搜索： a266964-编号：a266966
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 5, 8, 18, 34, 65, 109, 223, 386, 698, 1241, 2180, 3804, 6788, 11390, 19572, 34063, 56826, 96748, 163511, 272898, 452155, 755928, 1244732, 2054710, 3382147, 5534696, 8992209, 14733292, 23763685, 38430071, 62139578, 99735806, 160183001, 256682598
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
n的某个严格划分部分的整数划分序列数。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
a（6）=34:{（6）；（5）（1），（51）；（4）（2），（42）),(321);(3)(11)(1),(31)(11),(311)(1),(3111);(22)(2),(222);(21)(2)(1),(22)(11),(211)(2),(221)(1),(2211);(21)(11)(1),(111)(2)(1),(211)(11),(1111)(2),(2111)(1),(21111)；(111)(11)(1),(1111)(11),(11111)(1),(111111)}
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n>i*（i+1）/2，
`如果`（n=0，1，b（n，i-1）+`如果`（i>n，0，
b（n-i，i-1）*组合[数字部分]（i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
|
|
|
数学
|
具有[{n=50}，系数列表[Series[Product[（1+PartitionsP[i]x^i），{i，1，n}]，{x，0，n}]，x]]
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 28, 47, 71, 108, 166, 252, 382, 587, 869, 1282, 1938, 2832, 4153, 6148, 8962, 12965, 18913, 27301, 39380, 56747, 81226, 115907, 166358, 236000, 334647, 475517, 671806, 947552, 1335679, 1875175, 2630584, 3687589, 5150585, 7183548
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
a（6）=11两部分为：
((6)), ((5)(1)), ((51)), ((4)(2)), ((42)), ((41)(1)),
((3)(2)(1)), ((31)(2)), ((32)(1)), ((321)), ((21)(2)(1)).
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：
g： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
`如果`（d:：奇数，d，0），d=除数（j））*g（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n>i*（i+1）/2，0，
`如果`（n=0，1，b（n，i-1）+`如果`（i>n，0，g（i）*b（n-i，i-1
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
|
|
|
数学
|
nn=20；系数列表[系列[积[（1+分区Q[k]x^k），{k，nn}]，{x，0，nn}]，x]
（*第二个节目：*）
g[n_]：=g[n]=如果[n==0，1，Sum[Sum[If[OddQ[d]，d，0]，{d，Divisors[j]}]*g[n-j]，{j，1，n}]/n]；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n>i*（i+1）/2，0，如果[n==0，1，b[n、i-1]+如果[i>n，0，g[i]*b[n-i，i-1]]]；a[n]：=b[n，n]；表[a[n]，{n，0，70}](*Jean-François Alcover公司2017年2月7日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A075900型
|
| g.f.的展开：Product_{n>0}1/（1-2^（n-1）*x^n）。 |
|
+10
46
|
|
|
|
1, 1, 3, 7, 19, 43, 115, 259, 659, 1523, 3731, 8531, 20883, 47379, 113043, 259219, 609683, 1385363, 3245459, 7344531, 17028499, 38579603, 88585619, 199845267, 457864595, 1028904339, 2339763603, 5256820115, 11896157587, 26626389395
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
n。a（3）=7:3，21，12，111，2|1，11|1，1|1|1-阿洛伊斯·海因茨2019年9月16日
还有将n的整数组合拆分为具有弱减少（或增加）和的连续子序列的方法-古斯·怀斯曼2020年7月13日
|
|
|
链接
|
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；第21号命令（2004年），83-89。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=和{分区n=c1+…+ck}2^（n-k）。如果p（n，m）=n分为m部分的次数，a（n）=和{m=1..n}p（n、m）*2^（n-m）。
