搜索: a246403-编号:a246402
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A001678号
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| 具有n个节点的系列减少种植树的数量。 (原名M0768 N0293)
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+10 144
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 35, 67, 127, 248, 482, 952, 1885, 3765, 7546, 15221, 30802, 62620, 127702, 261335, 536278, 1103600, 2276499, 4706985, 9752585, 20247033, 42110393, 87733197, 183074638, 382599946, 800701320, 1677922740, 3520581954
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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评论
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按照惯例,初始项是0,但也可以将其改为1。
对于n>=3,a(n+1)是具有n个节点的无序根树的数量,其中所有分支的长度>=2。肢体是从叶子(朝向根)到最近的分支点(根被视为分支点)的路径-乔格·阿恩特2015年3月3日
如果没有顶点正好有一个子节点,则根树是孤立子树,如果没有顶点的阶数为2,则拓扑级数会减少。此序列统计具有n-1个顶点的未标记的独子避免根树。拓扑级数减少的根树按A001679,基本上与A059123号. -古斯·怀斯曼2020年1月20日
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参考文献
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D.G.Cantor,个人沟通。
J.L.Gross和J.Yellen编辑,《图论手册》,CRC出版社,2004年;第525页。
F.Harary和E.M.Palmer,《图形计数》,纽约学术出版社,1973年,第62页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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F.Harary和E.M.Palmer,树的一点固定的概率,数学。程序。外倾角。Phil.Soc.85(1979)407-415。
F.Harary、R.W.Robinson和A.J.Schwenk,确定各种树的渐近数目的二十步算法,J.Austral。数学。Soc.,系列A,20(1975),483-503。
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公式
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G.f.:A(x)满足A(x)=(x^2/(1+x))*exp(Sum_{k>=1}A(x^k)/(k*x^k))[Harary和E.M.Palmer,1973,第62页,方程(3.3.8)]。
通用公式:A(x)=Sum_{n>=2}A(n)*x^n=x^2/((1+x)*Product_{k>0}(1-x^k)^A(k+1))-迈克尔·索莫斯2003年10月6日
a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=A246403型=2.189461985660850563…和c=0.192422547471550354144525345664514828912790855237298544741406053655209-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月26日
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例子
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---------------示例(i=内部,e=外部):---------------------------
|.n=2.|。。n=4.|。。n=5..|。。。n=6…………………|。。。。n=7|
|.....|.......|.......|.............e...e.|。。。。。。。。。。。。。。。。e.e.e……e.e|
|.....|.e.…e.|.e.e.e.|.e.ee.e...e...即…|.ee.e.e...即..即…e.e|
|..e..|。。。我…|。。。我…|。。。。我…..我…..|。。。。。i………..i|
|..e..|。。。例如…|。。。例如…|。。。。e……..e…..|。。。。。e……….e|
-----------------------------------------------------------------------------
G.f.=x^2+x^4+x^5+2*x^6+3*x^7+6*x^8+10*x^9+19*x^10+。。。
注释中描述的具有7个节点的a(8)=6根树为:
:级别顺序输出度(点表示零)
:1:[0 1 2 3 2 1][2 2 2….]
