搜索： a213569-编号：a213568
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A213500型
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| 矩形阵列T（n，k）：（第n行）=b**c，其中b（h）=h，c（h）=h+n-1，n>=1，h>=1和**=卷积。 |
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+10
89
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1, 4, 2, 10, 7, 3, 20, 16, 10, 4, 35, 30, 22, 13, 5, 56, 50, 40, 28, 16, 6, 84, 77, 65, 50, 34, 19, 7, 120, 112, 98, 80, 60, 40, 22, 8, 165, 156, 140, 119, 95, 70, 46, 25, 9, 220, 210, 192, 168, 140, 110, 80, 52, 28, 10, 286, 275, 255, 228, 196, 161, 125, 90
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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一般来说，两个无限序列的卷积是由两个n元组的卷积定义的：设X（n）=（X（1），。。。，x（n））和Y（n）=（Y（1），。。。，y（n））；则X（n）**Y（n）=X（1）*Y（n）+X（2）*Y+x（n）*y（1）；这个和是无限序列卷积中的第n项：（x（1），。。。，x（n），…）**（y（1），。。。，y（n），…），对于所有n>=1。
...
在以下有关阵列和序列的指南中，每个阵列T（n，k）的行n是序列b（h）和c（h+n-1）的卷积b**c。主对角线由T（n，n）给出，第n个反对角线和由S（n）给出。在某些情况下，T（n，n）或S（n）与所列序列的偏移量不同。
b（h）。。。。。。。。c（h）。。。。。。。。T（n，k）。。T（n，n）。。S（n）
...
假设u=（u（n））和v=（v（n）是分别具有生成函数u（x）和v（x）的序列。那么卷积u**v具有生成函数u（x）*v（x）。因此，如果u和v是齐次线性递归序列，那么卷积数组T的每一行都满足相同的齐次线性递推方程，这可以很容易地从u（x）*v（x）的分母中得到。此外，T的每一列都具有与v相同的齐次线性递归。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=4*T（n、k-1）-6*T（n、k-2）+4*T（m，k-3）-T（n，k-4）。
T（n，k）=2*T（n-1，k）-T（n-2，k）。
第n行的G.f:x*（n-（n-1）*x）/（1-x）^4。
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例子
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西北角（阵列由西南下降的反对角线读取）：
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, ...
2, 7, 16, 30, 50, 77, 112, ...
3, 10, 22, 40, 65, 98, 140, ...
4, 13, 28, 50, 80, 119, 168, ...
5, 16, 34, 60, 95, 140, 196, ...
6, 19, 40, 70, 110, 161, 224, ...
T（6.1）=（1）**（6）=6；
T（6,2）=（1,2）**（6,7）=1*7+2*6=19；
T（6.3）=（1,2,3）**（6,7,8）=1*8+2*7+3*6=40。
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数学
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b[n]：=n；c[n]：=n
t[n_，k_]：=和[b[k-i]c[n+i]，{i，0，k-1}]
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，10}]]
扁平[表[t[n-k+1，k]，{n，12}，{k，n，1，-1}]]
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黄体脂酮素
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（PARI）
t（n，k）=总和（i=0，k-1，（k-i）*（n+i））；
表（nn）={表示（n=1，nn，表示（k=1，n，打印1（t（k，n-k+1），“，”）；）；打印（）；}；
（Python）
定义t（n，k）：返回和（（k-i）*（n+i），对于范围（k）中的i）
对于范围（1，13）中的n：
打印（[t（k，n-k+1）表示范围（1，n+1）中的k）]#因德拉尼尔·戈什2017年3月26日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A213568型
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| 矩形阵列：（第n行）=b**c，其中b（h）=2^（h-1），c（h）=n-1+h，n>=1，h>=1和**=卷积。 |
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+10
8
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1, 4, 2, 11, 7, 3, 26, 18, 10, 4, 57, 41, 25, 13, 5, 120, 88, 56, 32, 16, 6, 247, 183, 119, 71, 39, 19, 7, 502, 374, 246, 150, 86, 46, 22, 8, 1013, 757, 501, 309, 181, 101, 53, 25, 9, 2036, 1524, 1012, 628, 372, 212, 116, 60, 28, 10, 4083, 3059, 2035, 1267
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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对于第n行的G.f:f（x）/G（x），其中f（x）=n-（n-1）*x和G（x）=（1-2*x）*（1-x）^2。
T（n，k）=2^k*（n+1）-（n+k+1）-G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
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例子
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西北角（阵法由下落的反对角线读取）：
1...4....11...26....57....120
2...7....18...41....88....183
3...10...25...56....119...246
4…13…32…71…150…309
5...16...39...86....181...372
6...19...46...101...212...435
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数学
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（*第一个程序*）
b[n]：=2^（n-1）；c[n]：=n；
t[n_，k_]：=总和[b[k-i]c[n+i]，{i，0，k-1}]
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，10}]]
扁平[表[t[n-k+1，k]，{n，12}，{k，n，1，-1}]]
s[n]：=和[t[i，n+1-i]，{i，1，n}]
（*第二个程序*）
表[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2），{n，12}，{k，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年7月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1，12，对于（k=1，n，打印1（2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
（岩浆）[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）：k in[1..n]，n in[1..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
（Sage）[[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）for k in（1..n）]for n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
