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显示找到的22个结果中的1-10个。 第页12 三
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A272620型 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2，其中w是整数，x，y，z是非负整数，|w|<=x>=y<=z<x+y。 +10
24
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 7, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 7, 2, 3, 1, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 2, 1, 9, 2, 5, 3, 6, 5, 3, 3, 7, 2, 2, 5, 6, 3, 3, 5, 9, 4, 4, 4, 9, 4, 4, 5, 6, 6, 1, 6, 12, 2, 2, 7, 4, 4, 6, 5, 11, 7, 3, 5, 9, 4, 5 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,5
评论
猜想：对于所有n>0，a（n）>0。
相反，作者证明了任何自然数都可以用w，x，y，z整数写成w^2+x^2+y^2+z^2，这样x+y+z就是一个正方形。参见arXiv:1604.06723。
孙玉琴和作者在arXiv:1605.03074中证明了任何非负整数都可以用w，x，y，z整数写成w^2+x^2+y^2+z^2，这样w+x+y+z就是一个正方形-孙志伟2016年5月10日
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙宇晨和孙志伟，拉格朗日四方形定理的两个改进，arXiv:1605.03074[math.NT]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，改进拉格朗日四平方定理2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0^2，0<1>0=0<1+0和0+1+0-0=1^2。
a（2）=1，因为2=（-1）^2+1^2+0^2+0 ^2，1=1>0=0<1+0和-1+1+0-0=0^2。
a（3）=1，因为3=0^2+1^2+1*2+1^2，0<1=1=1<1+1和0+1+1-1=1^2。
a（4）=1，因为4=（-1）^2+1 ^2+1^2+1*1^2，1=1=1=1<1+1和-1+1-1=0^2。
a（6）=1，因为6=（-1）^2+2^2+0^2+1^2，1<2>0<1<2+0和-1+2+0-1=0^2。
a（7）=1，因为7=（-1）^2+2^2+1^2+1 ^2，1<2>1=1<2+1和-1+2+1-1=1^2。
a（9）=1，因为9=0^2+2^2+1^2+2，0<2>1<2<2+1和0+2+1-2=1^2。
a（11）=1，因为11=（-1）^2+3^2+0^2+1^2，1<3>0<1<3+0和-1+3+0-1=1^2。
a（12）=1，因为12=1^2+3^2+1^2+1 ^2，1<3>1=1<3+1和1+3+1-1=2^2。
a（17）=1，因为17=0^2+2^2+2 ^2+3^2，0<2=2<3<2+2和0+2+2-3=1^2。
a（19）=1，因为19=0 ^2+3 ^2+1 ^2+3 ^2，0<3>1<3<3+1和0+3+1-3=1 ^2。
a（23）=1，因为23=（-1）^2+3^2+2^2+3 ^2，1<3>2<3<3+2和-1+3+2-3=1^2。
a（29）=1，因为29=0^2+3^2+2^2+4^2，0<3>2<4<3+2和0+3+2-4=1^2。
a（31）=1，因为31=（-2）^2+3^2+3 ^2+3+3 ^2，其中2<3=3<3+3和-2+3+3-3=1 ^2。
a（37）=1，因为37=（-1）^2+4^2+2^2+4 ^2，1<4>2<4<4+2和-1+4+2-4=1^2。
a（92）=1，因为92=3^2+5^2+3^2+7^2，3<5>3<7<5+3和3+5+3-7=2^2。
a（284）=1，因为284=3^2+9^2+5^2+13^2，3<9>5<13<9+5和3+9+5-13=2^2。
a（572）=1，因为572=3^2+11^2+9^2+19^2，其中3<11>9<19<11+9和3+11+9-19=2^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[Sqrt[n-x^2-y^2-z^2]<=x&&SQ[n-x|2-y^2-z^2]&&SQ[x+y-z+（-1）^k*Sqrt[n-x^2-y^2-z ^2]，r=r+1]，{y，0，Sqrt[0n/3]}，{x，y，Sqrt[n-y^2]}，}，[z，y，Min[x+y-1，Sqrt[n-x*y^2]]}、{k，0，Min[1，平方[n-x^2-y^2-z^2]}；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268507型,A269400型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型,A272084型,A272332型,A272351型.
