搜索： a193727-编号：a193727
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A193722号
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| 三角形阵列：（x+1）^n和（x+2）^n的融合；聚变的定义见注释。 |
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93
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1, 1, 2, 1, 5, 6, 1, 8, 21, 18, 1, 11, 45, 81, 54, 1, 14, 78, 216, 297, 162, 1, 17, 120, 450, 945, 1053, 486, 1, 20, 171, 810, 2295, 3888, 3645, 1458, 1, 23, 231, 1323, 4725, 10773, 15309, 12393, 4374, 1, 26, 300, 2016, 8694, 24948, 47628, 58320, 41553, 13122
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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假设p=p（n）*x^n+p（n-1p（1）*x+p（0）是多项式，Q是多项式序列
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q（k，x）=t（k，0）*x^k+t（k，1）*x^（k-1）++t（k，k-1）*x+t（k、k），
...
对于k=0,1,2，。。。p的Q-upstep是以下公式给出的多项式
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U（p）=p（n）*q（n+1，x）+p（n-1）*qp（0）*q（1，x）；注意，q（0，x）没有出现。
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现在假设P=（P（n，x））和Q=（Q（n，x））是多项式序列，其中n表示度。这里引入P与Q的融合，表示为P**Q，作为由W（0，x）=1和W（n+1，x）=U（P（n，x））定义的多项式的序列W=（W（n，x））。
...
严格地说，**是多项式序列的运算。然而，如果P和Q被视为数字三角形（例如多项式的系数），那么**可以被视为对数字三角形的操作。在这种情况下，当n>=0时，P**Q的行（n+1）由矩阵乘积P（n）*QQ（n）给出，其中P（n）=（P（n，n）。。。p（n，n-1）。。。。。。p（n，1），p（n，0））和QQ（n）是由以下公式给出的（n+1）by（n+2）矩阵
...
q（n+1,0）。。q（n+1，1）。。。。。。。。。。。q（n+1，n）。。。。q（n+1，n+1）
0 ......... q（n，0）。。。。。。。。。。。。。q（n，n-1）。。。。q（n，n）
0 ......... 0…………..q（n-1，n-2）。。q（n-1，n-1）
...
0 ......... 0…………q（2,1）。。。。。。q（2,2）
0 ......... 0 ................. q（1,0）。。。。。。q（1,1）；
这里，多项式q（k，x）取为
q（k，0）*x^k+q（k、1）x^（k-1）+…+q（k，k）*x+q（k，k-1）；即，使用“q”代替“t”。
...
如果s=（s（1），s（2），s是一个序列，则表示为
s（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。第（4）节。。。第（5）节。。。
..0…s（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。第（4）节。。。
..0……0……s（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。
..0……0…….0……s（1）。。。第（2）节。。。
...
示例：设p（n，x）=（x+1）^n和q（n，x）=（x+2）^n。然后
...
根据w的定义，w（0，x）=1
w（1，x）=U（p（0，x））=U（1）=p（0,0）*q（1，x）=1*（x+2）=x+2；
w（2，x）=U（p（1，x））=U（x+1）=q（2，x）+q（1，x）=x^2+5x+6；
w（3，x）=U（p（2，x））=U（x^2+2x+1）=q（3，x）+2q（2，x）+q（1，x）=x^3+8x^2+21x+18；
...
从序列P**Q中的前4个多项式，当P、Q和P**Q被视为三角形时，我们可以写出P**Q的前4行：
1;
1, 2;
1, 5, 6;
1, 8, 21, 18;
...
通常，如果P和Q是由P（n，x）=（ax+b）^n和Q（n，x）=（cx+d）^n给定的序列，那么P**Q是由（cx+d）（bcx+a+bd）^n给定的。
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在以下示例中，r（P**Q）是P**Q的镜像，通过颠倒P**Q行获得。
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..P…………..Q………P**Q……..r（P**Q）
...