:O--O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 2: [ 0 1 2 2 2 2 1 ] [ 2 4 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 3: [ 0 1 2 2 2 1 1 ] [ 3 3 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
:--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 4: [ 0 1 2 2 1 2 2 ] [ 2 2 . . 2 . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o——o
: .--o(o)
:
: 5: [ 0 1 2 2 1 1 1 ] [ 4 2 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 6: [ 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 6 . . . . . . ]
:O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
(结束)
a(2)=1到a(9)=10未标记的独子树,避免具有n-1个节点的有根树(空的n=3列显示为点)为:
o、。(oo)(ooo)(oooo)
(o(oo))
(oo(oo))(oo
(ooo(oo))
((oo))(oooo)
(o(o(oo))
(o(o(ooo))
(o(oo)(oo))
(o(oo(oo))
(oo(o(oo))
(结束)
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MAPLE公司
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带(powseries):带(combstruct):n:=30:sys:={B=Prod(C,Z),S=Set(B,1<=card),C=Union(Z,S)}:A001678号:=1,0,1,seq(计数([S,sys,未标记],大小=i),i=1..n);#Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com)
#第二个Maple项目:
带有(数字理论):
b: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,添加(add(
d*a(d+1),d=除数(j)*b(n-j),j=1..n)/n)
结束:
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n<2,0,
`如果`(n=2,1,b(n-2)-a(n-1)))
结束:
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数学
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b[n_]:=b[n]=如果[n==0,1,和[Sum[d*a[d+1],{d,除数[j]}]*b[n-j],{j,1,n}]/n];a[n_]:=a[n]=如果[n<2,0,如果[n==2,1,b[n-2]-a[n-1]];表[a[n],{n,0,50}](*Jean-François Alcover公司2014年9月24日之后阿洛伊斯·海因茨*)
条款=38;A[_]=0;Do[A[x_]=(x^2/(1+x))*Exp[Sum[A[x^k]/(k*x^k),{k,1,j}]+O[x]^j//正常,{j,1,项}];系数列表[A[x],x](*Jean-François Alcover公司2018年1月12日*)
urt[n_]:=联接@@表[Union[Sort/@Tuples[urt/@ptn]],{ptn,IntegerPartitions[n-1]}];
表[If[n<=1,0,Length[Select[urt[n-1],FreeQ[#,{_}]&]],{n,0,10}](*古斯·怀斯曼2020年1月20日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)(a(n)=如果(n<4,n==2,T(n-2,n-3));/*其中*/{T(n,k)=如果(n<1||k<1,(n==0)&&(k>=0),和(j=1,k,和(i=1,n\j,T(n-i*j,min(n-i*j,j-1))*二项式(a(j+1)+i-1,i)))}/*迈克尔·索莫斯2002年6月4日*/
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<3,n==2,a=x/(1-x^2)+O(x^n);对于(k=3,n-2,a/=(1-x^k+O(x ^n))^polceoff(a,k));polceof(a,n-1))}/*迈克尔·索莫斯2003年10月6日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000014号
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| 具有n个节点的系列缩减树的数量。 (原名M0320 N0118)
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+10 23
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0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 10, 14, 26, 42, 78, 132, 249, 445, 842, 1561, 2988, 5671, 10981, 21209, 41472, 81181, 160176, 316749, 629933, 1256070, 2515169, 5049816, 10172638, 20543579, 41602425, 84440886, 171794492, 350238175, 715497037, 1464407113
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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评论
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“系列还原树”的其他术语:(i)同胚不可约树,(ii)同胚还原树,(iii)约化树,(iv)拓扑树。
在序列缩减树中,顶点不能有2阶;它们可以是叶子,也可以有>=2个树枝。
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux,组合物种和树状结构,坎布。1998年,第284页。
D.G.Cantor,个人沟通。
F.Harary,图论。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,1969年,第232页。
F.Harary和E.M.Palmer,《图形计数》,纽约学术出版社,1973年,第62页,图3.3.3。
J.L.Gross和J.Yellen编辑,《图论手册》,CRC出版社,2004年;第526页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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James Grime和Brady Haran,善意狩猎的问题2013年(数字爱好者视频)。
F.Harary、R.W.Robinson和A.J.Schwenk,确定各种树的渐近数目的二十步算法,J.Austral。数学。Soc.,系列A,20(1975),483-503。
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公式
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通用公式:A(x)=((x-1)/x)*f(x)+((1+x)/x^2)*G(x)-(1/x^2A059123号g(x)是g.fA001678号【Harary和E.M.Palmer,第62页,等式(3.3.10),加上额外的-(1/x^2)*Hbar(x)^2项,根据等式(3.314),第63页,加上等式(33.9)】。[由更正沃尔夫迪特·朗2001年1月9日]