关键词
非n
作者
孙志伟，2016年5月3日
扩展
里克·L·谢泼德2016年5月27日：我检查了每个示例中的所有语句。
状态
经核准的
A261876型 用（5*x^2+7*y^2+9*z^2）*y*z平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x、y、z、w是z>0的非负整数。 +10
23
1, 3, 2, 1, 4, 5, 1, 3, 5, 5, 4, 2, 4, 7, 2, 1, 9, 9, 4, 4, 7, 5, 1, 5, 6, 12, 7, 1, 10, 9, 2, 3, 10, 9, 7, 5, 4, 11, 3, 5, 14, 10, 4, 4, 10, 9, 3, 2, 8, 17, 10, 4, 11, 18, 6, 7, 9, 6, 11, 2, 10, 15, 4, 1, 15, 17, 4, 9, 13, 10 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=4^k*m（k=0,1,2，…和m=1,7,23,647,863）。
（ii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,8,20），（3,5,15），（6,14,4），（7,29,5），，（18,38,18），（39,81,51），（42,98,14），任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样x*y*（a*x^2+b*y^2+c*z^2）就是一个平方。
有关拉格朗日四平方定理的更多改进，请参见arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（4）=1，因为4=0^2+0^2+2^2+0 ^2，并且2>0和（5*0^2+7*0^2+9*2^2）*0*2=0 ^2。
a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1 ^2+1^2，1>0，并且（5*2^2+7*1^2+9*1^2）*1*1=6^2。
a（23）=1，因为23=2^2+1^2+3^2+3^2，其中3>0和（5*2^2+7*1^2+9*3^2）*1*3=18^2。
a（647）=1，自647起=13^2+1^2+6^2+21^2，其中6>0和（5*13^2+7*1^2+9*6^2）*1*6=84^2。
a（863）=1，因为863=1^2+23^2+18^2+3^2，18>0和（5*1^2+7*23^2+9*18^2）*23*18=1656^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[y*z（5x^2+7y^2+9z^2）]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，70}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A262357型,A267121号,A268507型,A269400型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,2171824英镑,A272084型,A272332型,A272351型.
关键词
非n
作者
孙志伟，2016年5月1日
状态
经核准的
A268197型 用w*（25*w+24*x+48*y+96*z）平方将n写成w^2+x^2+y^2+z^2的有序方式的数量，其中w是正整数，x，y，z是非负整数。 +10
20
1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 5, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 2, 4, 8, 3, 4, 4, 1, 2, 5, 1, 5, 4, 2, 7, 3, 2, 6, 7, 1, 4, 7, 7, 3, 3, 8, 5, 4, 5, 6, 6, 1, 3, 8, 3, 6, 3, 2, 8, 5, 1, 5, 6, 5, 7, 6, 6 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=3，7，15，23，43，55，463，4^k*m（k=0,1,2，……和m=1，31，34）。
（ii）对于每个三元组（a，b，c）=（1,3,4），（2,3,4，（2,4,6），任何正整数都可以写成w^2+x^2+y^2+z^2和w*（25*w+24*（a*x+b*y+c*z））一个正方形，其中w是正整数，x，y，z是非负整数。
有关拉格朗日四平方定理的更多改进，请参见arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（1）=1，因为1=1 ^2+0 ^2+0^2+0 ^2，1>0，1*（25*1+24*0+48*0+96*0）=5^2。
a（2）=2，因为2=1^2+0^2+0 ^2+1^2，1>0和1*（25*1+24*0+48*0+96*1）=11 ^2，还有2=1^2+1^2+0,2+0^2，1>0和1*（25x1+24*1+48*0+96*0）=7^2。
a（3）=1，因为3=1^2+0^2+1^2+1^2，其中1>0和1*（25*1+24*0+48*1+96*1）=13^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1^2+2^2，1>0，1*（25*1+24*1+48*1+96*2）=17^2。
a（15）=1，因为15=1^2+3^2+2^2+1^2，1>0，1*（25*1+24*3+48*2+96*1）=17^2。
a（23）=1，因为23=3^2+2^2+3^2+1^2，其中3>0和3*（25*3+24*2+48*3+96*1）=33^2。
a（31）=1，因为31=1^2+1^2+2^2+5^2，1>0，1*（25*1+24*1+48*2+96*5）=25^2。
a（34）=1，因为34=1^2+1^2+4^2+4 ^2，1>0，1*（25*1+24*1+48*4+96*4）=25^2。
a（43）=1，因为43=3^2+3^2+3^2+4^2，其中3>0和3*（25*3+24*3+48*3+96*4）=45^2。
a（55）=1，因为55=3^2+1^2+6^2+3^2，其中3>0和3*（25*3+24*1+48*6+96*3）=45^2。
a（463）=1，因为463=3^2+18^2+11^2+3^2，其中3>0和3*（25*3+24*18+48*11+96*3）=63^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[25x^2+24x（y+2z+4*Sqrt[n-x*y^2-z ^2]）]，r=r+1]，{x，1，Sqrt[n]}，{y，0，Sqrt[n-x^2]}，[z，0，Sqrt[n-x^2-y ^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，70}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268507型,269400英镑,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,2171824英镑,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月4日
状态
经核准的
A270073型 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2和x*y+2*z*w平方的有序方式的数量，其中x、y、z是非负整数，w是x<=y和z>=|w|的整数。 +10
20
1, 2, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 2, 1, 2, 5, 4, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 2, 7, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 4, 6, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 6, 1, 4, 2, 8, 4, 1, 5, 7, 4, 3, 4, 7, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 4 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,2
评论
猜想：（i）a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。，并且a（n）=1仅适用于n=0、3、11、15、23、43、67、79、155、211、331、347、403、427、659、899、14431955、2^k*m（k=0、1、2、…和m=14、35、62、158、382）。
（ii）每个n=0,1,2，。。。可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z是非负整数，w是2|z*w和x<=y>=|w|<=z的整数。
我们已经验证，对于所有n=0，。。。，10^5.
