搜索： a179455-识别码：a179455
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1, 1, 3, 12, 63, 398, 2911, 24177, 224824, 2313892, 26107679, 320412404, 4249353369, 60561549764, 923107802463, 14985538729504, 258138422935578, 4702896016961154, 90350619640638353, 1825564783445799571, 38700814850328413380, 858915876402686598209, 19916917035087719607321
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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Swapnil Garg、Alan Peng、，根植林中的经典和连续模式回避，arXiv:2005.08889[math.CO]，2020年5月。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}（n-k+1）*A179454号（n，k），其中179454英镑（n，k）被读取为基于（0,0）的表，左侧有一个附加列（1,0,0,0，…）。
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例子
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a（4）=5*0+4*1+3*14+2*8+1*1=63。
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黄体脂酮素
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b=[1]+[0]*（透镜-1）；L=[b]
对于范围内的k（len）：
b=[范围（len）内n的总和（（bell_transform（n，b）））]
L.附录（b）
return[sum（L[k][n]for k in（0..n））for n in range（len）]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 5, 11, 6, 1, 0, 15, 45, 35, 10, 1, 0, 52, 205, 210, 85, 15, 1, 0, 203, 1029, 1330, 700, 175, 21, 1, 0, 877, 5635, 8946, 5845, 1890, 322, 28, 1, 0, 4140, 33387, 63917, 50358, 20055, 4410, 546, 36, 1, 0, 21147, 212535, 484140, 450905, 214515, 57855, 9240, 870, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.8
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评论
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考虑序列S0->T0->S1->T1->S2->T2->。。。这里，Sn->Tn表示将序列Sn映射到链接中定义的三角形Tn的Bell变换，Tn->S{n+1}是将三角形与其行和序列相关联的运算符。如果
给定一个序列（s（n））n>=0，s（0）=0，例如f.B（x）=Sum_{n>=1}s（n）*x^n/n！，则与s（n）相关联的Bell矩阵等于属于指数Riordan群的Lagrange子群的指数Riorden数组[1，B（x）]。从Bell矩阵中省略第一行和第一列将生成指数Riordan数组[d/dx（B（x），B（x-彼得·巴拉，2016年6月7日
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（t*B（x）），其中B（x”）=积分{u=0..x}exp（exp（u）-1）du=x+x^2/2！+2*x^3/3！+5*x^4/4！+15*x^5/5！+52*x^6/6！+。。。。
行多项式递推：R（n+1，t）=t*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*Bell（k）*R（n-k，t），其中R（0，t）=1。（结束）
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例子
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三角形开始：
[1]
[0, 1]
[0, 1, 1]
[0, 2, 3, 1]
[0, 5, 11, 6, 1]
[0, 15, 45, 35, 10, 1]
[0，52，205，210，85，15，1]
[0, 203, 1029, 1330, 700, 175, 21, 1]
[0, 877, 5635, 8946, 5845, 1890, 322, 28, 1]
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MAPLE公司
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#以矩阵形式计算序列。
BellMatrix:=proc（f，len）局部T，A；A:=[序列（f（n），n=0..透镜-2）]；
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则k^n其他
加法（二项式（n-1，j-1）*T（n-j，k-1）*A[j]，j=1..n-k+1）fi结束；
矩阵（len，（n，k）->T（n-1，k-1），形状=三角形[下]）端：
贝尔矩阵（n->组合：-贝尔（n），9）#彼得·卢什尼2016年1月21日
R:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则为1
t*加法（二项式（n-1，k）*组合：-贝尔（k）*R（n-k-1，t），k=0..n-1）fi结束：
T_row:=n->seq（系数（R（n），T，k），k=0..n）：
seq（打印（T_row（n）），n=0..8）#彼得·卢什尼2016年6月9日
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数学
