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搜索: a260793-编号:a260793
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A000172号 Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。
(原名M1971 N0781)
+10
134
1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
Cusick给出了用floor(r+3)/2)项导出r阶Franel数(这是三阶Franel数列)的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟推测,对于每一个n=2,3,。。。多项式fn(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想:当n是素数时,a(n)==2(mod n^3)-加里·德特利夫斯2013年3月22日
a(p)==2(mod p^3)对于任何素数p,因为p|C(p,k)对于所有k=1,。。。,第1页-孙志伟2013年8月14日
a(n)是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
有理函数对角线1/(1-x*y-y*z-x*z-2*x*y*z),1/-Gheorghe Coserea公司2018年7月4日
a(n)是((1+x)*(1+y)+(1+1/x)*-Seiichi Manyama先生2019年10月27日
有理函数1/((1-x)*(1-y)*(1-z)-x*y*z)的对角线-Seiichi Manyama先生2020年7月11日
以瑞士数学家Jéróme Franel(1859-1939)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a(n)等于(1+x+y-z)^n*(1+x-y+z)^n(1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
参考文献
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链接
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卡斯滕·埃尔斯纳,关于二项式系数和的递推公式,光纤。Q.,第43卷,第1期(2005年),第31-45页。
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达里杰·格林伯格,现代代数导论(UMN 2019年春季数学4281笔记),明尼苏达大学(2019)。
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尼克·霍布森,此序列的Python程序.
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阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性,《数论研究》,第2卷,第5期(2016年)。
毛国帅,关于类Apéry数Z.-H.Sun的几个同余猜想的证明,arXiv:2111.08778[math.NT],2021。
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埃里克·魏斯坦的数学世界,二项式和.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Franel编号.
埃里克·魏斯坦的数学世界,施密特问题.
Don Zagier,类Apéry递推方程的积分解见第5页零星溶液表中的A行。
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配方奶粉
A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[Barrucand]。
Sum_{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分_{x=0..无穷大}L_k(x)^3exp(-x)dx.-摘自Askey的书,第43页
具有递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]。-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日
a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月21日
O.g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.:浅层([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.:求和{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2,
G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3+k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x*2)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=(2^n)*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a(n)*(a(n+1)*(-2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+3)+288*a(n+4))+a(n+2)*)Z中所有n的+a(n+3)*(-11*a(n/3)+4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n、r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
发件人Gheorghe Coserea公司2018年7月4日:(开始)
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y''+(24*x^2+14*x-1
a(n)=[x^n](1-x^2)^n*P(n,(1+x)/(1-x)),其中P(n、x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a(n)=(2^n/(4*Pi^2))*Integral_{x,y=0..2*Pi}(1+cos(x)+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
a(n)=和{k=0..n}m^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(n+2*k,n)*二项式(2*k,k),m=-4。囊性纤维变性。A081798号(m=1),A006480号(m=0),A124435号(m=-1),A318109型(m=-2)和A318108型(m=-3)-彼得·巴拉2023年3月16日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=2*(1+4*x)*T(x)+(-1+14*x+24*x^2)*T'(x)+x*(1+x)*(-1+8*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(4/243)*(1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4);
g3=-(8/19683)*(1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
外径:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2%x)^7+(9!/3!^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n/n^3,然后
A(x)=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x ^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉纳
MAPLE公司
A000172号:=进程(n)
加法(二项式(n,k)^3,k=0..n);
结束过程:
序列号(A000172号(n) ,n=0..10)#R.J.马塔尔2014年7月26日
A000172号_列表:=proc(len)系列(hypergeom([],[1,1],x)^2,x,len);
序列((n!)^3*系数(%,x,n),n=0..长度-1)结束:
A000172号_列表(21)#彼得·卢什尼2017年5月31日
数学
表[Sum[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)
表[HypergeometricPFQ[{-n,-n,/n},{1,1},-1],{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2012年7月16日,符号和后*)
a[n]:=和[二项式[2k,n]*二项式[2](n-k),n-k],{k,0,n}]/2^n;表[a[n],{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2013年3月20日之后孙志伟*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3,2/3,1,27x^2/(1-2x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(总和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n)}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
(哈斯克尔)
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
--莱因哈德·祖姆凯勒,2013年1月6日
(鼠尾草)
定义A000172号():
x、 y,n=1,2,1
为True时:
收益率x
n+=1
x、 y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2
一个=A000172号()
[范围(21)中i的下一个(a)]#彼得·卢什尼,2013年10月12日
(PARI)A000172号(n) ={sum(k=0,(n-1)\2,二项式(n,k)^3)*2+if(!比特检验(n,0),二项式(n,n\2)^3)}\\M.F.哈斯勒2015年9月21日
交叉参考
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
A005259号 Apery(Apéry)数:和{k=0..n}(二项式(n,k)*二项式式(n+k,k))^2。
(原名M4020)
+10
125
1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, 21460825, 584307365, 16367912425, 468690849005, 13657436403073, 403676083788125, 12073365010564729, 364713572395983725, 11111571997143198073, 341034504521827105445, 10534522198396293262825, 327259338516161442321485 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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评论
推测:对于每个n=1,2,3,。。。Apéry多项式An(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(n+k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
exp(Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+5*x+49*x^2+685*x^3+11807*x^4+232771*x^5+。。。和exp(和{n>=1}a(n-1)*x^n/n)=1+3*x+27*x^2+390*x^3+7038*x^4+144550*x^5+。。。两者似乎都有整数系数。请参见A267220型. -彼得·巴拉2016年1月12日
有理函数R(x,y,z,w)的对角线=1/(1-(w*x*y*z+w*xy+w*z+x*y+x*z+y+z));有理函数H(x,y,z,w)的对角线=1/(1-w*(1+x)*(1+y)*(1+z)*(x*y*z+y*z+y+z+1))-Gheorghe Coserea公司,2018年6月26日
以法国数学家罗杰·阿佩里(1916-1994)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
参考文献
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链接
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Frits Beukers公司,阿佩里关于泽塔的工作的后果(3),在“Zeta(3)irrationnel:les retombées”中,Rencontres Arithmétiques de Caen,1995年6月2日至3日[提到a(n)可被5次幂和11次幂整除]
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莱昂纳德·利普希茨(Leonard Lipshitz)和阿尔弗雷德·范德普顿(Alfred J.van der Poorten),有理函数、对角线、自动机和算术,摘自:理查德·莫林(编辑),《数论》,《加拿大数论协会第一届会议论文集》,1988年4月17日至27日,阿尔伯塔省班夫中心,德格鲁特,2016年,第339-358页;备用链路;回运机器副本.