有关拉格朗日四平方定理的更多改进，请参见arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=0..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（3）=1，因为3=1^2+1^2+1^2+0^2，1=1，1>0和1*1+2*1*0=1^2。
a（11）=1，因为11=1^2+1^2+3^2+0^2，1=1，3>0和1*1+2*3*0=1^2。
a（14）=1，因为14=0^2+3^2+2^2+1^2，0<3，2>1和0*3+2*2*1=2^2。
a（15）=1，因为15=2^2+3^2+1^2+（-1）^2，2<3，1=|-1|和2*3+2*1*（-1）=2^2。
a（23）=1，因为23=2^2+3^2+3 ^2+（-1）^2，2<3，3>|-1|和2*3+2*3*（-1）=0^2。
a（35）=1，因为35=3^2+3^2+4^2+（-1）^2，其中3=3，4>|-1|和3*3+2*4*（-1）=1^2。
a（43）=1，因为43=3^2+3^2+5^2+0^2，其中3=3，5>0和3*3+2*5*0=3^2。
a（62）=1，因为62=3^2+4^2+6^2+（-1）^2，3<4，6>|-1|和3*4+2*6*（-1）=0^2。
a（67）=1，因为67=3^2+3^2+7^2+0^2，其中3=3，7>0和3*3+2*7*0=3^2。
a（79）=1，因为79=2^2+7^2+5^2+（-1）^2，其中2<7，5>|-1|和2*7+2*5*（-1）=2^2。
a（155）=1，因为155=3^2+11^2+4^2+（-3）^2，3<11，4>|-3|和3*11+2*4*（-3）=3^2。
a（158）=1，因为158=1^2+12^2+3^2+（-2）^2，1<12，3>|-2|和1*12+2*3*（-2）=0^2。
a（211）=1，因为211=9^2+9^2+7^2+0^2，9=9，7>0和9*9+2*7*0=9^2。
a（331）=1，因为331=9^2+9^2+13^2+0^2，9=9，13>0和9*9+2*13*0=9^2。
a（347）=1，因为347=13^2+13^2+3^2+0^2，13=13，3>0和13*13+2*3*0=13^2。
a（382）=1，因为382=5^2+16^2+10^2+1^2，其中5<16，10>1和5*16+2*10*1=10^2。
a（403）=1，因为403=13 ^2+13 ^2+7 ^2+4 ^2，其中13=13，7>4和13*13+2*7*4=15 ^2。
a（427）=1，因为427=11^2+11^2+13^2+4^2，11=11，13>4和11*11+2*13*4=15^2。
a（659）=1，因为659=17^2+17^2+9^2+0^2，其中17=17，9>0和17*17+2*9*0=17^2。
a（899）=1，因为899=7^2+15^2+24^2+7^2，7<15，24>7和7*15+2*24*7=21^2。
a（1443）=1，自1443年起=7^2+31^2+17^2+12^2，其中7<31，17>12和7*31+2*17*12=25^2。
a（1955）=1自1955年以来=19^2+27^2+28^2+（-9）^2，其中19<27，28>|-9|和19*27+2*28*（-9）=3^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[x*y+2*z*Sqrt[n-x*y^2-z ^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n/2]}，{y，x，Sqrt[n-x ^2]}，｛z，天花板[-Sqrt[（n-x^2-y^2）/2]]，Sqrt[（n-x ^2-y ^2）/2）}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，0，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,1967年,A268197型,A268507型,A269400型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型,A272084型,A272332型,A272351,A272620型.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月7日
扩展
由检查的示例中的所有语句里克·L·谢泼德2016年5月27日
状态
经核准的
A272888型 将n写成w^2+x^2+y^2+z^2并带有w*（x^2+8*y^2-z^2）正方形的有序方式的数量，其中w、x、y是非负整数，z是正整数。 +10
19
1, 2, 2, 1, 4, 5, 1, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 8, 2, 2, 8, 6, 4, 6, 9, 5, 3, 4, 5, 12, 9, 1, 11, 8, 4, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 12, 1, 5, 14, 10, 4, 8, 15, 9, 3, 4, 8, 14, 11, 5, 11, 16, 2, 6, 11, 6, 11, 4, 13, 13, 1, 1, 16, 17, 6, 9, 13, 9, 5, 7, 9, 19, 12, 6, 17, 8, 4, 6 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：对于所有n>0，a（n）>0，而a（n）=1仅适用于n=1，7，39，63，87，5116，2^（4k+2）*m（k=0,1,2，…和m=1,7）。
