搜索： a266971-编号：a266977
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1, -1, -4, -5, -3, 23, 44, 104, 70, -93, -465, -1155, -1882, -1904, 804, 6195, 18755, 33296, 47327, 35198, -28493, -176199, -453792, -805453, -1126396, -1028297, -18994, 2946491, 8248080, 16444480, 25436984, 30736635, 22263981, -16098311, -102681575
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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公式
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当n>0时，a（0）=1和a（n）=-（1/n）*和{k=1..n}（和{d|k}d^（2+k/d））*a（n-k）-Seiichi Manyama先生2017年11月2日
广义欧拉变换。
假设给定两个序列f（n）和g（n），n>0，我们通过乘积{n>0}（1-g（n。。。
由于乘积_｛n>0｝（1-g（n）*x^n）^（-f（n））=exp（Sum_｛n>0｝（Sum_｛d|n｝d*f（d）*g（d）^（n/d））*x^n/n），我们看到a（n）由a（n）=（1/n）*Sum_｛k=1..n｝b（k）*a（n-k）显式给出，其中b（n）=Sum_｛d|n｝d*f（d）*g（d）^（n/d）。
示例：
1.如果我们设置g（n）=1，我们得到通常的Euler变换。
2.如果我们设置f（n）=-h（n）和g（n）=-1，我们得到weighout变换（参见。A026007号).
3.如果我们设置f（n）=-n和g（n）=n，我们得到这个序列。
（结束）
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MAPLE公司
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seq（系数（级数（mul（（1-k*x^k）^k，k=1..n），x，n+1），x、n），n=0。。35); #穆尼鲁A阿西鲁2018年10月31日
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[积[（1-k*x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
（*更高效的程序：*）nmax=40；s=1-x；Do[s*=和[二项式[k，j]*（-1）^j*k^j*x^（j*k），{j，0，nmax/k}]；s=展开[s]；s=取[s，Min[nmax+1，指数[s，x]+1，长度[s]]，{k，2，nmax}]；取[系数表[s，x]，nmax]
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黄体脂酮素
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（红宝石）
定义s（f元，g元，n）
s=0
（1..n）.each{|i|s+=i*f_ary[i]*g_ary[i]**（n/i）如果n%i==0}
秒
结束
定义A（f元，g元，n）
ary=[1]
a=[0]+（1..n）.map{i|s（f元，g元，i）}
（1..n）.each{|i|ary＜（1..i）.inject（0）{|s，j|s+a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
A（（0..n）.map{|i|-i}，（0..n）.to_A，n）
结束
（岩浆）m:=50；R<q>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；系数（R！（（&*[（1-k*q^k）^k:k in[1..m]]））//G.C.格鲁贝尔2018年10月30日
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作者
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经核准的
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A266941型
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| 乘积展开_{k>=1}1/（1-k*x^k）^k。 |
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1, 1, 5, 14, 42, 103, 289, 690, 1771, 4206, 10142, 23449, 54786, 123528, 279480, 619206, 1366405, 2969071, 6425534, 13727775, 29187555, 61439660, 128620370, 267044222, 551527679, 1130806020, 2306746335, 4676096006, 9432394144, 18920266428, 37776372312
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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公式
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a（n）~c*n^2*3^（n/3），其中
c=3278974684037157122864203.021982619109776972432419491714093…如果mod（n，3）=0
c=3278974684037157122864202.999526122508793149896683112820555…如果mod（n，3）=1
c=3278974684037157122864203.001231135511323719311281438384212…如果mod（n，3）=2
（结束）
在闭合形式中，a（n）~（乘积_{k>=4}（（1-k/3^（k/3））^（-k））/（（1-2/3^（2/3））^2*（1-1/3^（1/3））+乘积_{k>=4}（（1-（-1）^（2*k/3）*k/3^（k/3））^（-k））/（（-1）^（2*n/3）*（（1+2*（-1）^（1/3）/3^（2/3））^2*（1-（-1）^（2/3）/3^（1/3）））+产品_{k>=4}（（1-（-1）^（4*k/3）*k/3^（k/3））^（-k））/（（-1）^（4*n/3）*（（1+（-1/3）^（1/3）））*（1-2*（-1/3）^（2/3）)^2） ）*3^（n/3）*n^2/54-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年4月24日
a（0）=1和a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}（求和{d|k}d^（2+k/d））*a（n-k）对于n>0-Seiichi Manyama先生2017年11月2日
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[积[1/（1-k*x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
nmax=40；s=1-x；Do[s*=和[二项式[k，j]*（-1）^j*k^j*x^（j*k），{j，0，nmax/k}]；s=展开[s]；s=取[s，Min[nmax+1，Exponent[s，x]+1，Length[s]]]，{k，2，nmax}]；系数列表[系列[1/s，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A297325型
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| 正方形数组A（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中k列是乘积{j>=1}1/（1+j*x^j）^k的展开式。 |
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15
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1, 1, 0, 1, -1, 0, 1, -2, -1, 0, 1, -3, -1, -2, 0, 1, -4, 0, -2, 2, 0, 1, -5, 2, -1, 9, -1, 0, 1, -6, 5, 0, 18, -2, 4, 0, 1, -7, 9, 0, 27, -12, 10, -1, 0, 1, -8, 14, -2, 35, -36, 11, -16, 18, 0, 1, -9, 20, -7, 42, -76, 14, -54, 38, -22, 0, 1, -10, 27, -16, 49, -132, 35, -104, 84, -98, 12, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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链接
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公式
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k列的G.f:产品{j>=1}1/（1+j*x^j）^k。
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例子
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第k列的G.f.：A_k（x）=1-k*x+（1/2）*k*（k-3）*x^2-（1/6）*k*（k^2-9*k+20）*x^3+（1/24）*k*（k^3-18*k^2+107*k-42）*x^4-（1/120）*k*（k^4-30*k^3+335*k^2-810*k+624）*x^5+。。。
方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, -1, -2, -3, -4, -5, ...
