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搜索 A1639 31-ID:A16331
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A000 0142 阶乘数:n!=1×2×3×4**n(对称群Syn阶,n个字母排列数)。
(前M1675 N065)
+ 10
二千一百零六
1, 1, 2、6, 24, 120、720, 5040, 40320、362880, 3628800, 39916800、479001600, 6227020800, 87178291200、1307674368000, 20922789888000, 355687428096000、6402373705728000, 121645100408832000, 243290200817664000、5109094217170944万、112400、0727、777、60768 68万 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、3

评论

讨论这个序列的最早的出版物似乎是Seffer-YyZura[创造之书],大约公元300年。(见Knuth,也是ZeelBurger-Link)斯隆,APR 07 2014

对于n>=1,A(n)是n×n(0,1)矩阵的数目,每个行和列正好包含一个等于1的条目。

这个序列是二值平均变换。A000 0354. (见A075为定义。约翰·W·莱曼,9月12日2002 [这很容易从Paul Barry公式中得到验证。A000 0354通过交换求和和使用公式:SuMuxk(- 1)^ k C(n- i,k)=KrnECKeldeli(i,n)。-戴维卡兰8月31日2003

具有1个元素A、2个元素B、…、n个1个元素x的T(n-1)元素的不同子集的数目(例如,n=5),我们考虑ABBCCDCDD的不同子集,并且有5个!=120)。-乔恩佩里6月12日2003

n!是最小签名的最小数目。例如,720=2 ^ 4×3 ^ 2×5。-阿马纳思穆西,朱尔01 2003

A(n)是n×n矩阵M的常态,m(i,j)=1。-菲利普德勒姆12月15日2003

给定n个不同大小的对象(例如,区域、卷),使得每个对象足够大,同时包含所有先前的对象,那么n!是使用所有n个对象的本质上不同的安排的总数。在安排内允许任意级别的对象嵌套。(这个序列的应用是通过考虑剩余的移动盒子来启发的)如果限制存在,每个对象能够或允许每次最多包含一个较小的(但可能是嵌套的)对象,那么产生的序列开始1,2,5,15,52(贝尔数?)这里有套嵌套的木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃。-里克·谢泼德1月14日2004

米迦勒索摩斯,MAR 04 2004;哈斯勒,02月2015日:(开始)

斯特灵变换〔2, 2, 6,24, 120,…〕A05856= [ 2, 2, 4,14, 76,…]。

斯特灵变换〔1, 2, 6,24, 120,…〕A000 0670= [ 1, 3, 13,75,…]。

斯特灵变换〔0, 2, 6,24, 120,…〕A05875= [ 0, 2, 12,74,…]。

斯特灵变换〔1, 1, 2,6, 24, 120,…〕A000 0629= [ 1, 2, 6,26,…]。

斯特灵变换〔0, 1, 2,6, 24, 120,…〕A000 2050= [ 0, 1, 5,25, 140,…]。

斯特灵变换A165326*A089064(1…)= [ 1, 0, 1,-1, 8,-26, 194,…]是[ 1, 1, 2,6, 24, 120,…](这个序列)。(结束)

第一欧拉变换为1, 1, 1,1, 1, 1…第一欧拉变换通过公式t(n)=SUMY{{K=0…n} E(n,k)s(k),将序列S转换为序列t,其中E(n,k)是一阶欧拉数。A000 829]-罗斯拉哈伊2月13日2005

猜想中,1, 6和120是唯一的三角形和阶乘数。- Christopher M. Tomaszewski(CMT1288(AT)康卡斯特网),3月30日2005

n!是连续n次幂的n次有限差分。例如,对于n=3,〔0, 1, 8,27, 64,…〕>[ 1, 7, 19,37,…]>[ 6, 12, 18,…]>[6, 6,…]。- Bryan Jacobs(BRYJJJ(AT)Gmail),3月31日2005

A(n+1)=(n+1)!= 1, 2, 6,…具有E.F. 1 /(1-x)^ 2。-保罗·巴里4月22日2005

在圆上写数字1到n。然后n(2)相邻数乘积的一个(n)=和。例如,A(5)=1×2×3 + 2×3×4 + 3×4 * 5 + 4*5 * 5 + * * * * *=*。-阿马纳思穆西7月10日2005

由子集关系排序的{1, 2,…,n}幂集中的最大长度链数。-里克·谢泼德,05月2日2006

n>0的n个字母的循环排列数为1, 1, 1、2, 6, 24、120, 720, 5040、40320、…- Xavier Noria(FXN(AT)HASHEFF.com),Jun 04 2006

A(n)是高度n(n>=1)的DECO多个数;参见BARCUCI等的定义。参考文献)。-埃米里埃德奇,八月07日2006

A(n)是大小为n的分区表的数目。参见Stin Grimsss/威廉姆斯链接的定义。-戴维卡兰,10月06日2006

考虑一下N!整数序列[n]=1, 2,…,n。第i个置换由n圈(i)置换循环组成。然后,如果SUMI{{i=1…n!} 2 ^ nCy圈(i)从1到n运行!我们有SUM{{=1…n!} 2 ^ nCy圈(i)=(n+1)!例如,对于n=3,我们有n圈(1)=3,n圈(2)=2,n圈(3)=1,n圈(4)=2,nCyv(5)=1,nCyv(6)=6,和^ + + ^ ^ + + ^ ^ + + ^ ^ + ^ ^ + +,+ +,+ +,+ +,+==(n+-)!-托马斯维德10月11日2006

A(n)是{ 1, 2,…,2n- 1,2n}的集合分区的数目为大小2(完美匹配)的块,其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如,A(3)=6计数1234-56、1233-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34。-戴维卡兰3月30日2007

考虑多集M=〔1, 2, 2,3, 3, 3,4, 4, 4,4,…〕= [ 1, 2, 2,…,n x′n′],并形成M的所有子集n(其中n可能是多集)的集合u(其中u是严格意义上的集合),然后U的u元素的数目等于(n+1)!例如,对于m=〔1, 2, 2〕,我们得到u=[],〔2〕,〔2, 2〕,〔1〕,〔1, 2〕,〔1, 2, 2〕〕和U=3〕。= 6。这个观察是一个更正式的评论版本。里克·谢泼德,1月14日2004。-托马斯维德11月27日2007

对于n>=1,A(n)=1, 2, 6,24,…在Liouville常数的小数展开中对应于1的位置吗?A012245-保罗穆贾迪4月15日2008

三角形A144107有N!对于行和(给定n=0),右边界n!左边界A3000,(1, 2, 6,24,…)的逆变换。-加里·W·亚当森9月11日2008

等于逆变换A052186(1, 0, 1,3, 14, 77,…)和三角形的行和A144108. -加里·W·亚当森9月11日2008

阿卜杜拉希奥马尔,10月12日2008:(开始)

A(n)也是n链的阶递减全变换数。

A(n-1)也是幂零阶递减全变换(n链)的数目。(结束)

n!也是完全图K{{N}中的最佳广播方案的数目,相当于嵌入在K{{N}中的二叉树的数量(参见Calin D. Mulanga,信息处理字母,100(2006),188—193)。- Calin D. Morosan(CD-摩洛斯(AT)校友,康科迪亚,CA),11月28日2008

SUMU{{N>=0 } 1/A(n)=E.奥利弗·拉芬特03三月2009

设S{{n}表示n-星图。S{{N}结构由n个S{{N-1}结构组成。该序列给出了S{{n+1}(n>=1)中任何两个指定的S{{n+1 }结构的顶点之间的边数。-K.V.IYER3月18日2009

太阳图S{{N-2}的色不变量。

a(n+1)是逆二项变换。A000 0255. - Timothy Hopper(TimoTythPopter(AT)Hotmail,C.U.C.),8月20日2009

A(n)也是正方形矩阵的行列式,其系数是β函数的倒数:{i,j}=1 /β(i,j),DET(an)=n!-恩里克·P·雷兹·埃雷罗9月21日2009

指数积分E(x,m=1,n=1)~EXP(-x)/x*(1—1/x+2/x^ 2 - 6/x^ 3+24/x^ 4+…)和E(x,m=1,n=2)~EXP(-x)/x*(1 -y/x+y/x^α/ x^…+)……的阶乘数。A16331A130534欲了解更多信息。-约翰内斯·梅杰10月20日2009

满足a(x)/a(x^ 2),a(x)=A1732 80. -加里·W·亚当森2月14日2010

A(n)=A1733(n,1)。-莱因哈德祖姆勒2月19日2010

A(n)=g^ n,其中G是第一n个正整数的几何平均值。-雅罗斯拉夫克利泽克5月28日2010

增加颜色1-2的树木,选择两种颜色的最右边的枝叶。-文锦坞5月23日2011

项链的数量与N标记珠1色。-Robert G. Wilson五世9月22日2011

序列1!,(2!)!((3)!)!!!,((4)!)!!)!,(……(n)!)!)(n次)生长得太快,没有自己的入口。见霍夫施塔特。

E.F.为1 /A(n)=1/N!是BesselI(0, 2×SqRT(x))。参见Abramowitz Stegun,第375页,第9章第10节。-狼人郎,09月1日2012

A(n)是第n行的长度,这是三角形中第n行的和。A170942. -莱因哈德祖姆勒3月29日2012

元素1, 2、…、N+ 1的排列数与属于长度R的周期的固定元素不依赖于R且等于A(n)。-弗拉迪米尔谢维列夫5月12日2012

A(n)是所有置换中1、…、n所有n中的不动点的数目。排列,1是第一个精确的(N-1)!时间,2是第二完全(N-1)!时间等,给予(N-1)!*n=n!-乔恩佩里12月20日2012

对于n>=1,A(n-1)是二项式变换。A000 075. 见Moreno Rivera。-路易斯曼努埃尔,十二月09日2013

每个术语都可以被其数字根整除。A01088-伊凡·尼亚基耶夫4月14日2014

对于m>=3,A(m-2)是具有m个顶点的简单图中非循环哈密顿路径的数Hp(m),它除了一个缺边外是完全的。对于M<3,HP(m)=0。-斯坦尼斯拉夫西科拉6月17日2014

A(n)=A245334(n,n)。-莱因哈德祖姆勒8月31日2014

a(n)是具有N个节点的增加森林的数量。-布拉德·R·琼斯,十二月01日2014

SUMU{{N>=0 } A(n)/(a(n+1)*a(n+1))=SuMu{{N>=0 } 1 /((n+2)*(n+1)^ 2*a(n))=2 -EXP(1)-Gamma+EI(1)=0.5996203229953…,其中Gamma=2A000 1620,Ei(1)=A091725. -伊利亚古图科夫基01月11日2016

阶乘数可以通过递归n来计算!=(楼层(N/2)!)^ 2*sf(n),其中sf(n)是摆动阶乘A056040. 这将导致一个有效的算法,如果SF(n)通过素数分解计算。为了说明这个算法,请参阅下面的链接。-彼得卢斯尼05月11日2016

TeeSelves是有序(平面)二进制(0-1)增加树,其中节点度1的节点有2种颜色。有N!大小n的树,以及经典的弗兰-盎氏双映射映射到排列。-谢尔盖·吉尔吉佐夫12月26日2016

满足本福德定律〔狄康尼斯,1977;Berger Hill,2017〕斯隆,07月2日2017

A(n)=和((dYp)^ 2),其中dYp是整数分区p的费雷尔板中的标准表的数目,求和超过n的所有整数分区P:例如:A(3)=6。实际上,3的分区是[3 ]、[2,1]和[1,1,1],分别具有1, 2和1标准表;我们有1 ^ 2 +2 ^ 2 +1 ^ 2=6。-埃米里埃德奇,八月07日2017

A(n)是X^ n的n阶导数。伊恩福克斯11月19日2017

A(n)是n维布尔立方体{0,1}^ n中关于“先行”关系的最大链数。它定义如下:对于{0,1}^ n的任意向量u,v,使得u=(u1,ua2,…,uyn)和v=(v1,vy2,…,vyn),“u超前V”,如果ui i=vi i,i=1, 2,…,n-瓦伦丁巴科夫11月20日2017

A(n)是图HHN中对应于n维布尔立方体{0,1}^ n的节点(0,0,…,0)(即,全零向量)和(1,1,…,1)(即,所有的向量)的所有最短路径的数目。该图被定义为Hyn=(Vyn,Eyn),其中Vyn是{0,1}^ n的所有向量的集合,并且Eyn包含由每对相邻向量形成的边。-瓦伦丁巴科夫11月20日2017

A(n)也是m(i,j)=sigma(gCD(i,j)”定义的对称nxn矩阵m的行列式,用于1 <i,j <n.-伯纳德肖特,十二月05日2018

A(n)也是长度n的倒数序列的数目。长度n反转序列Ey1,Ey2,…,Eyn是n个整数序列,使得0 <=Ei i<I.-胡安·S·奥利10月14日2019

推荐信

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维基百科阶乘

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Doron Zeilberger,Noam Zeilberger,关于分式分数计数的两个问题,阿西夫:1810.12701(数学,Co),2018。

“核心”序列的索引条目

可分性序列索引

与阶乘数相关的序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

EXP(x)=SUMY{{M>=0 } X^ m/m!-穆罕默德·K·阿扎里安12月28日2010

SuMi{{i=0…n}(-1)^ i*i^ n*二项式(n,i)=(-1)^ n*n!-雍孔(YKN(AT)CuraGe.com),12月26日2000

SuMi{{i=0…n}(-1)^ i *(n- i)^ n*二项式(n,i)=n!- Peter C. Heinig(算法(AT)GMX.de),4月10日2007

该序列平凡地满足递归A(n+1)=SUMY{{K=0…n}二项式(n,k)*a(k)*a(n- k)。-罗伯特铁,十二月05日2009

a(n)=n*a(n-1),n>=1。n!~SqRT(2×PI)*n^(n+1)/e^ n(斯特灵近似)。

A(0)=1,A(n)=SUs(x=1,(d^ n/dx^ n)(1/(2-x))),n=1, 2,…-卡罗尔·彭森11月12日2001

E.g.f.:1/(1-x)。-米迦勒索摩斯04三月2004

A(n)=SuMu{{K=0…n}(- 1)^(N-K)*A000 0522(k)*二项式(n,k)=SuMu{{K=0…n}(-1)^(n- k)*(x+k)^ n*二项式(n,k)。-菲利普德勒姆,朱尔08 2004

二项式变换A000 0166. -罗斯拉哈伊9月21日2004

A(n)=SuMu{{i=1…n}((-1)^(i-1)*和,1…n每次取N-I)-例如,4!=(1×2×3 + 1×2×4 + 1×3×4+2×3 * 4)-(4*+ * + * + * + * + * + * + + * *)+ +(α+ + +α+)-α=(α+α+α+)-(α+ + + + + + + +)+α-α=α-α+α=α。-乔恩佩里11月14日2005

a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2)),n>=2。- Matthew J. White,2月21日2006

1(a,n)=矩阵的行列式,它的(i,j)项是(i+j)!(我)(J+ 1)!n>0。这是一个矩阵上的加泰罗尼亚数字对角线。-亚力山大亚当丘克,朱尔04 2006

汉克尔变换A07664. -菲利普德勒姆6月21日2007

对于n>=2,a(n-2)=(- 1)^ n*SuMu{{j=0…n-1 }(j+1)*斯特林1(n,j+1)。-米兰扬吉克12月14日2008

保罗·巴里,1月15日2009:(开始)

G.f.:1/(1-X-X^ 2/(1-3X-4X^ 2//(1-5X-9X^ 2)/(1-7X-16X^ 2)/(1-9X-25x^ 2……(连分数)),因此Hankel变换是A055 209.

