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搜索: a244231-编号:a244231
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A244159 非负整数的半贪婪加泰罗尼亚表示。 +10
14
0,1,10,11,12,100,101,110,111,112,121,122,123,211,1000,1001,1010,1011,1012,1100,1101,1110,1111,1112,1121,1123,1211,1212,1221,1222,1223,1232,1233,1234,1322,2111,2112,2122,2123,2211,10000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

构造序列的算法:定义a(0)为0,对于n的较大值,首先找到小于或等于n的最大Catalan数[即A081290号(n) ]和索引k=A244160号(n) 加泰罗尼亚数字。初始化k个零的向量,[0,0,…,0]。设置n_剩余=n-A000108号(k) 并将1加到向量最左边的元素上,使其成为[1,0,…,0]。然后检查之前的加泰罗尼亚数字C(m)=A000108号(m) ,其中m=k-1,超过剩余n_,并且假设C(m)<=n_剩余,则设置n_remaining=n_remaining-C(m),并将向量的第m个元素增加一个(其中第一个元素是最右边的元素),否则只需将m减1,并继续使用越来越少的Catalan数继续这样做,只要有可能从剩余n_减去它们(不小于零),就这样做并增加向量的对应第m个元素,只要剩余n_变为零,或者从剩余n_减去C(1)=1后,它仍然没有达到零。在后一种情况下,再次找到小于或等于剩余n_的最大加泰罗尼亚数字,然后重新开始该过程。然而,经过有限次这样的迭代,n_剩余将最终达到零,并且a(n)的结果就是被构造、连接在一起并表示为十进制数的向量。

这与“贪婪的加泰罗尼亚基地”共享(A014418号)和的简单加权和的性质{k=1..}数字(k)*C(k)恢复自然数n,给定的数字字符串是这样的A014418号(n) 或者这里,a(n)代表。(这里C(k)=第k个加泰罗尼亚数字,A000108号(k) ,和数字(1)=最右边、最低有效数字位置的数字。)

在这种情况下,A244158(a(n))=n仅适用于33603,之后是包含大于9的“数字”的第一个表示,在a(33604)处,其中数字的基本字符串是[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],但这里使用的十进制系统不能更明确地表示它们。

另一方面,对于给定的Scheme函数,我们总是用:(CatBaseSumVec(A244159raw n))返回n。

对于n>=1,A014138号(n) 给出了不名誉的位置:1,11,111,1111。。。

“代表2”:22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222。。。,等等,出现在128、392、1250、4110、13834。。。i、 e.2号*A014138号(n) n>=5时。

链接

安蒂·卡图宁,n=n的表。。33603

公式

如果邮编:A176137(n) =1,a(n)=A007088号(A244230(n) ),否则为a(n)=A007088号(A244230(n) -1)+a(n)-邮编:A197433(A244230(n) -1)段)。

所有n,a(邮编:A197433(n) )=A007088号(n) 一。

对于所有n>=1,a(A000108号(n) )=10^(n-1)。

每个a(A014143号(n) )有一个“三角形”表示[1,2,3,…,n,n+1]。

例子

对于n=18,最大的加泰罗尼亚数<=18是C(4)=14。

因此,我们初始化一个由4个零组成的向量[0,0,0,0],并将第一个元素增加到1:[1,0,0,0],然后从18减去14,得到余数4。

我们看到下一个较小的Catalan数,C(3)=5大于4,所以我们不能减去它而不去负,所以向量的第二个最左边的元素保持为零。

接下来我们检查C(2)=2,它小于4,因此我们将该点的0递增到1,然后减去4-2得到2。

我们将2与C(1)=1进行比较,当1<=2时,减去2-1=1,向量中相应的元素递增,因此在第一轮之后,向量现在是[1,0,1,1],剩余的n是1。

所以我们开始第二轮,因为n还没有达到0,然后寻找最大的Catalan数<=1,在这个例子中是C(1)=1,所以我们从剩余的n中减去它,并在位置1处增加元素,之后n达到零,向量现在是[1,0,1,2],其作为十进制数的串联结果是a(18)=1012。

黄体脂酮素

备选方案,MIT/GNU(两个)

;; 基于重复性需求的版本安蒂·卡尔图宁的IntSeq库,用于记录definec宏:

(定义(A244159n) (如果(不是(零(邮编:A176137n) ))(A007088号(A244230n) )(+(A007088号(-1+(A244230n) ))(A244159(-n)(邮编:A197433(-1+(A244230n) ))))))))

;; 另一个版本构造了一个表示向量,由一些派生序列使用:

(定义(A244159n) (basevec为十进制(A244159raw n)))

(定义(A244159raw n)(if(zero?n)(使向量0)(let*((maxsize))(A244160号n) )(catbasevec(使vector maxsize 0)))(让外部循环((n))(让内部循环((n n)(i)(A244160号n) )(条件((零?n)(矢量反向catbasevec))((零?i)(外环n))((<=(A000108号i) n)(begin(向量集!catbasevec(-i 1)(+1(vector ref catbasevec(-i 1))))(内部环路(-n(A000108号i) )(-i 1))))(其他(内回路n(-i 1)))))))))

(定义(basevec为十进制vec)(basevec->n 10 vec))

(define(basevec->n base bex)(让循环((i0)(n0))(cond((=i(向量长度bex))n)(else(循环(+i1)(+(*n base)(vector ref bex i))))))

;; 不需要计算,但用于证明系统工作正常,如(CatBaseSumVec(A244159raw n))=n表示所有n:

(define(CatBaseSumVec数字)(let((大小(矢量长度数字)))(let循环((i大小)(s0))(if(zero?i)s(循环(-i 1)(+s(*(矢量参考数字(-size i))(A000108号i) ))))))))

交叉引用

囊性纤维变性。A014418号(一个经典的贪婪变体),A244231(最大“数字值”),A244232(位数总和),A244233号(数字乘积),邮编:A244314(至少有一个零位的正项),A244316(在所描述的过程中,最后递增的一位数字的位置)。

请参阅A007088号,A014138号,邮编:A176137,邮编:A197433,A244230,A244158,A244160号.

不同于A239903号第一次n=10,其中a(10)=121,而A239903号(10) =120。

关键字

,基础

作者

安蒂·卡尔图宁2014年6月23日

状态

经核准的

邮编:A197433 不同加泰罗尼亚数字之和:a(n)=Sum{k>=0}A030308号(n,k)*C(k+1),其中C(n)是第n个加泰罗尼亚数字(A000108号)(C(0)和C(1)不被视为不同的。) +10
13
第一百七十五、一百七十五、一百八十五、一百七十一五百一十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五、一百八十五 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

将2^k替换为A000108号n的二元展开式中的(k+1)。

安蒂·卡尔图宁2014年6月22日:(开始)

另一方面,A244158类似,但将10^k替换为A000108号(k+1)在n的十进制展开中。

这个序列给出了所有k,使得A014418号(k)=A239903号(k) ,它们都是非负整数k,它们在这两个数系中的表示不包含大于1的数字。由此可知,这是A244155.

(结束)

链接

安蒂·卡图宁,n=n的表。。8191

公式

对于所有的n,A244230(a(n))=n-安蒂·卡尔图宁2014年7月18日

G、 f.:(1/(1-x))*和{k>=0}加泰罗尼亚数(k+1)*x^(2^k)/(1+x^(2^k))-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月23日

数学

nmax=63;

a[n_]:=如果[n==0,0,SeriesCoefficient[(1/(1-x))*Sum[CatalanNumber[k+1]*x^(2^k)/(1+x^(2^k)),{k,0,Log[2,n]//天花板}],{x,0,n}]];

表[a[n],{n,0,nmax}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2021年11月18日,之后伊利亚·古特科夫斯基*)

交叉引用

特征函数:邮编:A176137.

子序列A244155.

囊性纤维变性。A000108号,A030308号,邮编:A197432,A014418号,A239903号,A244158,A244159,A244230,A244231,A244232,A244315,A244316.

请参阅A060112型.

