搜索： a162795-编号：a162796
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参考文献
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D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》，国会数值，第206卷（2010年），第157-191页
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]arXiv:1004.3036v2，[math.CO]，2010年。
史蒂文·芬奇，牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可，缓存副本]
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例子
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0.2256529142...
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数学
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T=1；t[0]=0；t[1]=1；lst={1}；
Do[twon=2^n；Tmin=1；imin=1；
Do[如果[i==twon，t[i]=twon，
t[i]=2*t[i-twon]+t[i-town+1]；
如果[OddQ[i]，T=T+T[i]；
T测试=T/（i*i）]；
如果[Ttest<imin，Tmin=Ttest；imin=i]]，
{i，twon，2*twon-1}]；
附录[lst，imin]，
{n，1，15}]；
第一次
N[T最小值，10]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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3, 5, 11, 25, 43, 89, 179, 361, 727, 1459, 2921, 5843, 11689, 23383, 46769, 93543, 187093, 374193, 748391, 1496785, 2993575, 5987157, 11974321, 23948647, 47897299, 95794607, 191589221, 383178449, 766356903, 1532713827, 3065427663, 6130855333, 12261710675, 24523421357, 49046842723
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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注意，这个序列中的所有值都是奇数，a（n）大约是2*a（n-1）。
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参考文献
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D.Applegate、O.E.Pol和N.J.A.Sloane，《牙签序列和细胞自动机中的其他序列》，《国会数字》第206卷（2010年）第157-191页。
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链接
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史蒂文·芬奇，牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可，缓存副本]
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数学
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T=1；t[0]=0；t[1]=1；lst={1}；
Do[twon=2^n；Tmin=1；imin=1；
Do[如果[i==twon，t[i]=twon，
t[i]=2*t[i-twon]+t[i-town+1]；
如果[OddQ[i]，T=T+T[i]；
T测试=T/（i*i）]；
如果[Ttest<Tmin，Tmin=Ttest；imin=i]]，
{i，twon，2*twon-1}]；
附录[lst，imin]，
{n，1，15}]；
第一次
N[T最小值，10]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A147562型
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| “乌兰巴顿”二维细胞自动机中第n阶段的“ON”细胞数。 |
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0, 1, 5, 9, 21, 25, 37, 49, 85, 89, 101, 113, 149, 161, 197, 233, 341, 345, 357, 369, 405, 417, 453, 489, 597, 609, 645, 681, 789, 825, 933, 1041, 1365, 1369, 1381, 1393, 1429, 1441, 1477, 1513, 1621, 1633, 1669, 1705, 1813, 1849, 1957, 2065, 2389, 2401, 2437, 2473
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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约1960年由Holladay和Ulam研究。参见Ulam参考的图1和示例1-N.J.A.斯隆，2009年8月2日。
Singmaster将其称为Ulam-Warburton细胞自动机-N.J.A.斯隆2009年8月5日
在无限正方形网格上，从关闭所有单元格开始。
将单个电池转到ON状态。
在接下来的每一步中，每个相邻的单元都被打开，并且所有已经打开的单元都保持打开状态。
这里的“neighbor”是指X和Y方向上的四个相邻单元。
注意，“neighbor”可以同样地指对角线方向上的四个相邻单元，因为由Z^2构成的带有“一步rook”邻接的图与带有“一步法bishop”邻接关系的Z^2同构。
此外，Wolfram的“规则558”或“规则686”基于5细胞von Neumann邻域定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月10日
a（n）也是牙签结构中4*n个阶段后“隐藏十字”的总数A139250型，包括中央十字，当其核完全由4个四边形组成时，开始计算十字。
请注意，两种牙签结构中“隐藏十字架的细胞核”和“六瓣花”的位置与此序列中“一步主教”版本中“ON”细胞的位置基本相同（参见初始术语的图示，图2）。（结束）
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参考文献
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S.Ulam，《关于与数字增长模式相关的一些数学问题》，R.E.Bellman编辑，第215-224页，《生物科学中的数学问题》。交响乐。应用数学。，第14卷，美国。数学。Soc.，1962年。
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第928页。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
史蒂文·芬奇，牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可，缓存副本]
黄显奎（Xien-Kuei Hwang）、斯万特·简森（Svante Janson）和蔡宗希（Tsung-Hsi Tsai），分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡，arXiv:2210.10968[cs.DS]，2022年，第31页。
N.J.A.斯隆，激励数序列（谈话视频），2021年3月5日
N.J.A.Sloane和Brady Haran，非常棒的牙签图案，数字视频（2018）。
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配方奶粉
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对于n>1，a（n）=1+4*Sum_{k=1..n-1}3^（wt（k）-1），其中wt（）=A000120号（）。[由更正保罗·沙萨，2022年8月12日]
（结束）
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例子
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如果我们用连续的数字标记细胞的世代，我们会得到一个rosetta细胞模式：
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4。
. . . . . . . 4 3 4 . . . . . . .