参见arXiv:1604.06723了解拉格朗日四方形定理的更多细化。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（1）=1，因为1=0^2+0^2+0 ^2+1^2，1>0，0*（0^2+8*0^2-1^2）=0^2。
a（4）=1，因为4=0^2+0^2+0 ^2+2 ^2，2>0并且0*（0^2+8*0^2-2 ^2）=0^2。
a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1^2+1^2，其中1>0和2*（1^2+8*1^2-1^2）=4^2。
a（28）=1，因为28=2^2+2^2+4^2+2 ^2，2>0，2*（2^2+8*4^2-2^2）=16^2。
a（39）=1，因为39=1^2+3^2+2^2+5^2，其中5>0和1*（3^2+8*2^2-5^2）=4^2。
a（63）=1，因为63=2^2+5^2+3^2+5 ^2，其中5>0和2*（5^2+8*3^2-5^2）=12^2。
a（87）=1，因为87=2^2+1^2+9^2+1 ^2，其中1>0和2*（1^2+8*9^2-1 ^2）=36^2。
a（5116）=1，因为5116=65^2+9^2+9 ^2+27^2，27>0，65*（9^2+8*9 ^2-27^2）=0^2。
MAPLE公司
N： =1000；#获得（1）。。a（否）
A： =矢量（N）：
z从1到地板（sqrt（N））do
对于x从0到地板（sqrt（N-z^2））do
对于从0到地板的y（sqrt（N-z^2-x^2））do
q： =x^2+8*y^2-z^2；
如果q＜0，那么
A[x^2+y^2+z^2]：=A[x~2+y^2+z^2]+1
elif q=0，则
对于从0到地板的w（平方（N-z^2-x^2-y^2））do
m： =w^2+x^2+y^2+z^2；
A[m]：=A[m]+1；
日
其他的
wm:=mul（`if`（t[2]：：奇数，t[1]，1），t=isqrfree（q）[2]）；
对于从0到地板的j（（N-z^2-x^2-y^2）^（1/4）/sqrt（wm））do
m： =（wm*j^2）^2+x^2+y^2+z^2；
A[m]：=A[m]+1；
od；
fi（菲涅耳）
日
日
日期：
转换（A，列表）#罗伯特·伊斯雷尔2016年5月27日
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[Sqrt[n-x*2-y^2-z^2]（x^2+8y^2-z ^2）]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，0，Sqrt[n-1-x^2]}，}z，1，Sqrt[n-x_2-y^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,2006年2月,A262357型,A267121号,A268197型,A268507型,A269400型,A270073型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,2171824英镑,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型.
关键词
非n
作者
孙志伟，2016年5月8日
扩展
里克·L·谢泼德2016年5月27日：我检查了每个示例中的所有语句。
状态
经核准的
A272977型 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w是一个非零整数，x，y，z是一个x>=z的非负整数。 +10
17
2, 4, 1, 3, 8, 1, 1, 4, 3, 11, 3, 1, 9, 5, 3, 3, 10, 7, 6, 9, 3, 6, 1, 1, 11, 15, 4, 2, 13, 2, 2, 4, 4, 16, 5, 4, 13, 5, 2, 10, 12, 6, 5, 1, 12, 6, 1, 3, 7, 19, 2, 10, 10, 6, 3, 1, 2, 12, 7, 3, 15, 7, 4, 3, 16, 8, 6, 9, 5, 6, 1, 7, 12, 19, 3, 3, 7, 2, 4, 9 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,1
评论
推测：（i）a（n）>0适用于所有n>0，a（n）=1仅适用于n=3，7，23，47，71，147，199，263，439，16^k*m（k=0，1,2，…和m=6，12，24，44，56，140，156，174，204，284，4652）。
（ii）对于每个有序对（a，b）=（7,1）、（8,1）和（9,2），任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x、y、z是非负整数，w是非零整数。
将这个猜想与A270073型.