刘继才,(p-1)th Apéry数的超同余,arXiv:1803.11442[math.NT],2018年。
阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性《数论研究》,第2卷(2016年),第5条。
斯蒂芬·梅尔策和布鲁诺·萨维,多变量组合分析的符号-数字工具,arXiv:1605.00402[cs.SC],2016年。
罗密奥·梅什特罗维奇,卢卡斯定理:推广、推广和应用(1878--2014),arXiv预印本arXiv:1409.3820[math.NT],2014。
罗伯特·奥斯本和布伦达班·萨胡,广义Domb数的一个超同余,功能。近似注释。数学。,第48卷,第1期(2013年),第29-36页;备用链路.
埃里克·罗兰和里姆·雅萨维,有理函数对角线的自动同余《波尔多命名期刊》,第27卷,第1期(2015年),第245-288页;arXiv预印本,arXiv:1310.8635[math.NT],2013-2014年。
埃里克·罗兰(Eric Rowland)、里姆·雅萨维(Reem Yassawi)和克里斯蒂安·克拉蒂海尔(Christian Kratethaler),模p^2的Apéry数的Lucas同余,arXiv:2005.04801[math.NT],2020年。
安德鲁·斯特兰奎,射影空间上Fano丛的量子上同调重构定理,arXiv预印本arXiv:1302.5089[math.AG],2013。
安德鲁·斯特兰奎,投影空间上Fano丛的量子重构,名古屋数学。J.,第218卷(2015年),第1-28页。
阿明·斯特劳布,多元Apéry数与有理函数的超同余《代数与数论》,第8卷,第8期(2014年),第1985-2008页;arXiv预印本,arXiv:1401.0854[math.NT],2014年。
沃尔克·斯特雷尔,递归和勒让德变换,《联合国宪章》,B29b(1992年),22页。
沃尔克·斯特雷尔,二项式恒等式——组合和算法方面《离散数学》,第136卷(1994年),309-346。
孙志宏,类Apéry数的同余,arXiv:1803.10051[math.NT],2018年。
孙志宏,涉及Apéry-like数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。
孙志伟,Franel数的同余,arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT],2011。
孙志伟,关于Apéry多项式和及其同余,J.数论132(2012),2673-2699。[孙志伟2013年3月21日]
孙志伟。太阳,关于Apéry多项式和及其同余,arXiv:1101.1946[math.NT],2011-2014。[孙志伟2013年3月21日]
阿尔弗雷德·范德普滕,欧拉错过的证据。。。,数学。Intelligencer,第1卷,第4期(1979年12月),第196-203页,等式(1.2)后的(b_n)和练习3。
陈旺,关于Apéry数的两个同余,arXiv:1909.08983[math.NT],2019年。
埃里克·魏斯坦的数学世界,Apéry编号.
埃里克·魏斯坦的数学世界,斯特雷尔身份.
埃里克·魏斯坦的数学世界,施密特问题.
欧内斯特·X·W·夏和奥利维亚·X·M·姚,组合序列对数凸性的一个判据《组合数学电子杂志》,第20卷(2013年),第3页。
配方奶粉
带递归的D-有限(n+1)^3*a(n+1)=(34*n^3+51*n^2+27*n+5)*a(n)-n^3*a(n-1),n>=1。
用Maple符号表示超几何函数4F3的特殊值:a(n)=超几何([n+1,n+1,-n,-n],[1,1,1],1),n=0,1-卡罗尔·彭森2002年7月24日
a(n)=和{k>=0}A063007号(n,k)*A000172号(k) )。A000172号=法兰编号-菲利普·德尔汉姆2003年8月14日
通用公式:(-1/2)*(3*x-3+(x^2-34*x+1)^(1/2))*(x+1)*(-2)*超几何([1/3,2/3],[1],(-1/2-马克·范·霍伊2011年10月29日
设g(x,y)=4*cos(2*x)+8*sin(y)*cos-彼得·巴拉,2012年3月4日;编辑人G.A.埃德加2016年12月10日
a(n)~(1+sqrt(2))^(4*n+2)/(2^(9/4)*Pi^(3/2)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月1日
a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*C(n+k,k)^2-乔格·阿恩特,2013年5月11日
0=(-x^2+34*x^3-x^4)*y'''+(-3*x+153*x^2-6*x^3)*y''+(-1+112*x-7*x^2)*y'+(5-x)*y,其中y是g.f-Gheorghe Coserea公司2016年7月14日
发件人彼得·巴拉2020年1月18日:(开始)
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)^2*C(n+k,k)|2*C。
a(n)=总和{0<=j,k<=n}C(n,k)*C(n+k,k)*C(k,j)^3(见Koepf,第55页)。
a(n)=和{0<=j,k<=n}C(n,k)^2*C(n、j)^2*C(3*n-j-k,2*n)(见Koepf,第119页)。
有理函数1/((1-x-y)*(1-z-t)-x*y*z*t)的对角线系数(Straub,2014)。(结束)
a(n)=[x^n]1/(1-x)*(Legendre_P(n,(1+x)/(1-x)))^m,m=2。当m=1时,我们得到阿佩里数A005258号. -彼得·巴拉2020年12月22日
例子
G.f.=1+5*x+73*x^2+1445*x^3+33001*x^4+819005*x^5+21460825*x^6+。。。
a(2)=(二项式(2,0)*二项式(2+0,0))^2+(二项法(2,1)*二项式(2+1,1))^2+-迈克尔·波特2016年7月14日
MAPLE公司
a:=proc(n)选项记忆;如果n=0,则1 elif n=1,然后5 else(n^(-3))*;fi;结束;
#备选方案:
a:=n->超深层([-n,-n,1+n,1+n],[1,1,1],1):
seq(简化(a(n)),n=0..17)#彼得·卢什尼2020年1月19日
数学
表[HypergeometricPFQ[{-n,-n,n+1,n+1},{1,1,1},1],{n,0,13}](*Jean-François Alcover公司2011年4月1日*)
表[Sum[(二项式[n,k]二项式[n+k,k])^2,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年10月15日*)
a[n_]:=系列系数[SeriesCoefficient[Seriescoefficiency[SeriesCoefficient[1/(1-t(1+x)(1+y)(1++)(xyz+(y+1)(z+1))),{t,0,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2016年5月14日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=总和(k=0,n,(二项式(n,k)*二项式式(n+k,k))^2)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(哈斯克尔)
a005259 n=a005259_列表!!n个
a005259_list=1:5:zipWithdiv(zipWith(-)
(尾部$zipWith(*)a006221_list a005259_list)
(zipWith(*)(尾部a000578_list)a005259_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月13日
(GAP)列表([0..20],n->总和([0..n],k->二项式(n,k)^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*[0..n]]中的二项式//马吕斯·A·伯蒂2020年1月20日
(Python)
定义A005259号(n) :
m、 g=1,0
对于范围(n+1)中的k:
g+=米
m*=((n+k+1)*(n-k))**2
m//=(k+1)**4
返回g#柴华湖,2022年10月2日
交叉参考
Apéry数或Apéry常数zeta(3)为A002117号. -N.J.A.斯隆2023年7月11日
囊性纤维变性。A006221号,A000578美元,A006353号.