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BellMatrix[f_Function|f_Symbol，len_]：=使用[{t=Array[f，len，0]}，Table[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=11；
M=BellMatrix[BellB，行]；
带有[{r=8}，扁平[Table[BellY[n，k，BellB[Range[0，r]]]，{n，0，r}，{k，0，n}]](*简·曼加尔丹2016年5月22日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
#以下函数在其他各种序列中引用。
定义bell_transform（n，a）：#partition_based
行=[]
fn=阶乘（n）
对于k in（0..n）：
结果=0
对于分区（n，长度=k）中的p：
factorial_product=1
power_factorial_product=1
对于零件，在p.to_exp_dict（）.items（）中计数：
factorial_product*=阶乘（计数）
power_factorial_product*=阶乘（部分）**计数
系数=fn//（阶乘乘积*power_factorial_product）
结果+=系数*prod（对于p中的i，[a[i-1]）
row.append（结果）
返回行
定义bell_matrix（发电机，尺寸）：
G=[范围（dim）中k的发电机（k）]
行=λn：bell_transform（n，G）
返回矩阵（ZZ，[行（n）+[0]*（dim-n-1）表示范围（dim）中的n）]
def inverse_bell_matrix（生成器，dim）：
G=[范围（dim）中k的发电机（k）]
行=λn：bell_transform（n，G）
M=矩阵（ZZ，[行（n）+[0]*（dim-n-1）表示范围（dim）中的n）。逆（）
返回矩阵（ZZ，dim，lambda n，k:（-1）^（n-k）*M[n，k]）
bell_numbers=[范围（11）中n的总和（bell_transform（n，[1]*10））]
对于范围（11）中的n：打印（bell_transform（n，bell_numbers））
（平价）
bell_matrix（f，len）={my（m=矩阵（len，len；
对于（n=1，len-1，m[n+1，2]=f（n-1））；
对于（n=0，len-1，对于（k=1，n，
m[n+1，k+1]=和（j=1，n-k+1，二项式（n-1，j-1）*m[n-j+1，k]*m[j+1，2]））；
返回（m）
}
f（n）=polceoff（总和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*O（x））），n）；
（Python）
从functools导入缓存
从二项式的数学导入梳
def BellMatrix（f，大小）：
A=[f（n）表示范围内的n（尺寸-1）]
@高速缓存
定义T（n，k）：
如果k==0：返回k**n
收益总额(
二项式（n-1，j）*T（n-j-1，k-1）*A[j]
对于范围（n-k+1）中的j
return[[T（n，k）代表范围（n+1）中的k]代表范围（大小）中的n]
@高速缓存
def b（n，k=0）：返回n<1或k*b（n-1，k）+b（n-1，k+1）
打印（BellMatrix（b，9））#彼得·卢什尼2022年6月14日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号,A000110号,A000217号,A000914号,A027801号,A048993号,A051836号,A179455号,A187761号（行总和），A264430型,A264432型,A265312型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A187761号
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| 映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x。 |
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+10
9
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1、1、2、6、23、106、568、3459、23544、176850、1451253、12904312、12348888、1264591561、13790277294、159466823794、1948259002647、25066729706582、3386706055492700、4792623436607059、70873649458154500、1092969062435462254、17543703470388927229、292600906102204630092
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n个顶点上有根树高度小于3的单调标记森林数。如果任何父顶点的标签（严格地）小于任何子顶点的标签，则标记的根树是单调标记的。（参见评论丹尼斯·沃尔什在A000110号; 用“较大”代替“较小”。）要看到这一点，请考虑f（x）<x的映射[1，2，…，n]->[0，1，…，n-1]。
由于这些映射是置换的有效（左）反转表（参见示例），我们在置换和此类森林之间获得了一个简单的双射。
b（n，x，y）是由我们要计数的树组成的森林的数量，其中仍有n个节点要插入，0级的x个节点（根）和1级的y个节点已经存在，再加上2级的一些节点（其数量不重要）。
如果在级别0插入下一个节点，则将插入剩余的n-1个节点（级别0还有一个节点：x+1）。这样做只有一种可能性。
如果下一个节点被插入到级别1，那么将再次插入n-1个节点（并且级别1还有一个节点：y+1）。插入的节点可以有x个不同的前置节点（在0级），通过x的乘法计算。
如果在第2级插入节点，则（再次）要插入n-1个节点，并且第2级还有一个节点（不计算在内）。插入的节点可以有y个前置节点，通过y的乘法计算。
b（0，x，y）=1统计已接收其所有节点的任何固定林。
b（n，0,0）统计可以通过向空林中插入n个节点来构建的所有林。
（结束）