G.f.(n + 1)!为1/(1-2X-2X^ 2/(1-4X-6X^ 2//(1-6X-12X^ 2//(1-8X-20X^ 2)…(连续分数),因此Hankel变换是A059332. (结束)

A(n)=Pord{{Prime } p^ {SuMu{{k> 0 }[n/p^ k] },由勒让德公式得到素数n的最高幂!-乔纳森·索道7月24日2009

A(n)=A053657(n)/A163176(n)n>0。-乔纳森·索道7月26日2009

看来A(n)=(1/0!)+(1/1!)*N+(3/2!)*N*(n-1)+(11/3!)*N*(N-1)*(N-2)+…+(b(n)/n!)*n*(n-1)* ** 2 * 1,其中a(n)=(n+1)!和B(n)=A000 0255. -提摩太漏斗8月12日2009

a(n)=a(n-1)^ 2/a(n-2)+a(n-1),n>=2。-奥利弗·拉芬特9月21日2009

A(n)=γ(n+1)。-恩里克·P·雷兹·埃雷罗9月21日2009

A(n)=A{{N}(1),其中A{{N}(X)是欧拉多项式。-彼得卢斯尼,八月03日2010

a(n)=n*(2×a(n-1)-(n-1)*a(n-2)),n>1。-加里德莱夫斯9月16日2010

1 / a(n)=SuMu{{K=1…n+1 }(-2)^ k*(n+k+2)*a(k)/(a(2*k+1)*a(n+1-k))。-罗兰集团,十二月08日2010

弗拉迪米尔谢维列夫,2月21日2011:(开始)

A(n)=乘积{p素数,p<n} p^(SuMu{{I>=1 }楼层(n/p^ i);

这个公式的无穷维模拟是:A(n)=PRD{{qA050366<(n)q ^((n)q q),其中(n)q表示那些数字<=n,其中q是一个无限因子(定义)参见A03745(结束)

术语是正弦(x)+COSH(x)展开的分母。-阿卡迪乌斯韦斯洛夫斯基,03月2日2012

G.f.:(1)/(1 - x/(1 - x/)(1 - 2×x/(1 - 2×x/)(1 - 3×x/(1 - 3×x/…-米迦勒索摩斯5月12日2012

G.F 1 +x/(g(0)-x),其中G(k)=1(k+1)*x/(1 -x*(k+2)/g(k+1));(连续分数,2步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月14日2012

G.f.:W(1,1,-x)/(W(1,1,-x)-x*w(1,2,-x)),其中w(a,b,x)=1 -a*b*x/1!+a*(a+1)*b*(b+1)*x^ 2/2!-…+a*(a+1)**(a+n-1)*b*(b+1)**(b+n-1)*x^ n/n!参见…[ A. N. Khovanskii,第141页(10.19)]。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月15日2012

谢尔盖·格拉德科夫斯克,12月26日2012。(开始)

G.f.:a(x)=1+x/(g(0)-x),其中G(k)=1+(k+1)*x-x*(k+2)/g(k+1);(连分数)。

设B(x)为G.F.A051296,然后a(x)=2—1/b(x)。

G.f.:1 +x*(g(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1(2×k+1)/(1-x/(x- 1 / /(1)(2×k+2)/ /(1-x/(x -1/g(k+1))),(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克1月15日2013

G.f.:1 +x*(1 - G(0))/(SqRT(x)-x),其中G(k)=1(k+1)*SqRT(x)/(1-SqRT(x)/(SqRT(x)-1/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克1月25日2013

G.f.:1±x/g(0),其中G(k)=1×x(k+2)/(1 -x*(k+1)/g(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克3月23日2013

A(n)=DET(S(i+1,j),1 <=i,j <=n),其中S(n,k)是第二类的斯特灵数。-米尔卡梅尔卡,APR 04 2013

G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1 /(1××(k+1)/(x*(k+1)+1/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月24日2013

G.f.:2/g(0),其中G(k)=1+1/(1-1/(1-1/(2×x*(k+1))+1/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月29日2013

G.f.:G(0),其中G(k)=1 +x*(2×k+1)/(1×x(2×k+2)/(x*(2×k+2)+1 /g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,军07 2013

A(n)=P(N-1,楼层(N/2))*楼层(N/2)!*(n-(n-2)*((n+2)mod 2)),其中p(n,k)是n个对象的k置换,n>0。-卫斯理伊凡受伤,军07 2013

a(n)=a(n-2)*(n-1)^ 2+a(n-1),n>1。-伊凡·尼亚基耶夫6月18日2013

a(n)=a(n-2)*(n^ 2-1)-a(n-1),n>1。-伊凡·尼亚基耶夫6月30日2013

G.f.:1 +x/q(0),m=2,其中q(k)=1~2 *x*(2*k+1)-m*x ^ 2 *(k+1)*(2*k+1)/(1 -Ox*x*(ωk+a)-m*x ^ * *(k+y)*(α*k+a)/q(k+y));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克9月24日2013

A(n)=乘积{{i=1…n}A014963^ [n/i]=乘积{{i=1…n}A000 318([n/i]),其中[n]表示楼层函数。-马修范德马斯特12月22日2014

A(n)=圆(Suth{{K>=1 } log(k)^ n/k^ 2),对于n>=1,这与x=2的黎曼ζ函数的n阶导数有关:圆((-1)^ n*zeta ^(n)(2))。也看到A07300. -李察·R·福尔伯格12月30日2014

A(n)~ SuMu{{j>=0 } j^ n/e^ j,其中e=A111113. 当把一个通用变量代入“e”时,这个无穷和与欧拉多项式有关。A000 829. n的近似值!在n=2之内小于0.4%。A255169. 准确度,作为百分比,对于较大的N.李察·R·福尔伯格07三月2015

A(n)=乘积{{K=1…n}(C(n+1)-c(k,2))/(2×k-1);参见Masanori Ando链接。-米歇尔马库斯4月17日2015

A(2 ^ n)=2 ^(2 ^ n - 1)* 1!!* 3!!* 7!*(2 ^ n - 1)!例如,16!= 2 ^ 15*(1×3)*(1×3×5×7)*(1×3*5** * * * * * * * * * * *)=γ。-彼得巴拉01月11日2016

A(n)=和(PRD(b)),其中总和是{{1,2,…,n-1 }的所有子集B,其中PROD(b)表示集合B. If B的所有元素的乘积是元素B的单集,然后我们定义PROD(B)=B,并且,如果B是空集,则将PRD(B)定义为1。例如,A(4)=(1×2×3)+(1×2)+(1×3)+(2×3)+(1)+(2)+(2)+α=α。-丹尼斯·P·沃尔什10月23日2017

例子

有3个!=1×2×3=6种方式排列3个字母{A、B、C},即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

设n=2。考虑{ 1, 2, 3 }的置换。固定元素3。在以下情况中,每个(2)=2排列:(a)3属于长度为1的循环(排列(1, 2, 3)和(2, 1, 3));(b)3属于长度2(排列(3, 2, 1)和(1, 3, 2))的循环;(c)3属于长度3的周期(排列(2, 3, 1)和(ii))。-弗拉迪米尔谢维列夫5月13日2012

G.F.=1+x+2×x ^ 2+6×x ^ 3+24×x ^ 4+120×x ^ 5+720×x ^ 6+5040×x ^+++…

枫树

A000 0142= N-> n![SEQ(n)!n=0…20);

规格:=[s,{s=序列(z)},标记];[SEQ(COMPREST [计数](规格,大小=n),n=0…20)];

计算对称群周期指数的Maple程序

M:=40:F:=数组(0…m):F=(0):LP印(“n=”,0);LPr[(1)]:=x[1 ]:LP印(“n=”,1);LP印(f[1));对于n从2到m dof[n]:=展开((1 /n)*加法(x[L] *f[nL],L=1…n);LP印(n=,n);LP印(F[n]);OD:

用(CopbStutt):ZL0:=[s,{s=SET(循环(z,卡>0))},标记:SEQ(计数(ZL0,大小=n),n=0…20);零度拉霍斯9月26日2007

Mathematica

表[阶乘[n],{n,0, 20 }](*)斯特凡·斯坦纳伯格3月30日2006*)

折叠列表〔1×2,1,范围@ 20〕(*)Robert G. Wilson五世,五月07日2011 *)

范围[ 20 ]!(*)哈维·P·戴尔11月19日2011*)

递归[{a[n]=n*a[n- 1 ],a〔0〕==1 },a,{n,0, 22 }(*)雷钱德勒7月30日2015*)

黄体脂酮素

(公理)[阶乘(n),n在0…10中]

(岩浆)a=:Func<n阶乘(n)>;〔a(n):n〕〔0〕10〕;

(哈斯克尔)

A000 0142:(枚举A,num a,积分t)=t->a

A000 0142 n=乘积〔1〕。冰冻的

A000 0142y列表=1:ZIPOP(*)[1…] A000 0142Y列表

——莱因哈德祖姆勒,4月21日02,2014,02,2011,2011

(蟒蛇)

我在范围(1, 1000):

…y=我

对于j的范围(1,i):

…y= y*(i-J)

…打印(Y,\n)

(蟒蛇)

导入数学

我在范围(1, 1000):

数学…阶乘(I)

…打印(“”)

γ罗斯金哈丁2月22日2013

(PARI)A(n)=PRD(i=1,n,i)费利克斯弗罗伊希8月17日2014

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n!)};米迦勒索摩斯,04年3月2004日

(SAGE)[ n(1…22)]的阶乘(n)朱塞佩科波莱塔,十二月05日2014

(GAP)列表(0…22),阶乘);阿尼鲁,十二月05日2018

(Scala)(1:BigIt).to(24:BigIt).SCAN左(1:BigIt)阿隆索-德尔阿尔特02三月2019

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0165A000 1044A000 1563A000 322A000 9445A010050A012245A033 312A0348A038 507A047 920A08631.

阶乘基本表示:A000 7623.

囊性纤维变性。A3000A052186A144107A144108. -加里·W·亚当森9月11日2008

补足A06399. -莱因哈德祖姆勒10月11日2008

囊性纤维变性。A053657A163176. -乔纳森·索道7月26日2009

囊性纤维变性。A1732 80. -加里·W·亚当森2月14日2010

Botoffeon变换:A230960A230961.

囊性纤维变性。A353589A.

囊性纤维变性。A245334.

数组中的一行A249026.

囊性纤维变性。A000 1013(乘法闭包)。

对于初始数字D(1<D=9)的阶乘A045 509A045 510A045 511A045 516A045 517A045 518A22021A045 519A045 520A045 521A045 522A045 523A045 524A045 525A045 526A045 527A045 528A045 529.

