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搜索: a174980-编号:a174980
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A002487号 斯特恩双原子级数(或斯特恩-布罗科特序列):a(0)=0,a(1)=1;当n>0时:a(2*n)=a(n),a(2xn+1)=a(n)+a(n+1)。
(原M0141 N0056)
+10
373
0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
也称为fusc(n)[Dijkstra]。
a(n)/a(n+1)只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern;Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组:
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行:0
第1行:1
第2行:1,2
第3行:1,3,2,3
第4行:1,4,3,5,2,5,3,4
第5行:1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5
第6行:1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,9,7,12,5,13,8,11,10,。。。
...
然后(忽略第0行)第k行的和是3^(k-1),每列是一个算术级数,步骤只不过是原始序列Takashi Tokita(butaneko(AT)fa2.so-net.ne.jp),2003年3月8日
发件人N.J.A.斯隆2017年10月15日:(开始)
上述观察可以更加精确。设A(n,k),n>=0,0<=k<=2^(n-1)-1,对于k>0,表示上面左对齐数组的第n行和第k列中的条目。
列0、1、2、3、4…的方程式,。。。依次为(忽略第0行):
1(n>=1),
n(n>=2)时,
n-1(n>=3),
2n-3(n>=3),
n-2(n>=4),
3n-7(n>=4),
...
通常,列k>0由下式给出
A(n,k)=A(k)*n-A156140型(k) 对于n>=上限(log2(k+1))+1,否则为0。
(结束)
a(n)是奇数斯特林数S_2(n+1,2r+1)[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a(n+1)/a(n+2)可以由前面的分数a(n)/a(n+1)=x乘以1/(2*floor(x)+1-x)生成。也可以使用后继函数f(x)=1/(floor(x)+1-frac(x))。
a(n+1)=n[Finch]中的交替位集数。
如果f(x)=1/(1+楼层(x)-压裂(x)),则f(a(n-1)/a(n))=a(n)/a(n+1),对于n>=1。如果T(x)=-1/x和f(x)=y,则f(T(y))=T(x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a(n+1)是将n写成2的幂和的方法数,每个幂最多使用两次(n的双曲表示数)[Carlitz;Lind]。
a(n+1)是可表示为不同的偶数订阅斐波那契数之和的第n个整数的分区数(=A054204号(n) ),转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson,定理2.1]。
a(n+1)是奇数二项式(n-k,k)的个数,0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a(2^k)=1。a(3*2^k)=a(2^(k+1)+2^k)=2。a(2^k)=1和a(2qu(k+1))=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文,中间是a(2q+2^(k-1))=2。a(2^(k-1)+1)=a(2q-1)=k+1,对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克2006年10月10日
此序列形式的g.f.的逆系数A073469号和与二进制分区相关A000123号. -菲利普·弗拉乔莱2008年9月6日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯(adaycalledzero(AT)hotmail.com),2009年8月6日
设M是一个无限下三角矩阵,每列中有(1,1,1、0、0、…)向下移位两次:
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0, 1, 0, 0;
0,1,1,0,0;
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
然后这个序列A002487号(没有首字母0)是lim_{n->oo}M^n的第一列。A026741号.) -加里·亚当森,2009年12月11日[编辑:M.F.哈斯勒2017年2月12日]
形式a(n)=a(2*n)的无限序列族的成员;a(2*n+1)=r*a(n)+a(n+1),r=1A002487号=数组中的第1行A178239号. -加里·亚当森2010年5月23日
等于中显示的无限数组中的第1行A178568号,表单的序列
