搜索： a210657-编号：a210657
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1, 2, 13, 224, 8170, 522716, 51749722, 7309866728, 1394040714169, 344865267322010, 107361980072755261, 41067497940750566312, 18931745446455458282248, 10350955324610065848650384, 6622526747212249020075069880, 4901565185965701578921602882976
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评论
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A210657型（n） =3^（2*n）*E（2*m，1/3），其中E（n，x）是第n个Euler多项式。一般来说，当k是非零整数时，exp（Sum_{n>=1}k^（2*n）*E（2*m，1/k）*（-x）^n/n）的展开式具有（正）整数系数。请参见A255881型（k=2），A255883型（k=4）和A255884型（k=6）。
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链接
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公式
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外径：exp（2*x+22*x^2/2+602*x^3/3+30742*x*^4/4+…）=1+2*x+13*x^2+224*x^3+8170*x^4+。。。。
a（0）=1，对于n>=1，n*a（n）=Sum_{k=1..n}（-1）^k*3^（2*k）*E（2*k，1/3）*a（n-k）。
a（n）~2^（2*n+2）*3^（2%n+1/2）*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇，2019年6月8日
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MAPLE公司
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k：=3：
exp（加上（k^（2*n）*euler（2*n，1/k）*（-x）^n/n，n=1。。15） ）：序列（coeftayl（%，x=0，n），n=0。。15);
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数学
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A210657型[n]：=9^n欧拉[2n，1/3]；a： =具有[{nmax=80}，系数列表[Series[Exp[Sum[A210657型[k] *（-x）^（k）/（k），{k，1，75}]]，{x，0，nmax}]，x]]；表[a[[n]]，{n，1，51}](*G.C.格鲁贝尔2018年8月26日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000364号
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| Euler（或正割或“Zig”）数字：例如f.（仅限偶数幂）sec（x）=1/cos（x）。
（原名M4019 N1667）
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+10
261
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1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, 199360981, 19391512145, 2404879675441, 370371188237525, 69348874393137901, 15514534163557086905, 4087072509293123892361, 1252259641403629865468285, 441543893249023104553682821, 177519391579539289436664789665
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评论
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古德曼逆gd^（-1）（x）=对数（秒（x）+tan（x））=对数-迈克尔·索莫斯2011年3月19日
a（n）是[2n]的向下排列的数目。例如：a（2）=5计数4231、4132、3241、3142、2143-大卫·卡伦2011年11月21日
a（n）是顶点{0,1,2，…，2n}上增加的全二叉树的数目，最左边的叶子被标记为2n-大卫·卡伦2011年11月21日
a（n）是2n+1大小的无序增长树的个数，只允许偶数次，度权生成函数由cosh（t）给出-马库斯·库巴2014年9月13日
a（n）是斜形状（n+1，n，n-1，…，3,2）/（n-1，n-2，…2,1）的标准Young表的数量-冉·潘2015年4月10日
以a（1）开头的序列是任意奇数素数p的周期模。如果p==1模4，最小周期为（p-1）/2，如果p==3模4则最小周期为p-1[Knuth&Buckholtz，1967，定理2]-艾伦·斯坦格2020年8月3日
猜想：取序列[a（n）：n>=1]的模为整数k，得到一个周期除以φ（k）的纯周期序列。例如，取模21的序列以6=φ（21）/2的表观周期开始[1、5、19、20、20、16、2、1、20、6、16、20、2、15、19、]-彼得·巴拉2023年5月8日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（及各种重印本），第810页；给出了带有符号的版本：E_{2n}=（-1）^n*a（n）（这是A028296号).
J.M.Borwein和D.M.Bailey，《实验数学》，彼得斯，波士顿，2004年；第49页
J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第141页。
G.Chrystal，《代数》，第二卷，第342页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第49页。
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L.Euler，仪器计算差异，第224节。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第269页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
R.Bacher和P.Flajolet，伪因子、椭圆函数和连分式，arXiv:0901.1379[math.CA]，2009年。
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Elliot J.Carr和Matthew J.Simpson，准确有效地计算地下水流响应时间，arXiv:1707.06331[physics.flu-dyn]，2017年。
Elliot J.Carr和Matthew J.Simpson，非均匀介质随机输运的新均匀化方法，arXiv:1810.08890【物理.生物-ph】，2018年。
Bishal Deb和Alan D.Sokal，循环交替排列的连续分数，arXiv:2304.06545[math.CO]，2023年。
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C.J.Fewster和D.Siemssen，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
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J.M.Hammersley，操纵本科生练习，数学。《科学家》，14（1989），1-23。（带注释的扫描件）
J.M.Hammersley，本科生操作练习，数学。《科学家》，14（1989），1-23。
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D.E.Knuth和Thomas J.Buckholtz切线、欧拉和伯努利数的计算，数学。公司。21 1967 663-688. [带注释的扫描副本]
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D.柄，广义欧拉和类数.数学。公司。21 (1967) 689-694.
