搜索： a198518-编号：a198518
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A001678号
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| 具有n个节点的系列减少种植树的数量。
（原名M0768 N0293）
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+10
144
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0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 35, 67, 127, 248, 482, 952, 1885, 3765, 7546, 15221, 30802, 62620, 127702, 261335, 536278, 1103600, 2276499, 4706985, 9752585, 20247033, 42110393, 87733197, 183074638, 382599946, 800701320, 1677922740, 3520581954
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,7
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评论
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根据约定，初始术语为0，但也可以将其改为1。
对于n>=2，a（n+1）是无序根树的数量（参见A000081号)对于n个节点，其中节点不能具有出度1，请参见示例。仅在非根节点上强加条件会提供1985年. -乔格·阿恩特2014年6月28日
对于n>=3，a（n+1）是具有n个节点的无序根树的数量，其中所有分支的长度>=2。肢体是从叶子（朝向根）到最近的分支点（根被视为分支点）的路径-乔格·阿恩特2015年3月3日
如果没有顶点正好有一个子节点，则根树是孤立子树，如果没有顶点的阶数为2，则拓扑级数会减少。此序列统计具有n-1个顶点的未标记的独子避免根树。拓扑级数减少的根树按A001679号，基本上与A059123号. -古斯·怀斯曼2020年1月20日
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参考文献
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D.G.Cantor，个人沟通。
J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第525页。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第62页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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F.Harary和E.M.Palmer，树的一点固定的概率，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.85（1979）407-415。
F.Harary、R.W.Robinson和A.J.Schwenk，确定各种树的渐近数目的二十步算法，J.Austral。数学。Soc.，系列A，20（1975），483-503。
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配方奶粉
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G.f.:A（x）满足A（x）=（x^2/（1+x））*exp（总和{k>=1}A（x^k）/（k*x^k。
通用公式：A（x）=Sum_{n>=2}A（n）*x^n=x^2/（（1+x）*Product_{k>0}（1-x^k）^A（k+1））-迈克尔·索莫斯，2003年10月6日
a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=A246403型=2.189461985660850563…和c=0.192422547471550354144525345664514828912790855237298544741406053655209-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月26日
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例子
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---------------示例（i=内部，e=外部）：---------------------------
|.n=2.|。。n=4..|。。n=5..|。。。n=6…………..|。。。。n=7|
|.....|.......|.......|.............e...e.|。。。。。。。。。。。。。。。。e.e.e……e.e|
|.....|.e.…e.|.e.e.e.|.e.ee.e...e...即…|.ee.e.e...即..即…e.e|
|。。e..|。。。我…|。。。我…|。。。。我…..我…..|。。。。。i………..i|
|..e..|。。。例如…|。。。例如…|。。。。e……..e…..|。。。。。e……….e|
-----------------------------------------------------------------------------
G.f.=x^2+x^4+x^5+2*x^6+3*x^7+6*x^8+10*x^9+19*x^10+。。。
注释中描述的具有7个节点的a（8）=6根树为：
：级别序列越界（点表示零）
: 1: [ 0 1 2 3 3 2 1 ] [ 2 2 2 . . . . ]
：O--O--O--O
: .--o个
: .--o个
: .--o个
:
: 2: [ 0 1 2 2 2 2 1 ] [ 2 4 . . . . . ]
：O--O--O
: .--o个
: .--o个
: .--o个
: .--o个
:
: 3: [ 0 1 2 2 2 1 1 ] [ 3 3 . . . . . ]
：O--O--O
: .--o个
: .--o个
: .--o个
: .--o个
:
：4:[0 1 2 2 1 2 2][2 2..2..]