0, -1, -1, 0, 2, 5, ...
0, -2, -2, -1, 0, 0, ...
0, 2, 9, 18, 27, 35, ...
0, -1, -2, -12, -36, -76, ...
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n=0，1，-k*添加（add(
（-d）^（1+j/d），d=除数（j））*A（n-j，k），j=1..n）/n）
结束：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..14）#阿洛伊斯·海因茨2018年4月20日
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数学
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表[函数[k，级数系数[积[1/（1+ix^i）^k，{i，1，n}]，{x，0，n}][j-n]，{j，0，11}，{n，0，j}]//展平
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交叉参考
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列k=0..32给出A000007号,A022693号,A022694号,A022695号,A022696号,A022697号,A022698美元,A022699号,A022700型,A022701号,A022702号,A022703号,A022704号,A022705号,A022706号,A022707号,A022708号,A022709号,A022710号,A022711号,A022712号,A022713号,A022714号,A022715号,A022716号,A022717美元,A022718号,A022719号,A022720号,A022721号,A022722号,A022723号,A022724号.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, -1, -2, 2, -1, 4, -1, 18, -22, 12, -26, 67, -86, 42, -235, 432, -364, 506, -868, 1434, -2396, 2225, -3348, 10842, -11822, 8049, -24468, 36662, -40024, 69766, -96052, 171976, -278242, 251886, -419723, 885806, -998468, 1103660, -2381042, 4009539, -4478416, 6372514, -9913690
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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链接
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公式
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a（n）~（-1）^n*c*3^（n/3），其中
c=2.0319526534291644237634198503666896166412…如果mod（n，3）=0
c=1.8420902462379331740718256785549611496880…如果mod（n，3）=1
c=1.6677871810486313099783673373643842640151……如果mod（n，3）=2。
（结束）
猜想：a（n）=Sum_{i_1，i_2，i_3，…}[（-1）^（i_1+i_2+i_3+…）*Product_{n>0}n^i_n]，其中和在正i_k的所有有效序列上，使得i_1+2*i_2+3*i_3+4*i_4+…=n.（名词）。
示例：除非明确提及，否则设置i_k=0。
n=1，（i_1=1），a（1）=-1^1=-1。
n=2，（i_1=2）或（i_2=1），a（2）=1^2-2^1=-1。
n=3，（i_1=3）或（i_1=1，i_2=1）或（i _3=1），a（3）=-1^3+1^1*2^1-3^1=-2。
（结束）
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数学
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nmax=40；系数列表[系列[乘积[1/（1+k*x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
nmax=40；系数列表[Series[Exp[-Sum[（-1）^（j+1）*PolyLog[-j，x^j]/j，{j，1，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）m=50；q='q+O（'q^m）；Vec（prod（n=1，m，1/（1+n*q^n））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月25日
（岩浆）系数（&*[1/（1+m*x^m）：m in[1..40]]）[1..40]，其中x是多项式环（整数（））.1//G.C.格鲁贝尔2018年2月25日
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1989年2月
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| a（n）=[x^n]产品{k>=1}1/（1+n*x^k）^k。 |
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1, -1, 0, -18, 208, -2400, 36504, -663754, 13808320, -324176418, 8487126400, -245122390601, 7741417124880, -265402847130421, 9816338228638872, -389618889514254225, 16518399076342421248, -745025763154442071130, 35619835529954597786208, -1799459812004380374518790, 95780758238408017088795600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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链接
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公式
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a（n）~（-1）^n*n^n*（1-2/n+6/n^2-14/n^3+33/n^4-70/n^5+149/n^6-298/n^7+591/n^8-1132/n^9+2139/n^10+…），系数见A005380美元. -瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月21日
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数学
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表[级数系数[积[1/（1+n x ^k）^k，{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，0，20}]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A305745型
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| 产品扩展_｛k>=1｝（（1-k*x^k）/（1+k*x^k））^k。 |
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+10
1
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1, -2, -6, -4, 22, 72, 84, -32, -474, -1310, -1728, 60, 6420, 18712, 31080, 24992, -34074, -186468, -430138, -650612, -496296, 687120, 3599652, 8413968, 13374148, 12772246, -3910080, -50592280, -136089520, -244815336, -309079848, -176916784, 391358838
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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链接
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公式
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MAPLE公司
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N： =50:#对于（0）。。a（否）
f： =mul（（（1-k*x^k）/（1+k*x*k））^k，k=1..N）：
S： =系列（f，x，N+1）：
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黄体脂酮素
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（PARI）N=99；x='x+O（'x^N）；Vec（prod（k=1，N，（（1-k*x^k）/（1+k*x*k））^k））
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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