搜索: a260793-编号:a260793
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A000172号
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| Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。 (原名M1971 N0781)
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1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Cusick给出了用floor(r+3)/2)项导出r阶Franel数(这是三阶Franel数列)的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟推测,对于每一个n=2,3,。。。多项式fn(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想:当n是素数时,a(n)==2(mod n^3)-加里·德特利夫斯2013年3月22日
a(p)==2(mod p^3)对于任何素数p,因为p|C(p,k)对于所有k=1,。。。,第1页-孙志伟2013年8月14日
a(n)是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
以瑞士数学家Jéróme Franel(1859-1939)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a(n)等于(1+x+y-z)^n*(1+x-y+z)^n(1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
Jéróme Franel,《关于Laisant的问题》,数学中介,1894年第1卷,第45-47页
H.W.Gould,《组合恒等式》,摩根城,1972年,(X.14),第56页。
Murray Klamkin主编,《应用数学问题:SIAM评论选集》,SIAM,1990年;见第148-149页。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第193页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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P.Barrucand,组合恒等式,问题75-4SIAM Rev.,第17卷(1975年),第168页。解决方案作者:D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil,SIAM Rev.,第18卷(1976年),第303页。
P.Barrucand,问题75-4,组合恒等式SIAM Rev.,17(1975),168。[问题陈述的注释扫描副本]
T.W.Cusick,二项式系数幂和的递推《组合理论》,A辑,第52卷,第1期(1989年),第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬,一些组合序列的对数行为,离散数学。,第308卷,第11期(2008年),第2182-2212页。MR2404544(2009j:05019)-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth,二项式系数幂的渐近公式,数学。天然气。,第89卷,第516号(2005年),第385-391页。
达里杰·格林伯格,现代代数导论(UMN 2019年春季数学4281笔记),明尼苏达大学(2019)。
瓦茨拉夫·科特索维奇,非攻击性棋子,2013年第6版,第282页。
Marci A.Perlstadt,二项式系数幂和的一些递推《数论杂志》,弗吉尼亚。27(1987),第304-309页。
胡安·普拉,问题H-505《高级问题和解决方案》,《斐波纳契季刊》,第33卷,第5期(1995年),第473页;求和公式!Paul S.Bruckman,《H-505问题的解决方案》,同上,第35卷,第1期(1997年),第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔,递归和勒让德变换,《联合国宪章》,B29b(1992年),22页。
孙志伟,Franel数的同余,arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT],2011。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013;《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
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配方奶粉
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A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[Barrucand]。
Sum_{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分_{x=0..无穷大}L_k(x)^3exp(-x)dx.-摘自Askey的书,第43页
具有递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]。-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日
a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月21日
O.g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.:浅层([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.:求和{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2,
G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3+k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x*2)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=(2^n)*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a(n)*(a(n+1)*(-2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+3)+288*a(n+4))+a(n+2)*)Z中所有n的+a(n+3)*(-11*a(n/3)+4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n、r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y''+(24*x^2+14*x-1
a(n)=[x^n](1-x^2)^n*P(n,(1+x)/(1-x)),其中P(n、x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a(n)=(2^n/(4*Pi^2))*Integral_{x,y=0..2*Pi}(1+cos(x)+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=2*(1+4*x)*T(x)+(-1+14*x+24*x^2)*T'(x)+x*(1+x)*(-1+8*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(4/243)*(1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4);
g3=-(8/19683)*(1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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外径:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2%x)^7+(9!/3!^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n/n^3,然后
A(x)=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x ^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉纳
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MAPLE公司
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加法(二项式(n,k)^3,k=0..n);
结束过程:
A000172号_列表:=proc(len)系列(hypergeom([],[1,1],x)^2,x,len);
序列((n!)^3*系数(%,x,n),n=0..长度-1)结束:
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数学
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表[Sum[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3,2/3,1,27x^2/(1-2x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(总和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n)}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