a(2*n)=r*a(n),a(2*n+1)=a(n)+a(n+1);r=1-加里·亚当森2010年5月29日
的行总和A125184号斯特恩多项式。等价地,B(n,1),在x=1时计算的第n个Stern多项式-T.D.诺伊2011年2月28日
Kn1y和Kn2y三角形和,请参见A180662号对于其定义A047999号引出上述序列,例如Kn11(n)=A002487号(n+1)-A000004号(n) ,Kn12(n)=A002487号(n+3)-A000012号(n) ,Kn13(n)=A002487号(n+5)-A000034号(n+1)和Kn14(n)=A002487号(n+7)-A157810型(n+1)。关于骑士三角和的一般情况,请参见斯特恩·西尔宾斯基三角A191372年这个三角形不仅导致了斯特恩的双原子序列,而且还导致了这个序列的片段,令人惊讶的是,它们的相反-约翰内斯·W·梅耶尔2011年6月5日
a(2^k)=1和a(2#(k+1))=1之间的最大项是斐波那契数F(k+2)-Leonid Bedratyuk公司,2012年7月4日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型。这意味着正好有一个(n+1)数字可以表示为nim-product 2^x*2^y,其中x+y=n-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f(m,n)是整数n在区间[a(2^(m-1)),a(2*m-1)]中的频率。设phi(n)为Euler的totiten函数(A000010号). 猜想:对于所有整数m,n n<=m f(m,n)=phi(n)-尤拉门迪2014年9月8日
早在1995年5月,事实证明A000360型是该序列的模3映射,(+1,-1,+0)/2A002487号(没有首字母0)-M.Jeremie Lafitte(莱维塔斯)2017年4月24日
在字母表{-,+}:chf(1)='-'上定义Christoffel单词的序列chf(n);chf(2*n+0)=取反(chf(n));chf(2*n+1)=否定(串联(chf(n),chf(n+1)))。那么chf(n)单词的长度为fusc(n)=a(n);chf(n)单词中“-”符号的数量是c-fusc(n)=A287729号(n) ;chf(n)单词中“+”符号的数量是s-fusc(n)=A287730型(n) ●●●●。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
对于Z中的所有n,序列可以扩展为a(n)=a(-n),a(2*n)=a(n),a-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩(Moritz Abraham Stern,1807-1894)命名,有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科(Achille Broco,1817-1878)命名-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月6日
似乎a(n)等于A007305号(n+1)模块A007306号(n+1)。例如,a(12)是2A007305号(13) 模块A007306号(13) ,其中A007305号(13) 为4并且A007306号(13) 为7-加里·亚当森2023年12月18日
参考文献
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配方奶粉
a(n+1)=(2*k+1)*a(n)-a(n-1),其中k=楼层(a(n-1)/a(n))-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e(n)=A007814号(n) =2除以n的最高幂的指数。然后a(n+1)=(2k+1)*a(n)-a(n-1),n>0,其中k=e(n)。此外,地板(a(n-1)/a(n))=e(n),符合D.Newman的公式Dragutin Svertan(dsvrtan(AT)math.hr)和Igor Urbiha(Urbiha(AT)数学.hr),2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a(n)/n^(log(phi)/log(2))<=1.1709,其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-贝诺伊特·克洛伊特2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示,限制是246765元= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a(n)=和{k=0..floor((n-1)/2)}(二项式(n-k-1,k)mod 2)-保罗·巴里2004年9月13日
a(n)=和{k=0..n-1}(二项式(k,n-k-1)mod 2)-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,x),A(x^2),A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.:x*产品{k>=0}(1+x^(2^k)+x^(2^(k+1)))[卡利茨]。
a(n)=a(n-2)+a(n-1)-2*-迈克留下来2006年11月6日
A079978号(n) =(1+e^(i*Pi*A002487号(n) )/2,i=sqrt(-1)-保罗·巴里2005年1月14日
