搜索： a171899-编号：a171899
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A000002号
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| Kolakoski序列：a（n）是第n次游程的长度；a（1）=1；序列仅由1和2组成。
（原名M0190 N0070）
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+10
270
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1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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历史注释：该序列可能更好地称为奥尔登堡-科拉科斯基序列，因为1939年鲁弗斯·奥尔登堡（Rufus Oldenburger）曾讨论过该序列；请参阅链接-克拉克·金伯利，2012年12月6日。然而，为了避免混淆，该序列在OEIS中称为Kolakoski序列。一些条目引用Oldenburger-Kolakoski序列而其他条目引用Kolakoki序列是不可取的-N.J.A.斯隆2017年11月22日
证明1的密度等于1/2是一个尚未解决的问题。
一个较弱的问题是在1的位置集和2的位置集之间构造一个组合双射-古斯·怀斯曼2016年3月1日
序列是立方的，所有方形子单词的长度都是2、4、6、18和54中的一个（参见A294447号)[卡皮，1994年]。
这是一个分形序列：用其长度替换每条跑步，并恢复原始序列-凯里·米切尔2005年12月8日
Kupin和Rowland写道：我们使用Goulden和Jackson的方法来限定freq_1（K），即Kolakoski单词K中1的极限频率。我们证明了|freq_1（K）-1/2|<=17/762，假设极限存在，并建立了半严格界|freq _1（K）-1/2|<=1/46-乔纳森·沃斯邮报2008年9月16日
freq_1（K）被推测为1/2+O（log（K））（参见PlanetMath链接）-乔恩·佩里2014年10月29日
推测：以单词长度为10的序列为例，例如批次1-10、11-20等，那么每个批次中只能有4个、5个或6个1-乔恩·佩里2012年9月26日
序列中不包含ababa形式的单词，因为这意味着之前不可能有111（1b，1a，1b）。这证明了乔恩·佩里：10个单词中超过6个1或6个2就需要像aabaababa这样的词，这意味着之前不可能的12121（因为ababa，单词aabaabaa也是不可能的）。下面关于六元组的注释甚至表明，任何9元组中1的数量总是4或5。
序列中只有6个三联体出现（112、121、122、211、212和221）；根据前面的论证，只有18个六倍体：6个双三元组（112112等）；112122、112212、121122、121221、211212和211221；以及通过颠倒三元组的顺序获得的值（122112等）。关于序列中1的密度，这12个六元组的密度都是1的1/2，而这6个双三元组通过Kolakoski规则转换后都会得到一个具有这个精确密度的单词，例如：112112->12112122（4 1's/8）；这是因为第二个三元组反转了第一个三元组生成的1和2的数量。因此，序列可以在一侧分裂为两个三元组，其中一个部分的变换（位于序列中）的密度为1的1/2；和一个与其他六角形直接具有相同密度1的部分。（结束）
如果我们将1映射到+1，将2映射到-1，则映射序列的[推测]平均值为0，因为Kolakoski序列[推测]具有1s和2s的相等密度（1/2）。有关此映射序列的部分和，请参见A088568号. -丹尼尔·福格斯2015年7月8日
查看情节A088568号，虽然1s和2s的渐近密度似乎是1/2，但可能存在有利于2s的偏差。也就是说，D（1）=1/2-O（log（n）/n），D（2）=1/2+O（log（n）/n）-丹尼尔·福格斯，2015年7月11日
（a（n））是2块代换β的唯一不动点
11 -> 12
12 -> 122
21 -> 112
22->1122。
2块替换beta映射单词w（1）。。。单词w（2n）
β（w（1）w（2））。。。β（w（2n-1）w（2n））。
如果单词长度为奇数，则忽略最后一个字母。
1979年我在波尔多数论研讨会上注意到，（a（n+1））是2块代换的不动点11->21，12->211，21->221，22->2211。（结束）
以美国艺术家和娱乐数学家威廉·乔治·科拉科斯基（1944-1997）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第337页。
埃里克·安吉利尼，“Jeux-de-suites”，摘自《科学档案》，第32-35页，第59卷（Jeux-math'），2008年4月/6月，巴黎。
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伊兰·瓦迪，《数学计算娱乐》。Addison-Wesley，加利福尼亚州红木市，1991年，第233页。
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链接
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埃里克·布里尔、雷米·格雷奥德·斯图尔特、大卫·纳卡切、亚历山德罗·帕科和伊曼纽尔·特洛伊亚尼，看和说最大的序列最终循环，arXiv:2006.07246[math.DS]，2020年。
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F.M.Dekking，关于自生成序列的结构《数论研讨会，1980-1981》（塔伦斯，1980-1991），实验编号31，6页，波尔多一大学，塔伦斯，1981年。数学。版本83e:10075。