(哈斯克尔)
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
(鼠尾草)
x、 y,n=1,2,1
为True时:
收益率x
n+=1
x、 y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2
[范围(21)中i的下一个(a)]#彼得·卢什尼,2013年10月12日
(PARI)A000172号(n) ={sum(k=0,(n-1)\2,二项式(n,k)^3)*2+if(!比特检验(n,0),二项式(n,n\2)^3)}\\M.F.哈斯勒2015年9月21日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,182422英镑,A182446号,A182447号,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A005259号
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| Apery(Apéry)数:和{k=0..n}(二项式(n,k)*二项式式(n+k,k))^2。 (原名M4020)
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1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, 21460825, 584307365, 16367912425, 468690849005, 13657436403073, 403676083788125, 12073365010564729, 364713572395983725, 11111571997143198073, 341034504521827105445, 10534522198396293262825, 327259338516161442321485
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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推测:对于每个n=1,2,3,。。。Apéry多项式An(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(n+k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
exp(Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+5*x+49*x^2+685*x^3+11807*x^4+232771*x^5+。。。和exp(和{n>=1}a(n-1)*x^n/n)=1+3*x+27*x^2+390*x^3+7038*x^4+144550*x^5+。。。两者似乎都有整数系数。请参见A267220型. -彼得·巴拉2016年1月12日
有理函数R(x,y,z,w)的对角线=1/(1-(w*x*y*z+w*xy+w*z+x*y+x*z+y+z));有理函数H(x,y,z,w)的对角线=1/(1-w*(1+x)*(1+y)*(1+z)*(x*y*z+y*z+y+z+1))-Gheorghe Coserea公司,2018年6月26日
以法国数学家罗杰·阿佩里(1916-1994)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
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参考文献
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朱利安·哈维尔(Julian Havil),《非理性》,普林斯顿大学出版社,普林斯顿和牛津,2012年,第137-153页。
Wolfram Koepf,超几何恒等式。第二章超几何求和:求和和和和与特殊函数恒等式的算法。德国布伦瑞克:Vieweg,第55、119和146页,1998年。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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罗杰·阿佩里,非理性泽塔(2)和泽塔(3)《阿里斯之旅》。德鲁米尼。1978年6月20日至24日在鲁米尼鲁米尼中心大学举行的国家科学研究中心国际学术讨论会(CNRS)。Astérisque,第61卷(1979年),第11-13页。
罗杰·阿佩里,特定实体算术《极端分析集团》,第9卷,第1期(1981-1982年),第16号实验,第2页。
托马斯·巴鲁切尔和卡斯滕·埃尔斯纳,分母分裂有理逼近的误差和,arXiv预印本arXiv:1602.06445[math.NT],2016。
Frits Beukers公司,阿佩里数的另一个同余《数论》,第25卷,第2期(1987年),第201-210页。
Frits Beukers公司,阿佩里关于泽塔的工作的后果(3),在“Zeta(3)irrationnel:les retombées”中,Rencontres Arithmétiques de Caen,1995年6月2日至3日[提到a(n)可被5次幂和11次幂整除]
William Y.C.Chen、Qing Hu Hou和Yan-Ping Mu,双重求和的一种伸缩方法,J.公司。申请。数学。,第196卷,第2期(2006年),第553-566页,例4。
Stéphane Fischler,非理性泽塔之谷,arXiv:math/0303066[math.NT],2003年。
Scott Garrabrant和Igor Pak,用不合理的瓷砖计数,arXiv:1407.8222[math.CO],2014年。
莱昂纳德·利普希茨(Leonard Lipshitz)和阿尔弗雷德·范德普顿(Alfred J.van der Poorten),有理函数、对角线、自动机和算术,摘自:理查德·莫林(编辑),《数论》,《加拿大数论协会第一届会议论文集》,1988年4月17日至27日,阿尔伯塔省班夫中心,德格鲁特,2016年,第339-358页;备用链路;回运机器副本.
埃里克·罗兰和里姆·雅萨维,有理函数对角线的自动同余《波尔多命名期刊》,第27卷,第1期(2015年),第245-288页;arXiv预印本,arXiv:1310.8635[math.NT],2013-2014年。
埃里克·罗兰(Eric Rowland)、里姆·雅萨维(Reem Yassawi)和克里斯蒂安·克拉蒂海尔(Christian Kratethaler),模p^2的Apéry数的Lucas同余,arXiv:2005.04801[math.NT],2020年。
沃尔克·斯特雷尔,递归和勒让德变换,《联合国宪章》,B29b(1992年),22页。
孙志伟,Franel数的同余,arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT],2011。
阿尔弗雷德·范德普滕,欧拉错过的证据。。。,数学。Intelligencer,第1卷,第4期(1979年12月),第196-203页,等式(1.2)后的(b_n)和练习3。
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配方奶粉
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带递归的D-有限(n+1)^3*a(n+1)=(34*n^3+51*n^2+27*n+5)*a(n)-n^3*a(n-1),n>=1。
用Maple符号表示超几何函数4F3的特殊值:a(n)=超几何([n+1,n+1,-n,-n],[1,1,1],1),n=0,1-卡罗尔·彭森2002年7月24日
通用公式:(-1/2)*(3*x-3+(x^2-34*x+1)^(1/2))*(x+1)*(-2)*超几何([1/3,2/3],[1],(-1/2-马克·范·霍伊2011年10月29日
设g(x,y)=4*cos(2*x)+8*sin(y)*cos-彼得·巴拉,2012年3月4日;编辑人G.A.埃德加2016年12月10日
a(n)~(1+sqrt(2))^(4*n+2)/(2^(9/4)*Pi^(3/2)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月1日
a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*C(n+k,k)^2-乔格·阿恩特,2013年5月11日
0=(-x^2+34*x^3-x^4)*y'''+(-3*x+153*x^2-6*x^3)*y''+(-1+112*x-7*x^2)*y'+(5-x)*y,其中y是g.f-Gheorghe Coserea公司2016年7月14日
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)^2*C(n+k,k)|2*C。
a(n)=总和{0<=j,k<=n}C(n,k)*C(n+k,k)*C(k,j)^3(见Koepf,第55页)。
a(n)=和{0<=j,k<=n}C(n,k)^2*C(n、j)^2*C(3*n-j-k,2*n)(见Koepf,第119页)。
有理函数1/((1-x-y)*(1-z-t)-x*y*z*t)的对角线系数(Straub,2014)。(结束)
a(n)=[x^n]1/(1-x)*(Legendre_P(n,(1+x)/(1-x)))^m,m=2。当m=1时,我们得到阿佩里数A005258号. -彼得·巴拉2020年12月22日
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例子
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G.f.=1+5*x+73*x^2+1445*x^3+33001*x^4+819005*x^5+21460825*x^6+。。。