关键词

核心容易诺恩

作者

斯隆

地位

经核准的

A000 0312 a(n)=n^ n;从n点到自身的标记映射的数目(内函数)。
(前M3619 N1459)
+ 10
四百六十
1, 1, 4、27, 256, 3125、46656, 823543, 16777216、387420489, 10000000000, 285311670611、8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016、437893890380859375、1844 67407370955 1616、827 240261886336764 177 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

在N个节点上也有标记的有根的树(或脊椎动物)的数量。

对于n>=1,A(n)也是n×n(0,1)矩阵的数目,其中每行包含恰好等于1的一个条目。- Avi Peretz(NJK(AT)NETVISION .NET.IL),4月21日2001

(N + 1)节点上标记的有根树的数目,使得根低于其子。此外,在(n+1)节点上交替标记的根有序树的数目,使得根低于其子。- Cedric Chauve(CHOVE(AT)Laim.UqAM.ca),3月27日2002

p(n)=n的整数分区数,p(i)=n,d(i)的第i个分区的个数=n,p(j,i)的第i个分区的不同部分的数目=n,m(i,j)的第i个分区的第j个部分=n的第i个分区的第j个部分的多重性,其中一个具有:(n)=SuMu{{i=1…p(n)}(n)!/(乘积{{j=1…p(i)} p(i,j))*((n)!/(N-P(I))!/(乘积{{j=1…d(i)}m(i,j))-托马斯维德5月18日2005

方程x^ y= y^ x,x<y的所有有理解由x=给出A000 0169(n+1)/A000 0312(n),y=A000 0312(n+1)/A000 77 78(n),其中n=1, 2, 3,…- Nick Hobson,11月30日2006

A(n)= {0,1,2,…,n}的所有(n+1)^(n-1)树的叶数占0。例如,当边从根部远离时,{01,1,2}上的树为{0>1,0->2 },{ 0>1>2 },{0>2>1 },并包含总共2个4叶。-戴维卡兰,01月2日2007

Limi{{N->无穷大}A000 0169(n+1)/a(n)=EXP(1)。收敛速度较慢,例如,取一个小数点正确,n>74,得到两个小数点。-阿隆索-德尔阿尔特6月20日2011

(1+1/n)n的分母为n>0。-让弗兰1月14日2013

A(n)=A089072(n,n)为n>0。-莱因哈德祖姆勒3月18日2013

最小k,使得二项式(k,n)可被n^(n-1),n>0整除。-米歇尔拉格瑙7月29日2013

对于n>=2,A(n)在基n中表示为“一个接着n个零”。-卡诺8月22日2014

n字母在字母表上的长度。-乔尔格阿尔恩特5月15日2015

长度为n+1的基本停车功能数。-鲁伊·杜阿尔特7月27日2015

概率密度函数p(x,m=q,n=q,亩=1)=A000 0312(q)*e(x,q,q)和p(x,m=q,n=1,亩=q)=(A000 0312(Q)A000 0142(q-1)**^(q-1)*e(x,q,1),q>=1,导致该序列,参见A16331A74181A000 827. -约翰内斯·梅杰6月17日2016

满足本福德定律〔米勒,2015〕斯隆2月12日2017

除了第一个项(1,- 4,- 27, 256, 3125,- 46656,…)之外,这个序列的符号版本具有以下性质:对于每个素数p== 1(mod 2n),(-1)^(n(n-1)/2)*n^ n==A057077(n)*A(n)总是一个2n次幂剩余模P.宋建宁,SEP 05 2018

胡哈尼,五月07日2019(开始)

n^ n都是Suthi{i=0…n}二项式(n,i)*(n-1)^(n-1)。

SuMi{{i=0…n}二项式(n,i)*(n-1)^(n- i)*i。

前者是N n方骰子投掷的常见二项分布,根据所需边出现的次数,0到n;后者是相同的,但每个项乘以其量。这意味着,如果银行支付每一个骰子的玩家1令牌,所选择的一方,这是一个公平的游戏,如果玩家支付1令牌进入-既没有银行也没有玩家平均获胜。

实例:

双面骰子(2枚硬币):4=1+2+1=1×0+2×1+1×2(从现在起省略);

三面骰子(3个长三角棱镜):27=8+12+6+1=12×1+6*2+1*3;

四边骰子(4个长方形棱镜或4个四面体):256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+* * * * + * * *;

5面骰子(5个长五角棱镜):3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+* * * *+* * * * + * * *;

六面骰子(6立方):46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*+ + * *+* * *+* * * *+* * *。

(结束)

对于每个n>=1,在一个(n)顶点上有一个图,其最大独立集具有大小n且其独立的集合序列是常数(具体地,对于每个k= 1,2,…,n,图具有n ^ n的独立集的大小k)。没有具有这种性质的小阶图(球等)。2019)。-戴维高尔文6月13日2019

A(n-1)=ABS(pnn(2-n)),对于n>2,n次多项式的局部局部极值A055 137用Bagula的符号约定。-汤姆·科普兰11月15日2019

推荐信

F. Bergeron,G. Labelle和P. Leroux,组合物种和树状结构,剑桥,1998,第62, 63, 87页。

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第173页,第39页。

A. P. Prudnikov,于。A. Brychkov和O.I. Marichev,“积分和级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,戈登和破译科学出版社,1986年至1992年,Eq.(4.2.2.37)

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

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Taylor Ball,David Galvin,Katie Hyry,Kyle Weingartner,独立集与匹配置换,阿西夫:1901.06579(数学,Co),2019。

A. T. Benjamin和F. Juhnke计算n ^ n的另一种方法,暹罗J离散数学,5(1992)。37~79。-斯隆,军09 2011

H. Bottomley初始条款说明

C. Chauve,S. Dulucq和O. Guibert,一些标记树的计数,FPSAC/SFCA 2000(莫斯科)的论文,Springer,pp.146—157。

F. Ellermann二项式变换的图解

约瑟夫马阿拉和安东尼奥关于B的最后一个数字和最后一个非零位《韩国数学学会公报》第51卷第5期(2014),1325-1337,ARXIV:一千二百零三点四零六六[数学.NT ],2012。

N. Hobson谜题48的解法:指数方程

英里亚算法项目组合结构百科全书36

S. J. Miller,SJ(E.),“本福德定律的理论与应用”习题,2015。

Mustafa Obaid等人,Dykin代数完全例外序列的个数,ARXIV预告ARXIV:1307.7573 [数学,RT ],2013。

Franck Ramaharo椒盐卷曲结点的生成多项式,阿西夫:1805.10680(数学,Co),2018。

Eric Weisstein的数学世界,Hadamard最大行列式问题

Eric Weisstein的数学世界,汉克尔矩阵

D. Zvonkine幂级数代数…,阿西夫:数学/ 0403092 [数学,AG],2004。

“核心”序列的索引条目

与有根树相关的序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

a(n-1)=SuMu{{i=1…n}(-1)^ i*i*n^(n-1 i)*二项式(n,i)。-雍孔(YKN(AT)CuraGe.com),12月28日2000

E.g.f.:1/(1+W(-x)),W(x)=朗伯函数的主分支。

A(n)=SuMu{{K>=0 }二项式(n,k)*斯特林2(n,k)*k!= SuMu{{K>=0 }A000 827(n,k)*A04903(n,k)=SuMu{{K>=0 }A019538(n,k)*A000 7318(n,k)。-菲利普德勒姆12月14日2003

E.g.f.:1/(1 -t),其中t= t(x)是欧拉树函数(参见A000 0169

A(n)=A000 0169(n+1)*A128433(n+1,1)A128434(n+1,1)。-莱因哈德祖姆勒03三月2007

用幂分母A(n)表示幂级数:设F(x)=1+SuMu{{N}=1 } x^ n/n ^ n,然后作为x>无穷大,f(x)~EXP(x/e)*qrt(2*π*x/e)。-菲利普弗拉杰莱特9月11日2008

E.g.f.:1 - EXP(W(-x)),其偏移量为1,其中W(x)=朗伯函数的主分支。-弗拉迪米尔克鲁钦宁9月15日2010

a(n)=(n-1)*a(n-1)+和{i=1…n}二项式(n,i)*a(i-1)*a(n-1)。-弗拉迪米尔谢维列夫9月30日2010

当偏移量为1时,E.F.是成分逆((x 1)*log(1 -x))^(-1)=x+x^ 2/2;+ 4×x ^ 3/3!+ 27×x ^ 4/4!+…-彼得巴拉,十二月09日2011

a(n)=(n-1)^(n-1)*(2×n)+ SuMu{{i=1…n-2 }二项式(n,i)*(i^ i *(n-1)^(n-1)),n>1,a(0)=1,a(1)=1。-弗拉迪米尔克鲁钦宁11月28日2014

log(a(n))=Limi{{K-> INF}k*(n^(1+1/k)-n)。-李察·R·福尔伯格,04月2日2015

伊利亚古图科夫基,6月18日2016:(开始)

SuMu{{N>=1 } 1/A(n)=1.291285997…=A07300.

SuMu{{N>=1 } 1/A(n)^ 2=1.063887103…=A08664.

SUMU{{N>=1 } n!/a(n)=1.879853862…=A094082A. (结束)

A000 0169(n+1)/a(n)-e,n=OO。-丹尼尔苏特7月23日2016

A(n)=n!*乘积{{K=1…n}二项式(n,k)/乘积{{k=1…n-1 }二项式(n-1,k)=n!*A000 1142(n)/A000 1142(n-1)。-托尼福斯特三世,SEP 05 2018

例子

G.F.=1+x+4×x ^ 2+27×x ^ 3+256×x ^ 4+3125×x ^ 5+46656×x ^ 6+823543×x ^+++…

枫树

A000 0312= n->n^ n:SEQ(A000 0312(n),n=0。17);

Mathematica

数组[α^ ^,和16 ](*)弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基,五月01日2008 *)

表[求和] [斯特林S2(n,i)i!二项式[n,i],{i,0,n},{n,0, 20 }(*)杰弗里·克里茨3月17日2009*)

a[n]:=If [ n<1,布尔[ n=0 ],n^ n];米迦勒索摩斯5月24日2014*)

a[n]:=如果[n<0, 0,n!级数系数[1 /(1 +朗伯TW[-x]),{x,0,n}] ];(*)米迦勒索摩斯5月24日2014*)

a[n]:=如果[n<0, 0,n!序列系数[St[ 1(/ 1 - x/(1 -积分[α],x])和,1 +O[x],n],{x,0,n}] ];(*)米迦勒索摩斯5月24日2014*)

a[n]:=如果[n<0, 0,] [{m=n+1 },m!级数系数〔级数〔(x-1)log〔1-x〕、{x、0、m }〕、m〕〕;米迦勒索摩斯5月24日2014*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=n^ n};

(PARI)IS(n)=i(b,k=ISPOWER(n,b));如果(k,为(e=1,赋值(k,b),If(k/b^ e==e,返回(1)));n=1查尔斯1月14日2013

(PARI){a(n)=i(a=1+o(x));如果(n=0, 0,为(k=1,n,a=1 /(1 -x/(1 -内联(a))));n!*PoCofff(a,n)};/*米迦勒索摩斯5月24日2014*

(哈斯克尔)

A000 0312 n=n ^ n

A000 03127列表= ZIPOP(^)[0…]…[ 0…]莱因哈德祖姆勒,朱尔07 2012

(极大值)A000 0312[n]:=如果n=0,则1个n ^ n $

马克莱斯特A000 0312[n],n,0, 30);/*马丁埃特尔10月29日2012*

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0107A000 0169A000 027A131372A000 77 78A000 7830A000 885-A000 891A019538A04903A000 827A085 71A062206A212333.

三角形第一列A055 858. 行和A06324.

囊性纤维变性。A000 2109(部分产品)。

囊性纤维变性。A00 1923(部分和)。

囊性纤维变性。A056665A081721A13093A16865A2555-A2555 58(各种类型的内功能)。

囊性纤维变性。A1748A20468.

囊性纤维变性。A055 137.

关键词

诺恩容易核心改变

作者

斯隆

地位

经核准的

A000 1710 交替群Ayn的阶数,或n个字母的偶数排列。
(前M29 33 N1179)
+ 10
一百六十二
1, 1, 1、3, 12, 60、360, 2520, 20160、181440, 1814400, 19958400、239500800, 3113510400, 43589145600、653837184000, 10461394944000, 177843714048000、3201186852864000, 60822550204416000, 121645100408832000 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

对于n>=3,a(n-1)也是对称群snn中的3个周期可以被写成2个长周期(长度n)的乘积的数目。- Ahmed Fares(AHMEMEFARES(AT)我的Deja.com),8月14日2001

A(n)是一个无向图的n×n邻接矩阵的哈密顿电路屏蔽数。-乍得布鲁贝克1月31日2003

A(N-1)是用N个不同的珠子制作的项链的数量:n!珠排列,分两个代表翻转项链,分为N代表旋转项链。与斯特灵第一类,斯特灵周期有关。-乍得布鲁贝克1月31日2003

在[N-1 ](n>2)的所有排列中增加的行进数。例如:A(4)=12,因为我们在[3 ]的所有排列中都有12个增加的运行(括号中所示):(123),(13)(2),(3)(12),(2)(13),(23)(1),(())。-埃米里埃德奇8月28日2004

n=n 2(0,1)-矩阵的最小永久值。-西蒙妮10月15日2004

n=1=2的1…n的排列数是0, 1, 3,12, 60, 360,2520, 20160,…-乔恩佩里9月20日2008

开始(1, 3, 12,60,…)=二项式变换A000 0153(1, 2, 7,32, 181,…)。-加里·W·亚当森12月25日2008

第一列A092582A. -马格兰维克,08月2日2009

高阶指数积分E(x,m=1,n=3)~Exp(-x)/x*(1—3/x+12/x^ 2 - 60/x^ 3+360/x^ 4 - 2520/x^+5 /x^α-/x^+…)的渐近展开式得到了上述的序列。A16331A130534欲了解更多信息。-约翰内斯·梅杰10月20日2009

对于n>1:A(n)=A1733(n,2)。-莱因哈德祖姆勒2月19日2010

起始(1, 3, 12,60,…)=三角形的特征序列A000 2260,(k=1,2,3,…)的每一行的k(1,2,3,…)的三角形。例子:A(6)=360,由(1, 2, 3,4, 5)点(1, 1, 3,12, 60)=(1 + 2 + 9 + 48 + 300)生成。-加里·W·亚当森,八月02日2010

对于n>=2:A(n)是(n+1)节点上连接的2-正则标记图的数目(参见)。A000-杰弗里·克里茨,2月16日2011。

Fi1和Fi2三角和A094638由这个序列的条件给出(n>=1)。对于这些三角形和的定义参见A180662. -约翰内斯·梅杰4月20日2011

也[1, 1 ]与三角形的行和A162608. -奥玛尔·E·波尔09三月2012

A(n-1),对于n>=2,也具有n个珠(只有Cnn对称,没有翻转)的项链的数目,其中n-1个不同的颜色和签名c[] ^ 2 c[] ^(n-2)。这意味着两个珠子具有相同的颜色,对于n=2,省略了第二个因素。例如,循环(C〔1〕C〔1〕C〔2〕C〔3〕C〔N-1〕,简称为1123…(n-1),周期性地进行。例如,n=2:11,n=3:112,n=4∶1123, 1132, 1213,n=5:11234, 11243, 11324,11342, 11423, 11432,12134, 12143, 13124,13142, 14123, 14132。参见代表性项链分区数组的行n>=2的下一个条目。A212359. -狼人郎6月26日2012