：O--O--O
: .--o个
: .--o——o
: .--o个
:
: 5: [ 0 1 2 2 1 1 1 ] [ 4 2 . . . . . ]
：O--O--O
: .--o个
: .--o个
: .--o个
: .--o个
:
: 6: [ 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 6 . . . . . . ]
：O--O
: .--o个
: .--o个
: .--o个
: .--o个
: .--o个
:
（结束）
a（2）=1到a（9）=10个带有n-1个节点的未标记独子无效根树（空n=3列显示为点）为：
o、。（oo）（ooo）（oooo）
（o（oo））
（oo（oo））（oo（ooo））（oo（oooo））
（ooo（oo））
（（oo））（oooo）
（o（o（oo））
（o（o（ooo））
（o（oo）（oo））
（o（oo（oo））
（oo（o（oo））
（结束）
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MAPLE公司
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带（powseries）：带（combstruct）：n:=30:sys:={B=Prod（C，Z），S=Set（B，1<=card），C=Union（Z，S）}：A001678号：=1，0，1，seq（计数（[S，sys，未标记]，大小=i），i=1..n）；#Ulrich Schimke（ulrschimke（AT）aol.com）
#第二个Maple项目：
带有（数字理论）：
b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*a（d+1），d=除数（j）*b（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，0，
`如果`（n=2，1，b（n-2）-a（n-1））
结束时间：
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数学
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b[n_]：=b[n]=如果[n==0，1，和[Sum[d*a[d+1]，{d，除数[j]}]*b[n-j]，{j，1，n}]/n]；a[n_]：=a[n]=如果[n<2，0，如果[n==2，1，b[n-2]-a[n-1]]；表[a[n]，{n，0，50}](*Jean-François Alcover公司2014年9月24日之后阿洛伊斯·海因茨*)
条款=38；A[_]=0；Do[A[x_]=（x^2/（1+x））*Exp[Sum[A[x^k]/（k*x^k），{k，1，j}]+O[x]^j//正常，{j，1，项}]；系数列表[A[x]，x](*Jean-François Alcover公司2018年1月12日*）
urt[n_]：=联接@@表[Union[Sort/@Tuples[urt/@ptn]]，{ptn，IntegerPartitions[n-1]}]；
表[If[n<=1，0，Length[Select[urt[n-1]，FreeQ[#，{_}]&]]，{n，0，10}](*古斯·怀斯曼2020年1月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）（a（n）=如果（n<4，n==2，T（n-2，n-3））；/*其中*/{T（n，k）=如果（n<1||k<1，（n==0）&&（k>=0），和（j=1，k，和（i=1，n\j，T（n-i*j，min（n-i*j，j-1））*二项式（a（j+1）+i-1，i）））}/*迈克尔·索莫斯2002年6月4日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<3，n==2，a=x/（1-x^2）+O（x^n）；对于（k=3，n-2，a/=（1-x^k+O（x ^n））^polceoff（a，k））；polceof（a，n-1））}/*迈克尔·索莫斯2003年10月6日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 8, 14, 16, 28, 32, 38, 49, 56, 64, 76, 86, 98, 106, 112, 128, 133, 152, 172, 196, 212, 214, 224, 256, 262, 266, 301, 304, 326, 343, 344, 361, 371, 392, 424, 428, 448, 454, 512, 524, 526, 532, 602, 608, 622, 652, 686, 688, 722, 742, 749, 766, 784, 817
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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我们说，如果没有顶点正好有一个子节点，那么根树就是孤子树。
根树的Matula-Goebel数是素数的乘积，素数由其分支的Matula-Goebel数索引。这给出了正整数和未标记根树之间的双射对应关系。
另一种定义是：如果n是1，或者是两个或多个素数的乘积，而这些素数的素数索引已经属于序列，那么n就是序列中的素数。例如，14在序列中，因为14=素数（1）*素数（4）以及1和4都已经属于序列。
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链接
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例子
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所有独生子避根树及其Matula-Goebel编号的序列开始于：
1：o
4:（oo）
8:（ooo）
14：（o（oo））
16：（oooo）
28：（oo（oo））
32：（ooooo）
38：（o（ooo））
49：（（oo）（oo））
56：（ooo（oo））
64：（oooooo）
76：（oo（ooo））
86：（o（o（oo））
98：（o（oo）（oo
106：（o（oooo））
112：（oooo（oo））
128：（ooooooo）
133:（（oo）（ooo））
152：（ooo（ooo））
172:（oo（o（oo））
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数学
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nn=2000；