通过将二进制表示中的2^k替换为其他数字而生成的其他序列:A022290(斐波那契),A029931号(自然数),A059590号(阶乘),A089625型(素数),邮编:A197354(奇数)。

关键字

容易的,

作者

菲利普·德莱厄姆2011年10月15日

扩展

按名称澄清安蒂·卡尔图宁2014年7月18日

状态

经核准的

A244232 n的半贪心Catalan表示中“数字值”之和,A244159. +10
7
1、1、1、2、3、1、2、2、2、3、3、4、4、4、5、6、4、4、5、6、4、1、2、2、3、4、2、3、3、3、4、5、5、5、6、7、5、6、6、6、5、6、6、6、6、6、6、6、1、2、2、2、3、4、2、3、4、2、3、4、2、3、3、4、3、3、4、3、3、4、3、6、6、6、7、8、6、6、7、8、6、6、7、8、6、7、8、6、7、7、8、7、8、8、8、9、9、9、9、9、9 10,11,9,6,7,7,8,9,7,8,8,9,10,10,11,12,10,11,11,12,13,13,14,15,13,10,11,11,12,13,11,6,7,7,8,9,7,8,8,9,10,10,11,12,10,7,8,8,9,10,8,9,9,10,11,11,12,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

注意a(33604)=A000217(10) =55,因为总和是根据数字的基本列表(向量)计算的,因此不受十进制表示法的破坏A244159型它本身就是。

等价描述:分区n“贪婪地”作为术语邮编:A197433,即n=邮编:A197433(一)+邮编:A197433(j) ++邮编:A197433(k) ,始终使用邮编:A197433仍然“适合”(即剩余<=n)。然后是a(n)=A000120型(一)+A000120型(j) ++A000120型(k) 一。

链接

安蒂·卡图宁,n=n的表。。16796

公式

如果邮编:A176137(n) =1,a(n)=A000120型(A244230(n) ),否则为a(n)=A000120型(A244230(n) -1)+a(n)-邮编:A197433(A244230(n) -1)段)。

所有n,a(A000108号(n) )=1。[此外,加泰罗尼亚数字,A000108号,给出所有这样的k,a(k)=1]。

所有n,a(A014138号(n) )=n和a(A014143号(n) )=A000217(n+1)。

例子

对于n=18,使用替代描述,我们看到它被划分为邮编:A197433作为一笔贪婪的数目邮编:A197433(十一)+邮编:A197433(1) =17+1。因此a(18)=A000120型(十一)+A000120型(1) =3+1=4。

对于n=128,我们看到它同样表示为A1433年(三十一)+邮编:A197433(31)=64+64。因此a(128)=2*A000120型(31)=10。

黄体脂酮素

(方案,两种备选方案)

;; 一个基于重复:

(定义(A244232n) (如果不是)(邮编:A176137n) ))(A000120型(A244230n) )(+(A000120型(-1+(A244230n) ))(A244232(-n)(邮编:A197433(-1+(A244230n) ))))))))

;; 中给出的另一个使用函数A244159rawA244159:

(定义(A244232n) (应用+(向量->列表(A244159raw n)))

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A000120型,邮编:A176137,邮编:A197433,A244230,A244159,A244231,A244233号,A244234号,A014420号,A236855号.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2014年6月25日

状态

经核准的

A244233号 n的半贪婪Catalan表示中“数字值”的乘积,A244159. +10
5
1、1、1、1、0、1、2、0、0、0、0、0、1、2、2、4、6、2、2、4、6、2、2、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、1、2、2、4、6、2、4、4、4、4、4、4、4、4、4、8、4、12、4、12、12、18、24、12、12、24、12、12、4、12、4、4、12、12、8、12、4、8、12、12、4、8、8、12、12、8、12、12、0、0、0、0、0、0、0、0、1、2、2、2、4、6、6、2 18,24,12,2,4,4,8,12,4,8,8,16,24,24,36,48,24,36,54,72,96,120,72,24,36,36,54,72,36,2,4,4,8,12,4,8,8,16,24,24,36,48,24,4,8,16,24,8,16,16,32,48,48,72,0 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

注意a(33604)=10!=3628800,因为乘积是从数字的基本列表(向量)中计算出来的,因此不受十进制表示法的破坏A244159它本身就是。

链接

安蒂·卡图宁,n=n的表。。4862

公式

所有n,a(A014138号(n) )=1和a(A014143号(n) )=A000142号(n+1)。

黄体脂酮素

(方案)(定义(A244233号n) (应用*(向量->列表(A244159raw n)));;A244159原始输入A244159.

交叉引用

邮编:A244314给出零的位置。

囊性纤维变性。A000108号,A244159,A244231,A244232,A244318号.

关键字

作者

安蒂·卡尔图宁2014年6月25日

状态

经核准的

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