参见arXiv:1604.06723了解拉格朗日四方形定理的更多细化。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化2016年4月26日，致数字理论列表的消息。
例子
a（1）=2，因为1=1^2+0^2+0 ^2+1^2，1>0和3*1^2*0+0^2*1=0^2，以及1=1^2+0^2+0 ^2+（-1）^2，1>0和3x1^2*0+0^2*（-1）=0^2。
a（3）=1，因为3=1^2+0^2+1^2+1^2，1=1和3*1^2*0+1^2*1=1^2。
a（6）=1，因为6=2^2+0^2+1^2+1 ^2，其中2>1和3*2^2*0+1^2*1=1^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+（-2）^2，1=1和3*1^2*1+1^2*（-2）=1^2。
a（12）=1，因为12=1^2+1^2+1^2+（-3）^2，其中1=1和3*1^2*1+1*（-3）=0^2。
a（23）=1，因为23=3^2+1^2+3^2+（-2）^2，其中3=3和3*3^2*1+3^2*（-2）=3^2。
a（24）=1，因为24=2^2+0^2+2^2+4^2，其中2=2和3*2^2*0+2^2*4=4^2。
a（44）=1，因为44=3^2+5^2+3^2+1^2，其中3=3和3*3^2*5+3^2*1=12^2。
a（47）=1，因为47=3^2+2^2+3^2+（-5）^2，其中3=3和3*3^2*2+3^2*（-5）=3^2。
a（56）=1，因为56=6^2+0^2+2^2+4^2，其中6>2和3*6^2*0+2^2*4=4^2。
a（71）=1，因为71=5^2+6^2+3^2+（-1）^2，其中5>3和3*5^2*6+3^2*（-1）=21^2。
a（140）=1，因为140=5^2+3^2+5^2+（-9）^2，其中5=5和3*5^2*3+5^2*（-9）=0^2。
a（147）=1，因为147=11^2+0^2+5^2+1^2，11>5和3*11^2*0+5^2*1=5^2。
a（156）=1，因为156=7^2+3^2+7^2+7 ^2，7=7和3*7^2*3+7^2*7=28^2。
a（174）=1，因为174=13^2+0^2+2^2+1^2，其中13>2和3*13^2*0+2^2*1=2^2。
a（199）=1，自199起=9^2+1^2+9^2+6^2，其中9=9和3*9^2*1+9^2*6=27^2。
a（204）=1，因为204=1^2+9^2+1^2+（-11）^2，其中1=1和3*1^2*9+1^2*（-11）=4^2。
a（263）=1，因为263=3^2+14^2+3^2+7^2，其中3=3
3*3^2*14 + 3^2*7 = 21^2.
a（284）=1，因为284=13^2+3^2+5^2+（-9）^2，13>5和3*13^2*3+5^2*（-9）=36^2。
a（439）=1，因为439=13^2+5^2+7^2+（-14）^2，其中13>7和3*13^2*5+7^2*（-14）=43^2。
a（4652）=1，因为4652=11^2+21^2+11^2+（-63）^2，11=11和3*11^2*21+11^2*（-63，=0^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[3x^2*y+z^2*（-1）^k*Sqrt[n-x*2-y^2-z^2]]，r=r+1]，{z，0，Sqrt[（n-1；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268197型,A268507型,A269400型,A270073型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,2171824英镑,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型,A272888型.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月11日
状态
经核准的
A273021型 用2*x*y+y*z-z*w-w*x平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中w是正整数，x、y、z是x<=y的非负整数。 +10
16
1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 5, 2, 2, 4, 1, 1, 3, 3, 4, 7, 4, 4, 1, 1, 1, 4, 4, 2, 4, 4, 6, 5, 2, 5, 7, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 5, 4, 5, 6, 2, 8, 1, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 2, 5, 7, 2, 3, 4, 5, 1, 5, 4, 5, 6, 5, 3, 4, 3, 2 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,3
评论
推测：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=1、11、31、47、55、71、105、115、119、253、383、385、4^k*m（k=0、1、2…和m=2、22、23、30、330）。
（ii）每个n=0,1,2，。。。可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中w是整数，x，y，z是非负整数，x<=y>=z>=w|。
参见arXiv:1604.06723，了解拉格朗日四方形定理的更多推测性改进。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
例子
a（1）=1，因为1=0^2+0^2+0 ^2+1^2，0=0和2*0*0+0*0-0*1-1*0=0^2。
a（2）=1，因为2=0^2+1^2+0^2+1^2，其中0<1和2*0*1+1*0-0*1-1*0=0^2。
a（11）=1，因为11=0^2+1^2+3^2+1 ^2，0<1和2*0*1+1*3-3*1-1*0=0^2。
a（22）=1，因为22=0^2+3^2+2^2+3 ^2，0<3和2*0*3+3*2-2*3-3*0=0^2。
a（23）=1，因为23=2^2+3^2+3 ^2+1^2，2<3和2*2*3+3*3-3*1-1*2=4^2。
a（30）=1，因为30=1^2+3^2+2^2+4^2，1<3和2*1*3+3*2-2*4-4*1=0^2。
a（31）=1，因为31=3^2+3^2+2^2+3 ^2，其中3=3
2*3*3 + 3*2 - 2*3 -3*3 = 3^2.