D.柄，广义欧拉和类数，数学。公司。21（1967），689-694；22 (1968), 699. [带注释的扫描副本]
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R.P.斯坦利，交替排列和对称函数，arXiv:math/0603520[math.CO]，2006年。
孙志伟，关于二的模幂欧拉数《数论杂志》，第115卷，第2期，2005年12月，第371-380页。
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公式
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例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！=秒（x）-迈克尔·索莫斯2007年8月15日
例如：和{n>=0}a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！=gd^（-1）（x）-迈克尔·索莫斯2007年8月15日
例如：和{n>=0}a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！=2*阿卡坦（cosec（x）-科坦（x））-拉尔夫·斯蒂芬2004年12月16日
Pi/4-[Sum_{k=0..n-1}（-1）^k/（2*k+1）]~（1/2）*[Sum_{k>=0}（-1）^k*E（k）/（2*n）^（2k+1）]表示正偶数n
此外，对于正奇数n，log（2）-Sum_{k=1..（n-1）/2}（-1）^（k-1）/k~（-1）qu（n-1-彼得·巴拉2016年10月29日
设M_n为n×n矩阵M_n（i，j）=二项式（2*i，2*（j-1））=A086645号（i，j-1）；则对于n>0，a（n）=det（M_n）；示例：det（[1,1,0,0；1,6,1,0；1/15,15,1；1,28,70,28]）=1385-菲利普·德尔汉姆2005年9月4日
这个序列也是（-1）^n*EulerE（2*n）或abs（EulerE*n）Paul Abbott（Paul（AT）physics.uwa.edu.au），2006年4月14日
a（n）=2^n*E_n（1/2），其中E_n（x）是一个欧拉多项式。
a（k）=a（j）（mod 2^n）当且仅当k==j（mod 2 ^n）（k和j是偶数）。[Stern；另见Wagstaff和Sun]
E_k（3^（k+1）+1）/4=（3^k/2）*Sum_{j=0..2^n-1}（-1）^（j-1）*（2j+1）^k*[（3j+1）/2^n]（mod 2^n）其中k是偶数，[x]是最大的整数函数。[周日]
a（n）~2^（2*n+2）*（2*n）/Pi^（2*n+1）表示n->无穷大。[由更正瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月10日]
递归：a（n）=-（-1）^n*Sum_{i=0..n-1}（-1）^i*a（i）*二项式（2*n，2*i）-拉尔夫·斯蒂芬，2005年2月24日
O.g.f.：1/（1-x/（1-4*x/（1~9*x/）（1-16*x/…-n^2*x/，1-…）））（因T.J.Stieltjes而产生的续分数）-保罗·D·汉纳，2005年10月7日
a（n）=（积分{t=0..Pi}对数（tan（t/2）^2）^（2n）dt）/Pi^（2 n+1）.-Logan Kleinwaks（美国普林斯顿大学校友），2007年3月15日
a（n）=2*（-1）^n*L（-2*n），其中L（s）是Dirichlet L函数L（s（s）=1-1/3^s+1/5^s-+。。。。（结束）
求和{n>=0}a（n）*z^（2*n）/（4*n）！！=Beta（1/2-z/（2*Pi），1/2+z/（2%Pi））/Beta（1/2，1/2），Beta（z，w）为Beta函数-约翰内斯·梅耶尔2009年7月6日
a（n）=总和（总和_（二项式（k，m）*（-1）^（n+k）/（2^（m-1））*总和_（二项式（m，j）*（2*j-m）^-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年8月5日
(1)... a（n）=（-1/4）^n*B（2*n，-1），
其中{B（n，x）}n>=1=[1，1+x，1+6*x+x^2，1+23*x+23*x2+x^3，…]是B型欧拉多项式的序列-参见A060187号等效地，
(2)... a（n）=和{k=0..2*n}和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，k-j）*（j+1/2）^。
我们也有
(3)... a（n）=2*a（2*n，i）/（1+i）^（2*n+1），
其中i=sqrt（-1）和{A（n，x）}n>=1=[x，x+x^2，x+4*x^2+x^3，…]表示欧拉多项式序列-参见A008292号等效地，
(4)... a（n）=i*Sum_{k=1..2*n}（-1）^（n+k）*k*箍筋2（2*n，k）*（（1+i）/2）^（k-1）
=i*Sum_{k=1..2*n}（-1）^（n+k）*（（1+i）/2）^。
上述a（n）或（2）的显式公式均可用于获得a（n”）的同余结果。例如，对于素数p
（5a）。。。a（p）=1（mod p）
（5b）。。。a（2*p）=5（mod p）
对于奇素数p
（6a）。。。a（（p+1）/2）=（-1）^（（p-1）/2）（mod p）
（6b）。。。a（（p-1）/2）=-1+（-1）^（（p-1/2）（mod p）。
（结束）
a（n）=（-1）^n*2^（4*n+1）*（zeta（-2*n，1/4）-zeta（-2-n，3/4））-Gerry Martens公司2011年5月27日
a（n）可以表示为将2*n的所有组成部分取为偶数部分的多项式之和（Vella 2008）：a（n）=sum_{compositions 2*i_1+…+2*i_k=2*n}（-1）^（n+k）*多项式（2*n，2*i_1，…，2*i _k）。例如，数字6有4个组成部分为偶数，即6、4+2、2+4和2+2+2，因此a（3）=6/6！-6!/(4!*2!) - 6!/(2!*4!) + 6!/(2!*2!*2!) = 61. Malenfant 2011给出了一个伴随公式，将A（n）表示为将2*n-1的成分转化为奇数部分的多项式之和-彼得·巴拉2011年7月7日
a（n）=M^n中的左上项，其中M是无限平方生产矩阵；M[i，j]=A000290型（i） =i^2，i>=1和1<=j<=i+1，以及M[i，j]=0，i>=1和j>=i+2（参见示例）-加里·亚当森2011年7月18日
例如，A'（x）满足微分方程A'（x）=cos（A（x））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月3日
a（n）=D^（2*n）（cosh（x）），在x=0时计算，其中D是算子cosh（x）*D/dx。a（n）=D^（2*n-1）（f（x））在x=0时求值，其中f（x）=1+x+x^2/2！并且D是算子f（x）*D/dx。
其他生成函数：cosh（Integral_{t=0..x}1/cos（t））dt=1+x^2/2！+5*x^4/4！+61*x^6/6！+1385*x^8/8！+。。。。参见。A012131号.