素数MS[n_]：=如果[n===1，{}，平坦[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
srQ[n_]：=或[n===1，其中[{m=primeMS[n]}，And[Length[m]>1，And@@srQ/@m]]]；
选择[Range[nn]，srQ]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007097年,A061775号,A109082号,A109129号,A111299型,A196050型,1985年,A276625型,A291441型,A291442型,A331488型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 4, 7, 15, 29, 62, 129, 279, 602, 1326, 2928, 6544, 14692, 33233, 75512, 172506, 395633, 911108, 2105261, 4880535, 11346694, 26451357, 61813588, 144781303, 339820852, 799168292, 1882845298, 4443543279, 10503486112, 24864797324, 58944602767, 139918663784
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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如果没有顶点只包含一个子节点，则根树是半孤子-无效的，除非子节点是端点/叶。
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链接
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配方奶粉
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产品{k>0}1/（1-x^k）^a（k）=a（x）+a（x）/x-x其中a（x。
欧拉变换是b（1）=1，b（n>1）=a（n）+a（n+1）。
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例子
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a（1）=1到a（7）=15棵树：
o（o）（oo）（ooo）（oooo）
（o（o））（o（oo））（o（ooo））
（oo（o））（oo
（（o）（o））（ooo（o）
（（o）（oo））（oooo（o））
（o（o）（o））（o（ooo））
（o（o（o））
（o（o）（oo））
（o（o（oo））
（o（oo（o）））
（oo（o）（o））
（oo（o（o）））
（o）（o）
（（o）（o（o））
（o（（o）（o））
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数学
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sse[n_]：=开关[n，1，{{}}，2，{{{}{}，_，连接@@Function[c，Union[Sort/@Tuples[sse/@c]]/@Rest[IntegerPartitions[n-1]]；
表[长度[sse[n]]，{n，10}]
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黄体脂酮素
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（PARI）EulerT（v）={Vec（exp（x*Ser（dirmul（v，vector（#v，n，1/n）））-1，-#v）}
序列（n）={my（v=[1,1]）；对于（n=2，n-1，v=concat（v，EulerT（v）[n]-v[n]）；v}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月9日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000081号,A000669号,1985年,A289501型,A291636型,A306200型,A320268型,A330465型,A330951型,A331873型,A331874型,A331933飞机,A331966飞机.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001679号
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| 具有n个节点的系列减少根树的数量。
（原名M0327 N0123）
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+10
16
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1, 1, 1, 0, 2, 2, 4, 6, 12, 20, 39, 71, 137, 261, 511, 995, 1974, 3915, 7841, 15749, 31835, 64540, 131453, 268498, 550324, 1130899, 2330381, 4813031, 9963288, 20665781, 42947715, 89410092, 186447559, 389397778, 814447067, 1705775653, 3577169927
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,5
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评论
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也称为同胚不可约有根树，或没有2阶节点的有根树。
如果没有顶点正好有一个子节点，则根树是孤立子树，如果没有顶点的阶数为2，则拓扑级数会减少。此序列统计具有n个顶点的未标记拓扑序列导出的根树。具有n-1个顶点的独生子避根树的计数为A001678号. -古斯·怀斯曼，2020年1月21日
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参考文献
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D.G.Cantor，个人沟通。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第62页，等式（3.3.9）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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P.J.Cameron，一些树状物体，夸脱。数学杂志。牛津，38（1987），155-183。MR0891613（89a:05009）。见第155页-N.J.A.斯隆2014年4月18日
