搜索： a174266-编号：a174266-
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A154283号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（2*n+1，i）*二项法（k+2-i，2）^n，0<=k<=2*（n-1）。 |
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18
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1, 1, 4, 1, 1, 20, 48, 20, 1, 1, 72, 603, 1168, 603, 72, 1, 1, 232, 5158, 27664, 47290, 27664, 5158, 232, 1, 1, 716, 37257, 450048, 1822014, 2864328, 1822014, 450048, 37257, 716, 1, 1, 2172, 247236, 6030140, 49258935, 163809288, 242384856, 163809288, 49258935, 6030140, 247236, 2172, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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一般来说，设b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以计算：和{i=1..n}二项式（i+e-1，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。
例如，A085438号（n） =和{i=1..n}二项式（1+i，2）^3=T（3,0）*二项式3-48*n）。
（完）
T（n，k）是1…n的两个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=（-1）乘以x^k在（x-1）^（2*n+1）*Sum_{k>=0}（k*（k+1）/2）^n*x^（k-1）中的系数。
求和{i=1..n}二项式（1+i，2）^p=求和{k=0..2*p-2}T（p，k）*二项式（n+2+k，2*p+1）。
二项式（n，2）^p=Sum_{k=0..2*p-2}T（p，k）*二项式（n+k，2*p）。（完）
例如，作为连分式：（1-x）/（1-x+（1-exp（（1-xx*（x^4+20*x^3+48*x^2+20*x+1）*t^3/3！+。。。（使用Prodinger方程式1.1）。
交替行和（无符号）[1，1，2，10，104，1816，…]的序列似乎是A005799号.（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 4, 1;
1, 20, 48, 20, 1;
1, 72, 603, 1168, 603, 72, 1;
1, 232, 5158, 27664, 47290, 27664, 5158, 232, 1;
1, 716, 37257, 450048, 1822014, 2864328, 1822014, ...;
1, 2172, 247236, 6030140, 49258935, 163809288, 242384856, ...;
1, 6544, 1568215, 72338144, 1086859301, 6727188848, 19323413187, ...;
1, 19664, 9703890, 811888600, 21147576440, 225167210712, ... ;
...
1122的T（2,1）=4排列与1下降为1212121212211-安德鲁·霍罗伊德2020年5月15日
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MAPLE公司
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（1-x）^（2*n+1）*加（（l*（l+1）/2）^n*x^（l-1），l=0..k+1）；
系数日（%，x=0，k）；
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数学
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p[x_，n_]=（1-x）^（2*n+1）*和[（k*（k+1）/2）^n*x^k，{k，0，无穷}]/x；
表[系数列表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]，x]，{n，10}]//展平
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（2*n+1，i）*二项（k+2-i，2）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月9日
（岩浆）[（&+[（-1）^j*二项式（2*n+1，j）*二项法（k-j+2，2）^n:j in[0..k]]）：k in[0..2*n-2]，n in[1..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年6月13日
（SageMath）
定义A154283号（n，k）：（0..k）中j的返回和（（-1）^j*二项式（2*n+1，j）*二项式（k-j+2,2）^n）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,标签
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扩展
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状态
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经核准的
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A236463号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（4*n+1，i）*二项法（k+4-i，4）^n，0<=k<=4*（n-1）。 |
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1, 1, 16, 36, 16, 1, 1, 112, 1828, 8464, 13840, 8464, 1828, 112, 1, 1, 608, 40136, 724320, 4961755, 15018688, 21571984, 15018688, 4961755, 724320, 40136, 608, 1, 1, 3104, 693960, 37229920, 733059110, 6501577152, 29066972368, 69830127680, 93200908410, 69830127680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。
特别是：
二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。
求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=求和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。
T（n，k）是1…n的4个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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链接
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配方奶粉
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求和{i=1..n}二项式（3+i，4）^p=求和{k=0..4*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+4+k，4*p+1）。
二项式（n，4）^p=Sum_{k=0..4*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+k，4*p）。
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例子
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T（n，0）=1；
T（n，1）=5^n-（4*n+1）；
T（n，2）=15^n-（4*n+1）*5^n+C（4*n+1,2）；
T（n，3）=35^n-（4*n+1）*15^n+C（4*n+1,2）*5^n-C（4*n+1,3）；
T（n，4）=70^n-（4*n+1）*35^n+C。
三角形T（n，k）开始于：
1中，
1, 16, 36, 16, 1;
1, 112, 1828, 8464, 13840, 8464, 1828, 112, 1;
1, 608, 40136, 724320, 4961755, 15018688, 21571984, 15018688, 4961755, 724320, 40136, 608, 1;
1, 3104, 693960, 37229920, 733059110, 6501577152, 29066972368, 69830127680, 93200908410, 69830127680, 29066972368, 6501577152, 733059110, 37229920, 693960, 3104, 1;
1, 15600, 11000300, 1558185200, 75073622025, 1585757994496, 16938467955200, 99825129369600, 342907451401150, 710228619472800, 903546399077256, 710228619472800, 342907451401150, 99825129369600, 16938467955200, 1585757994496, 75073622025, 1558185200, 11000300, 15600, 1;
...