a（47）=1，因为47=3^2+5^2+2^2+3^2，3<5和2*3*5+5*2-2*3-3*3=5^2。
a（55）=1，因为55=1^2+7^2+2^2+1^2，1<7和2*1*7+7*2-2*1-1=5^2。
a（71）=1，因为71=1^2+5^2+3^2+6^2，1<5和2*1*5+5*3-3*6-6*1=1^2。
a（105）=1，因为105=1^2+6^2+2^2+8^2，1<6和2*1*6+6*2-2*8-8*1=0^2。
a（115）=1，因为115=1^2+8^2+7^2+1^2，1<8和2*1*8+8*7-7*1=8^2。
a（119）=1，因为119=1^2+6^2+1^2+9^2，1<6和2*1*6+6*1-1*9-9*1=0^2。
a（253）=1，因为253=2^2+8^2+11^2+8^2，其中2<8和2*2*8+8*11-11*8-8*2=4^2。
a（330）=1，因为330=4^2+13^2+8^2+9^2，4<13和2*4*13+13*8-8*9-9*4=10^2。
a（383）=1，因为383=9^2+14^2+5^2+9^2，9<14和2*9*14+14*5-5*9-9*9=14^2。
a（385）=1，因为385=4^2+12^2+0^2+15^2，4<12和2*4*12+12*0-0*15-15*4=6^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[y*（2x+z）-Sqrt[n-x*2-y^2z^2]*（x+z；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,1968年2月,A268507型,A269400型,A270073型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,2017年2月24日,A271775型,A271778型,A271824型,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型,A272888型,A272977型.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月13日
状态
经核准的
1973年2月 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2并带有（x+y）^2+（4z）^2正方形的有序方式的数量，其中x、y、z、w是带有x<=y>z的非负整数。 +10
16
1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 5, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 3, 5, 9, 4, 1, 6, 5, 3, 2, 5, 7, 6, 3, 3, 7, 1, 5, 9, 5, 3, 3, 6, 5, 1, 1, 6, 10, 6, 3, 6, 9, 3, 4, 4, 5, 8, 1, 6, 8, 2, 1, 10, 10, 2, 5, 6, 6, 2, 4, 6, 11, 7, 3, 6, 5, 2, 3 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，而a（n）=1仅表示n=39，47，95，543，4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，3，7，15，23，135，183）。
（ii）任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样（a*x+b*y）^2+（c*z）^2就是一个平方，只要（a，b，c）是三元组（1,2,4），（1,2,12），（1,4,8），（4,12），（3,5,60），（3,6,20），（3，9,20）、（3，11,24）、（3,12,8）, (3,27,20), (3,27,56), (3,29,60), (3,30,28), (3,45,20), (4,4,3), (4,4,5), (4,4,9), (4,4,15), (4,8,5), (4,12,15), (4,12,21), (4,12,45), (4,16,45), (4,19,40), (4,20,21), (4,36,21), (4,36,33), (4,52,63), (5,5,8), (5,5,12), (5,5,24), (5,6,12), (5,8,24), (5,10,4), (5,15,24), (5,25,16), (5,30,12), (5,35,48), (5,40,24), (6,10,15), (6,15,28), (6,45,28), (7,7,20), (7,7,24), (7,21,12), (7,63,36), (8,8,15), (8,12,45), (8,16,35), (8,16,45), (8,32,15), (8,32,21), (8,48,45), (9,9,40), (9,18,28), (9,27,16), (9,45,20), (10,15,12), (10,25,28), (11,11,60), (12,12,5), (12,12,35), (12,20,63), (12,60,55).