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Jean-Marc Fédou和Gabriele Fici，关于可微序列和递归性的几点注记《整数序列杂志》，第13卷（2010年），第10.3.2条。
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Rufus Oldenburger，符号动力学中的指数轨迹，事务处理。阿默尔。数学。Soc.，第46卷（1939年），第453-466页。
乔尔赫·佩恩和阿尔托·萨洛马，自读序列阿默尔。数学。《月刊》，第103卷，第2期（1996年），第166-168页。
N.J.A.Sloane，《协调序列、规划数和其他近期序列（II）》，罗格斯大学实验数学研讨会，2019年1月31日，第一部分,第2部分,幻灯片（提到这个序列）
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配方奶粉
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这两个公式完全定义了序列：a（1）=1，a（2）=2，aa（k）=（3+（-1）^k）/2和a（a（1）+a（2）+…+a（k）+1）=（3-（-1）^k）/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月6日
a（n+1）=3-a（n）+（a（n）-a（n-1））*（a（b（n））-1），其中b（n是序列A156253号.-Jean-Marc Fedou和加布里埃尔·菲奇2010年3月18日
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例子
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从a（1）=1开始。根据序列的定义，这表示第一次运行的长度为1，因此它必须是单个1，并且a（2）=2。因此，第二次运行（从这个2开始）的长度必须是2，所以第三个项也必须是a（3）=2，而第四个项不能是2，因此必须是b（4）=1。由于a（3）=2，第三次运行的长度必须为2，因此我们推导出a（5）=1，a（6）=2等等-拉博斯·埃利默，由更正格雷姆·麦克雷
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MAPLE公司
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M:=100；s：=[1,2,2]；对于n从3到M，do对于i从1到s[n]dos：=[op（s），1+（（n-1）mod 2）]；od:od:s；A000002号：=n->s[n]；
#基于Cloitre公式的替代实施方案：
当地ksu，k；
选项记忆；
如果n=1，则
1;
elif n≤3，则
2;
其他的
从1到k
ksu:=添加（进程名称（i），i=1..k）；
如果n=ksu，则
返回（3+（-1）^k）/2；
elif n=ksu+1，则
返回（3-（-1）^k）/2；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
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数学
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a[steps_]：=模块[{a={1，2，2}}，Do[a=Append[a，1+Mod[（n-1），2]]，{n，3，步骤}，{i，a[[n]]}]；【a】
a[n_]：=如果[n<3，Max[0，n]，模[{an={1，2，2}，m=3}，而[Length[an]<n，an=Join[an，表[Mod[m，2，1]，{an[m]]}]]；m++]；一个[[n]]](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
n=8；前缀[Nest[Flatten[Partition[#，2]/。{{2，2}->{2，2，1，1}，{2，1}->}2，2(*Birkas Gyorgy公司2012年7月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（a=[1,2,2]）；对于（n=3,80，对于（i=1，a[n]，a=concat（a，2-n%2））；一
（PARI）{a（n）=局部（an=[1,2,2]，m=3）；如果（n<1，0，while（#an<n，an=concat（an，向量（an[m]，i，2-m%2））；m++）；an[n]）}；
（Haskell）a=1:2:drop 2（concat.zip使用replicat.cycle$[1，2]）--约翰·特隆普2011年4月9日
（Python）
#有关说明，请参阅链接。
def Kolakoski（）：
x=y=-1
为True时：
产量[2,1][x&1]
f=y&~（y+1）
x ^=f
y=（y+1）|（f&（x>>1））
K=科拉科斯基（）
打印（[范围（100）中_的下一个（K）]）#大卫·艾普斯坦2016年10月15日
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交叉参考
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使用（1,2）以外的其他种子的Kolakoski型序列：
A078880型(2,1),A064353号(1,3),A071820美元(2,3),A074804号(3,2),A071907号(1,4),A071928号(2,4),A071942号(3,4),A074803号(4,2),A079729号(1,2,3),A079730型(1,2,3,4).