A（x）：=弧度（tan（x））=对数（秒（x）+tan（x））=x+x ^3/3！+5*x^5/5！+61*x^7/7！+1385*x^9/9！+。。。。A（x）满足A'（x）=cosh（A（x”））。
B（x）：=序列反转（对数（秒（x）+tan（x）））=x-x^3/3！+5*x^5/5！-61*x^7/7！+1385*x^9/9！-…=arctan（sinh（x））。B（x）满足B'（x）=cos（B（x”））。（结束）
a（0）=1，当n>0时，a（n）=（-1）^n*（（4*n+1）/（2*n+1）-Sum_{k=1..n}（4^（2*k）/2*k）*二项式（2*n，2*k-1）*A000367号（k）/A002445号（k） ）；请参阅Bucur等人的链接-L.埃德森·杰弗里2012年9月17日
O.g.f.：求和{n>=0}（2*n）/2^n*x^n/产品{k=1..n}（1+k^2*x）-保罗·D·汉纳2012年9月20日
连续分数：
例如：（秒（x））=1+x^2/T（0），T（k）=2（k+1）（2k+1）-x^2+x^2*（2k+1）（2k+2）/T（k+1）。
例如：2/Q（0），其中Q（k）=1+1/（1-x^2/（x^2-2*（k+1）*（2*k+1）/Q（k+1。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x*k*（3*k-1）-x*（k+1）*（2*k+1）x（x*k^2+1）/Q（k+1）。
例如：（2+x^2+2*U（0））/（2+（2-x^2）*U（O）），其中U（k）=4*k+4+1/（1+x^2/（2-x*k+3）*（2*k+4）/U（k+1）））。
例如：1/cos（x）=8*（x^2+1）/（4*x^2+8-x^4*U（0）），其中U（k）=1+4*（k+1）*（k+2）/（2*k+3-x^2*（2*k+3）/。
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x-x*（2*k+1）*（2*k+2）/（1-x*（2*k+1）*（2*k+2）/U（k+1））。
G.f.：1+x/G（0），其中G（k）=1+x-x*（2*k+2）*（2xk+3）/（1-x*（2%k+2。
设F（x）=秒（x^（1/2））=和{n>=0}a（n）*x^n/（2*n）！，则F（x）=2/（Q（0）+1），其中Q（k）=1-x/（2*k+1）/（2xk+2）/（1-1/（1+1/Q（k+1）））。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）^2/（x*（k+1）^2-1/Q（k+1））。
例如：1/cos（x）=1+x^2/（2-x^2）*Q（0），其中Q（k）=1-2*x^2*（k+1）*（2*k+1）/。（结束）
a（n）=Sum_{k=1..2*n}（Sum_{i=0..k-1}（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1^（i+k+n））/2^（k-1）对于n>0，a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年10月5日
似乎a（n）=3*A076552号当n>=1时，（n-1）+2*（-1）^n。推测全等：对于n>=1，a（2*n）==5（mod 60），对于n>=0，a（2*n+1）==1（mod 60）-彼得·巴拉2013年7月26日
O.g.f:求和{n>=0}1/2^n*求和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）/（1-sqrt（-x）*（2*k+1））=求和{n>=0{1/2^n*求和}k=0..n}。
O.g.f.是1+x*d/dx（log（f（x））），其中f（x”）=1+x+3*x^2+23*x^3+371*x^4+。。。是o.g.fA255881型.（结束）
总和_（n>=1，A034947号（n） /n^（2d+1））=a（d）*Pi^（2d+1）/（2^（2-d+2）-2）（2d）！对于d>=0；参见Allouche和Sondow，2015年-乔纳森·桑多2015年3月21日
渐近展开：4*（4*n/（Pi*e））^（2*n+1/2）*exp（1/2+1/（24*n）-1/（2880*n^3）+1/（40320*n^5）-…）。（请参阅Luschny链接。）-彼得·卢什尼2015年7月14日
a（n）=2*（-1）^n*Im（Li_{-2n}（i）），其中Li_n（x）是多对数，i=sqrt（-1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日
极限{n->infinity}（（2*n）/a（n））^（1/（2*n））=π/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月7日
O.g.f.：1/（1+x-2*x/（1-2*x/[（1+x-12*x/-彼得·巴拉2017年11月9日
对于n>0，a（n）=（-PolyGamma（2*n，1/4）/2^-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月4日
a（n）~2^（4*n+3）*n^（2*n+1/2）/（Pi^（2*n+1/2）*exp（2*n））*exp（和{k>=1}伯努利（k+1）/（k*（k+1”）*2^k*n^k））-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年3月5日
由于Stern（mod 4）和Knuth&Buckholtz（mod 3和5）的结果，Peter Bala对n>=1和a（2n+1）==1（mod 60）的同余猜想成立-查尔斯·格里特豪斯四世2022年3月23日
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例子
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G.f.=1+x+5*x^2+61*x^3+1385*x^4+50521*x^5+2702765*x^6+199360981*x^7+。。。
