搜索： a230097-编号：a230097
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 1, 3, 3, 5, 3, 6, 5, 3, 2, 5, 4, 6, 3, 5, 4, 5, 1, 3, 3, 5, 3, 6, 5, 7, 3, 5, 6, 7, 5, 8, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 4, 8, 6, 7, 3, 6, 5, 7, 4, 6, 5, 6, 1, 3, 3, 5, 3, 6, 5, 7, 3, 6, 6, 9, 5, 7, 7, 5, 3, 6, 5, 8, 6, 7, 7, 7, 5, 9, 8, 5, 3, 6, 4, 5, 2, 5, 5, 6, 5, 9, 5, 7, 4
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,4
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评论
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当n=0时，a（n）=0。a（n）=1当n=2^k时，对于某些k>=0。a（n）=2当n=3*2^k时，对于某些k>=0。Szalay证明了a（n）=3当n=7*2^k，23*2^k，或2^a+2^b对于k>=0和a>b>=0。似乎a（n）=4 iff n=13*2^k、15*2^k、47*2^ k或111*2^0，但这还没有被证明！a（n）=4的任何其他n都大于10^50，并且存在有限多个奇解-查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月20日
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参考文献
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L.Szalay，方程式2^n±2^m±2^L=z^2，Indagationes Mathematicae（n.S.）13，第1期（2002年），第131-142页。
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链接
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伯恩特·林德斯特伦，关于幂的二进制数字《数论杂志》，第65卷，第2期，1997年8月，第321-324页。
K.B.Stolarsky，幂的二进制数字，程序。阿默尔。数学。《社会分类》第71卷（1978年），第1-5页。
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配方奶粉
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Lindström表明lim-sup-wt（m^2）/log_2 m=2-N.J.A.斯隆，2013年10月11日
a（n）=[x^（n^2）]（1/（1-x））*Sum_{k>=0}x^-伊利亚·古特科夫斯基2018年3月27日
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]：=总数[整数位数[n^2，2]；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a159918=a000120。a000290号--莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月12日
（Python）
返回箱（n*n）.计数（'1'）#柴华武2014年9月3日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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经核准的
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0, 1, 3, 5, 13, 11, 21, 39, 45, 75, 155, 217, 331, 181, 627, 923, 1241, 2505, 3915, 5221, 6475, 11309, 15595, 19637, 31595, 44491, 69451, 113447, 185269, 244661, 357081, 453677, 1015143, 908091, 980853, 2960011, 4568757, 2965685, 5931189, 11862197, 20437147
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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猜想：a（n）永远不是-1。（林德斯特伦（Lindström）（1997）的论点似乎可以修改，以建立这一推测。）
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雨果·普福尔特纳，n=0..110时的n，a（n）表（多诺万·约翰逊（Donovan Johnson）的0..70条款，通过Code Golf挑战赛中提供的项目实现了显著扩展）。
伯恩特·林德斯特伦，关于幂的二进制数字《数论杂志》，第65卷，第2期，1997年8月，第321-324页。
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a231897 n=头部[x|x<-[1..]，a159918 x==n]
（PARI）a（n）=如果（n），我的（k）；while（汉明威（k++^2）=n、 ）；k、 0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年8月6日
（Python）
def wt（n）：返回bin（n）。计数（'1'）
定义a（n）：
m=2**（n//2）-1
而wt（m**2）！=n： m+=1
返回m
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非n
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作者
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经核准的
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A231898型
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| a（n）=最小k，其性质是，对于所有m>=k，存在一个正方形n^2，其二进制展开正好包含n个1和m个0；如果不存在这样的k，则为-1。 |
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5
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-1, -1, 2, -1, 4, 3, 4, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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对于n=1、2和4，a（n）=-1，因为所有二进制展开中正好有1、2或4个1的正方形必须包含偶数个0。
推测：除了n=1、2和4之外，没有其他a（n）是-1。
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例子
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下面是一个表，其列给出了：
N、 N^2，N^2中的位数，N^2中的1的位数，N^2中的0的位数：
0 0 1 0 1
1 1 1 1 0
2 4 3 1 2
3 9 4 2 2
4 16 5 1 4
5 25 5 3 2
6 36 6 2 4
7 49 6 3 3
8 64 7 1 6
9 81 7 3 4
10 100 7 3 4
11 121 7 5 2
12 144 8 2 6
13 169 8 4 4
14 196 8 3 5
15 225 8 4 4
16 256 9 1 8
17 289 9 3 6
18 324 9 3 6
19 361 9 5 4
...
