搜索： a236463-编号：a236466
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A154283号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（2*n+1，i）*二项法（k+2-i，2）^n，0<=k<=2*（n-1）。 |
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18
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1, 1, 4, 1, 1, 20, 48, 20, 1, 1, 72, 603, 1168, 603, 72, 1, 1, 232, 5158, 27664, 47290, 27664, 5158, 232, 1, 1, 716, 37257, 450048, 1822014, 2864328, 1822014, 450048, 37257, 716, 1, 1, 2172, 247236, 6030140, 49258935, 163809288, 242384856, 163809288, 49258935, 6030140, 247236, 2172, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，设b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以计算：和{i=1..n}二项式（i+e-1，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。
例如，A085438号（n） =和{i=1..n}二项式（1+i，2）^3=T（3,0）*二项式3-48*n）。
（完）
T（n，k）是1…n的两个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=（-1）乘以x^k在（x-1）^（2*n+1）*Sum_{k>=0}（k*（k+1）/2）^n*x^（k-1）中的系数。
求和{i=1..n}二项式（1+i，2）^p=求和{k=0..2*p-2}T（p，k）*二项式（n+2+k，2*p+1）。
二项式（n，2）^p=Sum_{k=0..2*p-2}T（p，k）*二项式（n+k，2*p）。（完）
例如，作为连分式：（1-x）/（1-x+（1-exp（（1-xx*（x^4+20*x^3+48*x^2+20*x+1）*t^3/3！+。。。（使用Prodinger方程式1.1）。
交替行和（无符号）[1，1，2，10，104，1816，…]的序列似乎是A005799号.（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 4, 1;
1, 20, 48, 20, 1;
1, 72, 603, 1168, 603, 72, 1;
1, 232, 5158, 27664, 47290, 27664, 5158, 232, 1;
1, 716, 37257, 450048, 1822014, 2864328, 1822014, ...;
1, 2172, 247236, 6030140, 49258935, 163809288, 242384856, ...;
1, 6544, 1568215, 72338144, 1086859301, 6727188848, 19323413187, ...;
1, 19664, 9703890, 811888600, 21147576440, 225167210712, ... ;
...
1122的T（2,1）=4排列与1下降为1212121212211-安德鲁·霍罗伊德2020年5月15日
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MAPLE公司
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（1-x）^（2*n+1）*加（（l*（l+1）/2）^n*x^（l-1），l=0..k+1）；
系数日（%，x=0，k）；
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数学
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p[x_，n_]=（1-x）^（2*n+1）*和[（k*（k+1）/2）^n*x^k，{k，0，无穷}]/x；
表[系数列表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]，x]，{n，10}]//展平
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（2*n+1，i）*二项（k+2-i，2）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月9日
（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（2*n+1，j）*二项法（k-j+2，2）^n:j in[0..k]]）：k in[0..2*n-2]，n in[1..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年6月13日
（SageMath）
定义A154283号（n，k）：（0..k）中j的返回和（（-1）^j*二项式（2*n+1，j）*二项式（k-j+2,2）^n）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,标签
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状态
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经核准的
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A174266号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（3*n+1，i）*二项法（k+3-i，3）^n，0<=k<=3*（n-1）。 |
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1，1，9，9，1，1，54，405，760，405，54，1，243，6750，49682，128124，128124，49682，6750，243，1，1008，83736，1722320，12750255，40241088，58571184，40241088，12750255，1722320，83736，1008，1，4077，922347，45699447，789300477，5904797049，21475242671，40396577931，21475242671，5904797049，789300477，45699447，9223474077，1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，设b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以计算：和{i=1..n}二项式（i+e-1，e）^p=和{i=0..e*（p-1）}b（i，e，p）*二项式。
例如，A086020号（n） =和{i=1..n}二项式（2+i，3）^2=T（2,0）*二项式。
（完）
T（n，k）是1…n的3个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=[x^k]（1-x）^（3*n+1）*（和{k>=0}（k*（k+1）*。
T（n，k）=T（n、3*n-k）。
Sum_{i=1..n}二项式（2+i，3）^p=Sum_{i=0..3*p-3}T（p，i）*二项式（n+3+i，3*p+1）。
二项式（n，3）^p=Sum_{i=0..3*p-3}T（p，i）*binominal（n+i，3*p）。（完）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 9, 9, 1;
1, 54, 405, 760, 405, 54, 1;
1, 243, 6750, 49682, 128124, 128124, 49682, ... ;
1, 1008, 83736, 1722320, 12750255, 40241088, 58571184, ... ;
1, 4077, 922347, 45699447, 789300477, ... ;
1, 16362, 9639783, 1063783164, 38464072830, ... ;
1, 65511, 98361900, 23119658500, 1641724670475, ... ;
1, 262116, 992660346, 484099087156, 64856779908606, ... ;
...