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A181391号
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| Van Eck序列：对于n>=1，如果存在一个m<n使得a（m）=a（n），则取最大的m并设置a（n+1）=n-m；否则a（n+1）=0。从a（1）=0开始。 |
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+10
119
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0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 6, 0, 5, 0, 2, 6, 5, 4, 0, 5, 3, 0, 3, 2, 9, 0, 4, 9, 3, 6, 14, 0, 6, 3, 5, 15, 0, 5, 3, 5, 2, 17, 0, 6, 11, 0, 3, 8, 0, 3, 3, 1, 42, 0, 5, 15, 20, 0, 4, 32, 0, 3, 11, 18, 0, 4, 7, 0, 3, 7, 3, 2, 31, 0, 6, 31, 3, 6, 3, 2, 8, 33, 0, 9, 56, 0, 3, 8, 7, 19, 0, 5, 37, 0, 3, 8, 8, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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定理：有无穷多个零。
证据：假设不是。然后从某一点开始，没有新的项出现，所以序列是有界的且非零的。设M是最大项。长度为M的任何块决定序列的其余部分。
但只有M^M不同长度的块M包含数字1到M。
因此，一个块必须重复，因此序列最终成为周期性的。周期部分不包含任何零。
假设周期长度为p，从r开始，a（r）=x。。。，a（r+p-1）=z，a（r+p）=x。。。q<=p步后还有一个z，紧接着是q。
但这个q意味着a（r-1）=z。因此周期部分实际上是从步骤r-1开始的。
重复此操作表明周期部分从a（1）开始。但是a（1）=0，周期部分不能包含0。矛盾。（结束）
定义的另一种说法是：对于n>=1，如果存在一个m<n使得a（m）=a（n），则取最大的m，否则取m=n；设置a（n+1）=n-m。从a（1）=0开始-阿里·博斯2010年12月10日
猜想：（i）lim-supa（n）/n=1；（ii）0之间的间隙约为log_10n；（iii）每个数字最终出现-N.J.A.斯隆，在2014年10月10日罗格斯大学OEIS成立50周年大会“OEIS：主要问题”讲座中。（2019年6月16日增补）
推测：除（1,1）和（x，x+1）之外，x>0的每对非负整数（x，y）都显示为连续条目（即，a（i）=x，a（i+1）=y，对于某些i）-拉兹洛·科兹马2016年8月9日。修正自托马斯·罗基基2019年6月19日：这对（x，x+1）只出现在（0,1）处，因为这意味着之前的x位置值不同。
约2019年6月16日，乔丹·莱纳斯（Jordan Linus）在哈兰·斯隆（Haran-Sloane）视频中添加的在线评论中发表评论：（开始）
定理：limsupa（n）/sqrt（n）>=1。
证明：每当a（n）=0时，序列中要么有sqrt（n）个零，要么有sq（n）新的不同数字（并且至少有一个大于sqrt。所以不管怎样，都有一个术语>=sqrt（n）。（结束）
序列E（k）的长期行为似乎对所有k都是相同的，尽管各个数字不同。对于0到9之间的k，经验建模为E（k）的2^25项-Po-chia Chen先生，2019年6月18日
搜索前3180亿条条目后，未出现的最小数字是645315850；未出现（1，1），（0，a）或（x，x+1）形式的最小对是（268,5）-托马斯·罗基基2019年6月19日
定理：i-a（i）对所有i都是唯一的，a（i）>0。换一种说法：i-a（i）<>j-a（j）代表所有i，j，a。如果a（i-1）<>a（j-1），则得出a（i-a（i）-1）<>a（j-a（j）-1）。无论哪种方式，i-a（i）<>j-a（j）。这种情况的一个特例是，对于x>0（如上所述），不能出现对（x，x+1）；类似地，三元组（x，y，x+2）不能出现，依此类推。此外，由于a（i-a（i+1））根据定义=a（i），i-a（i+1）-a（i）对于所有i、a（i+1）和a（i）>0都是唯一的。一个简单的例子是，当y>0时，三元组（x，y，x+1）不能出现。可以导出许多其他“不可能的模式”-Jan Ritsema van Eck公司2019年7月22日
10^12项后，未出现的最小数字为1732029957；没有出现形式为（1,1）、（0，a）或（x，x+1）的最小对是（528,5）；有90689534032个零-本杰明·查芬2019年9月11日