a(n)=和{k=1..n}k(k,n-k)*a(n-k),其中k(n,k)=1,如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k(n、k)=0 else。(当使用这样的K系数时,K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如,如果我们在上述定义中去掉条件K<=n,则我们得出A002083号=Narayana-Zidek-Capell数字。)-托马斯·维德2008年1月13日
a(k+1)*a(2^n-k)-a(k)*a;a(2^n-k)+a(k)=a(2^(n+1)+k)。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式:G(z)=a(1)+a(2)*z+a(3)*z^2+…+a(k+1)*z^k+。。。定义f(z)=(1+z+z^2),然后G(z)=lim f(z*f(z^(2^n))*…=(1+z+z^2)*G(z^2Arie Werksma(Werksma(AT)tiscali.nl),2008年4月11日
a(k+1)*a(2^n-k)-a(k)*aArie Werksma(Werksma(AT)tiscali.nl),2008年4月18日
a(2^n+k)=a(2*n-k)+a(k)(0<=k<=2^n)Arie Werksma(Werksma(AT)tiscali.nl),2008年4月18日
设g(z)=a(1)+a(2)*z+a(3)*z^2+…+a(k+1)*z^k+。。。,f(z)=1+z+z^2。那么g(z)=lim_{n->infinity}f(z)*f(z^2)*f*f(z^(2^n)),g(z)=f(z)*g(z^2)Arie Werksma(Werksma(AT)tiscali.nl),2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1,写k=b(0)+2*b(1)+4*b(2)+…+2^(n-1)*b(n-1,其中b(0)、b(1)等为0或1。用条目X(1,1)=X(2,2)=1,X(1,2)=1-b(m),X(2,1)=b(m。设P(n)=X(0)*X(1)**X(n-1)。矩阵P的项是序列的成员:P(1,1)=a(k+1),P(1,2)=aArie Werksma(Werksma(AT)tiscali.nl),2008年4月20日
设f(x)=A030101型(x) ;如果2^n+1<=x<=2^(n+1)且y=2^(n+1)-f(x-1),则a(x)=a(y)Arie Werksma,2008年7月11日
a(n)=A126606号(n+1)/2-莱库·库隆2008年10月5日
等于曝气[1,1,1,0,0,0,0,0]的无限卷积A000079号-1倍,即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0,0,00,0]*[1,0,0,0,0,1]-Mats Granvik公司加里·亚当森2009年10月2日;已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a(2^(p+2)*n+2^(p+1)-1)-a(2^(p+1)*n=2^p-1)=A007306号(n+1),p>=0和n>=0-约翰内斯·W·梅耶尔,2013年2月7日
a(2*n-1)=A007306号(n) ,n>0-尤拉门迪2014年6月23日
a(n*2^m)=a(n),m>0,n>0-尤拉门迪2014年7月3日
a(k+1)*a(2^m+k)-a(k)*a-尤拉门迪2014年11月7日
(2^(m+1)+(k+1))*a(2^m+k)-a(2^m+1)+k)*a-尤拉门迪2014年11月7日
a(5*2^k)=3。a(7*2^k)=3。a(9*2^k)=4。a(11*2^k)=5。a(13*2^k)=5。a(15*2^k)=4。一般情况下:a((2j-1)*2^k)=A007306号(j) ,j>0,k>=0(见Adamchuk的评论)-尤拉门迪2016年3月5日
a(2^m+2^m'+k')=a(2*m'+k')*(m-m'+1)-a(k'),m>=0,m'<=m-1,0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
发件人尤拉门迪2016年7月13日:(开始)
设n是一个自然数,[b_mb_(m-1)…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1的二进制位数(L>=1)。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1,则c_1=1,否则设{c_j:j=1..(L-1)}为系数集,使得c_(j)=m_(j+1)-m_j+1,1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数,使得f(1)=0,f(2)=1,f(j)=c_(j-2)*f(j-1)-f(j-2,3<=j<=L+1。
那么a(n)=f(L+1)(参见示例)。(结束)
a(n)=A001222号(160443元(n) )=A000120号(A277020型(n) )。也是a(n)=A000120号(A101624号(n-1)),对于n>=1-安蒂·卡图恩2016年11月5日
(a(n-1)+a(n+1))/a(n)=A037227号(n) 对于n>=1-彼得·巴拉2017年2月7日