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配方奶粉
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G.f.=1+（（1+x）*f（x）-（f（xA001678号（按节点同胚不可约种植树）。
a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=A246403型=2.18946198566085056388702757711…和c=0.4213018528699249210965028-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月26日
对于n>1，该序列计算具有n个节点和两个以上分支的孤立子级避免有根树，以及具有n-1个节点的孤立子级避免有根树。因此，对于n>1，a（n）=A331488型（n）+A001678号（n） -古斯·怀斯曼，2020年1月21日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^4+2*x*5+4*x^6+6*x^7+12*x^8+20*x^9+。。。
a（1）=1到a（8）=12个无标记的拓扑序列-具有n个节点的导出根树（空n=3列显示为点）为：
o（o）。（ooo）（ooooo）
（oo）（ooo））（oooo）
（oo（oo））（oo
（（o（oo））
（（o（ooo））（oooo（oo））
（（oo（oo））（（o（ooo）））
（（oo（ooo））
（（ooo（oo））
（o（oo）（oo））
（oo（o（oo））
（（（oo）（oo））
（（o（o（oo）））
（结束）
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MAPLE公司
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with（powseries）：with（combstruct）：n:=30:顺序：=n+3:sys:={B=Prod（C，Z），S=Set（B，1<=卡），C=Union（Z，S）}：
G001678:=（转换（gfseries（sys，unlabeled，x）[S（x）]，polynom））*x^2:G0温度：=G001678+x^2:
G001679:=G0温度/x+G0温度-（G0温度^2+评估（G0时间，x=x^2））/（2*x）：A001679号：=0，seq（系数（G001679，x^i），i=1..n）；#Ulrich Schimke（ulrschimke（AT）aol.com）
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数学
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术语=37；（*F=G001678*）F[_]=0；Do[F[x_]=（x^2/（1+x））*Exp[Sum[F[x^k]/（k*x^k），{k，1，j}]+O[x]^j//正常，{j，1，项+1}]；
G[x_]=1+（（1+x）/x）*F[x]-（F[x]^2+F[x^2]）/（2*x）+O[x]^项；
urt[n_]：=联接@@表[Union[Sort/@Tuples[urt/@ptn]]，{ptn，IntegerPartitions[n-1]}]；
表[长度[Select[urt[n]，长度[#]=2&&FreeQ[Z@@#，{_}]&]]，{n，15}](*古斯·怀斯曼2020年1月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<3，n>0，a=x/（1-x^2）+x*O；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A254382型
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| n个节点上的根标记树的数量，这样每个非根节点都是分支节点或根的子节点。 |
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+10
7
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0, 1, 2, 3, 16, 85, 696, 6349, 72080, 918873, 13484080, 219335281, 3962458248, 78203547877, 1680235050872, 38958029188485, 970681471597216, 25847378934429361, 732794687650764000, 22032916968153975769, 700360446794528578520
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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在这里，分支节点是至少有两个子节点的节点。
换句话说，a（n）是n个节点上带标签的根树的数量，这样从每个节点到根的路径在一个步骤中到达分支节点（或根）。
此外，还标记了根树，这些树可以避免独生子，但根除外。未标记的版本为1985年. -古斯·怀斯曼2020年1月22日
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链接
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配方奶粉
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a（n）~（1-exp（-1））^（n-1/2）*n（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年1月30日
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例子
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a（5）=85：
…0…………..0……..0-o。。。
...|.............../ \............ /|\....
…o…………..o。。。
../|\............/ \ ...................