例子：
求和{i=1..n}C（3+i，4）^3=C（n+4,13）+112*C（n+5,13）+1828*C（n+6,13）+8464*C（n+7,13）+38440*C（n+8,13）+8464*C。
C（n，4）^3=C（n、12）+112*C（n+1,12）+1828*C（n+2.12）+8464*C（n+3.12）+13840*C。
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数学
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b[k_，4，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[4*p+1，i]*二项法[k-i，4]^p/。k->4+i，{i，0，k-4}]；行[p_]：=表[b[k，4，p]，{k，4*p}]；表[行[p]，{p，1，6}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={sum（i=0，k，（-1）^i*二项式（4*n+1，i）*二项式（k+4-i，4）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A087107号
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| 此表显示了生成四面体数的p次幂序列和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i＝1到3*p-2的a（i，p），其中a（i，p）满足Sum_{i＝1..n}C（i+2,3）^p=4*C（n+3,4）*Sum_{i＝1..3*p-2}a（i，p）*C（n-1，i-1）/（i+3）。 |
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1, 1, 3, 3, 1, 1, 15, 69, 147, 162, 90, 20, 1, 63, 873, 5191, 16620, 31560, 36750, 25830, 10080, 1680, 1, 255, 9489, 130767, 919602, 3832650, 10238000, 18244380, 21990360, 17745000, 9198000, 2772000, 369600, 1, 1023, 97953, 2903071, 40317780
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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让s_n表示序列（1，4^n，10^n，20^n，…）作为无限列向量，其中1，4，10，20。。。是四面体数的序列A000292号。该表的第n行似乎由矩阵乘积P^（-1）s_n决定，其中P表示帕斯卡三角形A007318号. -彼得·巴拉2017年11月26日
上述观察结果是正确的。
表项T（n，k）是用下降阶乘表示3*p次多项式C（x+3,3）^p时的系数：C（x=3,3）p=Sum_{k=0..3*p}T（p，k）*C（x，k）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=求和{k=0..3*p}T（p，k）*C（n，k+1）。
四面体数的p次幂之和也由和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=和{k=3..3*p}给出A299041型当p>=1时，（p，k）*C（n+3，k+1）。（完）
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链接
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配方奶粉
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a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1,2*k-2）*C（i-2*k+4，i-2*k+1）^。
发件人彼得·巴拉，2017年11月26日：（开始）
表项的推测公式：T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k+j）*二项式（k，j）*二项式（j+3,3）^n。
假设第n行多项式R（n，x）=1/（1+x）*Sum_{i>=0}二项式（i+3,3）^n*（x/（1+x））^n（End）
上述推测是正确的。
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n+1，k）=C（k+3,3）*T（n，k）+3*C（k+2,3）*1（n，k-1）+3*C。
求和{k=0..3*n}T（n，k）*二项（x，k）=（二项（x+3,3））^n。
R（n+1，x）=1/3*（1+x）^3*（d/dx）^3（x^3*R（n，x））。
R（n，x）=（1+x）^3 o（1+x）^3 o。。。o（1+x）^3（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。注意多项式x^3o。。。o x ^3（n因子）是的第n行多项式A299041型.（结束）
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例子
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第3行包含1,15,69147162,90,20，因此求和{i=1..n}C（i+2,3）^3=4*C（n+3,4）*[a（1,3）/4+a（2,3）*C（n-1,1）/5+a（3,3）*C（n-1,2）/6+…+a（7,3）*C（n-1.6）/10]=4*C+162*C（n-1,4）/8+90*C（-1,5）/9+20*C（1-1,6）/10]。囊性纤维变性。A086021型了解更多详细信息。
表格开始
n=0 |1
n=1 | 1 3 3 1
n=2 | 1 15 69 147 162 90 20
n=3 | 1 63 873 5191 16620 31560 36750 25830 10080 1680
...