a(0)=0;a(3n)=2*A000360型(3n-1);a(3n+1)=2*A000360型(3n)-1;a(3n+2)=2*A000360型(3n+1)+1-M.Jeremie Lafitte(莱维塔斯)2017年4月24日
发件人I.V.塞洛夫2017年6月14日:(开始)
a(n)=287896英镑(n-1)-1*A288002型(n-1)对于n>1;
a(n)=A007306号(n-1)-2*2008年2月(n-1)对于n>1。(结束)
发件人尤拉门迪2018年2月14日:(开始)
a(2^(m+2)+2^(m+1)+k)-a(2^(m+1)+2^m+k)=2*a(k),m>=0,0<=k<2^m。
a(2^(m+2)+2^(m+1)+k)-a(2^(m+1)+k)=a(2*m+k),m>=0,0<=k<2*m。
a(2^m+k)=a(k)*(m-楼层(log_2(k))-1)+a(2#楼层(log_2[k))+1)+k),m>=0,0<k<2^m,a(2*m)=1,a(0)=0。
(结束)
发件人尤拉门迪2018年5月8日:(开始)
a(2^m)=1,m>=0。
a(2^r*(2*k+1))=a。
(结束)
例子
Stern的双原子数组开始:
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a(91)=19,因为91_10=1011011_2;b6=b4=b3=b1=b0=1,b5=b2=0;L=5;m1=0,m2=1,m3=3,m4=4,m5=6;c1=2,c2=3,c3=2,c 4=3;f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,f(4)=8,f(5)=19-尤拉门迪2016年7月13日
发件人I.V.塞洛夫,2017年6月1日:(开始)
a(n)是Christoffel单词chf(n)的长度:
n chf(n)A070939号(n) a(n)
1 '-' 1 1
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4 '-' 3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…(结束)
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
MAPLE公司
A002487号:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则n elif n mod 2=0,则procname(n/2);其他进程名(n-1)/2)+进程名(n+1)/2);fi;结束:连续(A002487号(n) ,n=0..91);
A002487号:=proc(m)局部a,b,n;a:=1;b:=0;n:=米;当n>0时,如果类型(n,奇数)为do,则b:=a+b,否则a:=a+b结束if;n:=地板(n/2);结束do;b;结束过程:seq(A002487号(n) ,n=0..91);#程序改编自E.Dijkstra,《计算机文选》,施普林格出版社,1982年,第232页Igor Urbiha(Urbiha(AT)math.hr),2002年10月28日。A007306号(n) =a(2*n+1),此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号:=proc(n::integer)局部k;选项记忆;如果n=0,则0 elif n=1,然后1再加上(K(K,n-1-K)*进程名(n-K),K=1。。n) end-if-end进程:
K:=进程(n::integer,K::integer)局部KC;如果0<=k且k<=n且n-k<=2,则KC:=1;否则KC:=0;结束条件:;结束过程:seq(A002487号(n) ,n=0..91)#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple计划:
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n<2,n,
(q->a(q)+(n-2*q)*a(n-q))(iquo(n,2))
结束时间:
seq(a(n),n=0..100)#阿洛伊斯·海因茨2021年2月11日
fusc:=proc(n)局部a,b,c;a:=1;b:=0;
对于convert(n,base,2)do中的c
如果c=0,则a:=a+b,否则b:=a+bfiod;
b端:
seq(fusc(n),n=0..91)#彼得·卢什尼2022年11月9日
数学
a[0]=0;a[1]=1;a[n_]:=如果[EvenQ[n],a[n/2],a[(n-1)/2]+a[(n+1)/2]];表[a[n],{n,0,100}](*程序结束*)
一个[l]:=转置[{l,l+RotateLeft[l]}]//展平;
NestList[Onemore,{1},5]//Flatten(*给出[a(1),…]*)(*Takashi Tokita,2003年3月9日*)
ToBi[l_]:=表[2^(n-1),{n,长度[l]}]。反转[l];地图[长度,
拆分[Sort[Map[ToBi,Table[IntegerDigits[n-1,3],{n,500}]]](*give[a(1),…]*)(*Takashi Tokita,2003年3月10日*)