通用公式：和{n>=0}（a（n）/2^n）*x^n=产品{n>0}1/（1-x^n/2）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年2月11日
通用公式：exp（总和{n>=1}x^n/（n*（1-2^n*x^n））-保罗·D·汉纳2013年1月13日
a（n）=s（1，n），a（0）=1，其中s（m，n）=和{k=m.n/2}2^（k-1）*s（k，n-k）+2^（n-1），s（n，n）=2^（n-1），s-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月6日
a（n）~2^（n-2）*（Pi^2-6*log（2）^2）^（1/4）*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月9日
|
|
|
例子
|
a（0）=1到a（4）=19的分割：
() (1) (2) (3) (4)
(1,1) (1,2) (1,3)
(1),(1) (2,1) (2,2)
(1,1,1) (3,1)
(2),(1) (1,1,2)
（1,1），（1）（1,2,1）
(1),(1),(1) (2,1,1)
(2),(2)
(3),(1)
(1,1,1,1)
(1,1),(2)
(1,2),(1)
(2),(1,1)
(2,1),(1)
(1,1),(1,1)
(1,1,1),(1)
(2),(1),(1)
(1,1),(1),(1)
(1),(1),(1),(1)
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
oo:=101；t1:=多（1/（1-x^n/2），n=1..oo）：t2:=系列（t1，x，oo-1）：t3:=系列列表（t2）：A075900型：=n->2^n*t3[n+1]；
使用（combint）；A075900型：=程序（n）局部i，t1，t2，t3；t1:=分区（n）；t2:=0；对于i从1到nops（t1），执行t3：=t1[i]；t2：=t2+2^（n-nops（t3））；od：t2；结束；
|
|
|
数学
|
b[n]：=b[n]=和[d*2^（n-n/d），{d，除数[n]}]；
a[0]=1；a[n]：=a[n]=1/n*和[b[k]*a[n-k]，{k，n}]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=polcoeff（prod（k=1，n，1/（1-2^（k-1）*x^k+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳，2013年1月13日
（PARI）{a（n）=polcoeff（exp（总和（k=1，n+1，x^k/（k*（1-2^k*x^k）+x*O（x^n））），n）}\\保罗·D·汉纳2013年1月13日
（最大值）
s（m，n）：=如果n<m，则0 else如果n=m，则2^（n-1）else和（2^；
（岩浆）
m： =80；
R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；
系数（R！（1/（&*[1-2^（j-1）*x^j:j in[1..m+2]]））//G.C.格鲁贝尔2024年1月25日
（SageMath）
m=80；
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
return P（1/乘积（1-2^（j-1）*x^j表示范围（1，m+1）中的j））.list（）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A304961型
|
| 乘积展开{k>=1}（1+2^（k-1）*x^k）。 |
|
+10
37
|
|
|
|
1, 1, 2, 6, 12, 32, 72, 176, 384, 960, 2112, 4992, 11264, 26112, 58368, 136192, 301056, 688128, 1548288, 3489792, 7766016, 17596416, 38993920, 87293952, 194248704, 432537600, 957349888, 2132803584, 4699717632, 10406068224, 23001563136, 50683969536, 111434268672, 245819768832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
将n划分为不同部分的组成数。a（3）=6:3，21，12，111，2|1，11|1-阿洛伊斯·海因茨2019年9月16日
还有将n的组合拆分为严格递减和的连续子序列的方法-古斯·怀斯曼2020年7月13日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）~2^n*exp（2*sqrt（-polylog（2，-1/2）*n））*-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月19日
|
|
|
例子
|
a（0）=1到a（4）=12的分割：
() (1) (2) (3) (4)
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2)
(1,1,1) (3,1)
(2),(1) (1,1,2)
(1,1),(1) (1,2,1)
(2,1,1)
(3),(1)
(1,1,1,1)
(1,2),(1)
(2,1),(1)
(1,1,1),(1)
（结束）
|
|
|
数学
|
nmax=33；系数列表[系列[乘积[（1+2^（k-1）x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A028377号
|
| 产品扩展{m>0}（1+q^m）^（m（m+1）/2）。 |
|
+10
34
|
|
|
|
1, 1, 3, 9, 19, 46, 100, 218, 460, 965, 1975, 3993, 7975, 15712, 30650, 59150, 113093, 214300, 402812, 751165, 1390714, 2557004, 4670770, 8479232, 15302657, 27462424, 49021252, 87057783, 153850769, 270614429, 473850031, 826125184, 1434286323, 2480145226
