搜索： a243351-id:a243351
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A005117号
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| 无平方数：不能被大于1的平方整除的数字。
（原名M0617）
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1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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1以及作为不同素数的乘积的数。
也是最小的序列，其性质是a（m）*a（k）对于k永远不是平方！=m.-Ulrich Schimke（ulrschimke（AT）aol.com），2001年12月12日
数k使得只有一个具有k个元素的阿贝尔群，即阶为k的循环群（这样的数A000688号（k） =1）.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月25日
a（n）是最小的m，正好有n个无平方数<=m-阿玛纳斯·穆尔西2002年5月21日
k是无平方的<=>k除以素数（k）#其中素数（k）#=前k个素数的乘积Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月30日
数字k使得sqrt（k）无法简化-肖恩·洛夫兰2011年9月4日
指数m，其中A057918号（m） =0，即{1,2，…，m-1}中没有整数k的正整数m，使得k*m是一个正方形-约翰·莱曼2011年9月8日
似乎这些是数字j，使得乘积_｛k＝1..j｝（素数（k）mod j）＝0（见Maple代码）-加里·德特利夫斯2011年12月7日。-这与Mohammed Bouayoun于2004年3月30日发表的上述评论相同。要了解它为什么成立：Primorial numbers，A002110号，该序列的一个子序列，决不能被任何非方数整除，A013929号另一方面，最大素数除以任意n的指数小于n。A243291型. -安蒂·卡图恩2014年6月3日
推测：对于每个n=2,3，。。。有无穷多个整数b>a（n），使得和{k=1..n}a（k）*b^（k-1）是素数，最小的整数b不超过（n+3）*（n+4）-孙志伟2013年3月26日
Booker、Hiary和Keating给出了一个次指数算法，用于在不进行因子分解的情况下测试序列中的成员关系-查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月29日
因为在分解成素数的过程中，a（n）（n>=2）的指数要么是0，要么是1，我们可以称之为“带费米子质数分解的数”。级别是质数prime（j），j>=1，占领数（指数）e（j）是0或1（就像泡利的不相容原理）。然后，“费米子态”由条目为0或1的序列表示，其中，除零序外，后面的零被省略。零序表示a（1）=1。例如，a（5）=6=2^1*3^1用“费米子态”[1,1]表示，a（7）=10用[1,0,1]表示。与计算中的“费米子分区”相比A000009号. -沃尔夫迪特·朗，2014年5月14日
以下是Eratosthenes型无平方数筛。对于大于1的整数：
1） 删除偶数，2除外；最小未删除数为3。
2） 替换步骤1中删除的3的倍数，并删除3的倍数（3本身除外）；最小未移除数量为5。
3） 替换步骤1和2中删除的5的倍数，并删除5的倍数（5本身除外）；最小未删除数是6。
4） 替换步骤1、2和3中删除的6的倍数，并删除6的倍数（6本身除外）；最小未删除数是7。
5） 重复使用最后一个最小未移除数量，从之前步骤的恢复倍数中筛选。
证明。我们使用归纳法。假设作为算法的结果，我们找到了所有小于n的无平方数，而没有其他数。如果n是平方自由的，那么它的真除数d>1是偶数（它是2^k-2，其中k是它的素数除数），并且通过算法，它仍然在序列中。否则，n被删除，因为它的无平方因子>1的数量是奇数（它是2^k-1）。
（结束）
整数>1的字典最小序列，这样每个条目都有偶数个合适的除数出现在序列中（这就是重新设置的筛选）-格伦·惠特尼2015年8月30日
具有不同部分的分区的Heinz数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz数定义为Product_{j=1..r}质数（j）（阿洛伊斯·海因茨在里面2015年2月66日作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，Heinz数是2*2*3*7*29=2436。数字30（=2*3*5）在序列中，因为它是分区[1,2,3]的Heinz数-Emeric Deutsch公司2015年5月21日
对k进行编号，使每个整数b的b^（phi（k）+1）==b（mod k）-托马斯·奥多夫斯基2016年10月9日
Boreico表明，该序列项的平方根集与有理数线性无关-杰森·金伯利2016年11月25日（参考文献由Michael Coons提供）。
素数zeta函数P（s）“在s=1/k的实轴上有奇点，其中k在没有平方因子的情况下遍历所有正整数”。请参阅Wolfram链接-马利瓦尔·弗朗西斯，2018年6月23日
无平方数的Schnirelmann密度是53/88（Rogers，1964）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月12日
数k，使得k阶的所有群都有一个平凡的弗拉蒂尼子群[Dummit和Foote]。
设群G具有n阶。如果n是平方自由的且n>1，则G是可解的，因此根据霍尔定理，对于所有p|n，都包含指数为p的子群H_p。每个H_p在G中按阶考虑是最大的，所有H_p的交集是平凡的。因此G的Frattini子群Phi（G）是G的极大子群的交集，必须是平凡的。如果n不是平方自由的，则n阶循环群具有非平凡的Frattini子群。（结束）
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参考文献