第2行：C（i+3.3）^2=C（i，0）+15*C（i，1）+69*C（i，2）+147*C（i，3）+162*C（i，4）+90*C（i，5）+20*C（i，6）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^2=C（n，1）+15*C（n、2）+69*C（n，3）+147*C（m，4）+162*C（k，5）+90*C（w，6）+20*C（ns，7）。（完）
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+3，3）^n，i=0..k），k=0..3*n），n=0..8）#彼得·巴拉2018年3月11日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+4，i-2*k+1]^；表[If[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，3*p-2}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,3*p-2，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A087127号,A024166号,A085438号,A085439号,A085440号,A085441号,A085442号,A000332号,A086020号,A086021型,A086022号,A087108号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579号,A086025号,A086026号,A087110美元,A000580型,A086027号,A086028号,A087111号,A027555号,A086029号,A086030型.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A237252型
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（6*n+1，i）*二项法（k+6-i，6）^n，0<=k<=6*（n-1）。 |
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+10
11
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1, 1, 36, 225, 400, 225, 36, 1, 1, 324, 15606, 233300, 1424925, 4050864, 5703096, 4050864, 1424925, 233300, 15606, 324, 1, 1, 2376, 554931, 35138736, 879018750, 10490842656, 66555527346, 239677178256, 509723668476, 654019630000, 509723668476, 239677178256, 66555527346, 10490842656, 879018750, 35138736, 554931, 2376, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。
特别是：
二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，ep）*二项式。
求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=求和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。
T（n，k）是1…n的6个不可区分副本的置换数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
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链接
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配方奶粉
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求和{i=1..n}二项式（5+i，6）^p=求和{k=0..6*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+6+k，6*p+1）。
二项式（n，6）^p=和{k=0..6*（p-1）}T（p，k）*二项式。
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例子
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例如：
T（n，0）=1；
T（n，1）=7^n-（6*n+1）；
T（n，2）=28^n-（6*n+1）*7^n+C（6*n+1,2）；
T（n，3）=84^n-（6*n+1）*28^n+C（6*n+1,2）*7^n+C（6*n+1,3）；
T（n，4）=210^n-（6*n+1）*84^n+C。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 36, 225, 400, 225, 36, 1;
1, 324, 15606, 233300, 1424925, 4050864, 5703096, 4050864, 1424925, 233300, 15606, 324, 1;
1, 2376, 554931, 35138736, 879018750, 10490842656, 66555527346, 239677178256, 509723668476, 654019630000, 509723668476, 239677178256, 66555527346, 10490842656, 879018750, 35138736, 554931, 2376, 1;
1, 16776, 16689816, 3656408776, 286691702976, 10255094095176, 192698692565176, 2080037792142216, 13690633212385551, 57229721552316976, 156200093827061616, 283397584598631216, 345271537321293856, 283397584598631216, 156200093827061616, 57229721552316976,13690633212385551, 2080037792142216, 192698692565176, 10255094095176, 286691702976, 3656408776, 16689816, 16776, 1;
...