秒（x）=1+1/2*x^2+5/24*x^4+61/720*x^6+。。。
矩阵M的前几行是：
1, 1, 0, 0, 0, ...
4, 4, 4, 0, 0, ...
9，9，9，9，0。。。
16, 16, 16, 16, 16, ... （结束）
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MAPLE公司
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序列（sec（x），x，40）：序列OSERIESMULT（%）：子序列（x=sqrt（y），%）：序列列表（%）；
#程序结束
对于从1到n的k，做S[k]：=k*S[k-1]od；
对于k从1到n do
对于从k到n的j do
S[j]：=（j-k）*S[j-1]+（j-k+1）*S[j]od od；
seq（S[j]，j=1..n）结束：
abs（欧拉（2*n））；
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数学
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采取[范围[0，32]！*系数列表[系列[第[x]节，{x，0，32}]，x]，{1，32，2}](*罗伯特·威尔逊v2006年4月23日*）
表[Abs[EulerE[2n]]，{n，0，30}](*雷·钱德勒2007年3月20日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2 n}，m！Series系数[Sec[x]，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯，2013年11月22日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2n+1}，m！级数系数[Inverse Gudermannian[x]，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯，2013年11月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（CF=1+x*O（x^n））；如果（n<0，返回（0），对于（k=1，n，CF=1/（1-（n-k+1）^2*x*CF））；返回（Vec（CF）[n+1]））}\\保罗·D·汉纳2005年10月7日
（PARI）｛a（n）=if（n＜0，0，（2*n）！*polcoeff（1/cos（x+O（x^（2*n+1））），2*n））｝/*迈克尔·索莫斯2002年6月18日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，n=2*n+1；a=x*O（x^n）；n！*polceoff（log（1/cos（x+a）+tan（x+a）），n））}/*迈克尔·索莫斯2007年8月15日*/
（PARI）{a（n）=polceoff（和（m=0，n，（2*m）！/2^m*x^m/prod（k=1，m，1+k^2*x+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2012年9月20日
（PARI）列表（n）=我的（v=Vec（1/cos（x+O（x^（2*n+1））））；向量（n，i，v[2*i-1]*（2*i-2）！）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月16日
（PARI）a（n）=subst（bernpol（2*n+1），'x，1/4）*4^（2*n+1）*（-1）^（n+1）/（2*n+1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年12月10日
（极大值）a（n）：=和（和（二项式（k，m）*（-1）^（n+k）/（2^（m-1））*和（二项式（m，j）*（2*j-m）^/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月5日*/
（最大值）a[n]：=如果n=0，则1个其他和（和（（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1）^（i+k+n），i，0，k-1）/（2^（k-1）），k，1，2*n）；makelist（a[n]，n，0，16）\\弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年10月5日
（鼠尾草）
#L.Seidel的算法（1877）
#n->[a（0），a（1），…，a（n-1）]表示n>0。
R=[]；A={-1:0，0:1}；k=0；e=1
对于（0..2*len-1）中的i：
Am=0；A[k+e]=0；e=-e
对于（0..i）中的j：Am+=A[k]；A[k]=美国；k+=e
如果e<0:R.append（A[-i//2]）
返回R
（Python）
从functools导入lru_cache
从数学导入梳
@lru_cache（最大大小=无）
定义A000364号（n） ：如果n==0 else，则返回1（如果n%2 else，返回1）*总和（如果i%2 else 1，返回-1）*A000364号（i） *范围（n）中i的梳（2*n，2*i）#柴华武2022年1月14日
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交叉参考
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参见。A000111号,A000182号,A011248号,A019669年,A034947号,A060075型,A013525号,A000816号,A002436号,A000464号,A002105号,A002439号,A079144号,A158690型.