a(2)=(二项式(2,0)*二项式(2+0,0))^2+(二项法(2,1)*二项式(2+1,1))^2+-迈克尔·波特2016年7月14日
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MAPLE公司
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a:=proc(n)选项记忆;如果n=0,则1 elif n=1,然后5 else(n^(-3))*;fi;结束;
#备选方案:
a:=n->超深层([-n,-n,1+n,1+n],[1,1,1],1):
seq(简化(a(n)),n=0..17)#彼得·卢什尼2020年1月19日
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数学
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表[Sum[(二项式[n,k]二项式[n+k,k])^2,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年10月15日*)
a[n_]:=系列系数[SeriesCoefficient[Seriescoefficiency[SeriesCoefficient[1/(1-t(1+x)(1+y)(1++)(xyz+(y+1)(z+1))),{t,0,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2016年5月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=总和(k=0,n,(二项式(n,k)*二项式式(n+k,k))^2)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(哈斯克尔)
a005259 n=a005259_列表!!n个
a005259_list=1:5:zipWithdiv(zipWith(-)
(尾部$zipWith(*)a006221_list a005259_list)
(zipWith(*)(尾部a000578_list)a005259_list
(GAP)列表([0..20],n->总和([0..n],k->二项式(n,k)^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*[0..n]]中的二项式//马吕斯·A·伯蒂2020年1月20日
(Python)
m、 g=1,0
对于范围(n+1)中的k:
g+=米
m*=((n+k+1)*(n-k))**2
m//=(k+1)**4
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A005258号
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| Apéry数:a(n)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k)。 (原名M3057)
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+10 106
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1, 3, 19, 147, 1251, 11253, 104959, 1004307, 9793891, 96918753, 970336269, 9807518757, 99912156111, 1024622952993, 10567623342519, 109527728400147, 1140076177397091, 11911997404064793, 124879633548031009, 1313106114867738897, 13844511065506477501
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
在库珀的论文中,这个序列是t5-杰森·金伯利2012年11月25日
推测:对于每个n=1,2,3,。。。多项式a_n(x)=Sum{k=0..n}C(n,k)^2*C(n+k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
有理函数的对角线1/(1-x-x*y-y*z-x*z-xy*z),1/(1+y+z+x*y+y*z+xx*y*z)、1/(1-x-y-z+x*y+x*y*z)和1/-Gheorghe Coserea公司2018年7月7日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
S.Melczer,《分析组合数学邀请函》,2021年;第129页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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R.Apéry,非理性泽塔(2)和泽塔(3)《阿里斯之旅》。德鲁米尼。1978年6月20日至24日在鲁米尼鲁米尼中心大学举行的国家科学研究中心国际学术讨论会(CNRS)。《阿斯特里斯克》,61(1979),11-13。
R.Apéry,特定实体算术《极端分析集团》,第9期,第1期(1981-1982年),第16号实验,第2页。
A.Bostan、S.Boukraa、J.-M.Maillard和J.-A.Weil,有理函数的对角线与选定的微分Galois群,arXiv预印本arXiv:1507.03227[math-ph],2015年。
E.Delaygue,类Apéry数的算术性质,arXiv预印本arXiv:1310.4131[math.NT],2013-2015。
Michael D.Hirschorn,Pi和Phi之间的连接,斐波纳契夸脱。53(2015),第1期,42-47。
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT],2013年。
V.斯特雷尔,递归和勒让德变换,《联合国宪章》,B29b(1992年),22页。
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配方奶粉
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a(n)=上层([n+1,-n,-n],[1,1],1)-弗拉德塔·约沃维奇2003年4月24日
带递归的D-有限:(n+1)^2*a(n+1)=(11*n^2+11*n+3)*a(n)+n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
设b(n)是b(0)=0,b(1)=5的上述递归的解。那么b(n)就是b(n,n)/a(n)->zeta(2)的有理数。恒等式b(n)*a(n-1)-b(n-1。常数e也有类似结果:参见A143413号. -彼得·巴拉2008年8月14日
G.f.:表皮([1/12,5/12],[1],1728*x^5*(1-11*x-x^2)/(1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4)^3)/-马克·范·霍伊,2011年10月25日
a(n)~((11+5*sqrt(5))/2)^(n+1/2)/(2*Pi*5^(1/4)*n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月5日
1/Pi=5*(sqrt(47)/7614)*Sum_{n>=0}(-1)^na(n)*二项式(2n,n)*(682n+71)/15228^n-杰森·金伯利2012年11月26日
如果n>=0,则a(-1-n)=(-1)^n*a(n)。如果n<0,a(-1-n)=-(-1)^n*a(n)-迈克尔·索莫斯2013年9月18日
0=a(n)*(a(n+1)*(+4*a(n+2)+83*a*a(n+4))+a(n+2)*Z中的所有n均为-4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2016年8月6日
a(n)=二项式(2*n,n)*超几何([-n,-n,/n],[1,-2*n],1)-彼得·卢什尼2018年2月10日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)^2-彼得·巴拉2018年2月10日
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(j+k)*C(n,k)*C(n+k,k)^2*C(n,j)*C。
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)^2*C(n+k,k)*C。
a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^j*C(n,k)^2*C(n,j)*C(3*n-j-k,2*n)。(结束)
a(n)=[x^n]1/(1-x)*(Legendre_P(n,(1+x)/(1-x)))^m,m=1。当m=2时,我们得到阿佩里数A005259号. -彼得·巴拉2020年12月22日
a(n)=(-1)^n*和{j=0..n}(1-5*j*H(j)+5*j*H(n-j))*二项式(n,j)^5,其中H(n)表示第n次谐波数,A001008号/A002805号(保罗/施耐德)-彼得·卢什尼2021年7月23日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=(3+x)*T(x)+(-1+22*x+3*x^2)*T'(x)+x*(-1+11*x+x^2)*T'(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(1-12*x+14*x^2+12*x^3+x^4);
g3=1-18*x+75*x^2+75*x^4+18*x^5+x^6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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G.f.=1+3*x+19*x^2+147*x^3+1251*x^4+11253*x^5+104959*x^6+。。。