例子：
和{i=1..n}C（5+i，6）^2=A086027号（n） =C（n+6,13）+36*C（n+7,13）+225*C。
二项式（n，6）^2=C（n，12）+36*C（n+1,12）+225*C（n+2,12）+400*C（n+3.12）+225*C（n+4.12）+36*C（n+5.12）+C（n+6,12）。
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数学
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b[k_，6，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[6*p+1，i]*二项法[k-i，6]^p/。k->6+i，{i，0，k-6}]；row[p_]：=表[b[k，6，p]，{k，6，6*p}]；表[行[p]，{p，1，5}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（6*n+1，i）*二项（k+6-i，6）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A237202型
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（5*n+1，i）*二项法（k+5-i，5）^n，0<=k<=5*（n-1）。 |
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+10
10
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1, 1, 25, 100, 100, 25, 1, 1, 200, 5925, 52800, 182700, 273504, 182700, 52800, 5925, 200, 1, 1, 1275, 167475, 6021225, 84646275, 554083761, 1858142825, 3363309675, 3363309675, 1858142825, 554083761, 84646275
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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通常，定义b（k，e，p）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（e*p+1，i）*二项法（k+e-i，e）^p。
利用这些系数，我们可以得到二项式（n，e）^p和和{i=1..n}二项式。
特别是：
二项式（n，e）^p=和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式。
求和{i=1..n}二项式（e-1+i，e）^p=求和{k=0..e*（p-1）}b（k，e，p）*二项式（n+e+k，e*p+1）。
T（n，k）是1…n的5个不可区分副本的排列数，精确到k个下降。下降是一对相邻元素，第二个元素小于第一个元素-安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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链接
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配方奶粉
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求和{i=1..n}二项式（4+i，5）^p=求和{k=0..5*（p-1）}T（p，k）*二项式（n+5+k，5*p+1）。
二项式（n，5）^p=和{k=0..5*（p-1）}T（p，k）*二项式。
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例子
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T（n，0）=1；
T（n，1）=6^n-（5*n+1）；
T（n，2）=21^n-（5*n+1）*6^n+C（5*n+1,2）；
T（n，3）=56^n-（5*n+1）*21^n+C（5*n+1,2）*6^n-C（5*n+1,3）；
T（n，4）=126^n-（5*n+1）*56^n+C。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 25, 100, 100, 25, 1;
1, 200, 5925, 52800, 182700, 273504, 182700, 52800, 5925, 200, 1;
1, 1275, 167475, 6021225, 84646275, 554083761, 1858142825, 3363309675, 3363309675, 1858142825, 554083761, 84646275, 6021225, 167475, 125, 1;
1, 7750, 3882250, 447069750, 18746073375, 359033166276, 3575306548500, 20052364456500, 66640122159000, 135424590593500, 171219515211316, 135424590593500, 66640122159000, 20052364456500, 3575306548500, 359033166276, 18746073375, 447069750, 3882250, 7750, 1;
...
例子：
求和{i=1..n}C（4+i，5）^3=C（n+5,16）+200*C（n+6,16）+5925*（n+7,16）+82800*C（n+8,16）+182700*C（n+9,16）+273504*C（n+10,16）+1 82700*C。
C（n，5）^3=C（n、15）+200*C（n+1,15）+5925*C（n+2,15）+52800*C。
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数学
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b[k_，5，p_]：=总和[（-1）^i*二项式[5*p+1，i]*二项法[k-i，5]^p/。k->5+i，{i，0，k-5}]；行[p_]：=表[b[k，5，p]，{k，5*p}]；表[行[p]，{p，1，5}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）={和（i=0，k，（-1）^i*二项式（5*n+1，i）*二项（k+5-i，5）^n）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A299041型
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| 不规则表格：T（n，k）等于n个字符串的长度k的对齐次数，每个字符串的长度为3。 |
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+10
5
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1, 1, 12, 30, 20, 1, 60, 690, 2940, 5670, 5040, 1680, 1, 252, 8730, 103820, 581700, 1767360, 3087000, 3099600, 1663200, 369600, 1, 1020, 94890, 2615340, 32186070, 214628400, 859992000, 2189325600, 3628409400, 3903900000, 2630628000, 1009008000, 168168000, 1, 4092, 979530, 58061420, 1411122300
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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不同长度的n个字符串的对齐是一种将空白字符插入n个字符串中的方法，以便生成的字符串都具有相同的长度。我们不允许在n个字符串的同一位置插入空白字符。
在这种情况下，让s_1，。。。，s_n是字母A上的n个字符串，每个字符串的长度为3。设-是不在A中的间隙符号，且A'=A和{-}的并集。n个字符串的对齐是字母A'上长度>=3的字符串的n元组（s_1'，…，s_n'），这样
（a） 字符串si'、1<=i<=n的长度相同。这个公共长度称为路线的长度。
（b） 从si'中删除间隙符号将生成字符串sifor1<=i<=n
（c） 没有值j使得所有字符串si’，1<=i<=n在位置j处都有一个间隙符号。
通过将字符串s_i'一个接一个地写入另一个字符串，我们可以将n个字符串的对齐视为n X L矩阵，其中L（对齐长度）的范围从最小值3到最大值3*n。矩阵的每一行都有来自字母a和（L-3）间隙字符的3个字符。
例如，
s_1’=ABC------
s_2’=---DEF（排放催化剂）---
s_3’=------GHI
是三个字符串s_1=ABC、s_2=DEF和s_3=GHI的对齐（最大长度L=9），每个字符串的长度为3。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=Sum_{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i，3）^n。
T（n，k）=二项式（k，3）*（T（n-1，k）+3*T（n-l，k-1）+3*T（n-1、k-2）+T（n-1，k-3）），对于3<=k<=3*n，边界条件T（n、3）=1，对于n>=1，如果（k<3）或（k>3*n），T（n和k）=0。
双精度例如：exp（-x）*Sum_{n>=0}exp（二项式（n，3）*y）*x^n/n！=1+（x^3/3！）*y+（x*3/3！+12*x^4/4！+30*x^5/5！+20*x^6/6！）*y ^2/2！+。。。。
第n行多项式R（n，x）=Sum_{i>=3}二项式（i，3）^n*x^i/（1+x）^（i+1）对于n>=1。
1/（1-x）*R（n，x/（1-x。
R（n，x）=x^3 o x ^3 o。。。o x ^3（n因子），其中o是Dukes and White中定义的幂级数的黑钻石乘积。
R（n，x）=（z_1）^3*的系数*有理函数1/（1+x-x*（1+z_1）*展开式中的（z_n）^3*（1+zn））。
多项式和{k=3..3*n}T（n，k）*x^（k-3）*（1-x）^（3*n-k）是174266英镑.