（GAP）平面（列表（[1.12]，n->列表（[1..n]，k->2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）））#G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 17, 93, 349, 1093, 3093, 8221, 20957, 51861, 125509, 298477, 699789, 1621285, 3718325, 8453181, 19069885, 42728245, 95156901, 210762253, 464517485, 1019214021, 2227173397, 4848613213, 10519312029, 22749902293, 49056576773, 105495131181, 226291086157
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=9*a（n-1）-33*a（n-2）+63*a。
总尺寸：x*（1+8*x-27*x^2+10*x^3+16*x^4）/（1-3*x+2*x^2）^3。
a（n）=2^n*（3+2*n+n^2）-（3+4*n+4*n^2-科林·巴克，2017年10月30日
例如：（3+6*x+4*x^2）*exp（2*x）-（3+8*x+4**^2）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2019年7月25日
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数学
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（*第一个程序*）
b[n]：=2^（n-1）；c[n]：=n；
t[n_，k_]：=总和[b[k-i]c[n+i]，{i，0，k-1}]
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，10}]]
扁平[表[t[n-k+1，k]，{n，12}，{k，n，1，-1}]]
s[n]：=和[t[i，n+1-i]，{i，1，n}]
（*附加程序*）
线性递归[{9，-33，63，-66，36，-8}，{1，17，93，349，1093，3093}，30](*哈维·P·戴尔2014年6月25日*）
静止[系数列表[级数[x（1+8x-27x^2+10x^3+16x^4）/（1-3x+2x^2）^3，{x，0，30}]，x]](*文森佐·利班迪2014年6月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（1+8*x-27*x^2+10*x^3+16*x^4）/（（1-x）^3*（1-2*x）^3）+O（x^30））\\科林·巴克2017年10月30日
（PARI）向量（30，n，2^n*（3+2*n+n^2）-（3+4*n+4*n^2\\G.C.格鲁贝尔2019年7月25日
（岩浆）[2^n*（3+2*n+n^2）-（3+4*n+4*n^2//G.C.格鲁贝尔2019年7月25日
（鼠尾草）[2^n*（3+2*n+n^2）-（3+4*n+4*n^2#G.C.格鲁贝尔2019年7月25日
（GAP）列表（[1..30]，n->2^n*（3+2*n+n^2）-（3+4*n+4*n^2#G.C.格鲁贝尔2019年7月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A327916型
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| 按行读取三角形T（k，n）：数组A（k，n）=2^k*（k+1+2*n），k>=0，n>=0。 |
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+10
1
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1, 4, 3, 12, 8, 5, 32, 20, 12, 7, 80, 48, 28, 16, 9, 192, 112, 64, 36, 20, 11, 448, 256, 144, 80, 44, 24, 13, 1024, 576, 320, 176, 96, 52, 28, 15, 2304, 1280, 704, 384, 208, 112, 60, 32, 17, 5120, 2816, 1536, 832, 448, 240, 128, 68, 36, 19, 11264, 6144, 3328, 1792, 960, 512, 272, 144, 76, 40, 21
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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数组A（k，n）由以下帕斯卡型三角形PTodd（k）产生，k>=0基于正奇整数A005408号.
例如，对于k=3，Pascal型三角形PTodd（k）为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
将这些三角形倒置，从任何k+1的数字开始，就变成了所谓的高度为k+1的加法塔（德国小学的Rechenturm；感谢我的记者Bennet D.）。这里使用的是正奇数。
这些Pascal型三角形PT（k）的最终数目的序列s，对于k>=0，从1、4、12、32…开始。。。；s（k）=（k+1）*2^k=A001787号（k+1），对于k>=0。
对于k->infinity，左对齐行序列构建数组A（k，n），其中k>=0且n>=0，即A（k、n）=2^k*（k+2*n+1）；此数组开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5。。。
-------------------------------
2: 12 20 28 36 44 52 ... {A017113号（n+1）}
3: 32 48 64 80 96 112 ... {A008598号（n+2）}
4:80 112 144 176 208 240。。。{16*A005408号（n+2）}
5: 192 256 320 384 448 512 ... {A152691号（n+3）}
6: 448 576 704 832 960 1088 ... {64*A005408号（n+3）}
...
序列s是A的第一列（n=0），它总是A中第一行（k=0）的二项式变换。
A（k，n）=Sum_{j=0..k}二项式（k，j）*（2*（n+j）+1）=2^k*（k+1+2*n），对于k>=0和n>=0。
相应的反对偶向上读取三角形为T（k，n）=A（k-n，n）=2^（k-n）*（k+n+1），n>=0，k=0..n。
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链接
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配方奶粉
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数组A（k，n）=Sum_{j=0..k}二项式（k，j）*（2*（n+j）+1）=2^k*（k+1+2*n），对于k>=0和n>=0。
三角形T（k，n）=A（k-n，n）=2^（k-n）*（k+n+1），n>=0，k=0..n。
递归：T（k，0）=（k+1）*2^k=A001787号（k+1），对于k>=0，T（k，n）=T（k、n-1）-T（k-1、n-1。
行多项式的O.g.f.：g（z，x）=和{n=0..k}R（k，x）*z^n=
（1+x*z*（1-4*z））/（1-2*z）^2*（1-x*z）*2）。
T（k，0）=和{n=0..k}二项式（k，n）*T（n，n），k>=0（二项式变换）。
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例子
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三角形T（k，n）开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
-----------------------------------------------------
0: 1
1: 4 3
2: 12 8 5
3: 32 20 12 7
4: 80 48 28 16 9
5: 192 112 64 36 20 11
6:448 256 144 80 44 24 13
7: 1024 576 320 176 96 52 28 15
8: 2304 1280 704 384 208 112 60 32 17
9: 5120 2816 1536 832 448 240 128 68 36 19
10: 11264 6144 3328 1792 960 512 272 144 76 40 21
...
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数学
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表[2^#*（#+1+2n）&[k-n]，{k，0，10}，{n，0，k}]//展平(*迈克尔·德弗利格2019年10月3日*）
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交叉参考
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对于k>=0，（次）对角线k的序列是数组A:{（k+2*n+1）*2^k}_{k>=0}的行k序列。
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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