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MAPLE公司
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与(组合):seq(加((多项式(n+k,n-k,k,k))*二项式(n,k),k=0..n),n=0..18)#泽因瓦利·拉霍斯2006年10月18日
a:=n->二项式(2*n,n)*超几何([-n,-n,.n],[1,-2*n],1):
seq(简化(a(n)),n=0..20)#彼得·卢什尼2018年2月10日
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数学
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表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[n+k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2019年8月25日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a005258 n=总和[a007318 n k ^2*a007319(n+k)k | k<-[0..n]]
(PARI){a(n)=如果(n<0,-(-1)^n*a(-1-n),和(k=0,n,二项式(n,k)^2*二项式/*迈克尔·索莫斯2013年9月18日*/
(GAP)a:=n->总和([0..n],k->(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)^2);;
(GAP)列表([0..20],n->总和([0..n],k->二项式(n,k)^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月29日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(n+k,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2018年11月28日
(Python)
m、 g=1,0
对于范围(n+1)中的k:
g+=米
m*=(n+k+1)*(n-k)**2
m//=(k+1)**3
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002893号
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| a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式。 (原名M2998 N1214)
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+10 89
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1, 3, 15, 93, 639, 4653, 35169, 272835, 2157759, 17319837, 140668065, 1153462995, 9533639025, 79326566595, 663835030335, 5582724468093, 47152425626559, 399769750195965, 3400775573443089, 29016970072920387, 248256043372999089
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
a(n)是距离平面上三步随机行走原点距离的第2n个力矩Peter M.W.Gill(Peter.Gill(AT)nott.ac.uk),2004年2月27日
a(n)是3个字母字母表上长度为2n的阿贝尔平方的数量-杰弗里·沙利特2010年8月17日
考虑蜂窝格子上的二维简单随机行走。a(n)给出了在原点结束的长度为2n的路径数-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日
推测:对于每个n=1,2,3,。。。多项式g_n(x)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2k,k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳,2017年8月6日
a(n)是(x+y+z)^n系数的平方和-迈克尔·索莫斯,2018年8月25日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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B.Adamczewski、J.P.Bell和E.Delaygue,G函数与同余的代数独立性“,arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT],2016。
David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、David Broadhurst和M.L.Glasser,贝塞尔矩的椭圆积分估计,arXiv:0801.0891[hep-th],2008年。
P.Barrucand,组合恒等式,问题75-4SIAM Rev.,17(1975),168。解决方案作者:D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil,SIAM Rev.18(1976),303。
P.Barrucand,问题75-4,组合恒等式SIAM Rev.,17(1975),168。[问题陈述的注释扫描副本]
阿图尔·比尔(Artur Bille)、维克托·布赫斯塔贝尔(Victor Buchstaber)、西蒙·科斯特(Simon Coste)、佐佐希·库里基(Satoshi Kuriki)和叶夫根尼·斯波达列夫(Evgeny Spodarev),石墨烯的随机特征值与平面三角剖分,arXiv:2306.01462[math.SP],2023年。
乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、德克·努延斯(Dirk Nuyens)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和詹姆斯·万(James Wan),随机游动积分, 2010.
乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和克里斯托夫·维格纳特(Christophe Vignat),短均匀随机游动的密度,第二部分:高维,预印本,2015
Jonathan M.Borwein、Armin Straub和James Wan,三步和四步随机游动积分,专家。数学。,22 (2013), 1-14.
Charles Burnette和Chung Wong,阿贝尔平方及其后代,arXiv:1609.05580[math.CO],2016年。
埃里克·德拉格,类猿数的算术性质,arXiv预打印arXiv:1310.4131[math.NT],2013。
Jeffrey S.Geronimo、Hugo J.Woerdeman和Chung Y.Wong,多变量一次对称多项式的自回归滤波问题,arXiv:2101.00525[math.CA],2021。
Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel,网格上的高斯广播,arXiv:240.2.11990[cs.IT],2024。见第27页。
Tanya Khovanova和Konstantin Knop,三种不同重量的硬币,arXiv:1409.0250[math.HO],2014年。
L.B.Richmond和Jeffrey Shallit,阿贝尔平方的计数,电子组合学杂志16(1),#R722009年6月。[来自杰弗里·沙利特2010年8月17日]
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配方奶粉
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a(n)=和{m=0..n}二项式(n,m)*A000172号(m) ●●●●。[巴鲁坎德]
带递归的D-有限:(n+1)^2a(n+1)=(10*n^2+10*n+3)*a(n)-9*n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
求和{n>=0}a(n)*x^n/n^2=贝塞尔I(0,2*sqrt(x))^3-弗拉德塔·约沃维奇2003年3月11日
a(n)=Sum_{p+q+r=n}(n!/(p!*q!*r!))^2,其中p,q,r>=0-迈克尔·索莫斯2007年7月25日
a(n)=表层([1/2,-n,-n],[1,1],4)-马克·范·霍伊2010年6月2日
G.f.:2*sqrt(2)/Pi/sqrt(1-6*z-3*z^2+sqrt,(1-z)^3*(1-9*z)))*椭圆(8*z^(3/2)/(1-6*z-3*z ^2+平方(1-z,^3*,1-9*z)))-谢尔盖·佩雷佩奇科2011年2月16日
G.f.:求和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)*(1-x)^n/(1-3*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳2012年2月26日
一般公式:1/(1-3*x)*(1-6*x^2*(1-x)/(Q(0)+6*x^2*(1-x)3*k+5)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:G(0)/(2*(1-9*x)^(2/3)),其中G(k)=1+1/(1-3*(3*k+1)^2*x*(1-x)^2/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月31日