另请参阅A271714型,A273107型,A273110型和1973年关于毕达哥拉斯三元组的类似猜想。关于拉格朗日四方形定理的更多推测性改进，可以参考arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
例子
a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0^2，0<1>0和（0+1）^2+（4*0）^2=1^2。
a（3）=1，因为3=1^2+1^2+0^2+1 ^2，1=1>0和（1+1）^2+（4*0）^2=2^2。
a（7）=1，因为7=1^2+2^2+1^2+1 ^2，1<2>1和（1+2）^2+（4*1）^2=5^2。
a（15）=1，因为15=1^2+2^2+1^2+3^2，其中1<2>1和（1+2）^2+（4*1）^2=5^2。
a（23）=1，因为23=3^2+3^2+2^2+1^2，其中3=3>2和（3+3）^2+（4*2）^2=10^2。
a（39）=1，因为39=1^2+5^2+2^2+3^2，1<5>2和（1+5）^2+（4*2）^2=10^2。
a（47）=1，因为47=3^2+3^2+2^2+5^2，其中3=3>2和（3+3）^2+（4*2）^2=10^2。
a（95）=1，因为95=3^2+7^2+6^2+1^2，其中3<7>6和（3+7）^2+（4*6）^2=26^2。
a（135）=1，因为135=3^2+6^2+3^2+9^2，其中3<6>3和（3+6）^2+（4*3）^2=15^2。
a（183）=1，自183=2^2+7^2+3^2+11^2起，其中2<7>3和（2+7）^2+（4*3）^2=15^2。
a（543）=1，因为543=2^2+13^2+9^2+17^2，其中2<13>9和（2+13）^2+（4*9）^2=39^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[（x+y）^2+16*z^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n/2]}，{y，x，Sqrt[n-x|2]}，}z，0，Min[y-1，Sqart[n-x*y^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268197型,A268507型,269400英镑,A270073型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,A271824型,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型,A272888型,A272977美元,A273021型,A273107型,A273110型,1973年.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月15日
扩展
示例中的所有语句均由检查里克·L·谢泼德2016年5月29日
状态
经核准的
A273107型 用（8*x+12*y）^2+（15*z）^2平方将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式的数量，其中x、y、z、w是x+y>0和z>0的非负整数。 +10
15
0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 3, 4, 1, 1, 5, 3, 2, 3, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 5, 5, 2, 4, 5, 6, 1, 3, 7, 3, 5, 4, 2, 6, 4, 1, 5, 4, 5, 4, 7, 7, 4, 3, 5, 4, 5, 6, 2, 10, 3, 1 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,3
评论
猜想：对于所有n>5，a（n）>0，而a（n）=1仅适用于n=7，9，23，25，31，55，2^k*m（k=1,2，…和m=1,5），2^（2k+1）*m（k=0,1,2，..和m=3,13,21）。
这个猜想意味着任何整数n>5都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w是非负整数，因此8*x+12*y和15*z是带正整数边的直角三角形的两条腿。
另请参阅A271714型,1973年2月,A273110型和1973年关于毕达哥拉斯三元组的类似猜想。关于拉格朗日四方形定理的更多推测性改进，可以参考arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
例子
a（2）=1，因为2=1^2+0^2+1^2+0 ^2，其中1+0>0<1和（8*1+12*0）^2+（15*1）^2=17^2。
a（4）=1，因为4=1^2+1^2+1*2+1^2，1+1>0<1和（8*1+12*1）^2+（15*1）*2=25^2。
a（6）=1，因为6=1^2+0^2+1^2+2^2，1+0>0<1和（8*1+12*0）^2+（15*1）^2=17^2。
a（7）=1，因为7=1^2+1^2+1 ^2+2^2，1+1>0<1和（8*1+12*1）^2+（15*1）*2=25^2。
a（9）=1，因为9=2^2+0^2+2^2+1^2，其中2+0>0<2和（8*2+12*0）^2+（15*2）^2=34^2。
a（10）=1，因为10=0^2+3^2+1^2+0^2，0+3>0<1和（8*0+12*3）^2+（15*1）^2=39^2。
a（20）=1，因为20=3^2+1^2+1 ^2+3^2，其中3+1>0<1和（8*3+12*1）^2+（15*1）*2=39^2。
a（23）=1，因为23=2^2+1^2+3^2+3 ^2，其中2+1>0<3和（8*2+12*1）^2+（15*3）^2=53^2。
a（25）=1，因为25=1^2+2^2+4^2+2 ^2，其中1+2>0<4和（8*1+12*2）^2+（15*4）^2=68^2。
a（26）=1，因为26=0^2+3^2+1^2+4^2，其中0+3>0<1和（8*0+12*3）^2+（15*1）^2=39^2。
a（31）=1，因为31=3^2+3^2+3 ^2+2^2，其中3+3>0<3和（8*3+12*3）^2+（15*3）*2=75^2。
a（42）=1，因为42=2^2+2^2+5^2+3^2，其中2+2>0<5和（8*2+12*2）^2+（15*5）^2=85^2。
a（55）=1，因为55=6^2+1^2+3^2+3 ^2，其中6+1>0<3和（8*6+12*1）^2+（15*3）^2=75^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]和&SQ[（8x+12y）^2+（15z）^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n-1]}，{y，Max[0，1-x]，Sqrt[n-1-x^2]}，}，z，1，Sqart[n-x*2-y^2]}]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268197型,A268507型,A269400型,700073加元,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,A271778型,2171824英镑,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型,A272888型,A272977型,A273021型,1973年2月,A273110型,1973年.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月15日