关于有理函数的对角线:A268545型-A268555型.
囊性纤维变性。A092826号(基本术语)。
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
A005258号 Apéry数:a(n)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k)。
(原名M3057)
+10
106
1, 3, 19, 147, 1251, 11253, 104959, 1004307, 9793891, 96918753, 970336269, 9807518757, 99912156111, 1024622952993, 10567623342519, 109527728400147, 1140076177397091, 11911997404064793, 124879633548031009, 1313106114867738897, 13844511065506477501 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
等于方形数组的主对角线A108625号. -保罗·D·汉纳2005年6月14日
在库珀的论文中,这个序列是t5-杰森·金伯利2012年11月25日
推测:对于每个n=1,2,3,。。。多项式a_n(x)=Sum{k=0..n}C(n,k)^2*C(n+k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
有理函数的对角线1/(1-x-x*y-y*z-x*z-xy*z),1/(1+y+z+x*y+y*z+xx*y*z)、1/(1-x-y-z+x*y+x*y*z)和1/-Gheorghe Coserea公司2018年7月7日
参考文献
Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
S.Melczer,《分析组合数学邀请函》,2021年;第129页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
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R.Apéry,非理性泽塔(2)和泽塔(3)《阿里斯之旅》。德鲁米尼。1978年6月20日至24日在鲁米尼鲁米尼中心大学举行的国家科学研究中心国际学术讨论会(CNRS)。《阿斯特里斯克》,61(1979),11-13。
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Thomas Baruchel和C.Elsner,关于具有分裂分母的有理逼近形成的误差和,arXiv预印本arXiv:1602.06445[math.NT],2016。
阿诺德·博维尔,P_1 courbes sor P_1 familles stables admentant quatre fibers singulières1982年5月24日,巴黎科学院,第294号,Comptes Rendus,第657页。
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肖恩·库珀,1/pi的零星序列、模形式和新序列,Ramanujan J.(2012)。
肖恩·库珀,四项递推关系定义的类Apéry序列,arXiv:2302.00757[math.NT],2023。
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Lalit Jain和Pavlos Tzermias,Beukers积分与Apéry递推《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.1.1条。
布拉德利·克莱,检查Weierstrass数据, 2023.
瓦茨拉夫·科特索维奇,二项系数幂的广义Apéry序列的渐近性2012年11月4日。
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西蒙·普劳夫,前2553个Apéry数字
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孙志宏,类Apéry数的同余,arXiv:1803.10051[math.NT],2018年。
孙志宏,涉及Apéry-like数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。
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埃里克·魏斯坦的数学世界,公寓号码。
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W.Zudilin,-、di-和tri-算术的近似,arXiv:math/0409023[math.CA],2004-2005年。
配方奶粉
a(n)=上层([n+1,-n,-n],[1,1],1)-弗拉德塔·约沃维奇2003年4月24日
带递归的D-有限:(n+1)^2*a(n+1)=(11*n^2+11*n+3)*a(n)+n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
设b(n)是b(0)=0,b(1)=5的上述递归的解。那么b(n)就是b(n,n)/a(n)->zeta(2)的有理数。恒等式b(n)*a(n-1)-b(n-1。常数e也有类似结果:参见A143413号. -彼得·巴拉2008年8月14日
G.f.:表皮([1/12,5/12],[1],1728*x^5*(1-11*x-x^2)/(1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4)^3)/-马克·范·霍伊,2011年10月25日
a(n)~((11+5*sqrt(5))/2)^(n+1/2)/(2*Pi*5^(1/4)*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月5日
1/Pi=5*(sqrt(47)/7614)*Sum_{n>=0}(-1)^na(n)*二项式(2n,n)*(682n+71)/15228^n-杰森·金伯利2012年11月26日
如果n>=0,则a(-1-n)=(-1)^n*a(n)。如果n<0,a(-1-n)=-(-1)^n*a(n)-迈克尔·索莫斯2013年9月18日
0=a(n)*(a(n+1)*(+4*a(n+2)+83*a*a(n+4))+a(n+2)*Z中的所有n均为-4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2016年8月6日
a(n)=二项式(2*n,n)*超几何([-n,-n,/n],[1,-2*n],1)-彼得·卢什尼2018年2月10日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)^2-彼得·巴拉2018年2月10日
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x^2+11*x-1)*y''+(3*x^2+22*x-1,*y'+(x+3)*y-Gheorghe Coserea公司2018年7月1日
发件人彼得·巴拉2020年1月15日:(开始)
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(j+k)*C(n,k)*C(n+k,k)^2*C(n,j)*C。
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)^2*C(n+k,k)*C。
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^j*C(n,k)^2*C(n,j)*C(3*n-j-k,2*n)。(结束)
a(n)=[x^n]1/(1-x)*(Legendre_P(n,(1+x)/(1-x)))^m,m=1。当m=2时,我们得到阿佩里数A005259号. -彼得·巴拉2020年12月22日
a(n)=(-1)^n*和{j=0..n}(1-5*j*H(j)+5*j*H(n-j))*二项式(n,j)^5,其中H(n)表示第n次谐波数,A001008号/A002805号(保罗/施耐德)-彼得·卢什尼2021年7月23日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=(3+x)*T(x)+(-1+22*x+3*x^2)*T'(x)+x*(-1+11*x+x^2)*T'(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4);
g3=1-18*x+75*x^2+75*x^4+18*x^5+x^6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
G.f.=1+3*x+19*x^2+147*x^3+1251*x^4+11253*x^5+104959*x^6+。。。
MAPLE公司
与(组合):seq(加((多项式(n+k,n-k,k,k))*二项式(n,k),k=0..n),n=0..18)#泽因瓦利·拉霍斯2006年10月18日
a:=n->二项式(2*n,n)*超几何([-n,-n,.n],[1,-2*n],1):
seq(简化(a(n)),n=0..20)#彼得·卢什尼2018年2月10日
数学
a[n]:=超几何PFQ[{n+1,-n,-n},{1,1},1];表[a[n],{n,0,18}](*Jean-François Alcover公司2012年1月20日之后弗拉德塔·约沃维奇*)
表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[n+k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2019年8月25日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a005258 n=总和[a007318 n k ^2*a007319(n+k)k | k<-[0..n]]
(PARI){a(n)=如果(n<0,-(-1)^n*a(-1-n),和(k=0,n,二项式(n,k)^2*二项式/*迈克尔·索莫斯2013年9月18日*/
(GAP)a:=n->总和([0..n],k->(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)^2);;
A005258号:=列表([0..20],n->a(n))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月11日
(GAP)列表([0..20],n->总和([0..n],k->二项式(n,k)^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月29日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2018年11月28日
(Python)
定义A005258号(n) :
m、 g=1,0
对于范围(n+1)中的k:
g+=米
m*=(n+k+1)*(n-k)**2
m//=(k+1)**3
返回g#柴华湖2022年10月2日
交叉参考
囊性纤维变性。A007318号.