0=+a(n)*(+a(n+1)**a(n+3)-117*a(n+4))+a(n+2)*(n+4)))对于Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2017年10月30日
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x-1)*(9*x-1)*y''+(27*x^2-20*x+1)*y'+3*(3*x-1-Gheorghe Coserea公司2018年7月1日
和{k>=0}二项式(2*k,k)*a(k)/6^(2*k)=A086231号=(sqrt(3)-1)*(伽马(1/24)*伽马(11/24))^2/(32*Pi^3)-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年4月23日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=3*(-1+3*x)*T(x)+(1-20*x+27*x^2)*T'(x)+x*(-1+x)*(-1+9*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(3/64)*(1+3*x)*(1-15*x+75*x^2+3*x^3);
g3=-(1/512)*(-1+6*x+3*x^2)*(1-12*x+30*x^2-540*x^3+9*x^4);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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通用公式:A(x)=1+3*x+15*x^2+93*x^3+639*x^4+4653*x^5+35169*x^6+。。。
通用公式:A(x)=1/(1-3*x)+6*x^2*(1-x)/(1-3+x)^4+90*x^4*(1-x)^2/(1-3**)^7+1680*x^6*(1-xx)^3/(1-3+xx)-保罗·D·汉纳2012年2月26日
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MAPLE公司
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系列(1/GaussAGM(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3),x=0,42)#Gheorghe Coserea公司2016年8月17日
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数学
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表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[2k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2011年8月19日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,超几何PFQ[{1/2,-n,-n},{1,1},4]];(*迈克尔·索莫斯2013年10月16日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,块[{x,y,z},展开[(x+y+z)^n]/。{t_Integer->t^2,x->1,y->1,z->1}]];(*迈克尔·索莫斯2018年8月25日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!^2*polceoff(besseli(0,2*x+O(x^(2*n+1)))^3,2*n))};
(PARI){a(n)=和(k=0,n,二项式(n,k)^2*二项式的(2*k,k))}/*迈克尔·索莫斯2007年7月25日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)*(1-x)^m/(1-3*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2012年2月26日
(PARI)N=42;x='x+O('x^N);v=Vec(1/agm(sqrt((1-3*x)*(1+x)^3),sqrt((1+3*x)*(1-x)^3));向量((#v+1)\2,k,v[2*k-1])\\Gheorghe Coserea公司2016年8月17日
(岩浆)[&+[二项式(n,k)^2*二项式(2*k,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2018年8月26日
(SageMath)
定义A002893号(n) :返回简化(超几何([1/2,-n,-n],[1,1],4))
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的,步行,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002895号
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| Domb numbers:菱形晶格上2n步多边形的数量。 (原名M3626 N1473)
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1、4、28、256、2716、31504、387136、4951552、65218204、878536624、12046924528、167595457792、2359613230144、33557651538688、4813654248954888、6956365106016256、101181938814289564、1480129751586116848、21761706991570726096、321401321741959062016
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a(n)是距平面上四步随机行走原点距离的第(2n)个力矩Peter M.W.Gill(Peter.Gill(AT)nott.ac.uk),2004年3月3日
猜想:设D(n)是(n+1)X-孙志伟2013年8月14日
似乎展开式exp(Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n)=1+4*x+22*x^2+152*x^3+1241*x^4+。。。和exp(和{n>=1}1/4*a(n)*x^n/n)=1+x+4*x^2+25*x^3+199*x^4+。。。具有整数系数。请参见1967年2月19日. -彼得·巴拉2016年1月12日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
以英国伊斯雷利理论物理学家西里尔·多姆(1920-2012)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月20日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、David Broadhurst和M.L.Glasser,贝塞尔矩的椭圆积分计算及其应用,《物理学报A:数学与理论》,第41卷,第20期(2008),205203;arXiv预印本,arXiv:0801.0891[hep-th],2008年。
Jonathan M.Borwein和Armin Straub,马勒测度、短步和对数正弦积分《理论计算机科学》,第479卷(2013年),第4-21页。
乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和克里斯托夫·维格纳特(Christophe Vignat),短均匀随机游动的密度,第二部分:高维,预印本,2015年。
乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、德克·努延斯(Dirk Nuyens)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和詹姆斯·万(James Wan),随机游动积分, 2010.
Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard,用于模式避免排列的Stieltjes矩序列,arXiv:2001.00393[数学.CO],2020年。
肖恩·库珀(Shaun Cooper)、詹姆斯·G·万(James G.Wan)和瓦迪姆·祖迪林(Wadim Zudilin),全息炼金术和1/pi系列,收录于:G.Andrews和F.Garvan(编辑)《解析数论、模形式和q超几何级数》,ALLADI60 2016,Springer Proceedings in Mathematics&Statistics,Vol 221。施普林格,商会,2016;arXiv预印本,arXiv:1512.04608[math.NT],2015年。
Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel,网格上的高斯广播,arXiv:240.2.11990[cs.IT],2024。见第27页。
L.B.Richmond和Jeffrey Shallit,计算阿贝尔平方《组合数学电子杂志》,第16卷,第1期(2009年),第R72条;arXiv预印本,arXiv:0807.5028[math.CO],2008年。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,in:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu(编辑),《数论:香格里拉的算术》,Proc。第六届中日学期数理论(上海,2011年8月15日至17日),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页;备用链路.