状态
经核准的
A273110型 将n写成x^2+y^2+z^2+w^2的有序方式数，其中（x+4*y+4*z）^2+（9*x+3*y+3*z）^2为正方形，其中x、y、z、w为非负整数，y>0，y>=z<=w。 +10
15
1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 5, 6, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 4, 6, 1, 4, 4, 1, 2, 6, 5, 3, 3, 2, 5, 1, 3, 6, 5, 4, 3, 4, 3, 1, 2, 4, 7, 7, 2, 4, 8, 1, 2, 6, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 1, 7, 8, 4, 5, 4, 4, 1, 6, 5, 7, 5, 2, 4, 5, 1, 2 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：（i）a（n）>0表示所有n>0，a（n）=1仅表示n=4^k*m（k=0,1,2，…和m=1，7，23，31，39，47，55，71，79，119，151，191，311，671）。
（ii）任何自然数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2和（x+y+z）^2+（4*（x+y-z））^2平方，其中x、y、z、w是x+y>=z的非负整数。
（iii）对于每个元组（a，b，c，d，e，f）=（1,1,1,3,6，-3），5,14,15,12,21），（1,6,6,16,8,8），（1.6,14,12,8,8，（1,7,8,4,2,6），（1,7,10,5,15），（1,7,9,10,5-12），（1.7,15,4,8），（-1,7,15,10,5,20），任何自然数都可以用x，y，z，w非负整数写成x^2+y^2+z^2+w^2，这样（a*x+b*y+c*z）^2+（d*x+e*y+f*z）*2就是一个正方形。
arXiv:1604.06723证明了任何正整数都可以写成x^2+y^2+z^2+w^2，其中x，y，z，w为非负整数，y>0，使得x+4*y+4*z和9*x+3*y+3*z是具有正整数边的直角三角形的两条腿。
另请参阅A271714型,A273107型,1973年2月和1973年关于毕达哥拉斯三元组的类似猜想。关于拉格朗日四方形定理的更多推测性改进，可以参考arXiv:1604.06723。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
孙志伟，拉格朗日四平方定理的精化，arXiv:1604.06723[math.GM]，2016年。
例子
a（1）=1，因为1=0^2+1^2+0^2+0^2，1>0=0和（0+4*1+4*0）^2+（9*0+3*1+3*0），^2=5^2。
a（7）=1，因为7=2^2+1^2+1^2+1^2，其中0<1=1=1和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1）^2=26^2。
a（23）=1，因为23=3^2+2^2+1^2+3^2，其中2>1<3和（3+4*2+4*1）^2+（9*3+3*2+3*1），^2=39^2。
a（31）=1，因为31=2^2+1^2+1 ^2+5^2，0<1=1<5和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1），^2=26^2。
a（39）=1，因为39=3^2+2^2+1^2+5^2，其中2>1<5和（3+4*2+4*1）^2+（9*3+3*2+3*1），^2=39^2。
a（47）=1，因为47=5^2+3^2+2^2+3 ^2，其中3>2<3和（5+4*3+4*2）^2+（9*5+3*3+3*2），^2=65^2。
a（55）=1，因为55=2^2+1^2+1 ^2+7^2，0<1=1<7和（2+4*1+4*1）^2+（9*2+3*1+3*1），^2=26^2。
a（71）=1，因为71=6^2+5^2+1^2+3^2，其中5>1<3和（6+4*5+4*1）^2+（9*6+3*5+3*1），^2=78^2。
a（79）=1，因为79=6^2+3^2+3 ^2+5^2，0<3=3<5和（6+4*3+4*3）^2+（9*6+3*3+3*3），^2=78^2。
a（119）=1，因为119=5^2+3^2+2^2+9^2，其中3>2<9和（5+4*3+4*2）^2+（9*5+3*3+3*2），^2=65^2。
a（151）=1，因为151=9^2+6^2+3^2+5^2，其中6>3<5和（9+4*6+4*3）^2+（9*9+3*6+3*3），^2=117^2。
a（191）=1，因为191=10^2+9^2+1^2+3^2，其中9>1<3和（10+4*9+4*1）^2+（9*10+3*9+3*1），^2=130^2。
a（311）=1，因为311=7^2+6^2+1^2+15^2，其中6>1<15和（7+4*6+4*1）^2+（9*7+3*6+3*1），^2=91^2。
a（671）=1，因为671=17^2+11^2+6^2+15^2，11>6<15和（17+4*11+4*6）^2+（9*17+3*11+3*6）*2=221^2。
数学
SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]
Do[r=0；Do[If[SQ[n-x^2-y^2-z^2]&&SQ[（x+4y+4z）^2+（9x+3y+3z）^2]，r=r+1]，{x，0，Sqrt[n]｝，{z，0，Sqrt[（n-x^2）/3]｝，{y，Max[1，z]，Sqrt[n-x^2-2z^2]｝]；打印[n，“”，r]；继续，{n，1，80}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000118号,A000290型,A260625型,A261876型,A262357型,A267121号,A268197型,A268507型,269400英镑,A270073型,A271510型,A271513型,A271518型,A271608型,A271665型,A271714型,A271721型,A271724型,A271775型,2017年2月,A271824型,A272084型,A272332型,A272351型,A272620型,A272888型,A272977型,1973年,A273107型,1973年2月,1973年.
关键词
非n
作者
孙志伟2016年5月15日
状态
经核准的
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