A002487号[m_]:=模[{a=1,b=0,n=m},而[n>0,如果[OddQ[n],b=a+b,a=a+b];n=楼层[n/2]];b] ;表[A002487号[n] ,{n,0,100}](*Jean-François Alcover公司2013年9月6日,翻译自第二届枫叶计划*)
a[0]=0;a[1]=1;
压扁[表[{a[2*n]=a[n],a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]},{n,0,50}]](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*)
nmax=100;系数列表[系列[x*乘积[(1+x^(2^k)+x^(2^(k+1))),{k,0,Floor[Log[2,nmax]]+1}],{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=n=abs(n);如果(n<2,n>0,a(n\2)+if(n%2,a(n\2+1))};
(PARI)fusc(n)=局部(a=1,b=0);当(n>0时,如果(位和(n,1),b+=a,a+=b);n> >=1);b条\\查尔斯·格里特豪斯四世2008年10月5日
(PARI)A002487号(n,a=1,b=0)=对于(i=0,logint(n,2),如果(位测试(n,i),b+=a,a+=b));b条\\M.F.哈斯勒,2017年2月12日,2019年2月14日更新
(哈斯克尔)
a002487 n=a002487_列表!!n个
a002487_list=0:1:船尾[1],其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”,其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith(+)fuscs$(尾部fuscs)++[1]
交错[]ys=ys
交错(x:xs)ys=x:interleave ys-xs
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月23日
(右)
N<-50#任意
a<-1
for(n in 1:n)
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
}
#尤拉门迪2014年10月4日
(方案)
;; 例如,可以在以下内容中找到memoization-macro definec的实现:http://oeis.org/wiki/Memoization网站
(定义(A002487号n) (cond((<=n 1)n)(偶数?n)(A002487号(/n 2))(其他(+(A002487号(/(-n 1)2))(A002487号(/(+n 1)2))))))
;;安蒂·卡图恩2016年11月5日
(Python)
从functools导入lru_cache
@lru_cache(最大大小=无)
def a(n):如果n<2 else a(n//2),如果n%2==0 else a((n-1)//2)+a((n+1)//2),则返回n#因德拉尼尔·戈什2017年6月8日;已由更正雷扎·K·加齐2021年12月27日
(Python)
定义a(n):
a、 b=1,0
当n>0时:
如果n&1:
b+=a
其他:
a+=b
n>>=1
返回b
#雷扎·K·加齐2021年12月29日
(鼠尾草)
定义A002487号(n) :
M=[1,0]
对于n位中的b():
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
打印([A002487号(n) (0..91)中的n)
#双重查看A174980型.彼得·卢什尼2017年11月28日
(朱莉娅)
使用Nemo
函数A002487List(len)
a、 a=QQ(0),[0,1]
对于1:len中的n
a=next_calkin_wilf(a)
推!(A,分母(A))
结束
A结束
A002487列表(91)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月13日
(R) #给定n,通过考虑n的二进制表示来计算a(n)
a<-函数(n){
b<-作为数字(intToBits(n))
l<-总和(b)
m<-哪个(b==1)-1
d<-1
如果(l>1)对于(j in 1:(l-1))d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c(0,1)
如果(l>1)对于(jin3:(l+1))f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]
返回(f[l+1)
} #尤拉门迪2016年12月13日
(R) #将序列计算为向量a,而不是如上所述的函数a()。
A<-c(1,1)
maxlevel<-5#(可选)
for(m in 1:maxlevel){
A[2^(m+1)]<-1
for(k in 1:(2^m-1)){
r<-m-楼层(log2(k))-1
A[2^r*(2*k+1)]<-A[2^r*2*k)]+A[2^r(2*k+2)]
}}
A类#尤拉门迪2018年5月8日
(岩浆)[&+[(二项式(k,n-k-1)mod 2):k in[0..n]]:n in[0..100]]//文森佐·利班迪2019年6月18日
(Python)
定义A002487号(n) :对于范围(n)中的k,返回和(int(not(n-k-1)&~k))#柴华湖2022年6月19日
交叉参考
记录值在A212289型.