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）~7^（1/8）*exp（2*7^）+2025*Zeta（3）^3/（98*Pi^8））/（2^（49/24）*15^（1/8）*n^（5/8）），其中Zeta（三）=A002117号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月11日
a（0）=1和a（n）=（1/（2*n））*和{k=1..n}b（k）*a（n-k）其中b（n）=和{d|n}d^2*（d+1）*（-1）^（1+n/d）-Seiichi Manyama先生2017年11月14日
通用公式：exp（总和{k>=1}（-1）^（k+1）*x^k/（k*（1-x^k）^3））-伊利亚·古特科夫斯基2018年5月28日
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（二项式（i*（i+1）/2，j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
|
|
|
数学
|
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[二项式[i*（i+1）/2，j]*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n]：=b[n，n]；表[a[n]，{n，0，50}](*Jean-François Alcover公司2014年10月13日之后阿洛伊斯·海因茨*)
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, -1, -2, -1, -1, 5, 1, 13, 4, 0, 2, -8, -61, -31, 13, -156, 21, 11, 223, 92, 91, 426, 972, 165, 141, -1126, 440, 1294, -4684, -2755, -5748, -2414, -6679, 10511, -10048, -19369, 19635, 22629, 14027, 76969, -1990, 40193, -10678, 75795, 215767, -54322, -40882
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
MAPLE公司
|
P： =mul（1-m*q^m，m=1..100）：
S： =系列（P，q，101）：
seq（系数（S，q，j），j=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，
`如果`（n=0，1，b（n，i-1）-`如果`（i>n，0，i*b（n-i，i-1
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
|
|
|
数学
|
nmax=40；系数列表[系列[积[1-k*x^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
nmax=40；系数列表[Series[Exp[-Sum[PolyLog[-j，x^j]/j，{j，1，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月15日*）
（*更高效的程序：*）nmax=50；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；聚[2]]=-1；Do[Do[poly[[j+1]]-=k*poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月7日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）m=50；q='q+O（'q^m）；Vec（prod（n=1，m，（1-n*q^n））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月18日
（岩浆）系数（&*[（1-m*x^m）：m in[1..40]]）[1..40]，其中x是多项式环（整数（））.1//G.C.格鲁贝尔2018年2月18日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 4, 13, 29, 81, 188, 456, 1030, 2405, 5295, 11611, 25246, 53552, 113332, 235685, 486011, 990840, 2006567, 4018010, 7992003, 15768511, 30875424, 60060509, 116042548, 222817961, 425200270, 806991037, 1522748592, 2858792520, 5339457208, 9924370365
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1和a（n）=（1/n）*和{k=1..n}b（k）*a（n-k）其中b（n）=和{d|n}d*（-d）^（1+n/d）-Seiichi Manyama先生2017年11月18日
猜想：log（a（n））~n^（2/3）*（2*log（3*n）-3）/（4*3^（1/3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月8日
|
|
|
数学
|
nmax=50；系数列表[系列[积[（1+k*x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
