(n \ 3)+(n%3)%2)\\保罗·D·汉娜2006年2月24日
(哈斯克尔)
a062756 0=0
a062756 n=a062755 n’+m `mod`2其中(n’,m)=divMod n 3
(Python)
从sympy.theory导入数字
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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Ahmed Fares(ahmedfares(AT)my deja.com),2001年7月16日
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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该表的每一行长度为10,对应于A100909号.n=0通常表示为单个数字0,因此这里的第一行是1,0,0,0,0,0。
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链接
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配方奶粉
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G(x,y)满足G(x,y)=((1-x^10)/(1-x))*G(x^10,y)+(x^10-x)/(1-x)+x^10/。(结束)
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MAPLE公司
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seq(seq(数字发生(k,转换(n,基数,10)),k=0..9),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2016年7月8日
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黄体脂酮素
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(PARI)T(n,k)=#选择(x->x==k,数字(n))+!(n+k)\\王金源2020年3月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的,标签
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作者
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经核准的
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写入n个或更少数字的所有整数所需的1数(即序列a(9)、a(99)、a是1、20、300、4000。。。,哪个是A053541号-Jason D.W.Taff(jtaff(AT)jburroughs.org),2004年12月5日
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配方奶粉
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G.f.G(x)满足G(x)=x/(1-x)*(1-x^10))+(1-x*10)/(1-x))^2*G(x^10-罗伯特·伊斯雷尔2016年10月28日[更正人:法比奥·维索纳,2022年8月10日]
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MAPLE公司
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nones:=proc(n)local nn,c,j:nn:=convert(n,base,10):c:=0:对于j到nops(nn)do,如果nn[j]=1,那么c:=c+1 else end if end do:c end proc:a:=proch(n)options操作符,箭头:add(nones(k),k=1..n)end proc:seq(a(n),n=1.75)#Emeric Deutsch公司2008年3月1日
列表工具:-部分和([seq(numbeccurse(1,convert(n,base,10)),n=1..100)])#罗伯特·伊斯雷尔2016年10月28日
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数学
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累加[表[DigitCount[n,10,1],{n,80}]](*哈维·P·戴尔2013年9月27日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
从itertools导入累加、计数、岛屿
定义f(_,n):返回_+str(n).count(“1”)
def agen():累加的产量(count(1),f)
打印(列表(islice(agen(),75))#迈克尔·布拉尼基2022年8月9日
(PARI)a(n)=总和(k=1,n,#选择(x->(x==1),数字(k))\\米歇尔·马库斯2023年10月3日
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关键词
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容易的,基础,非n
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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基-2中的Thue-Morse序列的一个模拟:a(n)是负二进制n的扩展中1个数的奇偶性(A039724号).
猜想。设A_k表示前2^k项;然后A_0={0},对于偶数k>=0,A_(k+1)=A_kB_k,其中B_k是通过对其0和1的补运算从A_k获得的;对于奇数k>=1,A_(k+1)=A_kC_k,其中C_k是通过对A_k的最后一个(2/3)*(2^(k-1)-1)0和1的补运算从A_k获得的。
例如,A_2={0,1,0,1}。则B_2={1,0,1,0},A_3={0,1,0,1,0,1.0};进一步地,C_3是由A_3对其最后的20和1进行补足得到的。因此,A_4={0,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1}。
定理:序列是立方的。
证明:首先注意,没有三个连续相等的项-这是根据罗伯特·伊斯雷尔(见下文),这在Shevelev连接线上得到了证实。
如果该序列不包含形式为XXX的子序列,则该序列为立方体。在这里,我们只考虑几个案例中的一个(其他案例以类似的方式处理)。设n==0(mod 4),s==2或3(mod 4)。例如,如果s=2,考虑XXX的位置(4*k,4*k+1)(4*k+2,4*k+3)(4xk+4,4*k+5)。
假设a(4*k)=a(4xk+2)=a;如果s=3,考虑XXX的位置(4*k,4*k+1,4*k+2)(4*k+3,4*k+4,4*k+5)(4*k+6,4*kN+7,4*k+8)。然后a(4*k)=a(4xk+3)=a,(4*k+6),a(k)=a(k+1),a。
矛盾。(结束)
一般来说,对于奇数s>3,n=4*k,设第一个s=4*m+1,m>=1,s>=5。设XXX有位置(4*k,…,4*k+s-1)(4*k+s,…,4*k+2*s-1)。考虑第一个X a(4*k+3)和第二个X a。那么我们应该有a(4*k+3)=a(4xk+3+s)=a“4*k+4*m+4”或a“k+1”=a“k+m+1”。现在,在第一个X中,我们考虑a(4k+4),在第二个X中考虑a(4*k+4+s)。那么我们应该有a(4*k+4)=a(4*k+4+4*m+1)或a(k+1)=1-a(k+m+1)。所以a(k+m+1)=1-a(k+m+1)是一个矛盾。此外,如果s=4*m+3,m>=1,s>=7,用同样的方法我们得到了一个矛盾,在第一个X中选择a(4*k)=a(k)和a(4xk+1)=1-a(k),然后将其与第二个X中的a(4*k+4*m+1)=a。矛盾-弗拉基米尔·舍维列夫2017年5月8日
最后考虑偶数s的一般情况,也证明了它对于n=4*k。让第一个s=4*m+2,m>=1。然后我们有以下4对方程:
a(4*k+1)=1-a(k),a(4xk+4*m+3)=a(k+m+1);
a(4*k+2)=1-a(k+1),a(4xk+4*m+4)=a(k+m+1);
a(4*k+4)=a(k+1),a(4xk+4*m+6)=1-a(k+m+2);
a(4*k+6)=1-a(k+2),a(4xk+4*m+8)=a(k+m+2)。
从前两对中我们发现a(k)=a(k+1)。从最后两个部分我们发现a(k+1)=a(k+2)。因此,a(k)=a(k+1)=a(k+2)是一个矛盾。类似地,我们证明了当n==1,2,3(mod 4)时s的考虑情况。现在,情况s=4*m很容易通过简单的归纳法得到证明(更多详细信息请参见[shevelev]链接,第7节-弗拉基米尔·舍维列夫2017年5月11日