. . . . . . 4。2 . 4 . . . . . .
. . . . . 4 3 2 1 2 3 4。
. . . . . . 4 . 2 . 4 . . . . . .
. . . . . . . 4 3 4 . . . . . . .
. . . . . . . . 4 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
在第一代中，只有中央“1”为ON，a（1）=1。在下一代中，我们打开四个“2”，导致a（2）=a（1）+4=5。在第三代中，四个“3”被打开，a（3）=a（2）+4=9。在第四代中，四个机翼中的每一个都允许打开三个4，a（4）=a（3）+4*3=21。
同样，写为不规则三角形T（j，k），j>=0，k>=1，其中行长度是A011782号:
1;
5;
9, 21;
25, 37, 49, 85;
89, 101,113,149,161,197,233,341;
345,357,369,405,417,453,489,597,609,645,681,789,825,933,1041,1365;
...
（结束）
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MAPLE公司
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#上单元格的[x，y]坐标
Lse:=[[0，0]]；
#上的单元格的封闭矩形（即Lse中的最小值和最大值）
xmin：=0；
x最大值：=0；
ymin:=0；
ymax:=0；
#数一数x，y上的邻居；如果[x，y]在L中，则返回0
cntnei:=进程（x，y，L）
本地a、p、xpt、ypt；
a:=0；
如果L中没有[x，y]，则
Lse do中的p
xpt:=op（1，p）；
密码：=op（2，p）；
如果（abs（xpt-x）=1且ypt=y）或（x=xpt且abs（ypt-y）=1），则
a:=a+1；
fi；
操作：
图1：
返回（a）；
结束时间：
#世代/步骤循环
对于1到10 do的stp
L新：=[]；
对于x从xmin-1到xmax+1 do
对于y，从ymin-1到ymax+1 do
如果cntnei（x，y，Lse）=1，则
Lnew:=[op（Lnew），[x，y]]；
fi；
操作：
操作：
Lnew do中的p
xpt:=op（1，p）；
密码：=op（2，p）；
xmin：=最小值（xmin，xpt）；
xmax:=最大值（xmax，xpt）；
ymin：=分钟（ymin，ypt）；
ymax:=最大值（ymax，ypt）；
操作：
Lse：=[op（Lse），op（Lnew）]；
打印（nops（Lse））；
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数学
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连接[{0}，映射[Function[Apply[Plus，Flatten[#1]]]，CellularAutomaton[{686，{2，{0,2,0}(*纳迪娅·亨宁格和N.J.A.斯隆2009年8月11日；修改人保罗·沙萨，2022年8月12日，包括a（0）项*）
数组图/@CellularAutomaton[{686，{2，{0,2,0}，{2,1,2}，}0,2,0}}}，f1，1}}(*N.J.A.斯隆2014年11月8日*）
A147562list[nmax_]：=累加[Join[｛0，1｝，4*3^（数字计数[范围[nmax-1]，2，1]-1）]]；A147562列表[100](*保罗·沙萨2023年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n，1+4*和（k=1，n-1，3^（hammingweight（k）-1）），0）\\米歇尔·马库斯，2022年7月5日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000120号,A139250型,A147582号（第n步时数字开启），A147610型,A130665型,A151920号,A151917号,A160120型,A160164号,A160410型,A160414型,A162795号,A169707号,A187220型,A246331型,A323650型.
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关键字
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, 20, 24, 32, 33, 34, 36, 40, 48, 64, 65, 66, 68, 72, 80, 96, 128, 129, 130, 132, 136, 144, 160, 192, 256, 257, 258, 260, 264, 272, 288, 320, 384, 512, 513, 514, 516, 520, 528, 544, 576, 640, 768, 1024, 1025, 1026, 1028, 1032
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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除了最初的1，2的两个不一定不同的幂的和。
4不除以C（2s-1，s）(=2017年1月[s]）当且仅当s=a（n）。
正多边形的可能边数，使得存在三角形，其中每个三角形都是等腰的-森彭Eu2008年5月7日
还将n编号为n/2^（n-2）是一个整数-米歇尔·拉格诺2011年3月28日
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链接
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配方奶粉
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设Theta=Sum_{k>=0}x^（2^k）。然后求和{n>=1}x^a（n）=（Theta^2+Theta+x）/2-N.J.A.斯隆2009年6月23日
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例子
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1;
2；
3, 4;
5、6、8；
9, 10, 12, 16;
17, 18, 20, 24, 32;
33, 34, 36, 40, 48, 64;
65, 66, 68, 72, 80, 96, 128;
...