陈旺,超同余与超几何变换,arXiv:2003.09888[math.NT],2020年。
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配方奶粉
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a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式。
带递归的D-有限:n^3*a(n)=2*(2*n-1)*(5*n^2-5*n+2)*a(n-1)-64*(n-1-弗拉德塔·约沃维奇2004年7月16日
求和{n>=0}a(n)*x^n/n^2=贝塞尔(0,2*sqrt(x))^4-弗拉德塔·约沃维奇2006年8月1日
G.f.:浅层([1/6,1/3],[1],108*x^2/(1-4*x)^3)^2/-马克·范·霍伊2011年10月29日
(1) 4^n*a(n)=和{k=0..n}(二项式(2k,k)*二项式,
(2) a(n)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(2k,n)*二项式(2k,k)*二项式(2(n-k),n-k)。(结束)
a(n)~2^(4*n+1)/((Pi*n)^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月20日
a(n)=和{p+q+r+s=n}(n!/(p!*q!*r!*s!))^2,其中p,q,r,s>=0。见Verrill,第5页-彼得·巴拉2020年1月6日
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MAPLE公司
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A002895号:=n->二项式(2*n,n)*超几何([1/2,-n,-n、-n],[1,1,1/2-n],1):
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数学
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表[Sum[二项式[n,k]^2二项式[2n-2k,n-k]二项式[2],{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月15日*)
a[n]=二项式[2*n,n]*超几何PFQ[{1/2,-n,-n、-n},{1,1,1/2-n},1];(*或*)a[n_]:=系列系数[BesselI[0,2*Sqrt[x]]^4,{x,0,n}]*n^2; 表[a[n],{n,0,19}](*Jean-François Alcover公司2013年12月30日之后弗拉德塔·约沃维奇*)
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黄体脂酮素
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(PARI)C=二项式;
a(n)=总和(k=0,n,C(n,k)^2*C(2*n-2*k,n-k)*C(2*k,k));
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的,美好的,步行
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 20, 112, 676, 4304, 28496, 194240, 1353508, 9593104, 68906320, 500281280, 3664176400, 27033720640, 200683238720, 1497639994112, 11227634469668, 84509490017680, 638344820152784, 4836914483890112, 36753795855173776, 279985580271435584, 2137790149251471680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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AGM(x,y)是高斯和勒让德的算术几何平均值。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
这是序列的指数(也称为二项式)卷积A000984号(中心二项式)。参见V.Jovovic例如f.和下面给出的a(n)公式-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
递归(n+1)^2*a(n+1)=(12*n^2+12*n+4)*a-迈克尔·索莫斯2022年4月5日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
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链接
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E.Delaygue,类猿数的算术性质,arXiv预印本arXiv:1310.4131[math.NT],2013-2015。
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配方奶粉
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G.f.:1/AGM(1,1-8*x)。
例如:exp(4*x)*BesselI(0,2*x)^2-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月20日
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*二项式-弗拉德塔·约沃维奇2003年9月16日
带递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(12*n^2+12*n+4)*a(n)-32*n^2*a(n-1)-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
例如:[Sum_{n>=0}二项式(2n,n)*x^n/n!]^2-保罗·D·汉纳2009年9月4日
G.f.:高斯超几何函数2F1(1/2,1/2;1;16*x-64*x^2)-马克·范·霍伊2011年10月24日
0=x*(x+4)*(x+8)*y''+(3*x^2+24*x+32)*y'+(x+4)*y,其中y(x)=A(x/-32)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
a(n)=(1/Pi)^2*Integral_{0<=x,y<=Pi}(4*cos(x)^2+4*cos(y)^2)^ndx-dy-彼得·巴拉2022年2月10日
a(n)=a(-1-n)*32^(n-1/2 a(n+1)*(-5120*a(n+2)+3840*aZ中所有n的+48*a(n+3)-8*a(n+4))+a(n+3)*-迈克尔·索莫斯2022年4月4日
a(n)=二项式(2*n,n)*超几何([1/2,-n,-n],[1,1/2-n],-1)-彼得·卢什尼2022年4月5日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=4*(-1+8*x)*T(x)+(1-24*x+96*x^2)*T'(x)+x*(-1+4*x)*(-1+8*x)*1T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(1-16*(1-8*x)^2+16*(1-8*x))^4);
g3=1+30*(1-8*x)^2-96*(1-8*x)*4+64*(1-8-x)^6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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G.f.=A(x)=1+4*x+20*x^2+112*x^3+676*x^4+4304*x^5+28496*x^6+。。。
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数学
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表[和[二项式[n,k]*二项式[2*n-2*k,n-k]*二项式[2*k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月13日*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/2,1/2,1,16x(1-4x)],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年10月25日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,系列系数[1/NestWhile[{(#[1]]+#[2]])/2,Sqrt[#[[1]]#[2]]}&,{1,系列[1-8 x,{x,0,n}]},#[1]]=!=#[[2]]&]//第一个,{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年10月27日*)
系数列表[级数[2*EllipticK[1/(1-1/(4*x))^2]/(Pi*(1-4*x,)),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年1月13日*)
a[n]:=二项式[2n,n]超几何PFQ[{1/2,-n,-n},{1,1/2-n},-1];
表[a[n],{n,0,20}](*彼得·卢什尼2022年4月5日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(1/agm(1,1-8*x+x*O(x^n)),n))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,4^n*和(k=0,n\2,二项式(n,2*k)*二项式(2*k,k)^2/16^k))};
(PARI){a(n)=n!*polcoeff(sum(k=0,n,(2*k)!*x^k/(k!)^3+x*O(x^n))^2,n)}/*保罗·D·汉纳2009年9月4日*/
(Python)
从数学导入梳
定义A081085美元(n) :返回和((1<<(n-(m:=k<<1)<<1))*梳(n,m)*梳#柴华湖2023年7月9日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A006077号
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| (n+1)^2*a(n+1)=(9n^2+9n+3)*a(n)-27*n^2*a(n-1),其中a(0)=1,a(1)=3。 (原名M2775)