囊性纤维变性。A001008号,A002805号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
A002893号 a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式。
(原名M2998 N1214)
+10
89
1, 3, 15, 93, 639, 4653, 35169, 272835, 2157759, 17319837, 140668065, 1153462995, 9533639025, 79326566595, 663835030335, 5582724468093, 47152425626559, 399769750195965, 3400775573443089, 29016970072920387, 248256043372999089 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
a(n)是距离平面上三步随机行走原点距离的第2n个力矩Peter M.W.Gill(Peter.Gill(AT)nott.ac.uk),2004年2月27日
a(n)是3个字母字母表上长度为2n的阿贝尔平方的数量-杰弗里·沙利特2010年8月17日
考虑蜂窝格子上的二维简单随机行走。a(n)给出了在原点结束的长度为2n的路径数-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日
的行总和A318397型的平方A008459号. -彼得·巴拉2013年3月5日
推测:对于每个n=1,2,3,。。。多项式g_n(x)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳,2017年8月6日
a(n)是(x+y+z)^n系数的平方和-迈克尔·索莫斯,2018年8月25日
a(n)是(1+(1+x)*(1+y)+(1+1/x)*-Seiichi Manyama先生2019年10月28日
参考文献
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D.Zagier,类Apery递推方程的积分解。见第5页零星解决方案表中的C行。
配方奶粉
a(n)=和{m=0..n}二项式(n,m)*A000172号(m) ●●●●。[巴鲁坎德]
带递归的D-有限:(n+1)^2a(n+1)=(10*n^2+10*n+3)*a(n)-9*n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
求和{n>=0}a(n)*x^n/n^2=贝塞尔I(0,2*sqrt(x))^3-弗拉德塔·约沃维奇2003年3月11日
a(n)=Sum_{p+q+r=n}(n!/(p!*q!*r!))^2,其中p,q,r>=0-迈克尔·索莫斯2007年7月25日
a(n)=3*A087457号(n) 对于n>0-菲利普·德尔汉姆2008年9月14日
a(n)=表层([1/2,-n,-n],[1,1],4)-马克·范·霍伊2010年6月2日
G.f.:2*sqrt(2)/Pi/sqrt(1-6*z-3*z^2+sqrt,(1-z)^3*(1-9*z)))*椭圆(8*z^(3/2)/(1-6*z-3*z ^2+平方(1-z,^3*,1-9*z)))-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日
G.f.:求和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)*(1-x)^n/(1-3*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳2012年2月26日
渐近:a(n)~3^(2*n+3/2)/(4*Pi*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年9月11日
一般公式:1/(1-3*x)*(1-6*x^2*(1-x)/(Q(0)+6*x^2*(1-x)3*k+5)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:G(0)/(2*(1-9*x)^(2/3)),其中G(k)=1+1/(1-3*(3*k+1)^2*x*(1-x)^2/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月31日
a(n)=[x^(2n)]1/agm(平方((1-3*x)*(1+x)^3),平方((1+3*x)x(1-x)^2))-Gheorghe Coserea公司2016年8月17日
0=+a(n)*(+a(n+1)**a(n+3)-117*a(n+4))+a(n+2)*(n+4)))对于Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2017年10月30日
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x-1)*(9*x-1)*y''+(27*x^2-20*x+1)*y'+3*(3*x-1-Gheorghe Coserea公司2018年7月1日
和{k>=0}二项式(2*k,k)*a(k)/6^(2*k)=A086231号=(sqrt(3)-1)*(伽马(1/24)*伽马(11/24))^2/(32*Pi^3)-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年4月23日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=3*(-1+3*x)*T(x)+(1-20*x+27*x^2)*T'(x)+x*(-1+x)*(-1+9*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(3/64)*(1+3*x)*(1-15*x+75*x^2+3*x^3);
g3=-(1/512)*(-1+6*x+3*x^2)*(1-12*x+30*x^2-540*x^3+9*x^4);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
通用公式:A(x)=1+3*x+15*x^2+93*x^3+639*x^4+4653*x^5+35169*x^6+。。。
通用公式:A(x)=1/(1-3*x)+6*x^2*(1-x)/(1-3+x)^4+90*x^4*(1-x)^2/(1-3**)^7+1680*x^6*(1-xx)^3/(1-3+xx)-保罗·D·汉纳2012年2月26日
MAPLE公司
系列(1/GaussAGM(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3),x=0,42)#Gheorghe Coserea公司2016年8月17日
A002893号:=n->上层([1/2,-n,-n],[1,1],4):
seq(简化(A002893号(n) ),n=0..20)#彼得·卢什尼2017年5月23日
数学
表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[2k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2011年8月19日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,超几何PFQ[{1/2,-n,-n},{1,1},4]];(*迈克尔·索莫斯2013年10月16日*)
a[n_]:=系列系数[BesselI[0,2*Sqrt[x]]^3,{x,0,n}]*n^2; 表[a[n],{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2013年12月30日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,块[{x,y,z},展开[(x+y+z)^n]/。{t_Integer->t^2,x->1,y->1,z->1}]];(*迈克尔·索莫斯2018年8月25日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!^2*polceoff(besseli(0,2*x+O(x^(2*n+1)))^3,2*n))};
(PARI){a(n)=和(k=0,n,二项式(n,k)^2*二项式的(2*k,k))}/*迈克尔·索莫斯2007年7月25日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)*(1-x)^m/(1-3*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2012年2月26日
(PARI)N=42;x='x+O('x^N);v=Vec(1/agm(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3));向量((#v+1)\2,k,v[2*k-1])\\Gheorghe Coserea公司2016年8月17日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(2*k,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2018年8月26日