对于m>3,A(M-1)是一个具有m个顶点的完全简单图的不同哈密顿回路数。也见A000 128. -斯坦尼斯拉夫西科拉5月10日2014

阶乘基A000 7623这些数字有一个简单的模式:1, 1, 1、11, 200, 2200、30000, 330000, 4000000、44000000, 500000000, 5500000000、60000000000, 660000000000, 7000000000000、77000000000000, 800000000000000, 8800000000000000、90000000000000000, 990000000000000000等。-安蒂卡特宁12月19日2015

此外(根据定义)n-转置图的独立数。-埃里克·W·韦斯斯坦5月21日2017

包含偶数偶数循环的n个字母的排列数。-米迦勒索摩斯7月11日2018

相当于Brebbkes和Sykora的评论,A(n—1)是覆盖n个标记顶点的无向循环数,因此对数变换A000 2135. -格斯威斯曼10月20日2018

对于n>=2和一组n个不同的叶标签,a(n)是具有毛虫形状的二进制、根、叶标记的树拓扑的数目(列k=1)。A306364-挪亚罗森伯格2月11日2019

并给出了N- BuHuad图的团覆盖数。-埃里克·W·韦斯斯坦4月19日2019

推荐信

J. Riordan,组合分析导论,威利,1958,pp.87.8,20。(a),cn n^(t=1)。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

斯隆,n,a(n)n=0…100的表

Somaya Barati,贝塔尼,Abbas Jafarzadeh,Daniel Yaqubi,混合约束斯特灵数,阿西夫:1812.02955(数学,Co),2018。

Paul Barry一般的欧拉多项式作为指数Riordon阵的矩《整数序列》杂志,16(2013),第13.6页。

Olivier Bodini,Antoine Genitrini,Mehdi Naima,秩Schr树,ARXIV:1808.08376 [C.DS],2018。

P. J. Cameron由寡形置换群实现的序列J.SEQS。第3卷(2000);

英里亚算法项目组合结构百科全书262

米兰扬吉克有限集上一些函数的计数公式

W. Lang关于斯特灵数三角形的推广J.整数SEQS,第3卷(2000),γ.00 .2.4。

Xah Lee组合数学:N点环

Mitrinovic,D. S.;米特诺诺维奇,R. S.;de Stirling的奥斯诺斯布拉斯布拉斯BeoGad大学。耻骨。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫Fiz。77号1962, 77页。

Robert E. Moritz关于n个连续整数乘积的和美国华盛顿大学数学出版物,1(第3, 1926号),44-49 [注释扫描副本]

Alexsandar Petojevic函数vMym(s;a;z)及一些著名序列《整数序列》杂志,第5卷(2002),第02.1.7条

S Z歌,S G黄,S H RIM,G S CHEON,(0,1)-矩阵的永久极值组合矩阵理论会议特别议题(浦项,2002)。线性代数应用程序373(2003),197-210。

A. N. StokesRiccati方程的连分式解公牛。南方的。数学SOC。第25卷(1982),207—214页。

Eric Weisstein的数学世界,交错群

Eric Weisstein的数学世界,布鲁赫图

Eric Weisstein的数学世界,循环排列

Eric Weisstein的数学世界,团覆盖数

Eric Weisstein的数学世界,偶数排列

Eric Weisstein的数学世界,哈密顿循环

Eric Weisstein的数学世界,独立数

Eric Weisstein的数学世界,奇排列

Eric Weisstein的数学世界,转置图

可分性序列索引

与阶乘基表示相关的序列的索引条目

与阶乘数相关的序列的索引条目

与组相关的序列的索引条目

公式

A(n)=分子(n)!2)A141044(n)=分母(n)!2)。

a(0)=a(1)=a(2)=1;a(n)=n*a(n-1)为n> 2。-乍得布鲁贝克1月31日2003 [经修正]斯隆7月25日2008

A(0)=0,A(1)=1;A(n)=SUMU{{K=1…N-1 } K*A(k)。-阿马纳思穆西10月29日2002

A(n+1)=〔1, 3, 12,160,…〕的斯特灵变换是A0834(n)=〔1, 4, 22,154,…〕。-米迦勒索摩斯04三月2004

第一欧拉变换A000 00 27. A000 0142对于FET的定义。-罗斯拉哈伊2月14日2005

a(n)=和{k=0…n,(-1)^(n-1 k-1)*t(n-1,k)*-CoS(皮(n-1 k-1)/2)^ 2 }+ 0 ^ n;t(n,k)=ABS(A000 827(n,k)。-保罗·巴里4月18日2005

E.g.f.:(2-x^ 2)/(2-2*x)。a(n+2),n>=0,为1/(1-x)^ 3。

E.g.f.:1±Snh(log(1/(1-x)))。-杰弗里·克里茨12月12日2010

A(n+1)=A13665(n,1)*(-1)^ n,n>=1。

A(n)=n!2为n>=2(由E.F证明)。-狼人郎4月30日2010

A(n)=(n-2)!*t(n-1),n>1,其中t(n)=t(n)A000 0217(n)n次三角数。-加里德莱夫斯5月21日2010

A(n)=A000 0254(n)- 2**A000 1711(n-3)/ 3,n>2。-加里德莱夫斯5月24日2010

O.g.f.:1 +x*Suth{{n>=0 } n^ n*x^ n/(1 +n*x)^ n-保罗·D·汉娜9月13日2011

A(n)=n<2,则1个PoCHLAMP(n,n)/二项式(2n,n)。-彼得卢斯尼07月11日2011

A(n)=SUMY{{K=0…地板(n/2)}s(n,n-2*k),其中S(n,k)是第一类的斯特灵数,A049099. -米尔卡梅尔卡,APR 07 2012

A(n-1),n>=3,为My1([2,1^(n-2)])/n=(n-1)!/ 2,对于给定的n-1个部分的n,用My1多项式数来参见n行> n=3的第二个到最后一个项。A036038和上面的项链评论由W. Lang. -狼人郎6月26日2012

G.f.:A(x)=1 +x+x^ 2 /(g(0)-2×x),其中G(k)=1(k+1)*x/(1 -x*(k+3)/g(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,12月26日2012。

G.f.:1 +x+(q(0)-1)*x^ 2 /(2 *(qRT(x)+x)),其中q(k)=1 +(k+2)*qRT(x)/(1 -qRT(x)/(qRT(x)+ 1 / q(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月15日2013

G.f.:1 +x+(x*q(x)-x^ 2)/(2×(qRT(x)+x)),其中q(x)=SuMu{{n>=0 }(n+1)!*x^ n*qrt(x)*(qRT(x)+x*(n+1))。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月15日2013

G.f.:1 +x/ 2 +(q(0)-1)*x/(2×(qRT(x)+x)),其中q(k)=1 +(k+1)*qRT(x)/(1 -qRT(x)/(qRT(x)+ 1 / q(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月15日2013

G.f.:1 +x+x^ 2×g(0)/2,其中G(k)=1+1/(1 -x/(x+1/(k+3)/g(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,军01 2013

G.f.:1 +x+x^ 2*w(0),其中w(k)=1××(k+3)/(x*(k+3)-1 /(1 -x*(k+1)/(x*(k+1)-1/w(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月26日2013

安蒂卡特宁,12月19日2015:(开始)

A(0)=A(1)=1;之后,对于偶数n:A(n)=(n/2)*(n-1)!和奇数n:a(n)=(n-1)/2*((n-1)!+(N-2)![公式在经验分析中发现,在阶乘基中观看这些数字之后,A000 7623通过考虑郎(4月30日2010)和Detlefs(5月21日2010)的公式,很容易证明。

对于n>=1,a(2n+1)=a(2n)+A1538(a(2n))。[从上面跟随] ](结束)

A(n)IS(- 1)^ n-1*的逆斯特灵变换A000 9566(n)。-安东扎卡洛夫,八月07日2016

A(n)~qRT(π/2)*n^(n+1)/EXP(n)。-伊利亚古图科夫基,八月07日2016

A(n)=A000 65 95(n-1)*N/A000 0124(n)n>=2。-安东扎卡洛夫8月23日2016

A(n)=A000 1563(n-1)-A000 128(n-1)n>=2。-安东扎卡洛夫9月23日2016

彼得巴拉,5月24日2017:(开始)

O.G.F. A(x)满足Riccati方程x^ 2*a’(x)+(x - 1)*a(x)+ 1×x 2=0。

G.f.:A(x)=1 +x+x^ 2 /(1 - 3×x/(1 - x/)(1 - 4×x/(1 - 2×x/)(1)-5×x/(1 - 1×x /(…)-…-(n+ 2)*x/(1 -n*x/(1 -…(应用斯托克斯,1982)。

a(x)=1 +x+x^ 2 /(1 - 2×x - x /(1 - 3×x/)(1 - 2×x/(1 - 4×x/)(1 - 3×x /(3 -α*x/(…)-…-n*x/(1 -(n+1)*x/(1 -…(结束)

例子

G.f.:1 +x+x^ 2+3 *x^ 3+12 *x^ 4+60 *x^ 5+360 *x^ 6+2520 *x^ 7+…

枫树

SEQ(MUL(k,k=3…n),n=0…20);零度拉霍斯9月14日2007

Mathematica

a[n]:=如果[n>2,n![ 2, 1 ];数组[a,21, 0 ]

a[n]:=如果[n<3, 1,n*a[n- 1 ] ];数组[a,21, 0 ];(*)Robert G. Wilson五世4月16日2011*)

a[n]:=如果[n<0, 0,n!级数系数[(2 -x^ 2)/(2 - 2 x),{x,0,n}] ];(*)米迦勒索摩斯5月22日2014*)

a[n]:=如果[n<0, 0,n!级数系数[1+SnH[-log [1 -x] ],{x,0,n}] ];(*)米迦勒索摩斯5月22日2014*)

分子〔范围〕〔0, 20〕!2埃里克·W·韦斯斯坦5月21日2017*)

表[GROPMODER [交替组[n] ],{n,0, 20 }](*)埃里克·W·韦斯斯坦5月21日2017*)

黄体脂酮素

(岩浆)〔1〕猫[序(交替群(n)):n〔1〕20〕;阿卡迪乌斯韦斯洛夫斯基5月17日2014

(PARI){A(n)=IF(n<2,n>=0,n)!(2)};

(PARI)A(n)=PoCOFEFF(1+x*和(m=0,n,m^ m*x^ m/(1 +m*x+x*o(x^ n))^ m),n)保罗·D·汉娜

(帕里)A000 1710= N-> n!2±(n<2)哈斯勒,十二月01日2013

(方案,使用MaTiO化宏定义,在HTTP://OEIS.Org/WiKi/MeMoI化中可以找到一个实现。

(定义)A000 1710n)(COND((<n=2)1)(OR)(*n)A000 1710(-N 1×α)

安蒂卡特宁12月19日2015

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0142A000 128A04404A049. A(n+1)=A046089A(n,1),n>=1(第一列三角形),A000 0153A161739(q(n)序列)A0934 68A000 2260.

第3行A265609(基本上)。

两等分是A00 2674A085 990(基本上)。

囊性纤维变性。A000 7623A1538A000 0255A000 1147A000 1710A000 2135A000 77 17A21571A319225A319226A3655.

行和A30729.

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

Larry Reeves(Lyrr(AT)ACM.org)的更多术语,8月20日2001

进一步从西蒙妮10月15日2004

地位

经核准的

A000 0254 第一类无符号斯特灵数,S(n+1,2):a(n+1)=(n+1)*a(n)+n!.
(前M2902 N1165)
+ 10
一百四十八
0, 1, 3、11, 50, 274、1764, 13068, 109584、1026576, 10628640, 120543840、1486442880, 19802759040, 283465647360、4339163001600, 70734282393600, 1223405590579200、22376988058521600, 431565146817638400, 875294803676160000、1862448、1078017024万 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

n=1个元素的排列数正好两个周期。

[n ]的所有排列中的循环数。例如:A(3)=11,因为排列(1)(2)(3)、(1)(23)、(12)(3)、(13)(2)、(132)、(132)具有完全的周期。-埃米里埃德奇8月12日2004

行和A094310在对称群Syn中,每个置换因子成为k个独立的循环;A(n)=Sk n上的和k。-哈雷-弗兰德斯(哈雷(AT)UMICH。EDU),6月28日2004。

在所有DECO高峰期上的最后一列的顶部的总和。DECO多米诺是一个有向列凸多米诺,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中达到。例如:A(2)=3,因为高度2的DECO多峰是垂直和水平多米诺骨牌,它们最后一列的水平分别为2和1。-埃米里埃德奇8月12日2006

A(n)对于所有复合n=6可被n整除。A(2n)可被(2n+1)整除。-勒鲁瓦酒馆5月20日2007

对于n>=2,n-1 x n-1矩阵m(i,j)=i+2的i=j和1(i,j=1…n-1)的行列式。例如,对于n=3,[[(3, 1),(1, 4)]的行列式。见第五十三普特南检查,1992,问题B5。-弗兰兹·维拉贝克,1月13日2008,3月26日2008

当我们在调和序列中求和(不简化)时,分数的分子。(1+1/2=2/2+1/2=3/2;3/2+1/3=9/6+2/6=11/6;11/6+1/4=1/4+=γ;…)。这个分数的分母是N!A000 0142. -埃里克·德斯鲍克斯,07月1日2009

高阶指数积分E(x,m=2,n=1)~EXP(-x)/x^ 2*(1-3/x+11/x^ 2 - 50/x^ 3+274/x^ 4/1764/x^+/x^……)的渐近展开式得到了上述的序列。A16331A024421欲了解更多信息。-约翰内斯·梅杰10月20日2009

A(n)=完全包含2个循环的[n+1 ]的排列数。例如:A(2)=3,因为排列(1)(23)、(12)(3)、(13)(2)是[2 ]的唯一排列,正好有2个周期。- Tom Woodward(DouoDoudat(at)Maalale.EDU),11月12日2009

A(n)=3A000 1710(n)+2**A000 1711(n-3),n>2。11=3×3+2×1, 50=3×12+2×7。274=3×60+2*47…-加里德莱夫斯5月24日2010

似乎,除了n=4,如果n是复合的,则n(n)mod n=0,如果n是素数,则n=n-1。-加里德莱夫斯9月11日2010

A(n)/(n-1)!=mL(n)=n*ml(n-1)/(n-1)+1,n>1。ML(n):从n个集合中随机抽取的平均数,直到被替换为止。mL:x*(1-Lax(1-x))/(1-x)^ 2的G.f.。-保罗·魏森霍恩11月18日2011

A(n)是一个倍数。A025527(n)。-查尔斯10月16日2012

当不减少时,调和数H(n)=SuMu{{i=1…n} 1/i的分子。A000 1008(Wolstenholme数)为减少的分子。-拉胡尔贾哈2月18日2015

这个序列的斯特灵变换是A222058(n)(调和几何数)。-安东扎卡洛夫,八月07日2016

A(n)是第一n个数的(n-1)-st初等对称函数。-安东扎卡洛夫02月11日2016

log(x)的n次迭代积分是x^ n*(n)!*log(x)*-a(n)/(n!)2+任意系数n次多项式。这可以用递归关系A(n)=(n-1)来证明!+Na(n-1)。-莫森姆梅塞米10月31日2018

素数p,使得p^ 3αa(p-1)是Wolstenholme素数。A08164. -艾米拉姆埃尔达托马斯奥多夫斯基,八月08日2019

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第833页。

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L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第217页。

F. N. David,M. G. Kendall和D. E. Barton,对称函数和联合表,剑桥,1966,第226页。

单振高,具有限制结构的排列(在准备中)。

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链接

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J.L.Ball,S. Kirgizov,置换的纯下降统计量预印本,2016。

FUNSTAT-组合统计查找器置换循环分解中的循环数

英里亚算法项目组合结构百科全书31

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J. Scholes第五十三普特南1992,问题B5.