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1, 3, 9, 21, 9, -297, -2421, -12933, -52407, -145293, -35091, 2954097, 25228971, 142080669, 602217261, 1724917221, 283305033, -38852066421, -337425235479, -1938308236731, -8364863310291, -24286959061533, -3011589296289, 574023003011199, 5028616107443691
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
猜想:设W(n)是(n+1)X(n+1”)Hankel型行列式,对于所有i,j=0,…,(i,j)-项等于a(i+j),。。。,n.如果n==1(mod 3),则W(n)=0。当n==0或2(mod 3)时,W(n)*(-1)^(floor((n+1)/3))/6^n总是一个正奇整数-孙志伟2013年8月21日
猜想:设p==1(mod 3)为素数,用x,y整数和x==1,mod 3写4*p=x^2+27*y^2。然后W(p-1)==(-1)^{(p+1)/2}*(x-p/x)(mod p^2),其中W(n)定义如上-孙志伟2013年8月23日
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
有理函数的对角线1/(1-(x^2*y+y^2*z-z^2*x+3*x*y*z)),1/(1-x^3+y^3-z^3+3*x*y)),1/1(1+x^3+y^3+z^3-3*xx*y*z)-Gheorghe Coserea公司,2018年8月4日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
D.Zagier,类Apery-like递归方程的积分解,in:群与对称:从新石器时代的苏格兰人到John McKay,CRM Proc。课堂笔记47,Amer。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,2009年,第349-366页。
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链接
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A.Bostan、S.Boukraa、J.-M.Maillard和J.-A.Weil,有理函数的对角线与选定的微分Galois群,arXiv预印本arXiv:1507.03227[math-ph],2015年。
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配方奶粉
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G.f.:超几何([1/3,2/3],[1],x^3/(x-1/3)^3)/(1-3*x)-马克·范·霍伊,2011年10月25日
a(n)=Sum_{k=0..楼层(n/3)}(-1)^k*3^(n-3k)*C(n,3k)*C(2k,k)*C(3k,k)-孙志伟2013年8月21日
0=x*(x^2+9*x+27)*y''+(3*x^2+18*x+28)*y'+(x+3)*y,其中y(x)=A(x/-27)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
a(n)=3^n*超深层([-n/3,(1-n)/3,(2-n)/3],[1,1],1)-彼得·卢什尼2017年11月1日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=3*(-1+9*x)*T(x)+(-1+9*x)^2*T'(x)+x*(1-9*x+27*x^2)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=3*(-8+9*(1-9*x)^3)*(1-9*x);
g3=8-36*(1-9*x)^3+27*(1-9*x)*6;
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+21*x^3+9*x^4-297*x^5-2421*x^6-12933*x^7-。。。
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MAPLE公司
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a:=n->3^n*超深层([-n/3,(1-n)/3,(2-n)/3],[1,1],1):
seq(简化(a(n)),n=0..24)#彼得·卢什尼2017年11月1日
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数学
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表[和[(-1)^k*3^(n-3*k)*二项式[n,3*k]*二项法[2*k,k]*二项式[3*k,k],{k,0,Floor[n/3]}],{n,0,50}](*G.C.格鲁贝尔2017年10月24日*)
a[n]:=级数系数[HypergeometricPFQ[{1/3,2/3},{1},x^3/(x-1/3)^3]/(1-3x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2017年11月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)subst(eta(q)^3/eta(q^3),q,serreverse(eta(q^9)^3/eta(q)^3*q))\\(生成函数)Helena Verrill(Verrill(AT)math.lsu.edu),2009年4月20日[对于(-1)^n*a(n)]
(PARI)
diag(expr,N=22,var=变量(expr))={
my(a=向量(N));
对于(k=1,#var,expr=taylor(expr,var[#var-k+1],N));
对于(n=1,n,a[n]=expr;
对于(k=1,#var,a[n]=polceoff(a[n],n-1));
申报(a);
};
诊断(1/(1+x^3+y^3+z^3-3*x*y*z),25)
(PARI)
序列(N)={
my(a=向量(N));a[1]=3;a[2]=9;
对于(n=2,n-1,a[n+1]=((9*n^2+9*n+3)*a[n]-27*n^2*a[n-1])/(n+1)^2);
concat(1,a);
};
序列(24)
\\测试:y=subst(Ser(seq(202)),'x,-'x/27);0==x*(x^2+9*x+27)*y''+(3*x^2+18*x+27*y'+(x+3)*y
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);(-1)^n*polceoff(subst(eta(x+a)^3/eta(x^3+a),x,serreverse(x*eta(x29+a)/*迈克尔·索莫斯2017年11月1日*/
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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签名
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作者
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扩展
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更多来自Kok Seng Chua(chuaks(AT)ihpc.nus.edu.sg)的条款,2000年6月20日
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状态
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经核准的
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A093388号
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| (n+1)^2*a(n+1”)=(17n^2+17n+6)*a(n)-72*n^2*a(n-1)。 |
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+10 47
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1, 6, 42, 312, 2394, 18756, 149136, 1199232, 9729882, 79527084, 654089292, 5408896752, 44941609584, 375002110944, 3141107339328, 26402533581312, 222635989516122, 1882882811380284, 15967419789558804, 135752058036988848, 1156869080242393644
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开。
这是一个类Apery-like序列-参见交叉引用-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
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链接
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乔纳森·博文(Jonathan M.Borwein)、德克·努延斯(Dirk Nuyens)、阿明·斯特劳布(Armin Straub)和詹姆斯·万(James Wan),短随机游动积分的一些算法性质2011年5月。
罗伯特·S·迈尔,关于合理参数化模方程,arXiv:math/0611041[math.NT],2006年。
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配方奶粉
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a(n)=(-1)^n*和{k=0..n}二项式(n,k)*(-8)^k*和{j=0..n-k}二项式(n-k,j)^3.-海伦娜·维里尔(Verrill(AT)math.lsu.edu),2004年8月9日
G.f.:表皮([1/3,2/3],[1],x^2*(8*x-1)/(2*x-1/3)^3)/(1-6*x)-马克·范·霍伊,2011年10月25日