111222的T（2,1）=9个排列有1个世系：112221、112212、112122、122211、122112、121122、222111、221112、211122-安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
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数学
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（*第一个程序*）
p[n_，x_]：=p[n，x]=（1-x）^（3*n+1）*Sum[（二项式[k+1，3]）^n*x^k，{k，0，无穷}]/x^2；
表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，10}]//展平（*由修正G.C.格鲁贝尔2022年3月26日*）
（*第二个程序*）
T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j+1）*二项式[3*n+1，k-j+1]*（j*（j^2-1）/2）^n，{j，0，k+1}]/（3^n）]；
表[T[n，k]，{n，10}，{k，3*n-2}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2022年3月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={sum（i=0，k，（-1）^i*二项式（3*n+1，i）*二项式（k+3-i，3）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：返回（1/3^n）*总和（（-1）^（k-j+1）*二项式（3*n+1，k-j+1
压扁（[[T（n，k）代表k in（1..3*n-2）]代表n in（1..10）]）#G.C.格鲁贝尔2022年3月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A237252型
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（6*n+1，i）*二项法（k+6-i，6）^n，0<=k<=6*（n-1）。 |
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1, 1, 36, 225, 400, 225, 36, 1, 1, 324, 15606, 233300, 1424925, 4050864, 5703096, 4050864, 1424925, 233300, 15606, 324, 1, 1, 2376, 554931, 35138736, 879018750, 10490842656, 66555527346, 239677178256, 509723668476, 654019630000, 509723668476, 239677178256, 66555527346, 10490842656, 879018750, 35138736, 554931, 2376, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。
特别是：
二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，ep）*二项式。
求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=求和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。
T（n，k）是1…n的6个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
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链接
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配方奶粉
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求和{i=1..n}二项式（5+i，6）^p=求和{k=0..6*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+6+k，6*p+1）。
二项式（n，6）^p=和{k=0..6*（p-1）}T（p，k）*二项式。
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例子
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例如：
T（n，0）=1；
T（n，1）=7^n-（6*n+1）；
T（n，2）=28^n-（6*n+1）*7^n+C（6*n+1,2）；
T（n，3）=84^n-（6*n+1）*28^n+C（6*n+1,2）*7^n+C（6*n+1,3）；
T（n，4）=210^n-（6*n+1）*84^n+C。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 36, 225, 400, 225, 36, 1;
1, 324, 15606, 233300, 1424925, 4050864, 5703096, 4050864, 1424925, 233300, 15606, 324, 1;
1, 2376, 554931, 35138736, 879018750, 10490842656, 66555527346, 239677178256, 509723668476, 654019630000, 509723668476, 239677178256, 66555527346, 10490842656, 879018750, 35138736, 554931, 2376, 1;
1, 16776, 16689816, 3656408776, 286691702976, 10255094095176, 192698692565176, 2080037792142216, 13690633212385551, 57229721552316976, 156200093827061616, 283397584598631216, 345271537321293856, 283397584598631216, 156200093827061616, 57229721552316976,13690633212385551, 2080037792142216, 192698692565176, 10255094095176, 286691702976, 3656408776, 16689816, 16776, 1;
...
例子：
和{i=1..n}C（5+i，6）^2=A086027号（n） =C（n+6,13）+36*C（n+7,13）+225*C。
二项式（n，6）^2=C（n，12）+36*C（n+1,12）+225*C（n+2,12）+400*C（n+3.12）+225*C（n+4.12）+36*C（n+5.12）+C（n+6,12）。
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数学
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b[k_，6，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[6*p+1，i]*二项法[k-i，6]^p/。k->6+i，{i，0，k-6}]；row[p_]：=表[b[k，6，p]，{k，6，6*p}]；表[行[p]，{p，1，5}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（6*n+1，i）*二项（k+6-i，6）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A087108号
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| 此表显示了生成二项式系数C（n，4）的p次幂序列和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i=1到4*p-3的（i，p），其中a（i，p）满足和{i=1..n}C（i+3,4）^p=5*C（n+4,5）*和{i=1..4*p-3}a（i、p）*C（n-1，i-1）/（i+4）。 |
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1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 24, 176, 624, 1251, 1500, 1070, 420, 70, 1, 124, 3126, 33124, 191251, 681000, 1596120, 2543520, 2780820, 2058000, 987000, 277200, 34650, 1, 624, 49376, 1350624, 18308751, 146500500, 763418870, 2749648020, 7101675070, 13440210000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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表项T（n，k）是用下降阶乘表示4*p次多项式C（x+4,4）^p时的系数：C（x+4,4）p=Sum_{k=0..4*p}T（p，k）*C（x，k）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+4,4）^p=求和{k=0..4*p}T（p，k）*C（n，k+1）。（完）
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链接
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配方奶粉
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a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1，2*k-2）*C（i-2*k+5，i-2*k+1）^
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+4,4）^n。等价地，让v_n表示视为无限列向量的序列（1，5^n，15^n，35^n，…），其中1，5，15，35。。。是序列二项式（n+4.4）-参见A000332号然后，该表的第n行由矩阵乘积P^（-1）*v_n确定，其中P表示帕斯卡三角形A007318元.