如果将1替换为成对的1,我们将获得A049456号.
反向:A020946号.
参考a(A001045号(n) )=A000045号(n) ●●●●。一个(A062092号(n) )=A000032号(n+1)。
囊性纤维变性。A064881号-A064886号(Stern-Brocot子树)。
一列A072170号.
囊性纤维变性。A049455号Stern双原子阵列的0,1版本。
囊性纤维变性。A000119号,A262097型对于其他碱基中的类似序列A277189号,A277315型,A277328号对于具有相似图的相关序列。
囊性纤维变性。A086592号以及其中提及的与开普勒分数树相关的其他序列。
关键词
非n,容易的,美好的,核心,,改变
作者
扩展
其他参考和评论伦·斯迈利,约书亚·祖克,里克·L·谢泼德和赫伯特·S·威尔夫
定义中的拼写错误由更正莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月23日
删除了不正确的公式,编辑了文本约翰内斯·W·梅耶尔2013年2月7日
状态
已批准
A086449号 a(0)=1,a(2n+1)=a(n),a(2 n)=a(n)+a(n-1)+…+a(n-2^m)+。。。其中对于n<0,a(n)=0。 +10
5
1, 1, 2, 1, 4, 2, 4, 1, 8, 4, 8, 2, 12, 4, 8, 1, 18, 8, 16, 4, 26, 8, 16, 2, 34, 12, 24, 4, 36, 8, 16, 1, 48, 18, 36, 8, 60, 16, 32, 4, 80, 26, 52, 8, 78, 16, 32, 2, 104, 34, 68, 12, 110, 24, 48, 4, 136, 36, 72, 8, 108, 16, 32, 1, 154, 48, 96, 18, 160, 36, 72, 8 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
猜想:除了a(2^k-1)=1之外,所有a(n)都是偶数。此外,a(2^k-2)=2^(k-1)。[有关证据,请参阅链接。]
设置m=0给出Stern-Brocot序列(A002487号).
a(n)是将n写成2的幂和的方法数,其中每一次幂出现p次,p本身是2的幂。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..10000时的n,a(n)表
Lambert Herrgesell,猜想的证明
彼得·卢什尼,有理树和二进制分区.
配方奶粉
G.f.:产品{k>=0}(1+Sum_{j>=0{x^(2^(k+j))。[由Herbert S.Wilf更正,2006年5月31日]
例子
发件人彼得·卢什尼2019年9月1日:(开始)
序列分裂成长度为2^k的行:
1
1, 2
1, 4, 2, 4
1, 8, 4, 8, 2, 12, 4, 8
1、18、8、16、4、26、8、16、2、34、12、24、4、36、8、16
.
计算的前几个分区是(与中的列表相比A174980型):
[0][]]
[ 1] [[1]]
[ 2] [[2], [1, 1]]
[ 3] [[2, 1]]
[ 4] [[4], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
[ 5] [[4, 1], [2, 2, 1]]
[ 6] [[4, 2], [4, 1, 1], [2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1]]
[ 7] [[4, 2, 1]]
[ 8] [[8], [4, 4], [4, 2, 2], [4, 2, 1, 1], [4, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2],
[2, 2, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
[ 9] [[8, 1], [4, 4, 1], [4, 2, 2, 1], [2, 2, 2, 2, 1]]
[10] [[8, 2], [8, 1, 1], [4, 4, 2], [4, 4, 1, 1], [4, 2, 2, 1, 1],
[4, 2, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
[11] [[8, 2, 1], [4, 4, 2, 1]]
[12] [[8, 4], [8, 2, 2], [8, 2, 1, 1], [8, 1, 1, 1, 1], [4, 4, 2, 2],
[4, 4, 2, 1, 1], [4, 4, 1, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2, 2], [4, 2, 2, 1, 1, 1, 1],