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关键字
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A028296号
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| 例如，Gudermannian（x）=2*arctan（exp（x））-Pi/2的展开。 |
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+10
38
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1, -1, 5, -61, 1385, -50521, 2702765, -199360981, 19391512145, -2404879675441, 370371188237525, -69348874393137901, 15514534163557086905, -4087072509293123892361, 1252259641403629865468285, -441543893249023104553682821, 177519391579539289436664789665
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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矩阵逆矩阵的第一列，其项C（2*i，2*j），i，j>=0。全矩阵为下三角形，第i个子对角线具有条目a（i）*C（2*j，2*i）j>=i。-Nolan-Wallach（nwallach（AT）ucsd.edu），2005年12月26日
该序列也是EulerE（2*n）Paul Abbott（Paul（AT）physics.uwa.edu.au），2006年4月14日
为了避免可能的混淆：这些是Gudermannian（x）的奇数系数，例如f系数，偏移量偏移了-1（偶数系数为零）。它们与1/cosh（x）=-Gudermannian’（x）的偶数系数相同（参见示例）。由于具有最小绝对值的cosh（z）的复数根是z0=i*Pi/2，因此所有这些函数的泰勒级数的收敛半径是Pi/2=A019669年. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月7日
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参考文献
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Gradshteyn和Ryzhik，《表格》，第5版，第1.490节，第51-52页。
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链接
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Beáta Bényi和Toshiki Matsusaka，多贝努利数组合的推广，arXiv:2106.05585[math.CO]，2021。
F.Callegaro和G.Gaiffi，辫子排列模型及其隐藏对称性，arXiv预印本arXiv:1406.1304[math.AT]，2014。
K.Dilcher和C.Vignat，欧拉与强大的小数定律阿默尔。数学。Mnthly，123（2016年5月），486-490。
A.L.Edmonds和S.Klee，双曲流形的组合学，arXiv预印本arXiv:1210.7396[math.CO]，2012.-发件人N.J.A.斯隆2013年1月2日
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公式
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例如：sech（x）=1/cosh（x）（偶数项），或Gudermannian（x）（奇数项）。
递归：a（n）=-Sum_{i=0..n-1}a（i）*二项式（2*n，2*i）-拉尔夫·斯蒂芬，2005年2月24日
a（n）=和{k=1,3,5，..，2n+1}（（-1）^（（k-1）/2）/（2^k*k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月20日
连续分数：
通用公式：A（x）=1-x/（S（0）+x），S（k）=euler（2*k）+x*euler。
例如：E（x）=1-x/（S（0）+x）；S（k）=（k+1）*euler（2*k）+x*euler。
2*arctan（exp（z））-Pi/2=z*（1-z^2/（G（0）+z^2）），G（k）=2*（k+1）*（2*k+3）*euler（2*k）+z_2*euler。
G.f.：A（x）=1/S（0），其中S（k）=1+x*（k+1）^2/S（k+1）。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*k*（3*k-1）-x*（k+1）*（2*k+1）x（x*k^2-1）/Q（k+1）。
例如：（2-x^4/（（x^2+2）*Q（0）+2））/（2+x^2），其中Q（k）=4*k+4+1/（1-x^2/（2+x^2+（2*k+3）*（2*k+4）/Q（k+1））））。
例如：1/cosh（x）=8*（1-x^2）/（8-4*x^2-x^4*U（0））其中U（k）=1+4*（k+1）*（k+2）/（2*k+3-x^2*（2*k+3）/；
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x+x*（2*k+1）*（2*k+2）/（1+x*（2*k+1）*（2*k+2）/U（k+1））；
G.f.：1-x/G（0），其中G（k）=1-x+x*（2*k+2）*；
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-sqrt（x）+sqrt（x）*（k+1）/（1-sqrt（x）*（k+1）/Q（k+1））；
G.f.：（1/Q（0）+1）/（1-sqrt（x）），其中Q（k）=1-1/sqrt（x）+（k+1）*（k+2）/Q（k+1；
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）^2/（x*（k+1）^2+1/Q（k+1。
（结束）
n） ~（-1）^n*（2*n）！*2^（2*n+2）/Pi^（2*n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月4日
a（n）=2*Im（Li_{-2n}（i）），其中Li_n（x）是多对数，i=sqrt（-1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日
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例子
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古德曼尼安（x）=x-（1/6）*x^3+（1/24）*x^5-（61/5040）*x*7+（277/72576）*x*9+。。。。
古德曼尼安'（x）=1/cosh（x）=（1/1！）*x^0-（1/2！）*x2+（5/4！）*x^4-（61/6！）*x ^6+（1385/8！）**x^8+-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月7日
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MAPLE公司
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A028296号：=进程（n）a：=0；对于从1到2*n+1乘2的k，做a:=a+（-1）^（（k-1）/2）/2^k/k*加上（（-1）^i*（k-2*i）^2*n+1）*二项式（k，i），i=0..k）；结束do:a；结束进程：