递归：T（n+1，k）=C（k+4,4）*T（n，k）+4*C（k+3,4）*T（n，k-1）+6*C（k+2,4）*T（n，k-2）+4*C（k+1,4）*T（n，k-3）+C（k，4）*T（n，k-4），边界条件T（n，0）=1，对于所有n，T（n，k）=0，对于k>4*n。
第n行多项式R（n，x）=（1+x）^4o（1+x）^4O。。。o（1+x）^4（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。
R（n，x）=Sum_{i>=0}二项式（i+4,4）^n*x^i/（1+x）^（i+1）。
R（n+1，x）=1/4！*（1+x）^4*（d/dx）^4（x^4*R（n，x））。
（1-x）^（4*n）*R（n，x/（1-x））似乎等于A236463号.（结束）
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例子
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第3行包含1,24176，。。。，70，所以求和{i=1..n}C（i+3,4）^3=5*C（n+4,5）*[a（1,3）/5+a（2,3）*C（n-1,1）/6+a（3,3）*C（n-1,2）/7+…+a（9,3）*C（n-2,8）/13]=5*C。囊性纤维变性。A086024号了解更多详细信息。
表格开始
n=0 |1
n=1 | 1 4 6 4 1
n=2 | 1 24 176 624 1251 1500 1070 420 70个
n=3|1 124 3126 33124 191251 681000 1596120。。。
...
第2行：C（i+4,4）^2=C（i，0）+24*C（i，1）+176*C（i，2）+624*C（i，3）+1251*C（i，4）+1500*C（i，5）+1070*C（i，6）+420*C（i，7）+70*C（i，8）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+4,4）^2=C（n，1）+24*C（n、2）+176*C（n，3）+624*C（n,4）+1251*C（n-5）+1500*C（nn,6）+1070*C（n.7）+420*C（no,8）+70*C（ni,9）。（完）
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+4，4）^n，i=0..k），k=0..4*n），n=0..6）#彼得·巴拉2018年3月11日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+5，i-2*k+1]^；表[如果[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，4*p-3}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,4*p-3，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A087127号,A024166号,A085438号,A085439号,A085440号,A085441号,A085442号,A087107号,A000332号,A086020号,A086021型,A086022号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579号,A086025号,A086026号,A087110号,A000580型,A086027号,A086028号,A087111号,A027555号,A086029号,A086030型.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A237202型
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（5*n+1，i）*二项法（k+5-i，5）^n，0<=k<=5*（n-1）。 |
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1, 1, 25, 100, 100, 25, 1, 1, 200, 5925, 52800, 182700, 273504, 182700, 52800, 5925, 200, 1, 1, 1275, 167475, 6021225, 84646275, 554083761, 1858142825, 3363309675, 3363309675, 1858142825, 554083761, 84646275
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。
特别是：
二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。
求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=求和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。
T（n，k）是1…n的5个不可区分副本的排列数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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链接
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配方奶粉
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求和{i=1..n}二项式（4+i，5）^p=求和{k=0..5*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+5+k，5*p+1）。
二项式（n，5）^p=和{k=0..5*（p-1）}T（p，k）*二项式。
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例子
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T（n，0）=1；
T（n，1）=6^n-（5*n+1）；
T（n，2）=21^n-（5*n+1）*6^n+C（5*n+1,2）；
T（n，3）=56^n-（5*n+1）*21^n+C（5*n+1,2）*6^n-C（5*n+1,3）；
T（n，4）=126^n-（5*n+1）*56^n+C。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 25, 100, 100, 25, 1;
1, 200, 5925, 52800, 182700, 273504, 182700, 52800, 5925, 200, 1;
1, 1275, 167475, 6021225, 84646275, 554083761, 1858142825, 3363309675, 3363309675, 1858142825, 554083761, 84646275, 6021225, 167475, 125, 1;
1, 7750, 3882250, 447069750, 18746073375, 359033166276, 3575306548500, 20052364456500, 66640122159000, 135424590593500, 171219515211316, 135424590593500, 66640122159000, 20052364456500, 3575306548500, 359033166276, 18746073375, 447069750, 3882250, 7750, 1;
...