还有贝尔数的贝尔变换的行和。由于Bell数是Stirling_2数的Bell变换的行和，因此它们也可以称为二阶Bell数。（还要注意，Stirling_2数是最简单的正数序列1、1、1…的Bell变换的行和，而Bell变换是0的特征函数的行和。有关此层次结构（可能称为Bell层次结构）的更多信息，请参阅链接“Bell Transform”。）-彼得·卢什尼2016年1月23日
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链接
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配方奶粉
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关于示例f.A（x）的猜想（在下面得到证实）：设B（x）=Sum_{n>=0}B（n）*x^n/n！=exp（exp（x）-1）贝尔数的例子(A000110号). 则A（x）=和{n>=0}A（n）*x^n/n！=exp（和{n>=0}b（n）*x^（n+1）/（n+1！），参见PARI计划。
猜想（如下所述）：设C（0，x）=1，对于k>=1 C（k，x）=exp（积分（C（k-1，x）A179455号（n，k）对于k>=1，n>=k）。
对于k=1（C（1，x）=exp（x））和k=2（C。（结束）
Gareth McCaughan在数学趣味邮件列表上（2013年1月14日）写道
“如果F是大小为n的事物的e.g.F.，那么exp（F）是大小加起来等于n的多个事物集的e.g.F（阶乘变成多项式系数）
“这意味着猜测是正确的。（积分将其转化为“大小加1等于n的多个事物集合”；树是一个森林，顶部有一个新节点。）”
（结束）
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例子
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有a（4）=23个这样的映射f:[0,1,2,3]->[0,1,2,3]，所有4位混合半径[f（0），f（1），ff（f（f（3）））=f（f）（2））=f（1）=0。
异常对应于树0--1-2-3（0是根），可以通过映射[1,2,3,4]->[0,1,2,3]来识别，其中f（k）=k-1。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，x，y）选项记忆`如果`（n=0，1，
b（n-1，x+1，y）+x*b（n-l，x，y+1）+y*b（n-1，x，y））
结束时间：
a： =n->b（n，0，0）：
B:=贝尔矩阵（n->组合：贝尔（n），24）：
seq（加上（i，i=线性代数：-行（B，n）），n=1..24）#彼得·卢什尼2016年1月23日
#替代Maple计划：
b： =proc（n，h）选项记忆`如果`（min（n，h）=0，1，则添加(
二项式（n-1，j-1）*b（j-1，h-1）*b
结束时间：
a： =n->b（n，2）：
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数学
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表[Sum[BellY[n，k，BellB[Range[n]-1]]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫，2016年11月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）/*使用例如f.A（x）*/
x='x+O（'x^66）；
B=经验（经验（x）-1）；/*例如，贝尔数的f*/
A=serconvol（x*B，-log（1-x））；
/*A=整数（B）*//*替代最后一行*/
A=exp（A）；
Vec（塞拉普拉斯（A））
（Python）
从sympy.core.cache导入缓存
从症状导入二项式
@缓存
定义b（n，h）：如果min（n，h）==0，则返回1（[二项式（n-1，j-1）*b（j-1，h-1）*b
定义a（n）：返回b（n，2）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000110号（映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x。
囊性纤维变性。A000949号（映射f:[n]->[n]，其中f（f（x））=f（f（f（x）））。
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关键词
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 14, 8, 1, 1, 51, 54, 13, 1, 1, 202, 365, 132, 19, 1, 1, 876, 2582, 1289, 265, 26, 1, 1, 4139, 19404, 12859, 3409, 473, 34, 1, 1, 21146, 155703, 134001, 43540, 7666, 779, 43, 1, 1, 115974, 1335278, 1471353, 569275, 120200, 15456, 1209, 53, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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置换树是具有顶点集{0,1,2，..，n}和根0的标记根树，其中每个子级都大于其父级，并且子级从左到右按升序排列。置换树的高度是从根开始到叶结束的最长链上根的后代数。这为1定义了C（n，height）。行和为n！。
将T（n，k）=C（n，k+1）设为0<=k<n，另外T（0,0A008292号以及DLMF 26.14.1中定义的欧拉多项式。（请参见A123125号对于具有基于（0,0）的偏移的三角形。）
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链接
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詹妮弗·埃尔德（Jennifer Elder）、娜迪娅·拉弗雷尼埃（Nadia Lafrenière）、艾琳·麦克尼古拉斯（Erin McNicholas）、杰西卡·斯特里克（Jessica Striker）和阿曼达·韦尔奇（Amanda Welch），排列上的同源性——对FindStat数据库中地图和统计数据的分析，数学。CO，arXiv，2022年。（定义4.20和提案4.22）
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例子