a（n）由以下属性定义：对于所有m>=a（n），表中包含以n m结尾的行。例如，有以3 2、3 3、3 4、3 5……结尾的行。。。，但不是31，所以a（3）=2。
a（5）=4：对于t>=0，（11*2^t）^2包含5个1和2t+20，而（25*2^t）^2则包含5个1s和2t+50，因此对于m>=4，有一个数字N，使得N^2包含51和m0。此外，4是具有此属性的最小数字，因此a（5。
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关键词
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签名,更多
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作者
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提供的定义中缺少单词乔恩·佩里2013年11月20日。
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85, 87, 88, 89
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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a（70）=77对应于A230097型(70) = 34895284158283. 它的正方形12176808564873164997508089是最小的，也是唯一一个具有这种汉明重量的90位正方形。
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黄体脂酮素
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（Python 3.10+）
从itertools导入计数，islice
c=-1
对于计数（0）中的n：
如果（m:=（n**2）.bit_count（）if sys.version_info>=（3，10）else bin（n**2）.count（'1'））>c:
产量（c:=m）
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的
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作者
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缺少a（68）=75和a（71）-a（80）伯特·多贝莱尔，2022年11月20日
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状态
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经核准的
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A357305型
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| 数字k>1，使得k^2的二进制表示中的比率（零数）/（总长度）是一个新的最小值。 |
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2, 3, 5, 11, 45, 181, 48589783221, 66537313397, 398064946368587, 796095014224053
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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. . . k^2以二进制形式写入
2 4 2/3 [1, 0, 0]
3 9 1/2 [1, 0, 0, 1]
5 25 2/5 [1, 1, 0, 0, 1]
11 121 2/7[1,1,1,1,0,1]
45 2025 3/11 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1]
181 32761 2/15 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1]
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,坚硬的,更多
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作者
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经核准的
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1, 23, 111, 479, 1471, 6015, 24319, 28415, 490495, 6025215, 8122367, 98549759, 132104191, 1593769983, 1862205439, 29930291199, 479961546751, 514321285119, 8237743079423, 131872659079167, 136270705590271, 35461448750596095, 7998111458938322943, 9151032963545169919
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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这个序列是无限的，这是Stolarsky定理2的结果。
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链接
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K.B.Stolarsky，幂的二进制数字，程序。阿默尔。数学。Soc.71（1978），第1-5页。
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例子
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23是二进制的10111，23^2=529是二进制的1000010001。每个较小的数字都有H（n）/H（n^2）<=1，但H（23）/H。
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数学
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DeleteDuplicates[Table[{n，Total[IntegerDigits[n，2]]/Total[Integer Digits[n^2，2]]}，{n，500000}]，GreaterEqual[#1[[2]]，#2[[2]]&][[；；，1]]（*程序生成序列的前9项。*）(*哈维·P·戴尔2023年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）r=2；对于步骤（n=1，1e9，2，t=hammingweight（n^2）/hammingweight（n））；如果（t<r，r=t；打印1（n“，”））
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关键词
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基础,非n
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作者
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经核准的
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评论
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从a（2）开始的项必须被视为下限，因为没有证据证明在k^2>2^90范围内不存在二进制零数量非常少的平方（参见A230097型)已知。
a（9）>=63、a（10）>=57。
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链接
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例子
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二进制中的n个a（n）位k k ^2 k ^2
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0
2 13 15 181 32761 111111111111001
3 8 11 45 2025 11111101001
4 13 17 362 131044 11111111111100100
5 16 21 1241 1540081 101110111111111110001
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,坚硬的,更多
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作者
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经核准的
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评论
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a（9）>=66537313397，a（10）>=10520476455。
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链接
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关键词
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非n,基础,坚硬的,更多
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作者
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经核准的
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