G.f.A(x)满足:0=x*(x+8)*(x+9)*y''+(3*x^2+34*x+72)*y'+(x+6)*y,其中y(x)=A(-x/72)-Gheorghe Coserea公司2016年8月26日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=6*(-1+12*x)*T(x)+(1-34*x+216*x^2)*T'(x)+x*(-1+8*x)*(-1+9*x)*1T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=12*(-1+6*x)*(-1+18*x-84*x^2+24*x^3);
g3=-8*(1-12*x+24*x^2)*(-1+24*x-192*x^2+504*x^3+72*x^4);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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A(x)=1+6*x+42*x^2+312*x^3+2394*x^4+18756*x^5+。。。是g.f。
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MAPLE公司
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f: =proc(n)选项记忆;局部m;如果n=0,则返回(1);fi;如果n=1,则返回(6);fi;m: =n-1;((17*m^2+17*m+6)*f(n-1)-72*m^2*f(n-2))/n^2;结束;
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数学
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表[(-1)^n*和[二项式[n,k]*(-8)^k*和[二项式[n-k,j]^3,{j,0,n-k}],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2012年10月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=(-1)^n*和(k=0,n,二项式(n,k)*(-8)^k*和(j=0,n-k,二项型(n-k,j)^3));
(PARI)
序列(N)={
my(a=向量(N));a[1]=6;a[2]=42;
对于(n=3,n,a[n]=((17*n^2-17*n+6)*a[n-1]-72*(n-1)^2*a[n-2])/n^2);
concat(1,a);
};
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A125143号
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| Almkvist-Zudilin数:和{k=0..n}(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)。 |
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+10 47
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1, -3, 9, -3, -279, 2997, -19431, 65853, 292329, -7202523, 69363009, -407637387, 702049401, 17222388453, -261933431751, 2181064727997, -10299472204311, -15361051476987, 900537860383569, -10586290198314843, 74892552149042721, -235054958584593843
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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除了符号外,这是一种类似于无柄类的序列——见交叉参照-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
以瑞典数学家格特·埃纳尔·托尔斯滕·阿尔姆克维斯特(1934-2018)和俄罗斯数学家瓦迪姆·瓦伦蒂诺维奇·祖迪林(b.1970)命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月23日
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参考文献
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G.Almkvist和W.Zudilin,微分方程,镜像图和zeta值。《镜像对称V》,N.Yui、S.-T.Yau和J.D.Lewis(编辑),AMS/IP高等数学研究38(2007),国际出版社和Amer。数学。Soc.,第481-515页。Chan&Verrill引用。
海伦娜·韦里尔(Helena Verrill)在美国年度会议上的讲话。数学。洛杉矶新奥尔良Soc.,2007年1月,“1/pi系列”。
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链接
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格特·阿尔姆克维斯特(Gert Almkvist)、克里斯蒂安·克拉蒂塔勒(Christian Kratethaler)和约阿金·彼得森(Joakim Peterson),π的一些新公式,实验。数学。,第12卷(2003年),第441-456页。(数学修订版MR2043994,作者:W.Zudilin)
G.Almkvist和W.Zudilin,微分方程、镜像图和zeta值,arXiv:math/0402386[math.NT],2004年。
尤利·巴里什尼科夫、斯蒂芬·梅尔策、罗宾·佩曼特尔和阿明·斯特劳布,基于ACSV的对称有理函数的对角渐近性,《2018年LIPIcs算法分析学报》,arXiv:1804.10929[math.CO],2018年。
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配方奶粉
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a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*(3^(n-3*k)*!)/(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k)-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月13日
递归:n^3*a(n)=-(2*n-1)*(7*n^2-7*n+3)*a(n-1)-81*(n-1”^3*a(n-2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
G.f.:表皮([1/8,5/8],[1],-256*x^3/((81*x^2+14*x+1)*(-x+1)^2))^2/((81*x^2+14*x+1)^(1/4)*sqrt(-x+1))-谢尔盖·尤基维奇2020年8月31日
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数学
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表[和[(-1)^(n-k)*((3^(n-3*k)*[3*k!)/(k!)^3)*二项式[n,3*k]*二项法[n+k,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=和(k=0,n,(-1)^(n-k)*/(k!)^3)*二项式(n,3*k)*二项式(n+k,k));
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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容易的,签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, -5, 35, -275, 2275, -19255, 163925, -1385725, 11483875, -91781375, 688658785, -4581861025, 22550427925, 8852899375, -2431720493125, 47471706909725, -699843878180125, 9141002535744625, -111232778205154375, 1288777160650004375, -14372445132730778975
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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除了符号外,这是一种类似于无柄类的序列——见交叉参照-雨果·普福尔特纳2017年8月6日
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链接
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配方奶粉
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n^3*a(n+1)=-(2*n-1)*(11*n*(n-1)+5)*a(n)-125*。
a(n*p^k)==(p^3+Kronecker(p,5)。【Verrill,1999年】
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例子
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G.f.=x-5*x ^2+35*x ^3-275*x*4+2275*x ^5-19255*x ^6+163925*x ^7+。。。
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数学
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a[n]:=a[n]=开关[n,1,1,2,-5,_,(1/(n-1)^3)((1-2(n-1;
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=我的(m=n-1);如果(n<1,0,如果(n<3,[1,-5][n],-((5*(m-1))^3*a(n-2)+(2*m-1)*(11*(m^2-m)+5)*a(n-1))/m^3))};
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,209576元(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
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