(SageMath)
定义A002893号(n) :返回简化(超几何([1/2,-n,-n],[1,1],4))
[A002893号(n) 对于范围(31)内的n#G.C.格鲁贝尔2023年1月21日
交叉参考
囊性纤维变性。A169714号A169715号. -彼得·巴拉2013年3月5日
关键词
非n,容易的,步行,美好的
作者
状态
经核准的
A002895号 Domb numbers:菱形晶格上2n步多边形的数量。
(原名M3626 N1473)
+10
65
1、4、28、256、2716、31504、387136、4951552、65218204、878536624、12046924528、167595457792、2359613230144、33557651538688、4813654248954888、6956365106016256、101181938814289564、1480129751586116848、21761706991570726096、321401321741959062016 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
a(n)是距平面上四步随机行走原点距离的第(2n)个力矩Peter M.W.Gill(Peter.Gill(AT)nott.ac.uk),2004年3月3日
的立方体的行和A008459号. -彼得·巴拉2013年3月5日
猜想:设D(n)是(n+1)X-孙志伟2013年8月14日
似乎展开式exp(Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+4*x+22*x^2+152*x^3+1241*x^4+。。。和exp(和{n>=1}1/4*a(n)*x^n/n)=1+x+4*x^2+25*x^3+199*x^4+。。。具有整数系数。请参见1967年2月19日. -彼得·巴拉2016年1月12日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
以英国伊斯雷利理论物理学家西里尔·多姆(1920-2012)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月20日
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乔纳森·博文,与OEIS的冒险:托尼可能喜欢的五个序列,Guttmann第70届[生日]会议,2015年,2016年5月修订。
乔纳森·博文,与OEIS的冒险:托尼可能喜欢的五个序列,Guttmann第70届[生日]会议,2015年,2016年5月修订。[缓存副本,具有权限]
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配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式。
带递归的D-有限:n^3*a(n)=2*(2*n-1)*(5*n^2-5*n+2)*a(n-1)-64*(n-1-弗拉德塔·约沃维奇2004年7月16日
求和{n>=0}a(n)*x^n/n^2=贝塞尔(0,2*sqrt(x))^4-弗拉德塔·约沃维奇2006年8月1日
G.f.:浅层([1/6,1/3],[1],108*x^2/(1-4*x)^3)^2/-马克·范·霍伊2011年10月29日
发件人孙志伟2013年3月20日:(开始)
通过Zeilberger算法,孙志伟证明:
(1) 4^n*a(n)=和{k=0..n}(二项式(2k,k)*二项式,
(2) a(n)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(2k,n)*二项式(2k,k)*二项式(2(n-k),n-k)。(结束)
a(n)~2^(4*n+1)/((Pi*n)^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月20日
G.f.y=A(x)满足:0=x^2*(4*x-1)*(16*x-1-Gheorghe Coserea公司,2018年6月26日
a(n)=和{p+q+r+s=n}(n!/(p!*q!*r!*s!))^2,其中p,q,r,s>=0。见Verrill,第5页-彼得·巴拉2020年1月6日
MAPLE公司
A002895号:=n->加(二项式(n,k)^2*二项式(A002895号(n) ,n=0..25)#韦斯利·伊万·赫特2015年12月20日
A002895号:=n->二项式(2*n,n)*超几何([1/2,-n,-n、-n],[1,1,1/2-n],1):
seq(简化(A002895号(n) ),n=0..19)#彼得·卢什尼2017年5月23日
数学
表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[2n-2k,n-k]二项式[2],{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月15日*)
a[n]=二项式[2*n,n]*超几何PFQ[{1/2,-n,-n、-n},{1,1,1/2-n},1];(*或*)a[n_]:=系列系数[BesselI[0,2*Sqrt[x]]^4,{x,0,n}]*n^2; 表[a[n],{n,0,19}](*Jean-François Alcover公司2013年12月30日之后弗拉德塔·约沃维奇*)
最大值=19;总计/@MatrixPower[表[二项式[n,k]^2,{n,0,max},{k,0,最大}],3](*Jean-François Alcover公司,2015年3月24日,之后彼得·巴拉*)
黄体脂酮素
(PARI)C=二项式;
a(n)=总和(k=0,n,C(n,k)^2*C(2*n-2*k,n-k)*C(2*k,k));
/*乔格·阿恩特2013年4月19日*/
交叉参考
关键词
非n,容易的,美好的,步行
作者
扩展
更多术语来自弗拉德塔·约沃维奇2003年3月11日
状态
经核准的
A081085美元 1/AGM(1,1-8*x)的x次幂展开。 +10
57
1, 4, 20, 112, 676, 4304, 28496, 194240, 1353508, 9593104, 68906320, 500281280, 3664176400, 27033720640, 200683238720, 1497639994112, 11227634469668, 84509490017680, 638344820152784, 4836914483890112, 36753795855173776, 279985580271435584, 2137790149251471680 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
AGM(x,y)是高斯和勒让德的算术几何平均值。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
这是序列的指数(也称为二项式)卷积A000984号(中心二项式)。参见V.Jovovic例如f.和下面给出的a(n)公式-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
递归(n+1)^2*a(n+1)=(12*n^2+12*n+4)*a-迈克尔·索莫斯2022年4月5日
参考文献
Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
链接
Seiichi Manyama,n=0..1110时的n,a(n)表(文森佐·利班迪的条款0..200)
B.Adamczewski、J.P.Bell和E.Delaygue,G-函数的代数独立性和同余“ala-Lucas”,arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT],2016。
阿诺德·博维尔,P_1 courbes sor P_1 familles stables admentant quatre fibers singulières1982年5月24日,巴黎科学院,第294号,Comptes Rendus,第657页。
肖恩·库珀,四项递推关系定义的类Apéry序列,arXiv:2302.00757[math.NT],2023。
E.Delaygue,类猿数的算术性质,arXiv预印本arXiv:1310.4131[math.NT],2013-2015。
Ofir Gorodetsky,所有零星类Apéry-like序列的新表示及其同余应用,arXiv:2102.11839[math.NT],2021。见E第2页。
S.Herfurtner,具有四个奇异纤维的椭圆曲面《数学年鉴》,1991年。预打印.
纪晓娟、孙志宏,加泰罗尼亚-卢森堡-法国数字的同余,arXiv:1505.00668[math.NT],2015年。
布拉德利·克莱,检查Weierstrass数据, 2023.
阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性,《数论研究》,2016,2:5。
Stéphane Ouvry和Alexios Polychronakos,格走区组合数学、一些显著的三角和和类Apéry数,arXiv:2006.06445【数学ph】,2020年。
孙志宏,涉及Apéry-like数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。
D.Zagier,类Apery递推方程的积分解。见第5页零星解决方案表中的E行。
配方奶粉
G.f.:1/AGM(1,1-8*x)。
例如:exp(4*x)*BesselI(0,2*x)^2-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月20日
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*二项式-弗拉德塔·约沃维奇2003年9月16日
带递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(12*n^2+12*n+4)*a(n)-32*n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
例如:[Sum_{n>=0}二项式(2n,n)*x^n/n!]^2-保罗·D·汉纳2009年9月4日
G.f.:高斯超几何函数2F1(1/2,1/2;1;16*x-64*x^2)-马克·范·霍伊2011年10月24日
a(n)=2^(-n)*A053175号(n) ●●●●。
a(n)~2^(3*n+1)/(Pi*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月13日
0=x*(x+4)*(x+8)*y''+(3*x^2+24*x+32)*y'+(x+4)*y,其中y(x)=A(x/-32)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}4^(n-2*k)*二项式(n,2*k)*二项式(2*k,k)^2-Seiichi Manyama先生2017年4月2日
a(n)=(1/Pi)^2*Integral_{0<=x,y<=Pi}(4*cos(x)^2+4*cos(y)^2)^ndx-dy-彼得·巴拉2022年2月10日
a(n)=a(-1-n)*32^(n-1/2 a(n+1)*(-5120*a(n+2)+3840*aZ中所有n的+48*a(n+3)-8*a(n+4))+a(n+3)*-迈克尔·索莫斯2022年4月4日
a(n)=二项式(2*n,n)*超几何([1/2,-n,-n],[1,1/2-n],-1)-彼得·卢什尼2022年4月5日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=4*(-1+8*x)*T(x)+(1-24*x+96*x^2)*T'(x)+x*(-1+4*x)*(-1+8*x)*1T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(1-16*(1-8*x)^2+16*(1-8*x))^4);
g3=1+30*(1-8*x)^2-96*(1-8*x)*4+64*(1-8-x)^6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
G.f.=A(x)=1+4*x+20*x^2+112*x^3+676*x^4+4304*x^5+28496*x^6+。。。
数学
表[和[二项式[n,k]*二项式[2*n-2*k,n-k]*二项式[2*k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月13日*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/2,1/2,1,16x(1-4x)],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年10月25日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,系列系数[1/NestWhile[{(#[1]]+#[2]])/2,Sqrt[#[[1]]#[2]]}&,{1,系列[1-8 x,{x,0,n}]},#[1]]=!=#[[2]]&]//第一个,{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年10月27日*)
系数列表[级数[2*EllipticK[1/(1-1/(4*x))^2]/(Pi*(1-4*x,)),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年1月13日*)
a[n]:=二项式[2n,n]超几何PFQ[{1/2,-n,-n},{1,1/2-n},-1];
表[a[n],{n,0,20}](*彼得·卢什尼2022年4月5日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(1/agm(1,1-8*x+x*O(x^n)),n))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,4^n*和(k=0,n\2,二项式(n,2*k)*二项式(2*k,k)^2/16^k))};
(PARI){a(n)=n!*polcoeff(sum(k=0,n,(2*k)!*x^k/(k!)^3+x*O(x^n))^2,n)}/*保罗·D·汉纳2009年9月4日*/
(Python)
从数学导入梳
定义A081085美元(n) :返回和((1<<(n-(m:=k<<1)<<1))*梳(n,m)*梳#柴华湖2023年7月9日
交叉参考
囊性纤维变性。A053175号,A089603型,A091401号.
关键词
非n,容易的
作者
迈克尔·索莫斯2003年3月4日
状态
经核准的
A006077号 (n+1)^2*a(n+1)=(9n^2+9n+3)*a(n)-27*n^2*a(n-1),其中a(0)=1,a(1)=3。
(原名M2775)
+10
51
1, 3, 9, 21, 9, -297, -2421, -12933, -52407, -145293, -35091, 2954097, 25228971, 142080669, 602217261, 1724917221, 283305033, -38852066421, -337425235479, -1938308236731, -8364863310291, -24286959061533, -3011589296289, 574023003011199, 5028616107443691 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
猜想:设W(n)是(n+1)X(n+1”)Hankel型行列式,对于所有i,j=0,…,(i,j)-项等于a(i+j),。。。,n.如果n==1(mod 3),则W(n)=0。当n==0或2(mod 3)时,W(n)*(-1)^(floor((n+1)/3))/6^n总是一个正奇整数-孙志伟2013年8月21日
猜想:设p==1(mod 3)为素数,用x,y整数和x==1,mod 3写4*p=x^2+27*y^2。然后W(p-1)==(-1)^{(p+1)/2}*(x-p/x)(mod p^2),其中W(n)定义如上-孙志伟2013年8月23日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
有理函数的对角线1/(1-(x^2*y+y^2*z-z^2*x+3*x*y*z)),1/(1-x^3+y^3-z^3+3*x*y)),1/1(1+x^3+y^3+z^3-3*xx*y*z)-Gheorghe Coserea公司,2018年8月4日
参考文献
Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
D.Zagier,类Apery-like递归方程的积分解,in:群与对称:从新石器时代的苏格兰人到John McKay,CRM Proc。课堂笔记47,Amer。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,2009年,第349-366页。
链接
Seiichi Manyama,n=0..1400时的n,a(n)表(T.D.Noe的条款0..200)
阿诺德·博维尔,P_1 courbes sor P_1 familles stables admentant quatre fibers singulières1982年5月24日,巴黎科学院,第294号,Comptes Rendus。
A.Bostan、S.Boukraa、J.-M.Maillard和J.-A.Weil,有理函数的对角线与选定的微分Galois群,arXiv预印本arXiv:1507.03227[math-ph],2015年。
Ofir Gorodetsky,所有零星类Apéry-like序列的新表示及其同余应用,arXiv:2102.11839[math.NT],2021。见B第2页。
S.Herfurtner,具有四个奇异纤维的椭圆曲面《数学年鉴》,1991年。预打印.
布拉德利·克莱,检查Weierstrass数据, 2023.
阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性,《数论研究》,2016,2:5。
Stéphane Ouvry和Alexios Polychronakos,格游走区域组合、一些显著的三角和和类Apéry数,arXiv:2006.06445[math-ph],2020年。
孙志伟,关于Hankel型行列式的三个神秘猜想,致数字理论列表的消息,2013年8月22日。
孙志伟,p=x^2+3*y^2和Franel数之间的关系,J.数论133(2013),2914-2928。
配方奶粉
G.f.:超几何([1/3,2/3],[1],x^3/(x-1/3)^3)/(1-3*x)-马克·范·霍伊,2011年10月25日
a(n)=Sum_{k=0..楼层(n/3)}(-1)^k*3^(n-3k)*C(n,3k)*C(2k,k)*C(3k,k)-孙志伟2013年8月21日
0=x*(x^2+9*x+27)*y''+(3*x^2+18*x+28)*y'+(x+3)*y,其中y(x)=A(x/-27)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
a(n)=3^n*超深层([-n/3,(1-n)/3,(2-n)/3],[1,1],1)-彼得·卢什尼2017年11月1日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=3*(-1+9*x)*T(x)+(-1+9*x)^2*T'(x)+x*(1-9*x+27*x^2)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(-8+9*(1-9*x)^3)*(1-9*x);
g3=8-36*(1-9*x)^3+27*(1-9*x)*6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
G.f.=1+3*x+9*x^2+21*x^3+9*x^4-297*x^5-2421*x^6-12933*x^7-。。。
MAPLE公司
a:=n->3^n*超深层([-n/3,(1-n)/3,(2-n)/3],[1,1],1):
seq(简化(a(n)),n=0..24)#彼得·卢什尼2017年11月1日
数学
表[和[(-1)^k*3^(n-3*k)*二项式[n,3*k]*二项法[2*k,k]*二项式[3*k,k],{k,0,Floor[n/3]}],{n,0,50}](*G.C.格鲁贝尔2017年10月24日*)
a[n]:=级数系数[HypergeometricPFQ[{1/3,2/3},{1},x^3/(x-1/3)^3]/(1-3x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2017年11月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)subst(eta(q)^3/eta(q^3),q,serreverse(eta(q^9)^3/eta(q)^3*q))\\(生成函数)Helena Verrill(Verrill(AT)math.lsu.edu),2009年4月20日[对于(-1)^n*a(n)]
(PARI)
diag(expr,N=22,var=变量(expr))={
my(a=向量(N));
对于(k=1,#var,expr=taylor(expr,var[#var-k+1],N));
对于(n=1,n,a[n]=expr;
对于(k=1,#var,a[n]=polceoff(a[n],n-1));
申报(a);
};
诊断(1/(1+x^3+y^3+z^3-3*x*y*z),25)
(PARI)
序列(N)={
my(a=向量(N));a[1]=3;a[2]=9;
对于(n=2,n-1,a[n+1]=((9*n^2+9*n+3)*a[n]-27*n^2*a[n-1])/(n+1)^2);
concat(1,a);
};
序列(24)
\\测试:y=subst(Ser(seq(202)),'x,-'x/27);0==x*(x^2+9*x+27)*y''+(3*x^2+18*x+27*y'+(x+3)*y
\\Gheorghe Coserea公司2017年11月9日
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);(-1)^n*polceoff(subst(eta(x+a)^3/eta(x^3+a),x,serreverse(x*eta(x29+a)/*迈克尔·索莫斯2017年11月1日*/
交叉参考
关于有理函数的对角线:A268545型-26855加元.
囊性纤维变性。A091401号.
关键词
签名
作者
扩展
更多来自Kok Seng Chua(chuaks(AT)ihpc.nus.edu.sg)的条款,2000年6月20日
状态
经核准的
A093388号 (n+1)^2*a(n+1”)=(17n^2+17n+6)*a(n)-72*n^2*a(n-1)。 +10
47
1, 6, 42, 312, 2394, 18756, 149136, 1199232, 9729882, 79527084, 654089292, 5408896752, 44941609584, 375002110944, 3141107339328, 26402533581312, 222635989516122, 1882882811380284, 15967419789558804, 135752058036988848, 1156869080242393644 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开。
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
参考文献
Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
链接
Seiichi Manyama,n=0..1050时的n、a(n)表(文森佐·利班迪的条款0..200)
阿诺德·博维尔,P_1 courbes sor P_1 familles stables admentant quatre fibers singulières1982年5月24日,巴黎科学院,第294号,Comptes Rendus。
乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、德克·努延斯(Dirk Nuyens)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和詹姆斯·万(James Wan),短随机游动积分的一些算法性质2011年5月。
肖恩·库珀,四项递推关系定义的类Apéry序列,arXiv:2302.00757[math.NT],2023。
马蒂杰斯·科斯特,序列
Ofir Gorodetsky,所有零星类Apéry-like序列的新表示及其同余应用,arXiv:2102.11839[math.NT],2021。见F p.2。
S.Herfurtner,具有四个奇异纤维的椭圆曲面《数学年鉴》,1991年。预打印.
布拉德利·克莱,检查Weierstrass数据, 2023.
罗伯特·S·迈尔,关于合理参数化模方程,arXiv:math/0611041[math.NT],2006年。
阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性,《数论研究》,2016,2:5
阿明·斯特劳布,随机游动的算法方面和定积分方法2012年,杜兰大学科学与工程学院博士学位论文发件人N.J.A.斯隆2012年12月16日
孙志宏,类Apéry数的同余,arXiv:1803.10051[math.NT],2018年。
孙志宏,涉及Apéry-like数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。
H.Verrill,与模形式有关的几个同余,第2.2节。
D.Zagier,类Apery递推方程的积分解见第5页零星溶液表中的F行。
配方奶粉
a(n)=(-1)^n*和{k=0..n}二项式(n,k)*(-8)^k*和{j=0..n-k}二项式(n-k,j)^3.-海伦娜·维里尔(Verrill(AT)math.lsu.edu),2004年8月9日
G.f.:表皮([1/3,2/3],[1],x^2*(8*x-1)/(2*x-1/3)^3)/(1-6*x)-马克·范·霍伊,2011年10月25日
a(n)~3^(2*n+3/2)/(Pi*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月14日
G.f.A(x)满足:0=x*(x+8)*(x+9)*y''+(3*x^2+34*x+72)*y'+(x+6)*y,其中y(x)=A(-x/72)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
发件人布拉德利·克莱,2023年6月5日:(开始)
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=6*(-1+12*x)*T(x)+(1-34*x+216*x^2)*T'(x)+x*(-1+8*x)*(-1+9*x)*1T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=12*(-1+6*x)*(-1+18*x-84*x^2+24*x^3);
g3=-8*(1-12*x+24*x^2)*(-1+24*x-192*x^2+504*x^3+72*x^4);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
例子
A(x)=1+6*x+42*x^2+312*x^3+2394*x^4+18756*x^5+。。。是g.f。
MAPLE公司
f: =proc(n)选项记忆;局部m;如果n=0,则返回(1);fi;如果n=1,则返回(6);fi;m: =n-1;((17*m^2+17*m+6)*f(n-1)-72*m^2*f(n-2))/n^2;结束;
数学
表[(-1)^n*和[二项式[n,k]*(-8)^k*和[二项式[n-k,j]^3,{j,0,n-k}],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2012年10月14日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=(-1)^n*和(k=0,n,二项式(n,k)*(-8)^k*和(j=0,n-k,二项型(n-k,j)^3));
(PARI)
序列(N)={
my(a=向量(N));a[1]=6;a[2]=42;
对于(n=3,n,a[n]=((17*n^2-17*n+6)*a[n-1]-72*(n-1)^2*a[n-2])/n^2);
concat(1,a);
};
序列(20)\\Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
交叉参考
这是家族开始的第七个序列A002894号,A006077号,A081085美元,A005258号,A000172号,A002893号.