J. Serde Factorielles作品集(一些选定页面的注释扫描)

公式

设p(n,x)=(x+1)*(x+ 2)*(x+1)**(x+n);然后a(n)为x的系数;或a(n)=p′(n,0)。-班诺特回旋曲09五月2002

Suvi{k>0 } A(k)*x^ k/k!^ 2=EXP(x)*(SuMu{{K> 0 }(-1)^(k+1)*x^ k/(k*k!))-米迦勒索摩斯3月24日2004;更正华伦·D·史密斯2月12日2006

A(n)是(^ log(1-x))^ 2中乘以(n+1)的x^(n+2)系数;2。

A(n)=n!* SuMi{{i=1…n} 1 /i= n!*H(n),其中H(n)=A000 1008(n)/A000 2805(n)是n次谐波数。

A(n)~(2)^(1/2)*pi ^(1/2)*log(n)*n^(1/2)*e^ -n*n^ n- Joe Keane(JGK(at)jgk.org),军06 2002

E.g.f.:log(1 -x)/(x-1)。(=(log(1 x))^ 2/2,如果偏移1)。-米迦勒索摩斯,05月2日2004

a(n)=a(n-1)*(2×n-1)-a(n-2)*(n-1)^ 2,如果n>1。-米迦勒索摩斯3月24日2004

A(n)=A081358(n)+A092691(n)。-埃米里埃德奇8月12日2004

A(n)=n!* Suthi{{K=1…n}(- 1)^(k+1)*二项式(n,k)/k。瓦拉德塔约霍维奇1月29日2005

p^ 2将素数p(>3)分为(p-1)。A(n)=和〔1/i,{i,1,n}〕/乘积〔1/i,{i,1,n}〕。-亚力山大亚当丘克7月11日2006

A(n)=A13872(n+1)-A159324(n)。-加里德莱夫斯,朱尔05 2010

A(n)=A121633(n)+A00 2672(n)。-加里德莱夫斯7月18日2010

A(n+1)=SUMY{{I=1 ..楼层((N-1)/2)} n!/((N-I)*I)+ SUMY{{I=天花板(n/2)..地板(n/2)}n!/(2*(N-I)*I)。-高山镇9月14日2010

加里德莱夫斯,9月11日2010:(开始)

a(n)=(a(n-1)*(n^ 2-2n+1)+(n+1))!(n-1),n>2。

在n=2的情况下,(n=1)^ 2-a(n)^ 2)mod n ^ 2=0,如果n是复合的,则如果n是素数,则为4n。

当n=2时,(n=1)^ 3-a(n)^ 2)mod n=0,如果n为复合,n为n,则n=0。

在n=2的情况下,(n)^ 2+a(n+1)^ 2)mod n=0,当n为复合时,n=2。(结束)

A(n)=int((x^ n n)!)* log(x)*EXP(-x),x=0…无穷大。-罗兰集团3月28日2011

A(n)=3*n!/ 2 + 2 *(N-2)!*和(k=0,n-3,二项式(k+2,2)/(n-2-k)),n>=2。-加里德莱夫斯,SEP 02 2011

A(n)=DET(S(i+2,j+1),1<i,j<n-2),其中S(n,k)是第二类的斯特灵数。-米尔卡梅尔卡,APR 06 2013

E.g.f.:x/(1-x)*e(0)/2,其中E(k)=2+e(k+ 1)x(k+1)/(k+2)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,军01 2013 [编辑]米迦勒索摩斯11月28日2013

0=a(n)*(a(n+1)- 6×a(n+1)+7×a(n+2)-a(n+1))-a(n+1)*(4*a(n+3)-6*a(n+2)+a(n+1))+α*a(n+^)^,除非n=y。-米迦勒索摩斯11月28日2013

一个简单的计算序列的方法,乘N!由(1-x^ n)/(1-x)dx的0到1的积分。-拉胡尔贾哈2月18日2015

伊利亚古图科夫基,八月07日(2016):(开始)

逆二项变换A073596.

A(n)~qRT(2×π*n)*n^ n*(log(n)+γ)/EXP(n),其中γ是Euler-Mas舍尼常数A000 1620. (结束)

a(n)=(- 1)^(n+1)/2*(n+1)SuMu{{K=1…n}(k*伯努利(k-1)*斯特灵1(n,k))。-弗拉迪米尔克鲁钦宁11月20日2016

A(n)=(n-1)!*(Digamma(n)+Gamma),其中γ是Euler-Mas舍尼常数A000 1620. -佩德罗卡塞雷斯3月10日2018

例子

(1-x)^ 1*(-log(1-x))=x+3/2×x ^ 2+11/6×x ^ 3+25/12×x^ 4+…

gf= x+x^ 2+5×x ^ 3+14×x ^ 4+94×x ^ 5+444×x ^ 6+3828×x ^ 7+25584×x ^+++…

枫树

A000 0254= PROC(n)选项记住;如果n<=1,则n否则n *A000 0254(n-1)+(n-1)!末端;SEQA000 0254(n),n=0。21);

A: = N->加法(n)!/k,k=1,n):SEQ(a(n),n=0…21);零度拉霍斯1月22日2008

Mathematica

表[(多γ[M] + EulrEMAa)(M-1)!,{m,1, 24 }(*)沃特梅森*)

表[n!*谐波号[n],{n,0, 19 }(*)Robert G. Wilson五世5月21日2005*)

表[求和〔1/i,{i,1,n}〕/乘积〔1/i,{i,1,n}〕,{n,1, 30 }〕(*)亚力山大亚当丘克7月11日2006*)

ABS[斯特林S1 [范围〔20〕,2〕]哈维·P·戴尔8月16日2011*)

黄体脂酮素

(MuPAD)A000 0254= PROC(n)开始n*A000 0254(N-1)+事实(N-1)EndoPro:A000 0254(1):=1:

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,(n+1))!/ 2*和(k=1,n,1/k/(n+1-k))} /*米迦勒索摩斯,FEB 05 2004*

(SAGE)[在XLead(1, 22)]中的I的STRIGLIN编号1(I,2)零度拉霍斯6月27日2008

(极大值)

a(n)=(- 1)^(n+1)/ 2*(n+1)*和(k*bern(k-1)*斯特林1(n,k),k,1,n);弗拉迪米尔克鲁钦宁11月20日2016*

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0399A000 045A000 082A000 1233A000 1234A243568A243570.

囊性纤维变性。A000 074A000 4041A024167A04667A049034A000 8255.

囊性纤维变性。A081358A092691A151891A121633.

附有符号:A081048.

三角形中的第1列A000 8963.

行和A13666.

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

被编辑阿列克谢耶夫01三月2018

地位

经核准的

A000 1563 A(n)=n*n!=(n + 1)!- N!.
(前M3545 N1436)
+ 10
一百四十
0, 1, 4、18, 96, 600、4320, 35280, 322560、3265920, 36288000, 439084800、5748019200, 80951270400, 1220496076800、19615115520000, 334764638208000, 6046686277632000、115242726703104000, 231125690776780800、865、80401635328、107290985、605898924万 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

类似的序列,其中初始0由1替换,即A094258由递归A(2)=1,A(n)=A(n-1)*(n-1)^ 2 /(n-2)定义。- Andrey Ryshevich(RysHevic(AT)Notes,IDLAB .NET),5月21日2002

EA1(x)+Gamma+log(x),x>0幂级数展开中的分母。-米迦勒索摩斯12月11日2002

如果所有长度k的排列都是按字典顺序排列的,则这个序列中的第n个项(n<= k)给出排列的索引,该排列将最后n个元素向右旋转一个位置。例如,有24个排列的4个项目。在字典序中,它们是(0,1,2,3),(0,1,3,2),(0,2,1,3),…(3,2,0,1),(3,2,1,0)。置换0是(0,1,2,3),它旋转最后1个元素,即它没有变化。置换1是(0,1,3,2),它旋转最后2个元素。置换4是(0,3,1,2),它旋转最后3个元素。置换18是(3,0,1,2),它旋转最后4个元素。相同的数字用于任何长度的排列。- Henry H. Rich(Galass(AT)BelSouth.net),9月27日2003

a(n+1)=[4,18.96600,…]的斯特灵变换是A083140(n+1)=[4,22154,…]。-米迦勒索摩斯04三月2004

米迦勒索摩斯,4月27日2012:(开始)

a(n)=[1,418.96,…]的斯特灵变换是A069321(n)=[1,531333,…]。

A(n)=[0,1,4],(…)的部分和A033 312(n+1)=[0,1,5,23,…]。

二项式变换A000 0166(n+1)=[0,1,2,9,…]是a(n)=[0,1,4],18,…]。

二项式变换A000 0255(n+1)=[1,3,11,53,…]是(n+1)=[1,4],18.96,…

A(n)=[0,1,4],18,…]的二项式变换A09364(n)=[0,1,6],33,…

部分和A000 1564(n)=[1,3,4,14,…]是(n+1)=[1,4],18,96,…]。

(结束)

[n=1 ]的所有排列中的小下降数。排列中的一个小下降(XY1,XY2,…,XYN)是一个位置I,使得Xi I- Xi](i + 1)=1。例子:A(2)=4,因为排列中有4个小的下降,123, 13,2, 2,13, 231, 312,3,2,1,{1,2,3}(由\所示)。a(n)=SuMu{{k=0…n-1 } k*A123513(n,k)。-埃米里埃德奇,10月02日2006

等价地,在戴维、肯德尔和Barton的符号P 263中,这是n+ 1个字母上所有排列中的连续升序对的总数(参见)。A010027-斯隆4月12日2014

A(n-1)是n的排列数,其中n不是固定的;等价地,正整数的排列数,其中n是不固定的最大元素。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯11月29日2006

在写所有乘法排列时行列式中的因子数。-马格兰维克9月12日2008

A(n)也是[n ]的所有排列中左到右极大值的位置之和。例(a)(3)=18,因为[3 ]中置换123132213231312和321的左到右极大值的位置分别为123, 12, 13、12, 1和1,1 + 2 + 3+1++ + + + + + + + + + +=α。-埃米里埃德奇9月21日2008

等于三角形的特征序列A000 2024(n出现n次)。-加里·W·亚当森12月29日2008

序言系列与另一个1:(1, 1, 4,18,…);然后下一个术语=后者的点积与“n发生n次”。例:96=(1, 1, 4,8)点(4, 4, 4,4)=(4+4+16+72)。-加里·W·亚当森4月17日2009

三角形中的行长度A03029. -莱因哈德祖姆勒3月29日2012

A(n)也是n+1节点上星形图S{{n+1 }的最小(n)可区别标号的数目。-埃里克·W·韦斯斯坦10月14日2014

当数字表示有限置换(行数)时A055089A这些是向右移位的循环移位,即A(n)是循环符号的排列(0…1)。N-1)。比较数组A051683A在更广泛的意义上向右循环。比较序列A000 799循环向左移动。-蒂尔曼皮耶斯4月29日2017

A(n-1)是没有n个周期的n个元素上排列的数目。丹尼斯·P·沃尔什,10月02日2017

推荐信

A. T. Benjamin和J. J. Quinn,确凿的证据:组合证明的艺术,M.A.A. 2003,ID,218。

J. M. Borwein和P. B. Borwein,PI和AGM,威利,1987,第336页。

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链接

诺伊,n,a(n)n=0…100的表

迪克森由某些形式行列式数列引起的两个双级数的讨论,PROC。伦敦数学。SOC,10(1879),120~122。[注释扫描的副本]

英里亚算法项目组合结构百科全书30

米兰扬吉克有限集上一些函数的计数公式

I. Kortchemski置换记录的渐近性态,ARXIV:0804.046V2[数学.CO],2008年5月18日。

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Daniel J. Mundfrom排列中的一个问题:“捕鼠器”的游戏. 欧洲J·康宾15(1994),编号6,55~560。