与上述E（k）类似，序列E（k，l，…，m）可以定义为以k，l，。。。，m并继续使用Van Eck的规则。例如，E（1,1）是1,1,1，。。。并且具有句点1。大于1的最小可能周期为42，由E（37、42、7、42、2、5、22、42、4、11、42、3、21、42、3,3、1、25、38、42、6、25、4、14、42、5、20、42、三、十三、42、三三一七、三十六、四十二、六、十七、十七、二）得出。更多信息：https://redd.it/dbdhpj -米歇尔·德·穆因克2019年9月30日
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链接
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例子
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我们从a（1）=0开始。0以前没有出现过，所以规则说a（2）=0。现在0以前发生在a（1），它是1项之前，所以a（3）=1。以前没有发生过1，因此a（4）=0。0最近出现在a（2）项上，这比a（5）2项更早，因此a（5”）=2。2以前没有出现过，所以a（6）=0。等等。
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MAPLE公司
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M： =10000；
a： =阵列（1..M）；
last:=数组（0..M，-1）；
a[1]：=0；
a[2]：=0；
最后[0]：=2；
nxt：=1；
对于从3到M的n do
历史记录：=最后一个[nxt]；
a[n]：=nxt；
最后[nxt]：=n；
nxt：=0；
如果hist>0，则nxt：=n-hist；fi；
日期：
[序列（a[n]，n=1..M）]；
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数学
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m=100；全部清除[a，last]；a[_]=0；最后[_]=-1；最后[0]=2；nxt=1；Do[hist=last[nxt]；a[n]=nxt；last[nxt]=n；nxt=0；如果[hist>0，nxt=n-hist]，{n，3，m}]；表[a[n]，{n，1，m}](*Jean-François Alcover公司2011年12月1日，在Maple计划之后N.J.A.斯隆*)
A181391L=嵌套[#/.{{最长[p__]，a_，q___，a_}：>{p，a，q，a，长度[{a，q}]}，{a___}：>{a，0}}&，{}，#]&；A181391L[97](*郑焕敏2017年1月14日*）
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黄体脂酮素
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（J） 注意：。参见www.Jsoftware.com
（，#<：@-}:i:{：）^：（{.`}.）100 0 NB。阿里·博斯2010年12月10日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（findIndex，展开器）
导入数据。也许（来自也许）
a181391 n=a181391_list！！（n-1）
a181391_list=0：（展开器g[0]），其中
g xs=仅（m，m:xs），其中
m=1+来自Maybe（-1）（findIndex（==头部xs）$tail xs）
（Python）
对于范围（1，10**4）中的n：
对于范围（n-1，-1，-1）中的m：
打破
其他：
（Python）
last_pos={}
对于范围（10**4）内的i：
（朱莉娅）
L=[0，0]
对于2:len中的n
k=最终（m->L[n]==L[m]，1:n-1）
推！（L，k==无？0:n-k）
结束
L端
（PARI）A181391号_vec（N，a=0，i=Map（））={向量（N，N，a=if（N>1，ifer（N-mapget（i，a），E，0）+映射（i，a，N））}\\M.F.哈斯勒2019年6月11日
（右）
vaneckw<-函数（多少=100）{
howmany=轮（howmany[1]）
ve=c（0，0）
for（jj in 2:（多少））{
查找<-其中（ve[1:（jj-1）]==ve[jj]）
if（长度（末端））{
ve<-c（ve，jj-查找[长度（查找）]）
}否则ve<-c（ve，0）
}
返回（不可见（ve））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A171862号,A171863号,A171864号,A171865号,A171866号,A171867号,A171887号,A171888号,A171889号,A171896号,A171897号（按外观顺序编号），A171898号,A171899号.