a(n)~c*d^n/n^(5/2),其中d=A246403型=2.189461985660850…,c=0.6844472720049140610231632797941453614690338681457680751099224585532604582794-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月25日
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例子
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G.f.=x+x^2+x^4+x^5+2*x^6+2*x^7+4*x^8+5*x^9+10*x^10+。。。
具有n个节点(n=3除外)的星形图是一个系列化树。对于n=6,其他系列化树的形状类似字母H-迈克尔·索莫斯2014年12月19日
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MAPLE公司
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with(powseries):with(combstruct):n:=30:顺序:=n+3:sys:={B=Prod(C,Z),S=Set(B,1<=卡),C=Union(Z,S)}:
G001678:=(转换(gfseries(sys,unlabeled,x)[S(x)],polynom))*x^2:G0温度:=G001678+x^2:
G059123:=G0温度/x+G0温度-(G0温度^2+评估(G0时间,x=x^2))/(2*x):
G000014:=((x-1)/x)*G059123+((1+x)/x^2)*G0温度-(1/x^2
A000014号:=0,seq(系数(G00014,x^i),i=1..n);#Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com)
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数学
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a[n_]:=如果[n<1,0,a=x/(1-x^2)+x*O[x]^n;对于[k=3,k<=n-1,k++,A=A/(1-x^k+x*O[x]^n)^级数系数[A,k]];s=((正常[A]/.x->x^2)+O[x]^(2n))*(1-x)+A*(2-A)*(1+x);级数系数[s,n]/2];表[a[n],{n,0,40}](*Jean-François Alcover公司2016年2月2日,改编自PARI*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=my(a);如果(n<1,0,a=x/(1-x^2)+x*O(x^n);对于(k=3,n-1,a/=(1-x^k+x*O(x^n))^polcoeff(a,k));polcoeff((subst(a,x,x^2)*(1-x)+a*(2-a)*(1+x))/2,n))}/*迈克尔·索莫斯2014年12月19日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A001679
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| 具有n个节点的系列减少根树的数量。 (原名M0327 N0123)
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+10 16
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1, 1, 1, 0, 2, 2, 4, 6, 12, 20, 39, 71, 137, 261, 511, 995, 1974, 3915, 7841, 15749, 31835, 64540, 131453, 268498, 550324, 1130899, 2330381, 4813031, 9963288, 20665781, 42947715, 89410092, 186447559, 389397778, 814447067, 1705775653, 3577169927
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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也称为同胚不可约根树,或没有2级节点的根树。
如果没有顶点正好有一个子节点,则根树是孤立子树,如果没有顶点的阶数为2,则拓扑级数会减少。此序列统计具有n个顶点的未标记拓扑序列导出的根树。具有n-1个顶点的独生子避根树的计数为A001678号. -古斯·怀斯曼2020年1月21日
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参考文献
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D.G.Cantor,个人沟通。
F.Harary和E.M.Palmer,《图形计数》,纽约学术出版社,1973年,第62页,等式(3.3.9)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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P.J.Cameron,一些树状物体,夸脱。数学杂志。牛津,38(1987),155-183。MR0891613(89a:05009)。见第155页-N.J.A.斯隆2014年4月18日
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公式
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G.f.=1+((1+x)*f(x)-(f(xA001678号(按节点同胚不可约种植树)。
a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=A246403型=2.18946198566085056388702757711…和c=0.4213018528699249210965028-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月26日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^4+2*x^5+4*x^6+6*x^7+12*x^8+20*x^9+。。。
a(1)=1到a(8)=12个无标记的拓扑序列-具有n个节点的导出根树(空n=3列显示为点)为:
o(o)。(ooo)(ooooo)
(oo)(ooo))(oooo)
(oo(oo))(oo
((o(oo))
((o(ooo))(oooo(oo))
((oo(oo))((o(ooo)))
((oo(ooo))
((ooo(oo))
(o(oo)(oo))
(oo(o(oo))
(((oo)(oo))
((o(o(oo)))
(结束)
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MAPLE公司
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with(powseries):with(combstruct):n:=30:顺序:=n+3:sys:={B=Prod(C,Z),S=Set(B,1<=卡),C=Union(Z,S)}:
G001678:=(转换(gfseries(sys,unlabeled,x)[S(x)],polynom))*x^2:G0温度:=G001678+x^2:
G001679:=G0温度/x+G0温度-(G0温度^2+评估(G0时间,x=x^2))/(2*x):A001679:=0,seq(系数(G001679,x^i),i=1..n);#Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com)
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数学
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术语=37;(*F=G001678*)F[_]=0;Do[F[x_]=(x^2/(1+x))*Exp[Sum[F[x^k]/(k*x^k),{k,1,j}]+O[x]^j//正常,{j,1,项+1}];
G[x_]=1+((1+x)/x)*F[x]-(F[x]^2+F[x^2])/(2*x)+O[x]^项;