例子：
求和{i=1..n}C（4+i，5）^3=C（n+5,16）+200*C（n+6,16）+5925*（n+7,16）+82800*C（n+8,16）+182700*C（n+9,16）+273504*C（n+10,16）+1 82700*C。
C（n，5）^3=C（n、15）+200*C（n+1,15）+5925*C（n+2,15）+52800*C。
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数学
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b[k_，5，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[5*p+1，i]*二项法[k-i，5]^p/。k->5+i，{i，0，k-5}]；行[p_]：=表[b[k，5，p]，{k，5*p}]；表[行[p]，｛p，1，5｝]//压扁(*Jean-François Alcover公司2014年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（5*n+1，i）*二项（k+5-i，5）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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经核准的
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A151640号
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| 1..n的4个不可区分副本的排列数，按降序正好有2个相邻元素对。 |
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0, 36, 1828, 40136, 693960, 11000300, 168594156, 2550000528, 38371094416, 576250000820, 8647558594740, 129734375001176, 1946130371095128, 29192578125001596, 437892028808595580, 6568398437500002080, 98526072692871096096, 1477891601562500002628
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）=15^n-（4*n+1）*5^n+2*n*（4*n+1）-安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
总尺寸：4*x^2*（9+205*x-485*x^2-625*x^3）/（1-x）^3*（1-5*x）^2*。
对于n>6，a（n）=28*a（n-1）-253*a（n-2）+976*a（n-3）-1675*a（n-4）+1300*a（n-5）-375*a（n-6）。（完）
例如：exp（15*x）-（1+20*x）*exp（5*x）+2*x*（5+4*x）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2022年9月8日
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数学
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表[和[（-1）^j*二项式[4*n+1，j]*二项法[6-j，4]^n，{j，0，2}]，{n，30}](*G.C.格鲁贝尔2022年9月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={15^n-（4*n+1）*5^n+2*n*（4*n+1）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月6日
（PARI）连接（0，Vec（4*x^2*（9+205*x-485*x^2-625*x^3）/（（1-x）^3*（1-5*x）^2*\\科林·巴克2020年5月7日
（岩浆）[15^n-（4*n+1）*5^n+2*n*（4*n+1）:n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月8日
（SageMath）[15^n-（4*n+1）*5^n+2*n*（4*n+1）for n in（1..30）]#G.C.格鲁贝尔2022年9月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A151641号
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| 1..n的4个不可区分副本与正好3个相邻元素对按降序排列的排列数。 |
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0, 16, 8464, 724320, 37229920, 1558185200, 59416090096, 2167506244544, 77394535148480, 2734912695301840, 96159966699204560, 3372863224609356576, 118169571125488257824, 4137881135327148408240, 144857367811462402307760, 5070515828676757812456320
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（84，-265141784，-364146183880，-54459509357000，-91281254687500，-984375）。
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配方奶粉
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a（n）=35^n-（4*n+1）*15^n+二项式（4*n+1，2）*5^n-二项式-安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
a（n）=和{j=0..3}（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项（7-j，4）^n。
通用公式：16*x^2*（1+445*x+3485*x^2-115215*x*3+200675*x^4+798375*x*5~1890625*x^6-703125*x*7）/（产品{j=0..3}（1-二项式（j+4,4）*x）^（4-j））。
例如：exp（35*x）-（1+60*x）*exp（15*x）+50*x*（1+4*x）*exp（5*x）–（2/3）*x*。（完）
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数学
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用[{B=二项式}，表[Sum[（-1）^j*B[4*n+1，j]*B[7-j，4]^n，{j，0，3}]，{n，30}]](*G.C.格鲁贝尔2022年9月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={35^n-（4*n+1）*15^n+二项式（4*n+1，2）*5^n-二项式\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*Binominal（7-j，4）^n:j in[0..3]]）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月8日
（SageMath）
定义A151641号（n） ：（0..3）中j的返回和（（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项法（7-j，4）^n
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A151642号
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| 1..n的4个不可区分副本的排列数，按降序正好有4个相邻元素对。 |
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0, 1, 13840, 4961755, 733059110, 75073622025, 6438673851876, 503519287150295, 37463016470769170, 2712124797724710645, 193396524783642727120, 13675857973300537321251, 962624331855762939745950, 67586399804656292725004385, 4738724382451462432861849980
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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常系数线性递归的索引项签名（210，-17985，836310，-23627805，429628026，-5189886205，42366601950，-235447933875，889918833750，-2267731621875，3835990781250，-4208761718750，-1098193359375，180878906250）。
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配方奶粉
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a（n）=70^n-（4*n+1）*35^n+二项式（4*n+1，2）*15^n-二项式-安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