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数学
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表[EulerE[2*n]，{n，0，30}]（*Paul Abbott，2006年4月14日*）
表[（系数列表[级数[1/Cosh[x]，{x，0，40}]，x]*范围[0，40]！）[[2*n+1]]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月4日*）
对于[{nn=40}，取[CoefficientList[Series[Gudermannian[x]，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn-1]！，｛2，-1，2｝]](*哈维·P·戴尔2018年2月24日*）
{1，表[2*（-I）*PolyLog[-2*n，I]，{n，1，12}]}//展平(*彼得·卢什尼2021年8月12日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）
a（n）：=总和（（-1+（-1）^（k））*（-1）^（（k+1）/2）/（2^（k+1）*k）*总和（（-1）^i*（k-2*i）^n*二项式（k，i），i，0，k），k，1，n）；/*带插值零，弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月20日*/
（鼠尾草）
f=λk:x*（k+1）^2
g=1
对于范围内的k（len-2、-1、-1）：
g=（1-f（k）/（f（k）+1/g））.simplify_rational（）
return taylor（g，x，0，len-1）.list（）
（鼠尾草）
形状=（[x*2代表x in p]代表p in Partitions（n））
返回sum（（-1）^len（s）*阶乘（len（s））*SetPartitions（sum（s，s）.cardiality（）for s in shapes）
（PARI）a（n）=2*imag（聚对数（-2*n，I））\\米歇尔·马库斯2018年5月30日
（Python）
从sympy导入euler
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 7, 121, 3907, 202741, 15430207, 1619195761, 224061282907, 39531606447181, 8661323866026007, 2307185279184885001, 734307168916191403507, 275199311597682485597221, 119956934012963778952439407
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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带有交替符号，例如f.：1/（2-cos（x））。
7除以a（3n+2）。Ira Gessel备注：对于任何奇素数p，1/（2-cosh（x））的系数如f.都是周期的，周期除以p-1。
a（n）是{1,2，…，2n}分成偶数大小块的有序集分区数-杰弗里·克雷策2012年12月3日
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链接
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公式
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1/（2-cosh（x））=和{n>=0}a（n）x^（2n）/（2n1+x^2/2+7x^4/24+121x^6/720+。。。
递归：a（0）=1，a（n）=和{k=1..n}C（2n，2n-2k）*a（n-k）。
a（0）=1，对于n>=1，a（n）=b（2*n），其中b（n）=总和-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月23日
例如：1/（2-cosh（x））=8*（1-x^2）/（8-12*x^2+x^4*U（0））其中U（k）=1+4*（k+1）*（k+2）/（2*k+3-x^2*（2*k+3）/；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月30日
a（n）=和{k=1..2*n}（和{i=0..k-1}（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1）^i）/2^（k-1），n>0，a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年10月5日
a（n）~2*（2*n）/（平方（3）*（对数（2+sqrt（3）））^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年10月19日
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MAPLE公司
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f： =proc（n，k）选项记忆；局部i；
如果n=0，则为1
否则k*加（二项式（2*n，2*i）*f（n-i，k），i=1..层（n））；fi；结束；
g： =k->[序列（f（n，k），n=0..40）]；g（1）#N.J.A.斯隆2012年3月28日
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数学
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nn=30；选择[范围[0，nn]！系数列表[级数[1/（2-Cosh[x]），{x，0，nn}]，x]，#>0&](*杰弗里·克雷策2012年12月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n==0，1，和（k=1，n，二项式（2*n，2*n-2*k）*a（n-k））；
（最大值）
a（n）：=b（2*n+2）；
（鼠尾草）
@缓存函数
定义实习生（n）：
如果n==0：返回1
如果n%2！=0:返回0
return add（intern（k）*范围（n）[：：2]中k的二项式（n，k））
返回实习生（2*n）
（最大值）
a（n）：=总和（总和（（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1）^/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年10月5日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000436号
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| 广义欧拉数c（3，n）。
（原名M4584 N1955）
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15
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1, 8, 352, 38528, 7869952, 2583554048, 1243925143552, 825787662368768, 722906928498737152, 806875574817679474688, 1118389087843083461066752, 1884680130335630169428983808, 3794717805092151129643367268352
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.香克斯，广义欧拉和类数.数学。公司。21 (1967) 689-694.