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Jean-Marie De Konink，《法定法西斯主义》，条目165，第53页，Ellipses，巴黎，2008年。
Dummit、David S.和Richard M.Foote。抽象代数。第1999卷。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯·霍尔，1991年。
伊万·M·奈文和赫伯特·S·扎克曼，《数字理论导论》。第二版，纽约州威利，1966年，第251页。
Michael Pohst和Hans J.Zassenhaus，《算法代数数论》，剑桥大学出版社，第432页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Andrew R.Booker、Ghaith A.Hiary和Jon P.Keating，检测方折射数《杜克数学杂志》，第164卷，第2期（2015年），第235-275页；arXiv预印本，arXiv:1304.6937[math.NT]，2013-2015年。
埃内斯托·塞萨罗，辅助算术中的La serie di Lambert《那不勒斯科学研究院Rendiconto della Reale Accademia delle Scientize di Napoli》，第二辑，第7卷（1893年），第197-204页。
Pentti Haukkanen、Mika Mattila、Jorma K.Merikoski和Timo Tossavainen，算术导数可以在非唯一分解域上定义吗？《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.1.2条。
Aaron Krowne，无平方数，PlanetMath.org。
斯里尼瓦萨·拉马努扬，不规则数字，J.印度数学。Soc.，第5卷（1913年），第105-106页。
J.A.Scott，重新审视广场自由《数学公报》，第90卷，第517号（2006年），第112-113页。
弗拉基米尔·舍维列夫，指数S-数的所有密度集，arXiv预印本arXiv:1511.03860[math.NT]，2015。
O.Trifonov，关于无平方问题II，数学。巴尔干半岛，第3卷（1989年），法西斯。3-4.
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配方奶粉
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|a（n）-n*Pi^2/6|<0.058377*sqrt（n）对于n>=268293；这个结果可以从Cohen、Dress和El Marraki得到，请参阅链接-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月18日
和{n>=1}（-1）^（a（n）+1）/a（n）^2=9/Pi^2。
求和{k=1..n}1/a（k）~（6/Pi^2）*log（n）。
求和{k=1..n}（-1）^（a（k）+1）/a（k）~（2/Pi^2）*log（n）。
（全部摘自Scott，2006）（完）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；a:=[]；对于从1到200的n，如果issqrfree（n），则a：=[op（a），n]；fi；日期：
t： =n->乘积（ithprime（k），k=1..n）：对于从1到113的n，如果（t（n）mod n=0），则打印（n）fiod#加里·德特利夫斯2011年12月7日
A005117号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；如果numtheory[issqrfree]（a）返回a，则从procname（n-1）+1 do返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2013年1月9日
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数学
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选择[Range[113]，SquareFreeQ](*罗伯特·威尔逊v2005年1月31日*）
选择[Range[150]，Max[Last/@FactorInteger[#]]<2&]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
NextSquareFree[n_，k_：1]：=块[{c=0，sgn=Sign[k]}，sf=n+sgn；While[c<Abs[k]，While[！SquareFreeQ@sf，If[sgn<0，sf--，sf++]]；如果[sgn<0，sf--，sf++]；c++]；sf+如果[sgn<0，1，-1]]；嵌套列表[NextSquareFree，1，70](*罗伯特·威尔逊v，2014年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..1000]|IsSquarefree（n）]中的n:n；
（PARI）bnd=1000；L=矢量（bnd）；j=1；对于（i=1，bnd，如果（i），L[j]=i；j=j+1））；L（左）
（PARI）{a（n）=局部（m，c）；如果（n<=1，n==1，c=1；m=1；while（c<n，m++；if（issquarefere（m），c++））；m）}/*迈克尔·索莫斯2005年4月29日*/
（PARI）列表（n）=我的（v=向量小（n，i，1），u，j）；对于素数（p=2，平方（n），对于步长（i=p^2，n，p^2、v[i]=0））；u=矢量（总和（i=1，n，v[i]））；对于（i＝1，n，如果（v[i]，u[j++]＝i））；u个\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月8日
（PARI）
S（n）=本人；forsquarefree（k=1，平方（n），s+=n\k[1]^2*moebius（k））；s；