urt[n_]:=联接@@表[Union[Sort/@Tuples[urt/@ptn]],{ptn,IntegerPartitions[n-1]}];
表[长度[Select[urt[n],长度[#]=2&&FreeQ[Z@@#,{_}]&]],{n,15}](*古斯·怀斯曼2020年1月21日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<3,n>0,a=x/(1-x^2)+x*O;
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1985年
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| G.f.满足:A(x)=exp(和{n>=1}A(x^n)/(1+x^n,*x^n/n)。 |
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+10 13
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1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 16, 29, 54, 102, 194, 375, 730, 1434, 2837, 5650, 11311, 22767, 46023, 93422, 190322, 389037, 797613, 1639878, 3380099, 6983484, 14459570, 29999618, 62357426, 129843590, 270807835, 565674584, 1183301266, 2478624060, 5198504694, 10916110768, 22948299899
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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将定义与G(x)=exp(和{n>=1}G(x^n)*x^n/n)进行比较,其中G(xA000081号,具有n个节点的根树的数量。
具有n个未标记顶点的独子避免根树的林数-古斯·怀斯曼2020年2月3日
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链接
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公式
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A(x)/(1+x)中系数的欧拉变换,其中g.f.A(x。
a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=A246403型=2.18946198566085056388702757711…,c=1.3437262442171062526771597-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月3日
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例子
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通用公式:A(x)=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+5*x^5+9*x^6+16*x^7+29*x^8+。。。
哪里
log(A(x))=A(x)/(1+x)*x+A(x^2)/。。。
A(x)/(1+x)中的系数开始于:
[1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 35, 67, 127, 248, 482, 952, 1885, 3765, ...]
从中可以通过Euler变换生成g.f.A(x):
A(x)=1/((1-x)^1*(1-x^2)^0*(1-x ^3)^1x(1-xs^4)^1+(1-xm^5)^2*(1-x2^6)^3*(1-x^7)^6*(1-x1^8)^10*(1-xx^9)^19*(1-x-^10)^35*…)。
注释中描述的具有6个非根节点的a(6)=9根树为:
:级别序列越界(点表示零)
: 1: [ 0 1 2 3 3 3 2 ] [ 1 2 3 . . . . ]
:O--O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 2: [ 0 1 2 3 3 2 2 ] [ 1 3 2 . . . . ]
:O--O--O--O
:--o(o)
:--o(o)
: .--o(o)
:
: 3: [ 0 1 2 3 3 2 1 ] [ 2 2 2 . . . . ]
:O--O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 4: [ 0 1 2 2 2 2 2 ] [ 1 5 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 5: [ 0 1 2 2 2 2 1 ] [ 2 4 . . . . . ]
:O-O-O-O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 6: [ 0 1 2 2 2 1 1 ] [ 3 3 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
: 7: [ 0 1 2 2 1 2 2 ] [ 2 2 . . 2 . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o——o
: .--o(o)
:
: 8: [ 0 1 2 2 1 1 1 ] [ 4 2 . . . . . ]
:O--O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
:
:9:[0 1 1 1 1 1][6……]
:O--O
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
: .--o(o)
(结束)
a(0)=1到a(6)=9根树,具有n+1个节点,其中非根顶点不能有出度1:
o(o)(oo)(ooo)(oooo)
((oo))(ooo))((oooo)(ooooo)
(o(oo))(o(ooo))(o(ooo))
(oo(oo))
((o(oo))
((o(ooo))
((oo)(oo))
((oo(oo))
(o(o(oo))
(结束)
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MAPLE公司
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带有(数字理论):
b: =进程(n)b(n):=`if`(n=0,1,a(n)-b(n-1))结束:
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,添加(add(
d*b(d-1),d=除数(j))*a(n-j),j=1..n)/n)
结束:
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数学
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b[n_]:=b[n]=如果[n==0,1,a[n]-b[n-1]];
a[n_]:=a[n]=如果[n==0,1,Sum[Sum[d*b[d-1],{d,Divisors[j]}]*a[n-j],{j,1,n}]/n];
urt[n_]:=联接@@表[Union[Sort/@Tuples[urt/@ptn]],{ptn,IntegerPartitions[n-1]}];
表[Length[Select[urt[n],FreeQ[Z@@#,{_}]&]],{n,10}](*古斯·怀斯曼2020年1月22日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(和(m=1,n,子集(a/(1+x),x,x^m+x*O(x^n));polcoff(a,n)}
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A059123号
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| 具有n>=1个节点的同胚不可约根树(也称为系列减少根树,或没有2级节点的根树)的数量。 |