D.柄，广义欧拉和类数，数学。公司。21（1967），689-694；22 (1968), 699. [带注释的扫描副本]
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公式
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例如：cos（x）/cos（3*x）（仅限偶数幂）。
（-1）^na（n）=1-和{i=0..n-1}（-1）i*二项式（2n，2i）*3^（2n-2i）*a（i）-R.J.马塔尔2006年11月19日
例如：E（x）=cos（x）/cos（3*x）=1+4*x^2/（g（0）-2*x^2）；G（k）=（2*k+1）*（k+1）-2*x^2+2*x^2*（2*k+1）*；（连续分数，欧拉类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月2日
G.f.：1/（1-2*4*x/（1-6*6*x/（1-8*10*x/（1-12*12*x/（1-14*16*x/（1-18*18*x/…）））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a（n）=|3^（2*n）*2^（2%n+1）*lerchphi（-1，-2*n，1/3）|-彼得·卢什尼2013年4月27日
a（n）=（-1）^n*6^（2*n）*E（2*m，1/3），其中E（n，x）表示第n个Euler多项式。计算表明，展开式exp（Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n）=exp（8*x+352*x^2/2+38528*x^3/3+…）=1+8*x+208*x^2+14336*x^3+。。。具有整数系数。参见。A255882型. -彼得·巴拉2015年3月10日
a（n）=2*（-144）^n*（zeta（-2*n，1/6）-zeta（-2-n，2/3）），其中zeta（a，z）是广义黎曼zeta函数-彼得·卢什尼2015年3月11日
对于n>0，a（n）=（2*n）！*（zeta（2*n+1，1/6）-zeta（2%n+1，5/6））/（sqrt（3）*Pi^（2*n+1））。
对于n>0，a（n）=（-1）^（n+1）*2^（2*n-1）*Bernoulli（2*n）*（zeta（2*n+1，1/6）-zeta（2%n+1，5/6））/（Pi*sqrt（3）*zeta（2*n））。（结束）
猜想：对于每个正整数k，由a（n）（mod k）定义的序列最终是周期的，周期除以φ（k）。例如，模13，序列变为[1，8，1，9，12，10，0，8，l，9，12,10，…]；在初始项1之后，这似乎是周期6的周期序列，φ（13）=12的除数-彼得·巴拉2021年12月11日
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例子
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G.f.=1+8*x+352*x^2+38528*x^3+7869952*x^4+2583554048*x^5+。。。
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MAPLE公司
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A000436号：=proc（nmax）局部a，n，an；a:=[1]：n:=1：而nops（a）<nmax做一个：=1-和（二项式（2*n，2*i）*3^（2*n-2*i；n：=n+1；od；返回（a）；结束：
a:=n->2*（-144）^n*（Zeta（0，-2*n，1/6）-Zeta（0-2*n，2/3））：
seq（a（n），n=0..12）#彼得·卢什尼2015年3月11日
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数学
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对于[｛nn＝30｝，取[CoefficientList[Series[Cos[x]/Cos[3x]，｛x，0，nn｝]，x]范围[0，nn]！，{1, -1, 2}]] (*哈维·P·戴尔2012年5月22日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
从mpmath导入mp，lerchphi
mp.dps=32；mp.pretty=真
定义A000436号（n） ：返回abs（3^（2*n）*2^（2%n+1）*lerchphi（-1，-2*n，1/3））
（PARI）x='x+O（'x^66）；v=Vec（塞拉普拉斯（cos（x）/cos（3*x）））；向量（#v\2，n，v[2*n-1]）\\乔格·阿恩特2013年4月27日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 100, 6244, 727780, 136330084, 37455423460, 14188457293924, 7087539575975140, 4514046217675793764, 3570250394992512270820, 3433125893070920512725604, 3944372161432193963534198500, 5336301013125557989981503385444, 8396749419933421378024498580446180
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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当n>0时，a（n）==4（96模）。
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链接
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公式
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例如：1/3+（2/3）*Sum_{n>=1}exp（n^2*x）/2^n=Sum_}n>=0}a（n）*x^n/n！。
a（n）=（4/3）*和{k=0..2*n}k！*当n>0且a（0）=1时，箍筋2（2*n，k）。
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例子
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例如：E（x）=1+4*x^2！+100*x^4/4！+6244*x^6/6！+727780*x ^8/8！+。。。
其中E（x）=1/（5-4*cosh（x））=-exp（x）/（2-5*exp（x。
备用发电功能。
例如：A（x）=1+4*x+100*x^2/2！+6244*x^3/3！+727780*x^4/4！+。。。
式中，3*A（x）=1+2*exp（x）/2+2*exp（4*x）/2^2+2*xp（9*x）/2^3+2*exp。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）/*例如：1/（5-4*cosh（x））*/
{a（n）=局部（X=X+O（X^（2*n+1）））；（2*n）！*polceoff（1/（5-4*cosh（X）），2*n
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*a（n）的公式：*/
{斯特林2（n，k）=n！*polceoff（（（exp（x+x*O（x^n））-1）^k）/k！，n）}
{a（n）=如果（n==0，1，和（k=1，（2*n+1）\3，2*（3*k-1）！*斯特林2（2*n+1，3*k））}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*a（n）的公式：*/
{斯特林2（n，k）=n！*polceoff（（（exp（x+x*O（x^n））-1）^k）/k！，n）}
{a（n）=如果（n==0，1，（4/3）*和（k=0，2*n，k！*斯特林2（2*n、k））}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A210672型
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| a（0）=1；此后a（n）=2*Sum{k=1..n}二项式（2n，2k）*a（n-k）。 |
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+10
9
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1, 2, 26, 842, 50906, 4946282, 704888186, 138502957322, 35887046307866, 11855682722913962, 4863821092813045946, 2425978759725443056202, 1445750991051368583278426, 1014551931766896667943384042, 828063237870027116855857421306, 777768202388460616924079724057482
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Fibonacci（n+1）=1,1,2,3,5,8,13，…的Stirling-Bernoulli变换。。。是1,0,2,0,26,0,842,0,50906,0-菲利普·德尔汉姆2015年5月25日
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链接
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公式
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a（n）~2*sqrt（Pi/5）*n^（2*n+1/2）/-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月13日
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MAPLE公司