Sum_{i=3.n-1}二项式（i，3）^m=Sum_{k=3..3*m}T（m，k）*二项式（n，k+1），对于m>=1。参见下面的示例。
x^3*R（n，-1-x）=（-1）^n*（1+x）^3*R（n，x）。
R（n+1，x）=1/3*当n>=1时，x^3*（d/dx）^3（（1+x）^3*R（n，x））。
R（n，x）的零属于区间[-1，0]。
行总和R（n，1）=A062208年（n） ；交替行和R（n，-1）=（-1）^n。
对于非零整数k，幂级数a（k，x）：=exp（和{n>=1}1/k^3*R（n，k）*x^n/n）似乎具有整数系数。请参阅示例部分。
求和{k=3..3*n}T（n，k）*二项式（x，k）=（二项式）^n。等价地，求和{k=3..3*n}（-1）A019538年（n，k）*二项式（x，k）=x^n。
求和{k=3..3*n}T（n，k）*二项式（x，k-3）=-二项式。
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例子
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表格开始
否|3 4 5 6 7 8 9 10
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1| 1
2| 1 12 30 20
3| 1 60 690 2940 5670 5040 1680
4| 1 252 8730 103820 581700 1767360 3087000 3099600 ...
...
T（2,5）=30：长度为5的对齐将在每条线上有两个间隙符号。有C（5,2）=10种方法可以选择2个位置以在第一个字符串中插入间隙符号。然后，对齐中的第二个字符串必须在这两个位置具有非映射符号，剩下三个位置用于插入剩余的1个非映射符号。总共有10 x 3=30种可能的对齐方式，两个字符串由3个字符组成。一些例子是
ABC——ABC——ABC--
D--EF-D-EF--排放催化剂
第2行：求和{i=3..n-1}C（i，3）^2=C（n，4）+12*C（n、5）+30*C（n，6）+20*C。
第3行：求和{i=3..n-1}C（i，3）^3=C（n，4）+60*C（n、5）+690*C（n，6）+2940*C。
exp（和{n>=1}R（n，2）*x^n/n）=（1+x+153*x^2+128793*x^3+319155321*x^4+1744213657689*x^5+….）^8
exp（和{n>=1}R（n，3）*x^n/n）=（1+x+424*x^2+998584*x^3+6925040260*x^4+105920615923684*x^5+….）^27。
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i，3）^n，i=0..k），k=3..3*n），n=1..6）；
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|
数学
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nmax=6；T[n_，k_]：=和[（-1）^（k-i）二项式[k，i]二项式[i，3]^n，{i，0，k}]；表[T[n，k]，{n，1，nmax}，{k，3，3n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2018年2月20日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A151632号
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| 1..n的3个不可区分副本的排列数，按降序正好有2个相邻元素对。 |
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+10
2
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0, 9, 405, 6750, 83736, 922347, 9639783, 98361900, 992660346, 9967494609, 99857394225, 999379243674, 9997315646220, 99988457276295, 999950607877131, 9999789546603672, 99999106646803758, 999996220428781005, 9999984057081398901, 99999932929790707494
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=10^n-（3*n+1）*4^n+3*n*（3*n+1）/2-安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
总尺寸：9*x^2*（1+24*x-42*x^2-64*x^3）/（1-x）^3*（1-4*x）^2*。
当n>6时，a（n）=21*a（n-1）-153*a。
（完）
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数学
|
T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j）*二项式[3*n+1，k-j+2]*（二项式[j+1，3]）^n，{j，0，k+2}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={10^n-（3*n+1）*4^n+3*n*（3*n+1）/2}\\安德鲁·霍罗伊德，2020年5月6日
（PARI）concat（0，Vec（9*x^2*（1+24*x-42*x^2-64*x^3）/（（1-x）^3*（1-4*x）^2x（1-10*x））+O（x^40））\\科林·巴克2020年7月17日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：（0..k+2）中j的返回和（（-1）^（k-j）*二项式（3*n+1，k-j+2）*（二项式，（j+1，3））^n
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A151633号
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| 1..n的3个不可区分副本的排列数，按降序正好有3个相邻元素对。 |
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+10
2
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0, 1, 760, 49682, 1722320, 45699447, 1063783164, 23119658500, 484099087156, 9930487583345, 201402352998560, 4059011173618086, 81520052344904040, 1634100242397204427, 32722001111322772660, 654870005050881521672, 13102000022780506515884
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（56，-1242，14412，-96873，394308，-984324，1492224，-1330560，640000，-128000）。
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配方奶粉