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作为一个基于（0,0）的三角形，左侧有一个附加列[1,0,0,0，…]：
[ 1 ]
[ 0, 1 ]
[ 0, 1, 1 ]
[ 0, 1, 4, 1 ]
[0，1，14，8，1]
[ 0, 1, 51, 54, 13, 1 ]
[ 0, 1, 202, 365, 132, 19, 1 ]
[ 0, 1, 876, 2582, 1289, 265, 26, 1 ]
[ 0, 1, 4139, 19404, 12859, 3409, 473, 34, 1]
--------------------------------------------
排列上的高度统计，n=4。
[1, 2, 3, 4] => 2; [1, 2, 4, 3] => 3; [1, 3, 2, 4] => 3; [1, 3, 4, 2] => 3;
[1, 4, 2, 3] => 3; [1, 4, 3, 2] => 4; [2, 1, 3, 4] => 2; [2，1，4，3]=>3；
[2, 3, 1, 4] => 2; [2, 3, 4, 1] => 2; [2, 4, 1, 3] => 2; [2, 4, 3, 1] => 3;
[3, 1, 2, 4] => 2; [3, 1, 4, 2] => 2; [3, 2, 1, 4] => 2; [3, 2, 4, 1] => 2;
[3, 4, 1, 2] => 2; [3, 4, 2, 1] => 3; [4, 1, 2, 3] => 1; [4，1，3，2]=>2；
[4, 2, 1, 3] => 2; [4, 2, 3, 1] => 2; [4, 3, 1, 2] => 2; [4, 3, 2, 1] => 3;
给出行（4）=[0，1，14，8，1]-彼得·卢什尼2015年12月9日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，t，h）选项记忆`如果`（n=0或h=0，1，则添加(
二项式（n-1，j-1）*b（j-1，0，h-1）*b
结束时间：
T： =（n，k）->b（n，1，k-1）-`如果`（k<2，0，b（n、1，k-2））：
seq（seq（T（n，k），k=最小值（n，1）。。n） ，n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2017年8月24日
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数学
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b[n_，t_，h]：=b[n，t，h]=如果[n==0||h==0，1，和[二项式[n-1，j-1]*b[j-1，0，h-1]*b[n-j，t，h]，{j，1，n}]]；
T[n_，k_]：=b[n，1，k-1]-如果[k<2，0，b[n，1，k-2]]；
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黄体脂酮素
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#将列（1,0,0,0，..）添加到左侧，并从n=0开始。
a=[2]+[0]*（尺寸-1）；b=[1]+[0]*（尺寸-1）；L=[b，a]
对于范围内的k（dim）：
b=[范围（dim）内n的总和（（bell_transform（n，b）））]
L.附录（b）
返回矩阵（ZZ，dim，lambda n，k:L[k+1][n]-L[k][n]，如果k<=n其他0）
（鼠尾草）#或者，根据FindStat统计St000308：
定义统计_000308（pi）：
如果pi==[]：返回0
h、 i，分支，下一个=0，len（pi），[0]，pi[0]
为true时：
而下一个<分支[len（分支）-1]：
del（分支[len（分支）-1]）
电流=0
while next>current（下一个>当前）：
i-=1
branch.append（下一个）
h=最大值（h，len（分支）-1）
如果i==0：返回h
current，next=下一个，pi[i]
L=[0]*（n+1）
对于排列（n）中的p：
L[统计_000308（p）]+=1
返回L
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A179456号
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| 按行读取三角形：幂n和高度<=n-k的排列树的数目。 |
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+10
三
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1, 1, 2, 1, 6, 5, 1, 24, 23, 9, 1, 120, 119, 68, 14, 1, 720, 719, 517, 152, 20, 1, 5040, 5039, 4163, 1581, 292, 27, 1, 40320, 40319, 36180, 16776, 3917, 508, 35, 1, 362880, 362879, 341733, 186030, 52029, 8489, 823, 44, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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链接
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例子
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1,
1,
2, 1,
6, 5, 1,
24, 23, 9, 1,
120, 119, 68, 14, 1,
720, 719, 517, 152, 20, 1,
5040、5039、4163、1581、292、27、1，
40320, 40319, 36180, 16776, 3917, 508, 35, 1,
362880, 362879, 341733, 186030, 52029, 8489, 823, 44, 1
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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