（*更高效的程序：*）nmax=50；s=1+x；Do[s*=和[二项式[k，j]*k^j*x^（j*k），{j，0，nmax/k}]；s=取[Expand[s]，Min[nmax+1，Exponent[s，x]+1]]，{k，2，nmax}]；系数列表[s，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月7日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 3, 6, 8, 14, 19, 33, 45, 69, 94, 148, 197, 289, 390, 575, 762, 1086, 1439, 2040, 2687, 3712, 4874, 6749, 8792, 11918, 15526, 20998, 27164, 36277, 46820, 62367, 80146, 105569, 135326, 177979, 227139, 296027, 377142, 490554, 622526, 804158
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
选择n的整数分区的每个部分的因子分解的方法的数目-古斯·怀斯曼2018年9月5日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=1/n*Sum_{k=1..n}a（n-k）*b（k），n>0，a（0）=1，b（k*(A001055号（d） ）^（k/d）。
|
|
|
例子
|
a（6）=14将6分为乘积和：
6, 2*3,
5+1, 4+2, 2*2+2, 3+3,
4+1+1, 2*2+1+1, 3+2+1, 2+2+2,
3+1+1+1, 2+2+1+1,
2+1+1+1+1,
1+1+1+1+1+1+1。
（结束）
|
|
|
数学
|
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[（前缀[#1，d]&）/@选择[facs[n/d]，最小@@#1>=d&]，{d，剩余[Divisors[n]]}]]；
表[Length[Join@@Table[Tuples[facs/@ptn]，{ptn，IntegerPartitions[n]}]]，{n，20}](*古斯·怀斯曼2018年9月5日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A266941型
|
| 乘积展开_{k>=1}1/（1-k*x^k）^k。 |
|
+10
15
|
|
|
|
1, 1, 5, 14, 42, 103, 289, 690, 1771, 4206, 10142, 23449, 54786, 123528, 279480, 619206, 1366405, 2969071, 6425534, 13727775, 29187555, 61439660, 128620370, 267044222, 551527679, 1130806020, 2306746335, 4676096006, 9432394144, 18920266428, 37776372312
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）~c*n^2*3^（n/3），其中
c=3278974684037157122864203.021982619109776972432419491714093…如果mod（n，3）=0
c=3278974684037157122864202.999526122508793149896683112820555…如果mod（n，3）=1
c=3278974684037157122864203.001231135511323719311281438384212…如果mod（n，3）=2
（结束）
在封闭形式中，a（n）~（Product_{k>=4}（（1-k/3^（k/3））^（-k））/（（1-2/3^（2/3））^2*（1-1/3^ 2/3）^2*（1-（-1）^（2/3）/3^（1/3））））+产品{k>=4}（（1-（-1）^)^2） ）*3^（n/3）*n^2/54-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年4月24日
a（0）=1和a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}（求和{d|k}d^（2+k/d））*a（n-k）对于n>0-Seiichi Manyama先生2017年11月2日
|
|
|
数学
|
nmax=40；系数列表[系列[积[1/（1-k*x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
nmax=40；s=1-x；Do[s*=Sum[二项式[k，j]*（-1）^j*k^j*x^（j*k），{j，0，nmax/k}]；s=展开[s]；s=取[s，Min[nmax+1，指数[s，x]+1，长度[s]]，{k，2，nmax}]；系数列表[系列[1/s，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A284896型
|
| 乘积{k>=1}1/（1+x^k）^（k^2）的x次幂展开。 |
|
+10
14
|
|
|
|
1, -1, -3, -6, 0, 11, 42, 63, 73, -45, -267, -720, -1095, -1239, -66, 2794, 8757, 16017, 22885, 19634, -2359, -61979, -161867, -302190, -421971, -432051, -126712, 690578, 2278273, 4584989, 7269985, 8965464, 7515373, -845659, -19930400, -53474765, -100195759
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：exp（总和{k>=1}（-1）^k*x^k*（1+x^k）/（k*（1-x^k，^3））-伊利亚·古特科夫斯基2018年5月30日
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[产品[1/（1+x^k）^（k^2），｛k，40｝]，｛x，0，40｝]，x](*因德拉尼尔·戈什2017年4月5日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）x='x+O（'x^40）；Vec（prod（k=1,40,1/（1+x^k）^（k^2））\\因德拉尼尔·戈什2017年4月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
搜索在0.028秒内完成
|