请注意,该序列与Thue-Morse序列有两个额外的公共属性(参见[Offner]链接)。1) 在[Shevelev]链接中,我们证明了a(2*n)=1-a(2*n+1)。因此,如果a(n)=a(n+1),那么n应该是奇数。2) 还要表明,在任何5个连续的术语中,必须有2个连续的相等术语。实际上,在其他情况下,我们应该有连续的术语10101或01010。考虑第一个术语具有位置4*k的情况(其他情况也可以用同样的方法处理)。那么在第一种情况下,我们应该有a(4*k)=a(k)=1,a(4*k+3)=a(k+1)=0,a(4xk+4)=a(k/1)=1,一个矛盾(第二种情况也是同样的矛盾)-弗拉基米尔·舍维列夫2017年5月14日
考虑常数G=0.01101001011…_2,该常数由串联项{a(n)}获得,并被解释为二进制实数G定理。G是超越数。第9节【shevelev】链接中给出了一个证明-弗拉基米尔·舍维列夫2017年5月24日
如果W(n)是由项{a(n)}形成的无限字,并且M是态射{0->1001,1->0110},则M(W(n))=10|W(n)-查理·内德2019年6月10日
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链接
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配方奶粉
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注释中的猜想等价于以下公式:对于奇数k>=1和0<=m<2^k-(2/3)*(2^(k-1)-1),a(m+2^k)=a(m);
而如果2^k-(2/3)*(2^(k-1)-1)<=m<2^k,
a(m+2^k)=1-a(m);对于偶数k>=2和2^(k-1)<=m<2^k,a(m+2^k)=1-a(m)。
a(4k)=a(k)。
a(4k+1)=1-a(k)。
a(4k+2)=1-a(k+1)。
a(4k+3)=a(k+1)。
G.f.G(x)满足G(x)=x/(1-x+x^2-x^3)-(1-x-x^2+x^3)*G(x^4)/x^2。(结束)
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MAPLE公司
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f: =proc(n)选项记忆;局部r;
r: =圆形(n/4);
如果(n-4*r)mod 3=1,则1-进程名(r)else进程名(r)fi
结束进程:
f(0):=0:
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数学
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使用[{b=2},表[Boole@OddQ@#&@Count[Rest@Reverse@Mod[#,b]&@NestWhileList[(#-Mod[#,b])/-b&,n,#!=0&],1],{n,0,106}]](*迈克尔·德弗利格2017年5月8日*)
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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通用公式:(1-x)^(-1)*Sum_{k>=0}(x^(2*10^k)-x^-罗伯特·伊斯雷尔2020年4月21日
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字2。
a(2)=1,因为2在2的十进制展开式中出现一次。
a(22)=2,因为2在22的十进制展开式中出现了两次。
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MAPLE公司
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f: =n->数字发生(2,转换(n,基数,10)):
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数学
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数组[DigitCount[#,10,2]&,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==2,数字(n))\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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当i=0,1,2,4..9时,a(10*n+3)=a(n)+1,a(10*n+i)=a(i)。
G.f.G(z)满足G(z)=z^3/(1-z^10)+(1-z*10)/(1-z))*G(z^10。(结束)
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字3。
a(3)=1,因为3在3的十进制展开式中出现一次。
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MAPLE公司
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f: =proc(n)选项记忆;
procname(floor(n/10))+`if`(n mod 10=3,1,0)
结束进程:
对于从0到9的i,做f(i):=`if`(i=3,1,0)od:
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数学
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数组[DigitCount[#,10,3]&,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==3,数字(n))\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字7。
a(7)=1,因为7在7的十进制展开中出现一次。
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数学
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数组[DigitCount[#,10,7]和,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==7,数字(n))\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,45
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链接
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字4。
a(4)=1,因为4在4的十进制展开式中出现一次。
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数学
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数组[DigitCount[#,10,4]&,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==4,数字(n))\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字5。
a(5)=1,因为5在5的十进制展开式中出现一次。
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数学
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数组[DigitCount[#,10,5]&,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==5,数字(n))\\米歇尔·马库斯2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,67
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链接
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例子
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a(0)=0,因为0的十进制表示不包含数字6。
a(6)=1,因为6在6的十进制展开式中出现一次。
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数学
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数组[DigitCount[#,10,6]和,105,0]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=#选择(x->x==6,数字(n))\\米歇尔·马库斯,2018年7月20日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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经核准的
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