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Dennis P. Walsh不带k个循环的置换数

Eric Weisstein的数学世界,判别数

Eric Weisstein的数学世界,指数积分

公式

E.g.f.:x/(1 -x)^ 2。A(n)=A021009(n,1),n>=0。-米迦勒索摩斯12月11日2002

(y+n!)展开中的y^(n-1)系数n,n>=1,给出序列1, 4, 18、96, 600, 4320、35280、…-阿图尔贾辛斯基10月22日2007

积分表示为正半轴上函数的n次矩,在Maple符号中:A(n)=int(x^ n*(x*(x-1)*Exp(-x)),x=0…无穷大),n=0, 1,…这种表示可能不是唯一的。-卡罗尔·彭森9月27日2001

A(0)=0,A(n)=n*A(n-1)+n!-班诺特回旋曲2月16日2003

a(0)=0,a(n)=(n-1)*(1+SuMu{{i=1…n-1 } A(i))为i>0。-杰拉尔德麦加维6月11日2004

在下列恒等式的分母中出现:SuMu{{N>=1 } 1 /(n(n+1)(n+2))=1/4,SuMu{{N>=1 } 1 /(n(n+1)(n+2)(n+3))=1/18,SuMu{{N>=1 } /(n(n+-)(n+-)(n+-)(n+-))=α等。一般表达式为SUM{{N>=K} y/C(n,k)=k/(k-1)。- Dick Boland,军06 2005

A(n)=SuMu{{m=2…n+1 }斯特林1(n+1,m),n>1,a(0):=0,其中斯特林1(n,m)=0。A049099(n,m),n>=m=0。

A(n)=1 /(SuMu{{K>=0 } K!/(n+k+ 1)!n>0。-瓦拉德塔约霍维奇9月13日2006

A(n)=SuMu{{k=1…n(n+1)/2 } k*A14946(n,k)。-埃米里埃德奇9月21日2008

A(n)的倒数是多项式的因式系数中的引线系数,它是以一个固定的低项为上项的二项式系数求和,以n项为界,对于n>=1:SuMu{{K= I.N} C(k,i)/k=(1/a(n))*n*(n-1)**(n- i+1)。} C(k,1)/k=(1/1)*n,Sux{{=(1/4)*n*(n-1),SuMu{{k= 3…n} C(k,3)/k=(1/18)*n*(n-1)*(n-2),SuMu{{K= 4…n} C(k,4)/k=(1/96)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)等。- Peter Breznay(Brdnayayp(AT)UWGB.EDU),9月28日最初的几个这样的多项式是SUMU{{K=1…

如果我们定义f(n,i,x)=SuMi{{N= } j=j=I. k}二项式(k,j)*斯特林1(n,k)*斯特林2(j,i)*x^(kj),则a(n)=(- 1)^(n-1)*f(n,1,- 2),(n>=1)。-米兰扬吉克01三月2009

SuMu{{N>=1 }(-1)^(n+1)/a(n)=0.796599599…〔JOLLY情商289〕

G.f.:2×x*q(0),其中q(k)=1~1 /(k+ 2 -x*(k+2)^ 2 *(k+3)/(x*(k+2)*(k+3)-1/q(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克4月19日2013

G.f.:W(0)*(1-SqRT(x))- 1,其中W(k)=1 +SqRT(x)/(1 -qRT(x)*(k+2)/(qRT(x)*(k+2)+1 /w(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月18日2013

G.f.:t(0)/x 1/x,其中t(k)=1~x^ 2 *(k+1)^ 2 /(x^ 2 *(k+1)^ 2)(1-x 2*x*k)*(1-3*X-2*x*k)/t(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克10月17日2013

G.f.:q(0)*(1-x)/x- 1 / x,其中q(k)=1×x(k+1)/(x*(k+1)-1 /(1 -x*(k+1)/(x*(k+1)-1/q(k+1))));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克10月22日2013

例子

EA1(x)+Gamma + log(x)=x/1×x ^ 2/4+x ^ 3/18 -x^ 4/96+,x>0。-米迦勒索摩斯12月11日2002

x+ 4×x^ 2+18×x ^ 3+96×x ^ 4+600×x ^ 5+4320×x ^ 6+35280×x ^ 7 +占卜×^ ^ +…

枫树

A000 1563= n->n*n!

Mathematica

表[n!n,{n,0, 25 }(*)哈维·P·戴尔,OCT 03 2011*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n*n)!}/*米迦勒索摩斯12月11日2002*

(哈斯克尔)

A00 1563 N=A00 1563X列表!n!

AA151563List= ZIPOP(-)(尾部A000 0142Y列表)A000 0142Y列表

——莱因哈德祖姆勒,八月05日2013

(岩浆)[阶乘(n+1)-阶乘(n):n在[0…20 ] ]中;文森佐·利布兰迪,八月08日2014

交叉裁判

囊性纤维变性。A047 920A047 922A000 0142A055089AA05395A123513.

囊性纤维变性。A14946.

囊性纤维变性。A000 2024.

囊性纤维变性。A16331(e(x,m,n))A000 775(n ^ 2×n)!A091363(n ^ 3×n)!A091364(n ^ 4×n)!.

公式(n+k)*n序列!列入A242466.

行和A323A323.

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

A000 827 三角T(n,k)=n!/(N-K)!(0<k=k=n)按行读取,同时给出n个数k的排列数。 + 10
一百零七
1, 1, 1,1, 2, 2,1, 3, 6,6, 1, 4,12, 24, 24,1, 5, 20,60, 120, 120,1, 6, 30,120, 360, 720,720, 1, 7,42, 210, 840,2520, 5040, 5040,2520, 5040, 5040,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,5

评论

又称置换系数。

降阶乘三角A068 424列A(n,0)=1,行A(0,1)=1,否则A(0,k)=0。-狼人郎07月11日2003

定义了高阶指数积分E(x,m,n)。A16331有关E(x,m=1,n)的渐近展开的信息,请参见A130534. n=1, 2, 3,4,…的渐近展开,导致上面给出的三角形的右手列。-约翰内斯·梅杰10月16日2009

从一组大小k到一组大小n的内射函数的数目。丹尼斯·P·沃尔什2月10日2011

{{1,1,2,…,k}到{1,1,2,…,n}的函数f的数目满足{x(x)>x的{x,1,2,…,k}中的所有x。-丹尼斯·P·沃尔什4月20日2011

t(n,k)=A181511(n,k)k=1…n-1。-莱因哈德祖姆勒11月18日2012

例如,F.S列举了PyOthoHeRa/PyMultHaRa的面,Perm(s,t;x)=[E^(Sx)- 1 ] /[St(E^(Sx)- 1)],(参见A090582AA019538和StelaHeRa/SteloHeldA,St(S,T;X)=[S E^((S+T)x)] /[S-(E^(Sx)- 1)],(参见A24827)在Tric拓扑中满足EXP[U*D/dt] st(s,t;x)=st(s,u+t;x)=[e^(ux)/(1-u* Perm(s,t;x))*st(s,t;x),其中e ^(ux)/(1-uy)是该项的行多项式的双变量E.F.A09485. 等价地,d/dt st=(x+Prm)*st和d/dt Pimm=Purm ^ 2,或d/dt log(st)=x+Prm和d/dt log(Purm)=PURM。-汤姆·科普兰11月14日2016

推荐信

CRC标准数学表和公式,第三十版,1996页,第176页;第第三十一版,第215页,第3.3.11节。

枫树V参考手册,第490页,NUBBEPRM(N,K)。

链接

诺伊,行n=0…100的三角形,扁平化

费尔南多·巴贝罗G,Jes的萨拉斯,爱德华多J.S.Viasas-Nor,一类线性递归的二元生成函数一、总体结构,ARXIV:1307.2010 [数学,CO],2013-2014。

V. Buchstaber和T. PanovTric拓扑,ARXIV:12102.3668 v3[数学.AT ],2014。

J. Goldman,J. Haglund,广义Rook多项式J. Combin。理论A91(2000),509530,2-ROK系数在1xN板上的K槽,所有高度1。

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体数学:计算机科学基础,第二版。阅读,妈妈:Addison Wesley,1994岁。

Germain Kreweras一种新的组合方式数学硕士和科学HuMees 3(1963)31-41。

W. Lang关于斯特灵数三角形的推广J.整数SEQS,第3卷(2000),γ.00 .2.4。

T. S. Motzkin气缸分类号和其他分类号在组合数学中,PROC。SMP纯数学。19,AMS,1971,pp.167—176。[注释,扫描副本]

奥伊斯维基,排序数

Yuriy Shablya,Dmitry Kruchinin,欧拉-卡塔兰数三角形及其应用MIPPAM(地中海纯粹与应用数学国际会议及相关领域2018),212—215。

Dennis Walsh关于函数的注记

Eric Weisstein的数学世界,下降阶乘

“核心”序列的索引条目

公式

E.g.f.:和t(n,k)x^ n/n!y^ k=EXP(x)/(1-x*y)。-瓦拉德塔约霍维奇8月19日2002

等于A000 7318*A1365. -加里·W·亚当森,07月1日2008

t(n,k)=n*t(n-1,k-1)=k*t(n-1,k-1)+t(n-1,k)=n*t(n-1,k)/(n- k)=(n+k+1)*t(n,k-1)。-亨利贝托姆利3月29日2001

T(n,k)=n!/(N-K)!如果n>=k>=0,则为0。

为第k列K!*x^ k/(1-x)^(k+1),k>=0。

第n行(1±x)^ n,n>=0。

n(n,k)x^ k=n n×n矩阵Ayij=(x=1,如果i=j,x为)。-米迦勒索摩斯05三月2004

RAMANUJIN PSII1(k,x)多项式在n+1处评估。-拉尔夫斯蒂芬4月16日2004

E.g.f.:和t(n,k)x^ n/n!y^ k/k!= E^ {X+XY}。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,07月2日2006

三角形是主对角线和其余零点的(1, 1, 2,6, 24,…)无穷矩阵的二项式变换。-加里·W·亚当森11月20日2006

G.f.:(1)(1-X-XY/(1-XY//(1-X-2XY/)(1-2XY/)(1-X-3XY/)(1-3XY/(1-X-4XY/)(1-4XY/)(1…(连分数)。-保罗·巴里2月11日2009

t(n,k)=Suthi{{=0…k}二项式(k,j)*t(x,j)*t(y,kj),x+y=n-丹尼斯·P·沃尔什2月10日2011

E.g.f(用k固定):x^ k*EXP(x)。-丹尼斯·P·沃尔什4月20日2011

G.f.(用K固定):K!*x^ k/(1-x)^(k+1)。-丹尼斯·P·沃尔什4月20日2011

对于n>=2和m>2,SuMu{{=0…M-2 } S2(n,k+2)*t(M-2,k)=SuMu{{P= 0…n-2 } M^ P. S2(n,k)是第二类的斯特灵数。A000 827. -托尼福斯特三世7月23日2019

例子

三角形开始:

1, 1

1, 2, 2

1, 3, 6,6

1, 4, 12,24, 24

1, 5, 20,60, 120, 120

1, 6, 30、120, 360, 720、720

1, 7, 42、210, 840, 2520、5040, 5040

1, 8, 56、336, 1680, 6720、20160, 40320, 40320

1, 9, 72、504, 3024, 15120、60480, 181440, 362880、362880

1, 10, 90、720, 5040, 30240、151200, 604800, 1814400、3628800, 3628800

例如,T(4,2)=12,因为有12个内射函数f:{1,2}-> {1,2,3,4}。F(1)有4个选择,然后,因为F是内射的,3个剩余的F(2)选择,给出了12个构造内射函数的方法。-丹尼斯·P·沃尔什2月10日2011

例如,t(5,3)=60,因为有60个函数f:{1,2,3}-{{1,2,3.4} },具有f(x)>x。f(1)有5个选择,f(2)的4个选择,f(3)的3个选择,给我们60种构造这种函数的方法。-丹尼斯·P·沃尔什4月30日2011

枫树

用(CopbStutt):n从0到10做SEQ(计数(n),大小=m),m=0。n)零度拉霍斯12月16日2007

SEQ(SEQ(n)!/(N-K)!,k=0…n),n=0…10);丹尼斯·P·沃尔什4月20日2011

SEQ(打印(SEQ(POKHAMER(N-K+ 1,K),K=0…n)),n=0…6);彼得卢斯尼3月26日2015

Mathematica

表[系数列表] [ [(1 +x)^ m,{x,0, 20 } ],x] *表[n!,{n,0,M},{m,0, 10 } / /格子-杰弗里·克里茨3月16日2010

表[ PoCHM锤子[N-k+1,k],{n,0, 9 },{k,0,n} / /平坦(*或*)

表[ FutialPalp[n,k],{n,0, 9 },{k,0,n}//平坦(*)让弗兰,7月18日2013,1月28日更新2016 *)

黄体脂酮素

(PARI){t(n,k)=f(k<0)k>n,0,n!/(N-K)!};米迦勒索摩斯11月14日2002*

(t){t(n,k)=i(a,p);如果(k<0)k>n,0,如果(n=0, 1,a=矩阵(n,n,i,j,x+(i=j));PoCoFeF(和)(i=1,n),如果(p=NuthPopm(n,i),PROD(j=1,n,a[j,p[j])),k))};/*米迦勒索摩斯,05年3月2004日

(哈斯克尔)

A00 827 9 N K= A000 827 9Tabl!!!K!

A000 827 9L行n=A00 827 99Tabl!n!

AA0827 99Tabl=迭代F(1)

f xs= ZIPOFF(+)([0)+ZIPOP(*)XS[1…])(XS++[ 0 ])

——莱因哈德祖姆勒,12月15日2013,11月18日2012

(圣人)

对于n的范围(8):[K(0,n)]中的FalnIg因子(n,k)彼得卢斯尼3月26日2015

(岩浆)/作为三角形[ [阶乘(n)/阶乘(N-K):K在[0…n] ]:n(0)。15)];文森佐·利布兰迪10月11日2015

交叉裁判

行和给出A000 0522.