a（n）=我的（最小值=1，最大值=231，k=0，sc=0）；如果（n>=144，min=楼层（zeta（2）*n-5*sqrt（n））；最大值=天花板（zeta（2）*n+5*sqrt（n））；而（最小值<=最大值，k=（最小值+最大值）\2；sc=S（k）；如果（abs（sc-n）<=平方（n），中断）；如果（sc>n，max=k-1，if（sc<n，min=k+1，break））；而（！issquarefree（k），k-=1）；而（sc！=n，my（j=1）；如果（sc>n，j=-1）；k+=j；sc+=j；而（！issquarefree（k），k+=j））；k\\丹尼尔·苏图2022年7月7日
（PARI）第一（n）=我的（v=向量（n），i）；对于无平方（k=1，如果（n<268293，（33*n+30）\20，（n*Pi^2/6+0.058377*sqrt（n））\1），如果（i++>n，返回（v））；v[i]=k[1]）；v（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年1月10日
（哈斯克尔）
a005117 n=a005117_列表！！（n-1）
a005117_list=过滤器（（==1）。a008966）[1..]
（Python）
从症状合成因子导入核心
def ok（n）：返回核心（n，2）==n
打印（列表（过滤器（正常，范围（114）））#迈克尔·布拉尼基2021年7月31日
（Python）
从itertools导入计数，islice
来自sympy导入因子
定义A005117号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
返回过滤器（lambda n：all（x==1 for x in factorint（n）.values（）），count（max（startvalue，1））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A076259号（第一个差异），A173143号（部分金额），A000688号,A003277号,A013928号,A020753美元,A020754号,A020755号,A030059型,A030229号,A033197号,A034444号,A039956号,A048672号,A053797美元,A057918号,A059956号,A071403号,A072284美元,A120992年,A133466号,136742英镑,A136743号,A160764型,A243289号,A243347号,A243348号,A243351型,2015年2月66日,A046660号,A265668型,A265675型.
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 16, 16, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 29, 29, 29, 31, 31, 32, 32, 32, 33, 34, 35, 35, 35, 36, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42, 42
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评论
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第一次差异的记录值：a（2）-a（1）=0，a（4）-a 3712）-a（134453711）=11-查尔斯·格里特豪斯四世2017年11月5日
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）do（x）=我的（v=列表（[0]））；对于因子（n=2，x\1，如果（vecmax（n[2][，2]）==1，listput（v，n[1]-#v-1））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年11月5日
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交叉参考
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非n
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 4, 3, 3, 6, 8, 5, 5, 10, 10, 7, 11, 8, 16, 9, 16, 15, 19, 12, 17, 20, 14, 24, 15, 21, 16, 25, 17, 29, 27, 26, 20, 20, 28, 34, 36, 23, 34, 40, 25, 25, 35, 43, 43, 28, 38, 29, 46, 40, 45, 32, 51, 47, 44, 52, 36, 36, 56, 37, 61, 50, 39, 39, 64, 58
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偏移
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评论
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链接
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配方奶粉
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数学
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使用[{t=Table[PrimePi[FactorInteger[k][[-1，1]]]，{k，Select[Range[120]，SquareFreeQ]}]}，Range[Length[t]]-t](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年3月4日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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