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+10 7
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0, 1, 1, 0, 2, 2, 4, 6, 12, 20, 39, 71, 137, 261, 511, 995, 1974, 3915, 7841, 15749, 31835, 64540, 131453, 268498, 550324, 1130899, 2330381, 4813031, 9963288, 20665781, 42947715, 89410092, 186447559, 389397778, 814447067, 1705775653
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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参考文献
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F.Harary和E.M.Palmer,《图形计数》,纽约学术出版社,1973年,第62页,等式(3.3.9)。
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链接
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P.J.Cameron,一些树状物体,夸脱。数学杂志。牛津,38(1987),155-183。
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公式
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G.f.:1+((1+x)/x)*f(x)-(f(xA001678号(通过节点同胚不可约种植的树)。
a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=A246403型=2.18946198566085056388702757711…和c=0.421301852869924921096502830935802411658488216342994235732491571594804013-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月26日
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例子
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G.f.=x+x ^2+2*x ^4+2*x ^5+4*x ^6+6*x ^7+12*x ^8+20*x ^9+。。。
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MAPLE公司
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with(powseries):with(combstruct):n:=30:顺序:=n+3:sys:={B=Prod(C,Z),S=Set(B,1<=卡),C=Union(Z,S)}:
G001678:=(转换(gfseries(sys,unlabeled,x)[S(x)],polynom))*x^2:G0温度:=G001678+x^2:
G059123:=G0温度/x+G0温度-(G0温度^2+评估(G0时间,x=x^2))/(2*x):A059123号:=0,seq(系数(G059123,x^i),i=1..n);#Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com)
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数学
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条款=36;(*F=G001678*)F[_]=0;Do[F[x_]=(x^2/(1+x))*Exp[Sum[F[x^k]/(k*x^k),{k,1,j}]+O[x]^j//正常,{j,1,项+1}];
G[x_]=1+((1+x)/x)*F[x]-(F[x]^2+F[x^2])/(2*x)+O[x]^项;
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<3,n>0,a=x/(1-x^2)+x*O/*迈克尔·索莫斯2014年6月13日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A244456号
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| 具有n个节点的未标记根树的数量,使得内部节点的最小伸出度等于2。 |
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+10 4
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1, 0, 1, 2, 4, 7, 15, 28, 56, 110, 220, 436, 878, 1762, 3560, 7205, 14650, 29838, 60991, 124938, 256628, 528238, 1089834, 2252860, 4666304, 9682422, 20125777, 41900433, 87369029, 182441944, 381499040, 798782945, 1674575394, 3514733683, 7385298837, 15534856067
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,4
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链接
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公式
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a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=A246403型=2.18946198566085056388702757711…,c=0.4213018528699249210965028…(常数与A001679). -瓦茨拉夫·科特索维奇2014年7月2日
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例子
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a(5)=1:
o(o)
/ \
o o(零)
/ \
o o(零)
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MAPLE公司
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b: =proc(n,i,t,k)选项记忆`if`(n=0,`if`(t in[0,k],
1,0),`if`(i<1或t>n,0,加(二项式(b((i-1)$2,k$2)+j-1,j)*
b(n-i*j,i-1,最大值(0,t-j),k),j=0..n/i))
结束:
a: =n->b(n-1$2,2$2)-b(n-1$1,3$2):
seq(a(n),n=3..40);
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数学
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b[n_,i_,t_,k_]:=b[n,i,t,k]=如果[n==0,如果[t==0||t==k,1,0],如果[i<1,0,总和[二项式[b[i-1,i-1,k,k]+j-1,j]*b[n-i*j,i-1;最大值[0,t-j],k],{j,0,n/i}]];a[n]:=b[n-1,n-1,2,2]-b[n-1、n-1,3,3]//完全简化;表[a[n],{n,3,40}](*Jean-François Alcover公司2015年2月6日,Maple之后*)
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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