继续，让u表示多项式x^n+x^（n-1）++x+1，让Fibo[n，x]表示第n个Fibonacci多项式。
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P………….Q………P**Q…….r（P**Q）
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与上述定义的“上一步”相关的是在以下位置定义的“下一步”A193842号与裂变有关。
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链接
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克拉克·金伯利，融合、裂变和因子，光纤。Q.，52（2014），195-202。
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配方奶粉
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三角形T（n，k），按行读取，由[1,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[2,1,0,0-0,00,0_0,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月4日
T（n，k）=3*T（n-1，k-1）+T（n-1，k），其中T（0,0）=T（1,0）=1，T（1,1）=2-菲利普·德尔汉姆2011年10月5日
T（n，k）=3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式-G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
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例子
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前六行：
1;
1, 2;
1, 5, 6;
1, 8, 21, 18;
1、11、45、81、54；
1, 14, 78, 216, 297, 162;
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MAPLE公司
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融合：=proc（p，q，n）局部d，k；
p（n-1，0）*q（n，x）+加法（coff（p（n-1,x），x^k）*q（n-k，x），k=1..n-1）；
[1，seq（系数（%，x，n-1-k），k=0..n-1）]结束：
p:=（n，x）->（x+1）^n；q:=（n，x）->（x+2）^n；
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数学
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（*第一个程序*）
z=9；a=1；b=1；c=1；d=2；
p[n，x_]：=（a*x+b）^n；q[n，x_]：=（c*x+d）^n
t[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；t[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
w[n，x_]：=和[t[n，k]*q[n+1-k，x]，{k，0，n}]；w[-1，x_]：=1
g[n_]：=系数列表[w[n，x]，{x}]
TableForm[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]
表格形式[表格[g[n]，{n，-1，z}]]
（*第二个节目*）
表[3^（k-1）*（二项[n-1，k]+2*二项[n，k]），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2020年2月18日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
def融合（p，q，n）：
F=p（n-1，0）*q（n，x）+加法（展开（p（n-1，x））.系数（x，k）*q（n-k，x）对于（1..n-1）中的k）
return[1]+[expand（F）.系数（x，n-1-k）for k in（0..n-1）]
（PARI）T（n，k）=3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式\\G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
（岩浆）[3^（k-1）*（二项（n-1，k）+2*二项（n，k））：k in[0..n]，n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
（GAP）平面（列表（[0..10]，n->列表（[0..n]，k->3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式（n，k））））#G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A193726号
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| 三角阵列：由P（n，x）=（x+2）^n和Q（n，x）=（x+2）^n给出的多项式序列P和Q的融合。 |
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+10
三
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1, 1, 2, 2, 9, 10, 4, 28, 65, 50, 8, 76, 270, 425, 250, 16, 192, 920, 2200, 2625, 1250, 32, 464, 2800, 9000, 16250, 15625, 6250, 64, 1088, 7920, 32000, 77500, 112500, 90625, 31250, 128, 2496, 21280, 103600, 315000, 612500, 743750, 515625, 156250
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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三角形T（n，k），按行读取，由（1,1,0,0,0,0,0,0,0,0，…）DELTA（2,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0，…）给出，其中DELTA是A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月5日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=5*T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k），其中T（0,0）=T（1,0）=1，T（1,1）=2-菲利普·德尔汉姆2011年10月5日
G.f.：（1-x-3*x*y）/（1-2*x-5*x*y）-R.J.马塔尔2015年8月11日
和{k=0..n}T（n，k）=A169634号（n-1）+（4/7）*[n=0]。
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例子
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前六行：
1;
1, 2;
2, 9, 10;
4, 28, 65, 50;
8, 76, 270, 425, 250;
16, 192, 920, 2200, 2625, 1250;
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数学
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（*第一个程序*）
z=8；a=1；b=2；c=1；d=2；
p[n，x_]：=（a*x+b）^n；q[n，x_]：=（c*x+d）^n
t[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；t[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
w[n，x_]：=和[t[n，k]*q[n+1-k，x]，{k，0，n}]；w[-1，x_]：=1
g[n_]：=系数列表[w[n，x]，{x}]
TableForm[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]
表格形式[表格[g[n]，{n，-1，z}]]
（*第二个节目*）
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k<0|k>n，0，如果[n<2，k+1，2*T[n-1，k]+5*T[n-1，k-1]]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2023年12月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
如果k lt 0或k gt n，则返回0；
elif n lt 2然后返回k+1；
否则返回2*T（n-1，k）+5*T（n-1，k-1）；
结束条件：；
端函数；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年12月2日
（SageMath）
如果（k<0或k>n）：返回0
elif（n<2）：返回k+1
else：返回2*T（n-1，k）+5*T（n-1，k-1）
压扁（[[T（n，k）代表范围（n+1）中的k]代表范围（13）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2023年12月2日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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