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 6, 2, 2, 5, 1, 6, 42, 5, 2, 4, 5, 9, 14, 3, 9, 3, 15, 2, 4, 6, 17, 3, 6, 32, 56, 5, 3, 131, 5, 11, 5, 3, 20, 6, 2, 8, 15, 31, 170, 3, 31, 18, 3, 3, 33, 5, 1, 11, 46, 56, 4, 37, 152, 307, 3, 7, 92, 4, 7, 62, 52, 3, 42, 3, 6, 2, 19, 6, 8, 3, 9, 3, 650, 2, 23, 8, 223, 7, 206, 3, 21, 25, 5, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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给定一个序列a，正向van Eck变换b的定义如下：如果a（n）也在后面的位置再次出现，则设a（m）为下一次出现，并设b（n）=m-n；否则b（n）=0。
反向van Eck变换向后搜索重复值：如果a（n）也出现在较早的位置，a（m）=a（n-R.J.马塔尔2021年6月24日
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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ECKf:=程序（a）局部b，i，m，n；
如果是whattype（a）<>列表，则返回（[]）；图1：
b： =[]；
n从1到nops（a）-1 do
#a（n）会再次出现吗？
m： =0；
对于i从n+1到nops（a）do
如果（a[i]=a[n]），则m:=i-n；断裂；fi（菲涅耳）
日期：
b： =[op（b），m]；
日期：
b： =[操作（b），0]；
返回（b）；
结束时间：
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数学
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术语=100；
m=14项；（*增加m，直到输出中没有出现零*）
ClearAll[b，last]；b[_]=0；最后[_]=-1；最后[0]=2；nxt=1；
Do[hist=last[nxt]；b[n]=nxt；last[nxt]=n；nxt=0；如果[hist>0，nxt=n-hist]，{n，3，m}]；
ECKf[a_List]：=模块[{b={}，i，m，n}，对于[n=1，n<=长度[a]-1，n++，m=0；对于[i=n+1，i<=长度[a]，i++，如果[a[i]==a[[n]]，m=i-n；中断[]]]；b=附加[b，m]]；b=附加[b，0]；返回[b]]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 2, 2, 0, 2, 0, 5, 0, 1, 0, 4, 0, 4, 8, 11, 0, 4, 0, 5, 8, 2, 0, 6, 0, 15, 8, 2, 0, 8, 0, 11, 4, 6, 0, 6, 0, 11, 6, 23, 0, 8, 6, 6, 0, 7, 0, 16, 14, 4, 20, 29, 0, 12, 0, 31, 6, 13, 0, 16, 0, 4, 0, 14, 0, 2, 0, 11, 20, 2, 16, 6, 0, 12, 0, 7, 0, 6, 0, 37, 0, 6, 0, 6, 18, 23, 16, 47
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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给定序列a，后向van Eck变换b定义如下：如果a（n）已经出现在a中，则a（m）是最近出现的，集b（n）=n-m；否则b（n）=0。（评论来自A171899号).
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链接
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数学
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块[{a=Array[EulerPhi，94]，b={}，m}，Do[If[！IntegerQ[m[#]]，集[m[#]，i]；附加到[b，0]，附加到[b，i-m[#]]；集合[m[#]，i]]&@a[[i]]，{i，长度[a]}]；【b】(*迈克尔·德弗利格2021年4月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
up_to=105；
backVanEck_transform（invec）={my（om=Map（），outvec=向量（长度（invec）），u=1）；对于（i=1，长度（invesc），如果（mapisdefined（om，invec[i]），my（pp=mapget（om，invec[i]；
v171934=backVanEck_transform（向量（up_to，n，eulerphi（n）））；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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