[4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1],
[2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]]
[13] [[8, 4, 1], [8, 2, 2, 1], [4, 4, 2, 2, 1], [4, 2, 2, 2, 2, 1]]
[14] [[8, 4, 2], [8, 4, 1, 1], [8, 2, 2, 1, 1], [8, 2, 1, 1, 1, 1],
[4, 4, 2, 2, 1, 1], [4, 4, 2, 1, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2, 2, 1, 1],
[4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
[15] [[8, 4, 2, 1]]
(结束)
MAPLE公司
A086449号:=proc(n)选项记忆;
本地索引集,k;索引集:=proc(n)局部i,j,z;
i:=iquo(n,2);j:=i;如果奇数::n,则i:=i-1;z:=1;
而0<=i做j:=j,i;i:=i-z;z:=z+zod-fi;j端:
如果n<2,则1加上(A086449号(k) ,k=索引集(n))结束:
序列号(A086449号(i) ,i=0..71)#彼得·卢什尼2011年5月6日
#第二个Maple项目:
a: =proc(n)选项记忆;局部r`如果`(n=0,1,
`如果`(irem(n,2,'r')=1,a(r),
a(r)+加法(a(r-2^m),m=0..ilog2(r)))
结束时间:
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2014年5月30日
数学
nn=30;系数列表[系列[乘积[1+Sum[x^(2^(k+j)),{j,0,nn}],{k,0,nn}],}x,0,nne}],x](*杰弗里·克雷策2014年5月30日*)
黄体脂酮素
a(n)=局部(k):如果(n<1,n>=0,如果(n%2==0,a(n/2)+和(k=0,n,a((n-2^(k+1))/2)),a(n-1)/2)
(岩浆)m:=80;R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);系数(R!((&*[1+(&+[x^(2^(k+j)):[0..m/4]中的j):[0.m/4]]中的k))//G.C.格鲁贝尔2019年2月11日
交叉参考
囊性纤维变性。A002487号,A086450型,A174980型.
关键词
非n,容易的,,标签
作者
拉尔夫·斯蒂芬2003年7月20日
状态
已批准
A174981号 L树的分子,从左到右枚举。 +10
0, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 3, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 4, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 5, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19, 7, 16 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
a(n)是A174980型.a(n)/A002487号(n+2)只枚举一次所有约化的非负有理数(L-树)。
链接
Edsger Dijkstra,《计算机文选》,施普林格出版社,1982年,第232页。EWD 578:关于函数fusc的更多信息.
彼得·卢什尼,有理树和二进制分区.
莫里茨·A·斯特恩(Moritz A.Stern)、尤伯·埃因·扎赫伦瑟·福克蒂安(Un ber eine zahlentheoretische Funktion),J.Reine Angew。数学。,55 (1858), 193-220.
例子
序列分为长度为2^k的行:
0,
1, 1,
2, 3, 1, 2,
3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 3,
4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 4,
...
分数为
0/1,
1/2, 1/1,
2/3, 3/2, 1/3, 2/1,
3/4, 5/3, 2/5, 5/2, 3/5, 4/3, 1/4, 3/1,
4/5, 7/4, 3/7, 8/3, 5/8, 7/5, 2/7, 7/2, 5/7, 8/5, 3/8, 7/3, 4/7, 5/4, 1/5, 4/1,
...