a（n）=和{j=0..4}（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项（8-j，4）^n。
通用公式：x^2*（1+13630*x+2073340*x^2-60833350*x^3-1182529995*x^4+34295189100*x^5-173276304000*x^6-651083647500*x^7+5378182646875*x^8-998010506250*x^9-2825648437500*x^10+19397519531250*x*x^11+3165380859375*x^12）/（产品{j=0..4}（1-二项式（j+4,4）*x）^（5-j））。
例如：exp（70*x）-（1+140*x）*exp（35*x）+150*x*（1+12*x）*exp（15*x）–（50/3）*x*。（完）
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数学
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表[和[（-1）^j*二项式[4*n+1，j]*二项法[8-j，4]^n，{j，0，4}]，{n，30}](*G.C.格鲁贝尔2022年9月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={70^n-（4*n+1）*35^n+二项式（4*n+1，2）*15^n-二项式\\安德鲁·霍罗伊德，2020年5月7日
（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项型（8-j，4）^n:j in[0..4]）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月9日
（SageMath）
定义A151642号（n） ：（0..4）中j的返回和（（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项法（8-j，4）^n）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A151643号
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| 1..n的4个不可区分副本的排列数，按降序正好有5个相邻元素对。 |
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0，0，8464，15018688，6501577152，1585757994496，290861341616496，45679059507623040，6563622028755987104，8950009629522636673728，118277136569294999638992，15337783893522951844828992，1966328218272794506172178816，250347808250994150312231611520
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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常系数线性递归的索引项,签名(462, -91531, 10359990, -751926160, 37211988696, -1302889937812, 33041329661136, -616216166660230, 8532037831808700, -88161849837783250, 681071135526667500, -3928678356172712500, 16849648606559250000, -53333569862180312500, 123260625734287500000, -205051485813712890625, 240815404573652343750, -193749765819873046875, 101292345769042968750, -30943180590820312500、4187798876953125000）。
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配方奶粉
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a（n）=和{j=0..5}（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项（9-j，4）^n。
G.f.，例如f.和recurrence在文件“Generating functions and recurrency”中。（完）
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数学
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表[和[（-1）^j*二项式[4*n+1，j]*二项法[9-j，4]^n，{j，0，5}]，{n，30}](*G.C.格鲁贝尔2022年9月10日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项型（9-j，4）^n:j in[0..5]]）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月10日
（SageMath）
定义A151643号（n） ：（0..5）中j的返回和（（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项法（9-j，4）^n）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A151644号
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| 1..n的4个不可区分副本的排列数，按降序排列，正好有6个相邻元素对。 |
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0, 0, 1828, 21571984, 29066972368, 16938467955200, 6501926870387116, 1978065945844840160, 524378714083391626872, 127734445724723139679472, 29503552588857666326833140, 6587452899587031432766113392, 1439127765510353092008927027552, 310010313330353917185364216860320
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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常系数线性递归的索引项,签名(924, -378521, 91617024, -14722624611, 1672843754916, -139720634979999, 8802985293454896, -425959267257617574, 16033075393526507736, -473719205662776457290, 11056881154552526304000, -204722830335985725627750, 3014129978676701732565000, -35317513927339931248518750, 329166550817222634139500000, -2435724534109739934786328125, 14263842696601765936879687500, -65800836590491435623611328125, 237643329148874488008750000000, -666631524934449548464990234375, 1438281882495029477739257812500, -2357806371916471525008544921875, 2891080516482183085839843750000, -2594002250018865048706054687500, 1646666887498820332031250000000, -698563762562096740722656250000, 177368526026876953125000000000, -20361182834718017578125000000).
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配方奶粉
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a（n）=和{j=0..6}（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项（10-j，4）^n。
G.f.，例如f.和recurrence在文件“Generating functions and recurrency”中。（完）
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数学
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表[和[（-1）^j*二项式[4*n+1，j]*二项法[10-j，4]^n，{j，0，6}]，{n，30}](*G.C.格鲁贝尔2022年9月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*Binominal（10-j，4）^n:j in[0..6]]）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月12日
（SageMath）
定义A151644号（n） ：返回和（（-1）^j*二项式（4*n+1，j）*二项式（10-j，4）^n，用于（0..6）中的j）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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