囊性纤维变性。A000 1497A000 1498A1365.

t(n,0)=A000 0 12,t(n,1)=A000 00 27,t(n+1,2)=A000,t(n,3)=A000 75 31,t(n,4)=A052662和t(n,n)=A000 0142.

囊性纤维变性。A019538A090582AA09485A24827.

关键词

诺恩塔布容易核心

作者

斯隆

地位

经核准的

A130534 三角T(n,k),0 <=k<=n,按行读取,给出多项式(x+1)(x+2)…(x+n)的系数,在x+t(n,k)的递增幂中展开,也是无符号斯特灵数s(n+1,k+1),表示n=1个元素的排列数,它包含精确的k+1个循环。 + 10
五十二
1, 1, 1,2, 3, 1,6, 11, 6,1, 24, 50,35, 10, 1,120, 274, 225,85, 15, 1,720, 1764, 1624,735, 175, 21,1, 5040, 13068,13132, 6769, 1960,322, 28, 1,322, 28, 1,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

这个三角形是第一类斯特灵数三角形的一个未签名的版本,A000 8255这是这些数字的主要入口。-斯隆1月25日2011

或者,三角形T(n,k),0 <=k<=n,由[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,…]δ[1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,……]给出的行读取,其中δ是定义在A084938.

颠倒A094638.

等于A1323*A000 7318,作为无限的下三角矩阵。-菲利普德勒姆11月13日2007

约翰内斯·梅杰,OCT 07 2009:(开始)

定义了高阶指数积分E(x,m,n)。A16331. 指数积分E(x,m=1,n)~(Exp(-x)/x)*(1 -n/x+n*(n+1)/x^ 2 -n*(n+1)*(n+2)/x^ 3+)的渐近展开式看Abramowitz和斯蒂芬。这个公式遵循渐近展开的一般公式,参见A16932. 我们重写E(x,m=1,n)~(Exp(-x)/x)*(1 -n/x+(n^ 2 +n)/x^ 2 -(2×n+3×n^ 2 +n^ 3)/x^ 3 +(6*n+11*n^ 2+n*^ n+^ ^)/x^……),并观察到t(n,m)是分母中的多项式系数。看A(n,m)公式A024421A16932A16934并且,将上面给出的偏移移位到1,我们可以写出t(n-1,m -1)=a(n,m)=(- 1)^(n+m)*STRILG1(n,m),参见Maple程序。

渐近展开导致n的值从一到十一到已知序列,参见交叉引用。用这些序列可以形成三角形。A000 827(右栏)A09485(左手栏目)。

A16936有关这个三角形右手柱的O.G.F.S的信息。

(结束)

在置换中大于I的左边的元素的数量给出了反转向量的第i个元素。(Skyina PeMaMaJuu 2003 p 69)T(n,k)是在它们的反转矢量中具有完全K 0的n排列的数目。参见下面的Mathematica代码中的证据。-杰弗里·克里茨07五月2010

T(n,k)计数具有K+1树干的根树,在“自然生长”有根的树中具有n+2个节点。这对应于表示向量、Lie导数、或无穷小产生器的迭代导数的系数和正规群定律的总和。链接在A139605. -汤姆·科普兰3月23日2014

求精是A036039. -汤姆·科普兰3月30日2014

汤姆·科普兰,APR 05 2014:(开始)

初始n=1,t多项式为p(n,x)=x(x+1)…(x+n-1),x的幂对应于上面提到的“自然增长”森林的根树的树干的数目。每个树干允许M色,P(n,m)给出了这样的非平面彩色树的数目,每个树具有n + 1个顶点。

p(2,m)=m+m ^ 2=A000(m)=2**A000 0217(m)=2*的第一次下标A268363

p(3,m)=2m+3m ^ 2+m ^ 3=A000 75 31(m+ 2)=3A000 7290(m+1)=3*(第二次微分)A268363

p(4,m)=6m+11m ^ 2+6m ^ 3+m ^ 4=4A052662(m+ 3)=4A033(m)=4×第三次差。

来自JONI等人。Link,P(n,m)也表示在M可区分的旗杆上N个可区分的标志的配置。

完全图Kyn的色多项式是下降阶乘,它编码Kn n个顶点的着色,并给出了p(n,m)的移位版本。

对于行多项式:(1-y)^(-x)。

(结束)

不确定C(1)C(n)中n×n范德蒙矩阵V(n)的行列式Ⅴ(n)的导数的关系

v(n)=乘积{{ 1 <=j<k<=n}(c(j)-c(k))。设W(n,x)=v(n)×*(C(1)C(2)…c(n))^ x,然后p(n,x)=w ^(- 1)[c(1)d/dc(1)…c(n)d/dc(n)] w。这是Cayley恒等式的一个变型。见Celvv链接,第47页。-汤姆·科普兰4月10日2014

彼得巴拉,7月21日2014:(开始)

m表示下单元三角形阵列A09485对于k= 0,1,2,…定义M(k)为下单元三角形块阵

/IIK 0

0米/

具有K xk恒等式IIK作为左上块;特别是M(0)=m,则现在的三角形等于无穷矩阵乘积m(0)*m(1)*m(2)*…(这是明确定义的)。请参见示例部分。(结束)

对于这个上升阶乘的关系,Viennot的Laguerre故事的时刻,见Heyyi Link P. 4。-汤姆·科普兰,10月01日2015

也可以看作是N的钟形变换!没有列0(和移位枚举)。关于贝尔变换的定义见A26428. -彼得卢斯尼1月27日2016

推荐信

Sriram Pemmaraju和Steven Skiena,计算离散数学,剑桥大学出版社,2003,pp.69-71.[杰弗里·克里茨,五月07日2010

链接

诺伊,行n=0…50的三角形,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十印刷,1972,第5章,第227页-251页。[来自约翰内斯·梅杰,OCT 07 2009

A. ChervovCabeli恒等式的分解与全纯分解,ARXIV 1203.5759 [数学.QA],MAR 2012。[汤姆·科普兰4月10日2014

FUNSTAT-组合统计查找器排列的显著性数置换循环分解中的循环数.

Martin Griffiths第一类扩展斯特灵数的生成函数《整数序列》杂志,17(2014),第14.4页。

G. Hetyei第二类Mexnor多项式与SU(1,1)的量子代数,ARXIV预告ARXIV:909.4352 [数学,QA ],2009。

S. Joni,G. Rota和B. Sagan,从集合到函数:三个基本实例,离散数学,第37卷,第2-3页,第193-202页,1981页。[汤姆·科普兰,APR 05 2014

Matthieu Josuat Verges斯特灵数的Sql型FLI和古尔德恒等式的q-模预印本,2016。

Dennis Walsh关于无符号斯特灵数的一个注记

公式

t(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k> n或n<0,t(n,k)=t(n-1,k-1)+n*t(n-1,k)。t(n,0)=n!=A000 0142(n)。t(2×n,n)=A129505(n+1)。SUMU{{k,0 <=k<=n}t(n,k)=(n+1)!=A000 0142(n+1)。SuMu{{,0 <=k<=n} t(n,k)^=2A047996(n+1)。T(n,k)=ωSTRILIG1(n+1,k+1)1,参见A000 8255. (x+ 1)(x+1)…(x+n)=SuMu{{k,0 <=k<=n}t(n,k)*x^ k [由阿里伯斯7月11日2008

SuMu{{,0 <=k<=n}t(n,k)*x^ k=A000 0 07(n)A000 0142(n)A000 0142(n+1),A000 1710(n+1),A000 1715(n+1),A000 1720(n+1),A000 1725(n+1),A000 1730(n+1),A04988(n)A049 38(n)A04988(n)A051431(n)分别为x=1, 0, 1、2, 3, 4、5, 6, 7、8, 9, 10。-菲利普德勒姆11月13日2007

对于1 <=k<=n,设a= {a1,a2,…,aq}表示{1,2,…,n}的siZ-K子集。然后T(n,nk)=和(积(ai)),其中总和超过所有子集A,乘积超过i=1,..,k。例如,T(4,1)=50,因为(1)(2)(3)+(1)(2)(4)+(1)(3)(4)+(2)(2)(2)(γ)=γ。-丹尼斯·P·沃尔什1月25日2011

前面的公式是指t(n,k)=σ{n-k}(1,2,3,…,n)与(n- k)初等对称函数σ,其中不确定的选择为1,2,…n。参见10月24日2011的注释。A094638西格玛称为A.狼人郎,2月06日2013。

三角形的第n行= M^ n的顶行,其中M是生成矩阵:

1, 1

1, 2, 1

1, 3, 3,1

1, 4, 6,4, 1

-加里·W·亚当森,朱尔08 2011

指数Riordon阵列[1 /(1 -x),log(1 /(1 -x))]。递归:t(n+1,k+ 1)=SuMu{{i=0,n-k}(n+1)!/(n+1 - 1)!*T(n i,k)。-彼得巴拉7月21日2014

例子

三角T(n,k)开始:

n k 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8…

n=0∶1

n=1∶1=1

n=2∶2、3、1

n=3∶6、11、6、1

N=4:24 50 35 35 10

n=5∶120 274 274 225 85 15 1

n=6∶720 1764 1764 1624 735 175 21 1

n=7∶5040、13068、13132、6769、1960、322、28 1

n=8∶40320 109584 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1

n=9∶362880, 1026576, 1172700、723680, 269325, 63273、9450, 870, 45、1;

n=10∶3628800, 10628640, 12753576、8409500, 3416930, 902055、157773, 18150, 1320、55, 1。

[重新格式化和扩展]狼人郎,FEB 05 2013

t(3,2)=6,因为{1,2,3,4}在它们的反转向量中有6个恰好有2个0的排列:{1, 2, 4,3 },{1, 3, 2,4 },{1, 3, 4,2 },{2, 1, 3,4 },{ 4,}},{,}。各自的反演向量是:{ 0, 0, 1 },{ 0, 1, 0 },{ 0, 2, 0 },{ 1, 0, 0 },{ 2, 0, 0 },{ 3, 0, 0 }。-杰弗里·克里茨07五月2010

t(3,1)=11,因为{1,2,3,4}恰好有11个排列,正好有2个循环,即,(1)(234),(1)(243),(2)(134),(2)(143),(3)(124),(())。

(4)(123)、(4)(143)、(12)(34)、(13)(24)和(14)(23)。-丹尼斯·P·沃尔什1月25日2011

彼得巴拉,7月21日2014:(开始)

在注释部分中定义数组M(k),无穷乘积m(0*)m(1)*m(2)*…开始

/ 1/1/1/1

1,1,0,1,0,1,1,1

2,2,1,0,1,1,0,0,1,…=2 3 3 1

(6)6,1,1,0,2,2,1,0,0,1,1;

24、24、12、4、1、0、6、6、3、1、0、0、0、1

………………γ

(结束)

枫树

用(组合):A130534= PoC(n,m):(- 1)^(n+m)*斯特林1(n+1,m+1)结束Pro:SEQ(SEQ)A130534(n,m),m=0…n),n=0…10);约翰内斯·梅杰,OCT 07 2009,修订9月11日2012

函数的定义是A26428.

α添加(1, 0, 0,0,…)作为列0(并移位枚举)。

贝尔矩阵(n> n!9);彼得卢斯尼1月27日2016

Mathematica

表[表] [选择[map [ toin Vistor向量,置换[m] ],计数[*,0 ]=n&],{n,0,m- 1 },{m,0, 8 } //Grid(*)杰弗里·克里茨,五月07日2010 *)

行=10;

T =范围[ 0,行]!

T[N],KY]:=腹[n,k,t];

表[t[n,k],{n,1,行},{k,1,n} / /平坦(*)让弗兰6月22日2018后彼得卢斯尼*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A130534 N K=A130534×Tabl!!!K!

A130534,行n=A130534×Tabl!n!

A130534×Tabl=MAP(MAP ABS)A00 8255A表

——莱因哈德祖姆勒3月18日2013

交叉裁判

A000 8255这是这些数字的主要入口;A094638(反向行)。

Diagonals:A000 0 12 A000 0217 A000 0914 A000 1303 A000 0915 A053567 A112002 A191685. 专栏A000 0142 A000 0254 A000 0399 A000 045 A000 082 A000 1233 A000 1234.

约翰内斯·梅杰,OCT 07 2009:(开始)

行和相等A000 0142.

渐近展开导致A000 0142(n=1)A000 0142(n=2;减去A(0));A000 1710(n=3)A000 1715(n=4)A000 1720(n=5)A000 1725(n=6)A000 1730(n=7)A04988(n=8)A049 38(n=9)A04988(n=10)A051431(n=11)A000 827A09485.

囊性纤维变性。A16331(e(x,m,n))A024421(m=2),A16932(m=3),A16934(m=4),A16936.

(结束)

囊性纤维变性。A13666.