囊性纤维变性。A091401号.
关键词
非n
作者
马蒂杰斯·科斯特2004年4月29日
状态
经核准的
A125143号 Almkvist-Zudilin数:和{k=0..n}(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)。 +10
47
1, -3, 9, -3, -279, 2997, -19431, 65853, 292329, -7202523, 69363009, -407637387, 702049401, 17222388453, -261933431751, 2181064727997, -10299472204311, -15361051476987, 900537860383569, -10586290198314843, 74892552149042721, -235054958584593843 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
除了符号外,这是一种类似于无柄类的序列——见交叉参照-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
有理函数的对角线1/(1-(x+y+z+w-27*x*y*z*w))-Gheorghe Coserea公司2018年10月14日
以瑞典数学家格特·埃纳尔·托尔斯滕·阿尔姆克维斯特(1934-2018)和俄罗斯数学家瓦迪姆·瓦伦蒂诺维奇·祖迪林(b.1970)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月23日
参考文献
G.Almkvist和W.Zudilin,微分方程,镜像图和zeta值。《镜像对称V》,N.Yui、S.-T.Yau和J.D.Lewis(编辑),AMS/IP高等数学研究38(2007),国际出版社和Amer。数学。Soc.,第481-515页。Chan&Verrill引用。
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链接
Seiichi Manyama,n=0..1052时的n、a(n)表(Arkadiusz Wesolowski的条款0..200)
格特·阿尔姆克维斯特(Gert Almkvist)、克里斯蒂安·克拉蒂塔勒(Christian Kratethaler)和约阿金·彼得森(Joakim Peterson),π的一些新公式,实验。数学。,第12卷(2003年),第441-456页。(数学修订版MR2043994,作者:W.Zudilin)
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肖恩·库珀,四项递推关系定义的类Apéry序列,arXiv:2302.00757[math.NT],2023。见第7页的表2。
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阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性《数论研究》,第2卷,(2016),第5条。
孙志宏,类Apéry数的同余,arXiv:1803.10051[math.NT],2018年。
孙志宏,关于二项式系数和类Apéry数的超同余,arXiv:2002.12072[math.NT],2020年。
孙志宏,涉及Apéry-like数的新同余,arXiv:2004.07172[math.NT],2020年。
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*(3^(n-3*k)*!)/(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月13日
递归:n^3*a(n)=-(2*n-1)*(7*n^2-7*n+3)*a(n-1)-81*(n-1”^3*a(n-2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
Lim sup n->无穷大|a(n)|^(1/n)=9-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
G.f.y=A(x)满足:0=x^2*(81*x^2+14*x+1)*y''+3*x*-Gheorghe Coserea公司2018年10月15日
G.f.:表皮([1/8,5/8],[1],-256*x^3/((81*x^2+14*x+1)*(-x+1)^2))^2/((81*x^2+14*x+1)^(1/4)*sqrt(-x+1))-谢尔盖·尤基维奇2020年8月31日
数学
表[和[(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*[3*k!)/(k!)^3)*二项式[n,3*k]*二项法[n+k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=和(k=0,n,(-1)^(n-k)*/(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k));
交叉参考
关键词
容易的,签名
作者
R.K.盖伊2007年1月11日
扩展
编辑并添加了更多术语阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月13日
状态
经核准的
A229111号 扩展的g.fA053723号在g.f.的权力下A121591号. +10
47
1, -5, 35, -275, 2275, -19255, 163925, -1385725, 11483875, -91781375, 688658785, -4581861025, 22550427925, 8852899375, -2431720493125, 47471706909725, -699843878180125, 9141002535744625, -111232778205154375, 1288777160650004375, -14372445132730778975 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
在Verrill(1999)第2.1节中,t=(eta(q^5)/eta(q))^6A121591号f=η(q^5)^5/η(q)A053723号.
除了符号外,这是一种类似于无柄类的序列——见交叉参照-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
链接
肖恩·库珀,四项递推关系定义的类Apéry序列,arXiv:2302.00757[math.NT],2023。见第7页的表2。
阿米塔·马利克和阿明·斯特劳布,零星类Apéry数的可除性,《数论研究》,2016,2:5。
Ofir Gorodetsky,所有零星类Apéry-like序列的新表示及其同余应用,arXiv:2102.11839[math.NT],2021。见eta第3页。
L.O'Brien,模形式和两个新的7级整数序列梅西大学,2016年。
H.Verrill,与模形式有关的几个同余马克斯·普朗克研究所,1999年。
配方奶粉
n^3*a(n+1)=-(2*n-1)*(11*n*(n-1)+5)*a(n)-125*。
a(n*p^k)==(p^3+Kronecker(p,5)。【Verrill,1999年】
a(n)=和{k=0..n-1}(-1)^k*二项(n-1,k)^3*二项-Seiichi Manyama先生2020年9月2日
例子
G.f.=x-5*x ^2+35*x ^3-275*x*4+2275*x ^5-19255*x ^6+163925*x ^7+。。。
数学
a[n]:=a[n]=开关[n,1,1,2,-5,_,(1/(n-1)^3)((1-2(n-1;
a/@范围[21](*Jean-François Alcover公司2020年1月13日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(m=n-1);如果(n<1,0,如果(n<3,[1,-5][n],-((5*(m-1))^3*a(n-2)+(2*m-1)*(11*(m^2-m)+5)*a(n-1))/m^3))};
(PARI){a(n)=和(k=0,n-1,(-1)^k*二项(n-1,k)^3*二项\\Seiichi Manyama先生2020年9月2日
交叉参考
囊性纤维变性。A053723号,A109064号,A121591号.
关键词
签名
作者
迈克尔·索莫斯2013年9月30日
状态
经核准的
第页12

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