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f： =proc（n，k）选项记忆；局部i；
如果n=0，则为1
否则k*加（二项式（2*n，2*i）*f（n-i，k），i=1..层（n））；fi；结束；
g： =k->[序列（f（n，k），n=0..40）]；
克（2）；
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数学
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nmax=20；表[（系数列表[系列[1/（3-2*Cosh[x]），{x，0，2*nmax}]，x]*范围[0，2*nmax]！）[2*n+1]]，{n，0，nmax}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A210676型
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| a（0）=1；此后a（n）=-3*Sum{k=1..n}二项式（2n，2k）*a（n-k）。 |
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+10
9
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1、-3、51、-2163、171231、-21785223、4065116811、-10485879150683、354837765112791、153492920593758543、8245348826178175171、53850296379425229208803、42020794900180632536559951、38611325264740403135096141463、4126421539380175299903814563131、50749285521783354479522581233836523
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，对于c≤0，例如f.=1/（c+1-c*cosh（x））（偶数系数）。对于c>0是a（n）~2*（2*n）！/（sqrt（2*c+1）*（arccosh（（c+1）/c））^（2*n+1））。因为c<0是a（n）~（-1）^n*（2*n）！/（平方（-2*c-1）*2^（2*n）*arccos（平方（2*c+1）/（2*c）））^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日
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链接
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公式
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a（n）~（-1）^n*（2*n）！/（平方（5）*2^（2*n）*（弧坐标（平方（5/6）））^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日
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MAPLE公司
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f： =proc（n，k）选项记忆；局部i；
如果n=0，则为1
否则k*加（二项式（2*n，2*i）*f（n-i，k），i=1..层（n））；fi；结束；
g： =k->[序列（f（n，k），n=0..40）]；
克（-3）；
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数学
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nmax=20；表[（系数列表[系列[1/（3*Cosh[x]-2），{x，0，2*nmax}]，x]*范围[0，2*nmax]！）[2*n+1]]，{n，0，nmax}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日*）
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A210674型
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| a（0）=1；此后a（n）=3*Sum{k=1..n}二项式（2n，2k）*a（n-k）。 |
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1, 3, 57, 2703, 239277, 34041603, 7103141697, 2043564786903, 775293596155317, 375019773885750603, 225270492555606688137, 164517775480287009524703, 143555042043378357951428157, 147502150365016885913874781203, 176273363579960990244526939543377, 242422256082395157286909073370272103
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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通常，对于c>0是a（n）~sqrt（Pi/（2*c+1））*2^（2*n+2）*n^/（sqrt（2*c+1）*（arccosh（（c+1）/c））^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月13日
因为c<0是a（n）~（-1）^n*（2*n）！/（平方（-2*c-1）*2^（2*n）*arccos（平方（2*c+1）/（2*c）））^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日
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链接
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公式
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a（n）~sqrt（Pi/7）*2^（2*n+2）*n^（2*n+1/2）/（exp（2*n）*（log（（4+sqert（7））/3））^（2-n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月13日
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MAPLE公司
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f： =proc（n，k）选项记忆；局部i；
如果n=0，则为1
否则k*加（二项式（2*n，2*i）*f（n-i，k），i=1..层（n））；fi；结束；
g： =k->[seq（f（n，k），n=0..40）]；
g（3）；
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数学
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nmax=20；表[（系数列表[系列[1/（4-3*Cosh[x]），{x，0，2*nmax}]，x]*范围[0，2*nmax]！）[2*n+1]]，{n，0，nmax}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月14日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, -2, 13, 22, -121, -602, 18581, 30742, -305071, -2523002, 61203943, 303692662, -4353296221, -50402079002, 6669149100757, 11030684333782, -206772189255571, -3077986048956602, 128970681211645873, 1066578948824962102, -24697503335329725121, -449342758735568563802
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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例子
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1, -1/6, -2/9, 13/108, 22/81, -121/486, -602/729, 18581/17496, ...
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MAPLE公司
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[seq（欧拉（n，1/3），n=0..50）]；
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数学
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分子[EulerE[范围[0，30]，1/3]](*哈维·P·戴尔2012年4月29日*）
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交叉参考
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关键字
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签名,压裂
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作者
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经核准的
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