关键词

诺恩塔布

作者

菲利普德勒姆,八月09日2007

地位

经核准的

A000 1705 广义斯特灵数:A(n)=n!* SuMu{{K=0…n-1 }(k+1)/(N-K)。
(原M39 44 N1625)
+ 10
四十四
0, 1, 5、26, 154, 1044、8028, 69264, 663696、6999840, 80627040, 1007441280、13575738240, 196287356160, 3031488633600、49811492505600, 867718162483200, 15974614352793600、309920046408806400, 632004602858496000、1351538、60884608000、302447、605、1557、84704万 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

第一n次谐波数的部分和乘以n!A(n)=n!*求和[求和〔1/k,{k,1,m }〕,{m,1,n}=n!*求和[ h(m),{m,1,n}],Wrreh(m)=和(1/k,{k,1,m})=A000 1008(m)/A000 2805(m)是m次谐波数。

贡献来自埃米里埃德奇,9月22日2008:(开始)

A(n)也是[n]所有排列中右到左极小值的和。例如:A(3)=26,因为排列123132213231312和321中的右到左最小值的位置分别为123, 13, 23、3, 23和3,1和+2+3+1+3+++++++++++=α。

A(n)=和(k*)A1439 47(n,k),k= n.n*(n+1)/ 2)。(结束)

高阶指数积分E(x,m=2,n=2)~EXP(-x)/x^ 2*(1-5/x+26/x^ 2 - 154/x^ 3+1044/x^ 4/8028/x^+/x^……)的渐近展开式得到了上述的序列。A16331A024421欲了解更多信息。-约翰内斯·梅杰10月20日2009

A(n)是[n+1]的所有排列中的循环总数(不包括固定点)的总数。[奥利维尔·G·拉德,10月23日2012;12月31日2012

通过在(0,1)中随机选择(一个一个)n个实数,形成长度n序列。A(n)/(n + 1)!是新的最大值之和在这样的序列中的期望值。例如,对于n=3:如果我们选择(按这个顺序):0.591996、0.646474、0.163659,我们将添加0.591996 +0.646474,这将是A(3)/4的平均值之上的一点。= 26/24。-杰弗里·克里茨10月17日2013

推荐信

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

G. C. Greubeln,a(n)n=0…445的表(0至100项由T. D. Noe提供)

J.L.Ball,S. Kirgizov,置换的纯下降统计量预印本,2016。

英里亚算法项目组合结构百科全书406

D. S. Mitrinovic,M. S. Mitrinovic,de Stirling表BeoGad大学。Pubi。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫Fiz。77(1962)。

Robert E. Moritz关于n个连续整数乘积的和美国华盛顿大学数学出版物,1(第3, 1926号),44-49 [注释扫描副本]

J. Riordan04/11/74

J. Riordan信06卷1978

公式

E.g.f.:-log(1 -x)/(1 -x)^ 2。A(n)=(n+1)!*H[n] -n*n!,H[n]=SuMu{{K=1…n}(1/k)。

A(n)=A112866(n,1)。

A(n)=A(n-1)*(n+1)+n!=A000 0254(n+1)-A000 0142(n+1)=A067 176(n+1, 1)。[亨利贝托姆利,09月2002日

A(n)=SuMu{{K=0,…,n-1 }((- 1)^(n-1 +k)*(k+ 1)* 2 ^ k*斯特灵1(n,k+1))。- Borislav Crstici(BCRSTI(AT)ETV.UTT·RO),1月26日2004

交替符号:RAMANUUN1多项式PSII2(n,x)在0评估。-拉尔夫斯蒂芬4月16日2004

A(n)=SuMu{{K=1,..,n}(k*斯特灵循环[n+1,k+1)]。-戴维卡兰9月25日2006

对于n>=1,a(n)=SuMu{{=0,…,n-1 }((-1)^(nj-1)* 2 ^ j *(j+1)*斯特林1(n,j+1))。-米兰扬吉克12月14日2008

a(n)=(2×n+1)*a(n-1)-n ^ 2*a(n-2)。-加里德莱夫斯11月27日2009

A(n)=(n+1)!*(H(n+1)- 1)其中H(n)是第n次谐波数。-加里德莱夫斯12月18日2009

A(n)=n!* Suthi{{K=1…n}((- 1)^(k+ 1)*二项式(n+1,k+1))/k。-弗拉迪米尔克鲁钦宁10月10日2016

例子

(1-x)^ 2*(-log(1-x))=x+5/2×x ^ 2+13/3×x ^ 3+77/12×x^ 4+…

例子:A(6)=6!*(1/6+2/5+3/4+4/3+5/2+6/1)=8028;a(20)=20;*(1/20+2/19+3/18+4/17+5/16+…+16/5+17/4+18/3+19/2+20/1)=1351538 68 60846080万。-亚力山大亚当丘克,10月09日2004

奥利维尔·G·拉德,12月31日2012:(开始)

The cycle decomposition of all permutations of 4 elements gives the following list: {{{1},{2},{3},{4}}, {{1},{2},{3,4}}, {{1},{2,3},{4}}, {{1},{2,4,3}}, {{1},{2,3,4}}, {{1},{2,4},{3}}, {{1,2},{3},{4}}, {{1,2},{3,4}}, {{1,3,2},{4}},{{1,4,3,2}}, {{1,3,4,2}}, {{1,4,2},{3}}, {{1,2,3},{4}}, {{1,2,4,3}},{{1,3},{2},{4}}, {{1,4,3},{2}}, {{1,3},{2,4}}, {{1,4,2,3}}, {{1,2,3,4}}, {{1,2,4},{3}}, {{1,3,4},{2}}, {{1,4},{2},{3}}, {{1,3,2,4}}, {{1,4},{2,3}}}.

Deleting the fixed points gives the following 26 items: {{3,4}, {2,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,4}, {1,2}, {1,2}, {3,4}, {1,3,2}, {1,4,3,2}, {1,3,4,2}, {1,4,2}, {1,2,3}, {1,2,4,3}, {1,3}, {1,4,3}, {1,3}, {2,4}, {1,4,2,3}, {1,2,3,4}, {1,2,4}, {1,3,4}, {1,4}, {1,3,2,4}, {1,4}, {2,3}}. (结束)

枫树

A: = N->加法((n + 1)!/k,k=2,n+1):SEQ(a(n),n=0…21);零度拉霍斯1月22日2008;编辑约翰内斯·梅杰11月28日2012

答:= n>((n+1)!*(H(n+1)-1)):H=n->调和(n):SEQ(a(n),n=0…21);加里德莱夫斯12月18日2009;更正约翰内斯·梅杰11月28日2012

Mathematica

表[n!*求和[求和〔1/k,{k,1,m }〕,{m,1,n},{n,0, 20 }〕(*)亚力山大亚当丘克4月14日2006*)

黄体脂酮素

(极大值)

A(n):= n!*和((- 1)^(k+ 1)*二项式(n+ 1,k+1))/k,k,1,n);弗拉迪米尔克鲁钦宁10月10日2016*

(PARI)为(n=0, 25,Prrt1(n)!*和(k=0,n-1,(k+ 1)/(n- k)),“,()))格鲁贝尔1月20日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0254(置换中的循环总数,包括不动点),A000 66 75.

囊性纤维变性。A000 1008A000 2805.

囊性纤维变性。A1439 47.

与N有关!*调和数的k次连续求和:

(k=0)A000 0254,(k=1)A000 1705,(k=2)A000 1711,(k=3)A000 1716

(k=4)A000 1721,(k=5)A051524,(k=6)A051545,(k=7)A051560

(k=8)A051562,(k=9)A051564.

囊性纤维变性。A000 2104(排列中没有固定点的不同周期数)。

囊性纤维变性。A000 623(排列中的不同周期数,包括不动点)。

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

更多条款萨沙库尔茨3月22日2002

2交叉参考添加奥利维尔·G·拉德12月31日2012

地位

经核准的

A000 1715 A(n)=n!6。
(前M3566 N1445)
+ 10
四十三
1, 4, 20,120, 840, 6720,60480, 604800, 6652800,79833600, 1037836800, 14529715200,217945728000, 3487131648000, 59281238016000,1067062284288000, 20274183401472000, 405483668029440000,851515702861824000,18733 345 4629 60128万,430866 945 64 80829 44万 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

3、2

评论

这些数字(4, 20, 120,840, 6720,…)来自一般公式A(n)=n*(n+1)*(n+1)*(n+3)*(n+3)*中的除数值。*(n+k)*(n*(n+k)+(k-1)*k/ 6)/((k+1))!/ 6)(覆盖以下序列:A000 057A000 0537A024166A101091A101097A10102-亚力山大·R·波洛夫茨基5月17日2008

A(n)也是置换分解中减少的3个周期的数目,作为不相交的周期的乘积,A(3)=1,A(4)=4,A(5)=20。-文锦坞12月21日2008

等于三角形的特征序列A130128反射。-加里·W·亚当森12月23日2008

A(n)是具有1, 2个和3个三个不同周期的n置换的数目。-杰弗里·克里茨4月26日2009

贡献来自约翰内斯·梅杰,10月20日2009:(开始)

高阶指数积分E(x,m=1,n=4)~EXP(-x)/x*(1—4/x+20/x^ 2 - 120/x^ 3+840/x^ 4—6720/x^ 5+5/x^α-/x^+…)的渐近展开式导致上面给出的序列。A16331A130534欲了解更多信息。

(结束)

A(n)=A1733(n,3)。-莱因哈德祖姆勒2月19日2010

A(n)=A245334(n,n-3)/ 4。-莱因哈德祖姆勒8月31日2014

推荐信

Mitrinovic,D. S.;米特里诺维奇,R. S.;《斯特灵》。贝格格拉德大学耻骨。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫Fiz。77号1962, 77页。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

Vincenzo Librandin,a(n)n=3…200的表

Somaya Barati,贝塔尼,Abbas Jafarzadeh,Daniel Yaqubi,混合约束斯特灵数,阿西夫:1812.02955(数学,Co),2018。

英里亚算法项目组合结构百科全书263

W. Lang关于斯特灵数三角形的推广J.整数SEQS,第3卷(2000),γ.00 .2.4。

Alexsandar Petojevic函数vMym(s;a;z)及一些著名序列《整数序列》杂志,第5卷(2002),第02.1.7条

A. N. StokesRiccati方程的连分式解公牛。南方的。数学SOC。第25卷(1982),207—214页。

可分性序列索引

与阶乘数相关的序列的索引条目

公式

如果偏移0:1 /(1-x)^ 4。

G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1 /(1 -x/(x+1(/ k+4)/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,军01 2013

G.f.:W(0),其中W(k)=1××(k+ 4)/(x*(k+4)- 1 /(1 -x*(k+1)/(x*(k+1)-1/w(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月26日2013

彼得巴拉,5月22日2017:(开始)

O.G.F. A(x)满足Riccati方程x^ 2*a’(x)+(4×x - 1)*a(x)+1=0。

G.f.作为s-分数:a(x)=1(/ 1×4×x/(1×x/)(1 - 5×x/(1 - 2×x/)(1 - 6×x/)(1 - 3×x/(…)-…-(n+ 3)*x/(1 -n*x/(1 -…(应用斯托克斯,1982)。

a(x)=1(/ 1×3×x - /(1 - 4×x/)(1 - 2×x/(1 - 5×x/)(1 - 3×x/)(1 - 1×x /(…)-…-n*x/(1 -(n+1)*x/(1 -…(结束)

枫树

F: = PROC(n)n!6;结束;

BB:=[s,{s=PROD(z,z,c),c=联合(b,z,z),b=PROD(z,c)},标记]:SEQ(COMPREST [B](BB,St=N)/ 12,n=3…20);零度拉霍斯6月19日2008

g(x):=1(/1-x)^ 4:F[0 ]:=g(x):对于n从1到18,f[n]:=dif(f[n-1),x)OD:x:=0:SEQ(f[n],n=0…16);零度拉霍斯,APR 01 2009

Mathematica

a[n]:= n!6;弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基12月13日2008*)

范围[ 3, 30 ]!/ 6(*)哈维·P·戴尔8月12日2012*)

黄体脂酮素

(岩浆)[阶乘(n)/ 6:n在[3…30 ] ]中;文森佐·利布兰迪6月20日2011

(PARI)A(n)=n!6查尔斯1月12日2012

(哈斯克尔)

A000 1715=(翻转div 6)。A000 0142莱因哈德祖姆勒8月31日2014

交叉裁判

A(n)=A049 352(N-2,1)(三角形的第一列)。囊性纤维变性。A04408A04460.

囊性纤维变性。A034A130128.

囊性纤维变性。A245334A000 0142A111530.

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

更多条款哈维·P·戴尔8月12日2012

地位

经核准的

A000 1720 A(n)=n!24。
(原M39 60 N1634)
+ 10
四十二
1, 5, 30、210, 1680, 15120、151200, 1663200, 19958400、259459200, 3632428800, 54486432000、871782912000, 14820309504000, 266765571072000、5068545850368000, 101370917007360000, 212878925715456000、468、3636365、7000、32000、1077、167364、120、207、36万 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

4、2

评论

高阶指数积分E(x,m=1,n=5)~Exp(-x)/x*(1—5/x+30/x^ 2 - 210/x^ 3+1680/x^ 4—15120/x^ 5+5/x^α-/x^+…)的渐近展开式导致上面给出的序列。A16331A130534欲了解更多信息。-约翰内斯·梅杰10月20日2009

A(n)=A1733(n,4)。-莱因哈德祖姆勒2月19日2010

A(n)=A245334(n,n-4)/ 5。-莱因哈德祖姆勒8月31日2014

推荐信

Mitrinovic、D. S.、米特里诺维奇、R. S.、诺布雷斯的《斯特灵》。贝格格拉德大学耻骨。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫Fiz。77号1962, 77页。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

Vincenzo Librandin,a(n)n=4…300的表

塞尔达,求解BoCAR-RAMANUJYA丢番图方程n的一个简单方案+1=m ^ 2,阿西夫:1504.06694(数学,NT),2015。

英里亚算法项目组合结构百科全书264

W. Lang关于斯特灵数三角形的推广J.整数SEQS,第3卷(2000),γ.00 .2.4。

Alexsandar Petojevic函数vMym(s;a;z)及一些著名序列《整数序列》杂志,第5卷(2002),第02.1.7条

可分性序列索引

与阶乘数相关的序列的索引条目

公式

E.g.f.:X^ 4/(1-x)^ 5。

Mathematica

a[n]:= n!24;弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基12月13日2008*)

黄体脂酮素

(岩浆)[阶乘(n)/ 24:n在[4…25 ] ]中;文森佐·利布兰迪7月20日2011

(PARI)A(n)=n!24查尔斯1月12日2012

(哈斯克尔)

A000 1720=(翻转div 24)。A000 0142莱因哈德祖姆勒8月31日2014

交叉裁判

囊性纤维变性。A049A051338. A(n)=A049 353(n-3,1)(第一列三角形)。

囊性纤维变性。A245334A000 0142.

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

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