.o o…….o。。。。。。。。。。。。。。。。。。
这些树有20+60+5=85个标签。
a（1）=1到a（4）=16树（格式为根[分支]）为：
1 1[2] 1[2,3] 1[2,3,4]
2[1] 2[1,3] 1[2[3,4]]
3[1,2] 1[3[2,4]]
1[4[2,3]]
2[1,3,4]
2[1[3,4]]
2[3[1,4]]
2[4[1,3]]
3[1,2,4]
3[1[2,4]]
3[2[1,4]]
3[4[1,2]]
4[1,2,3]
4[1[2,3]]
4[2[1,3]]
4[3[1,2]]
（结束）
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数学
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nn=20；b=1+总和[nn=n；n！系数[级数[（Exp[x]-x）^n，{x，0，nn}]，x^n]*x^n/n！，{n，1，nn}]；c=总和[a[n]x^n/n！，{n，0，nn}]；sol=SolveAlways[b==系列[1/（1-（c-x）），{x，0，nn}]，x]；压扁[表[a[n]，{n，0，nn}]/。溶胶]
nn=30；系数列表[系列[1+x-1/Sum[系列系数[（E^x-x）^n，｛x，0，n｝]*x^n，｛n，0，nn｝]，｛x，0，nn｝]，x]*范围[0，nn]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年1月30日*）
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
lrt[set_]：=如果[Length[set]==0，{}，联接@@表[Apply[root，#]&/@Join@@表[元组[lrt/@stn]，{stn，sps[DeleteCase[set，root]]}]，{root，set}]]；
表[Length[Select[lrt[Range[n]]，FreeQ[Z@@#，_Integer[_]]&]]，{n，6}](*古斯·怀斯曼2020年1月22日*）
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非n
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经核准的
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2, 1, 8, 9, 4, 6, 1, 9, 8, 5, 6, 6, 0, 8, 5, 0, 5, 6, 3, 8, 8, 7, 0, 2, 7, 5, 7, 7, 1, 1, 4, 5, 4, 4, 9, 6, 7, 3, 3, 1, 7, 0, 8, 7, 4, 4, 2, 3, 8, 4, 9, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 2, 7, 3, 4, 2, 5, 3, 5, 7, 1, 5, 6, 2, 5, 7, 0, 4, 2, 2, 1, 2, 2, 6, 3, 0, 0, 8, 5, 8, 6, 0, 7, 8, 4, 8, 1, 9, 3, 3, 3, 0, 8, 3, 2, 0, 3, 8
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第302和561页。
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链接
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配方奶粉
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等于lim n->无穷大1985年（n） ^（1/n）。
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例子
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2.189461985660850563887027577114544967331...
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| G.f.满足A（x）=exp（和{k>=1}A（x^k）*x^k/（k*（1-2*x^k。 |
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6
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1, 1, 4, 14, 54, 206, 823, 3312, 13619, 56643, 238569, 1014443, 4352038, 18809992, 81843021, 358186642, 1575810191, 6965004499, 30914431131, 137736012285, 615785575785, 2761693248028, 12421390811559, 56016050571825, 253228531426237
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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（PARI）seq（n）=我的（A=1）；对于（i=1，n，A=exp（总和（k=1，i，subst（A，x，x^k）*x^k/（k*（1-2*x^k，））+x*O（x^n）））；Vec（A）；
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非n
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| G.f.满足A（x）=exp（Sum_{k>=1}A（x^k）*x^k/（k*（1-3*x^k）））。 |
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+10
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1, 1, 5, 22, 105, 497, 2431, 11976, 59928, 302816, 1545660, 7955132, 41255625, 215378364, 1131134574, 5972272636, 31684600709, 168824599282, 903080385252, 4848038120323, 26110774945462, 141048622038068, 764026532321068, 4149020129689451
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）=我的（A=1）；对于（i=1，n，A=exp（总和（k=1，i，subst（A，x，x^k）*x^k/（k*（1-3*x^k，））+x*O（x^n）））；Vec（A）；
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非n
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作者
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1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 6, -2, 11, -1, 30, -21, 76, -60, 223, -245, 653, -817, 2031, -2935, 6521, -10067, 21455, -35425, 72152, -123756, 246752, -436854, 855852, -1546777, 3001811, -5513604, 10630676, -19747742, 37949424, -71115077, 136415279, -257301742, 493313335
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）=我的（A=1）；对于（i=1，n，A=exp（总和（k=1，i，subst（A，x，x^k）*x^k/（k*（1+2*x^k，））+x*O（x^n）））；Vec（A）；
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1, 1, -1, 4, -6, 11, -22, 62, -151, 353, -867, 2261, -5861, 15178, -39878, 106099, -283823, 763248, -2065453, 5621318, -15368682, 42190539, -116281176, 321647511, -892617214, 2484583934, -6935203356, 19408586888, -54447145335, 153084848495
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（n）=我的（A=1）；对于（i=1，n，A=exp（总和（k=1，i，subst（A，x，x^k）*x^k/（k*（1+3*x^k，））+x*O（x^n）））；Vec（A）；
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