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a（n）=20^n-（3*n+1）*10^n+二项式（3*n+1，2）*4^n-二项式-安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
a（n）=和{j=0..5}（-1）^（j+1）*二项式（3*n+1，5-j）*（二项式）^n-G.C.格鲁贝尔2022年3月26日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j）*二项式[3*n+1，k-j+2]*（二项式[j+1，3]）^n，{j，0，k+2}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={20^n-（3*n+1）*10^n+二项式（3*n+1，2）*4^n-二项式\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：（0..k+2）中j的返回和（（-1）^（k-j）*二项式（3*n+1，k-j+2）*（二项式，（j+1，3））^n
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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| |
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A151634号
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| 1..n的3个不可区分副本的排列数，按降序正好有4个相邻元素对。 |
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+10
2
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|
|
|
0, 0, 405, 128124, 12750255, 789300477, 38464072830, 1641724670475, 64856779908606, 2445752640197970, 89642032274378115, 3228334377697738350, 115003717118946936945, 4069184219056622926539, 143377786266629066071740, 5038841894823365860640997, 176801555321207696717476200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（126、-6741、203286、3863391、48979386、427502471、2613017466、11265590916、34232982136、72719412480、106245417600、103853184000、64584960000、-23004000000、3584000000）。
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配方奶粉
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a（n）=35^n-（3*n+1）*20^n+二项式（3*n+1，2）*10^n-二项式-安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
a（n）=和{j=0..6}（-1）^j*二项式（3*n+1，6-j）*（二项式）^n-G.C.格鲁贝尔2022年3月26日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j）*二项式[3*n+1，k-j+2]*（二项式[j+1，3]）^n，{j，0，k+2}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={35^n-（3*n+1）*20^n+二项式（3*n+1，2）*10^n-二项式\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月7日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：（0..k+2）中j的返回和（（-1）^（k-j）*二项式（3*n+1，k-j+2）*（二项式，（j+1，3））^n
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A151635号
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| 1..n的3个不可区分副本的排列数，按降序正好有5个相邻元素对。 |
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+10
2
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0, 0, 54, 128124, 40241088, 5904797049, 592030140912, 47871255785661, 3399596932632516, 222507204130403730, 13816730633213564154, 828855022115369147634, 48598186867956968680368, 2806334420165022553155783, 160409202733612103932779012, 9106532681255976991378628043
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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链接
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常系数线性递归的索引项,签名(252, -28116, 1847460, -80186430, 2443408020, -54222394300, 897042522780, -11233051883145, 107495660310160, -790365294823704, 4473663278780448, -19473246213545104, 64926170063690880, -164639495047219200, 314180023114240000, -444424489989120000, 455945899622400000, -328038555648000000, 156378808320000000, -44255232000000000, 5619712000000000).
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配方奶粉
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a（n）=和{j=0..7}（-1）^（j+1）*二项式（3*n+1，7-j）*（二项式）^n-G.C.格鲁贝尔2022年3月26日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=和[（-1）^（k-j）*二项式[3*n+1，k-j+2]*（二项式[j+1，3]）^n，{j，0，k+2}]；
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：（0..k+2）中j的返回和（（-1）^（k-j）*二项式（3*n+1，k-j+2）*（二项式，（j+1，3））^n
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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