MAPLE公司
SternDijkstra:=proc(L,p,n)局部k,i,len,M;长度:=nops(L);M:=L;k:=n;当k>0时,执行M[1+(k mod len)]:=加法(M[i],i=1..len);k:=iquo(k,len);od;op(p,M)结束:
Ltree:=proc(n)5*2^ilog2(n+1);SternDijkstra([0,1],1,n+2+%)/SternDijkstra([1,0],2,n+2)结束:
a:=proc(n)5*2^ilog2(n+1);SternDijkstra([0,1],1,n+2+%)结束:
seq(a(n),n=0..90);
数学
SternDijkstra[L_,p_,n_]:=模块[{k,i,len,M},len:=长度[L];M=L;k=n;当[k>0,M[[1+Mod[k,len]]]=和[M[[i]],{i,1,len}]时;k=商[k,len]];M[[p]]];Ltree[n_]:=使用[{k=5*2^Simplify[Floor[Log[2,n+1]]},SternDijkstra[{0,1},1,n+2+k]/SternDijkstra[{1,0},2,n+2]];a[0]=0;a[n_]:=使用[{k=5*2^Simplify[Floor[Log[2,n+1]]},SternDijkstra[{1,0},1,n+2+k]];行[0]={a[0]};行[n_]:=表[a[k],{k,2^n-3,2^(n+1)-4}]//反向;表[行[n],{n,0,6}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年7月26日,Maple之后*)
交叉参考
关键词
容易的,非n,压裂,标签
作者
彼得·卢什尼2010年4月3日
状态
已批准
A339479型 由n个部分组成的分区数,每个部分都是2的幂,其中一部分是1,任何部分都不超过所有较小部分总和的两倍。 +10
1, 2, 5, 13, 35, 95, 259, 708, 1938, 5308, 14543, 39852, 109216, 299326, 820378, 2248484, 6162671, 16890790, 46294769, 126886206, 347774063, 953191416, 2612541157, 7160547089, 19625887013, 53791344195, 147433273080, 404090482159, 1107545909953, 3035602173663 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a(n)是非递减整数的n元组数,是分区中2的指数,其中第一个为0,并且是“约化”的。减少了1元组(0)。如果元组是(x(1)。。。,x(n)),则如果(x(1)。。。,x(n-1))减少,x(n)<=上限(log_2(1+Sum_{i=1..n-1}2^x(i)))。这个序列是在分析将正整数划分为2的幂的类型时产生的。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=1.2285时的n,a(n)表
配方奶粉
G.f.:x/(1-x-B(x)),其中B(xA002572号.
a(n)=F(n,0),其中F(0,k)=1,F(n、0)=F。在这个递归中,F(n,k)给出了具有n个部分的分区数,其中小于当前部分大小的所有部分的总和在k和k+1倍的部分大小之间。此功能与当前零件尺寸无关。在k为零的情况下,唯一的选择是添加当前零件尺寸的一部分,否则也有可能添加两倍尺寸的零件-安德鲁·霍罗伊德2021年4月24日
例子
a(2)=2分区是{1,1}和{1,2}。
a(3)=5分区为{1,1,1}、{1,1,2}、}1,1,4}、1,2,2}和{1,2,4}。
a(4)=13分区为{1,1,1},{1,1,1,2},}1,1,4},1,1,4{,1,2,2}、1,1,2,4}、{1,1,2,8}、2,4,4}和1,1,4,8}。
MAPLE公司
b: =proc(n,t)选项记忆`如果`(n=0,1,
`如果`(t=0,0,b(n,iquo(t,2))+b(n-1,t+2))
结束时间:
a: =n->b(n,1):
seq(a(n),n=1..30)#阿洛伊斯·海因茨2021年4月27日
数学
b[n_,t_]:=b[n,t]=如果[n==0,1,如果[t==0、0、b[n、商[t,2]]+b[n-1,t+2]]];
a[n]:=b[n,1];
表[a[n],{n,1,30}](*Jean-François Alcover公司2021年7月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)
黄体脂酮素
(PARI)seq(n)={my(v=向量(n),a=向量(n));a[1]=v[1]=1;对于(n=2,n,对于(j=1,n-1,v[n-(n-j)\2]+=v[j]);a[n]=vecsum(v));a}\\安德鲁·霍罗伊德2021年4月25日
(Python)
从functools导入缓存
@高速缓存
定义r339479(n,k):
如果n==0:
返回1
elif k==0:
返回r339479(n-1,1)
其他:
返回r339479(n-1,k+1)+r339478(n,k//2)
def a339479(n):返回r339479(n,0)
打印([a339479(n)表示范围(1100)内的n)]
交叉参考
关键词
非n
作者
维克托·米勒2021年4月24日
扩展
条款a(19)及以后安德鲁·霍罗伊德2021年4月24日
状态
已批准
第页1

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