似乎包含至少两个项的每行中的第一个差异给出了2的前h-1次幂，其中h是行的长度。
（结束）
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MAPLE公司
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lincom:=proc（a，b，n）局部i，j，s，m；s： ={}；对于i从0到n，do对于j从0到ndom：=a^i+b^j；如果m<=n，则s:={op（s），m}fiod；od；lprint（排序（[操作]））；结束语：lincom（2,21000）#零入侵拉霍斯2007年2月24日
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（插入）
a048645 n k=a048645_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a048645_row n=a048645 _ tabl！！（n-1）
a048645_tabl=迭代（\xs->insert（2*head xs+1）$map（（*2））xs）[1]
a048645_list=连接a048645表
（PARI）isok（n）=我的（hw=体重（n））；（hw==1）| |（hw==2）\\米歇尔·马库斯2016年3月6日
（PARI）a（n）=如果（n<=2，返回（n），n-=2）；我的（c=（平方（8*n+1）-1）\2）；1<<c+1<<（n-二项式（c+1，2））\\大卫·A·科内斯2019年1月2日
（PARI）nxt（n）=msb=1<<logint（n，2）；如果（n==msb，n+1，t=n-msb；n+t）\\大卫·A·科内斯2019年1月2日
（Python）
定义确定（n）：返回1<=bin（n）[2:].count（'1'）<=2
打印（[k表示范围（1033）中的k，如果ok（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月22日
（Python）
从itertools导入计数，islice
def agen（）：#术语生成器
对于计数（0）中的d：
msb=2**天
屈服msb
对于范围（d）内的lsb：
产量msb+2**lsb
打印（列表（islice（agen（），60））#迈克尔·布拉尼基2022年1月22日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A018900型,A048623号,A046097号,A169707号,A147562型,A162795号,A003056号,A002262号,A094373号,A028310号,A179951号.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A169707号
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| 使用von Neumann邻域的“规则750”定义的二维细胞自动机第n阶段的ON细胞总数。 |
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+10
26
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1, 5, 9, 21, 25, 37, 57, 85, 89, 101, 121, 149, 169, 213, 281, 341, 345, 357, 377, 405, 425, 469, 537, 597, 617, 661, 729, 805, 889, 1045, 1241, 1365, 1369, 1381, 1401, 1429, 1449, 1493, 1561, 1621, 1641, 1685, 1753, 1829, 1913, 2069, 2265, 2389, 2409, 2453, 2521
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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方形网格，每个单元格有4个邻居（N、E、S、W单元格），如果正好有1个或3个邻居打开，则打开；一旦开启，电池将保持开启状态。
偏移量1最适合给出a（n）的公式，尽管Maple和Mathematica程序索引从状态0开始的状态。
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参考文献
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S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第928页。
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链接
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配方奶粉
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a（2^k+i）=（4^（k+1）-1）/3+4*A246336号（i） ，对于k>=0，0<=i<2^k。例如，如果n=15=2^3+7，那么k=3，i=7，我们有一个（15）=（4^4-1）/3+4*A246336号(7) = 85 + 4*49 = 281.
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例子
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自然分成大小为1、2、4、8、16…的块：
1,
5, 9,
21, 25, 37, 57,
85、89、101、121、149、169、213、281，<-第8至15条
341, 345, 357, 377, 405, 425, 469, 537, 597, 617, 661, 729, 805, 889, 1045, 1241,
1365, 1369, 1381, 1401, 1429, 1449, 1493, 1561, 1621, 1641, 1685, 1753, 1829, 1913, 2069, 2265, 2389, 2409, 2453, 2521, ...
1;
5;
9, 21;
25, 37, 57, 85;
89, 101, 121, 149, 169, 213, 281, 341;
345, 357, 377, 405, 425, 469, 537, 597, 617, 661, 729, 805, 889, 1045, 1241, 1365;
似乎T（j，k）=A162795号（j，k）=A147562型（j，k），如果k是2的幂，例如：所提到的三个三角形似乎只共享第1、2、4、8、16列中的元素。。。
（结束）
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MAPLE公司
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（Maple程序使用自动机的实际定义，而不是（推测的）公式，来自N.J.A.斯隆2015年2月15日）：
#计算多项式中的项：
C:=f->`if`（类型（f，`+`），nops（f），1）；
#将所有非零系数替换为1：
bool:=proc（f）局部ix，iy，f2，i，t1，t2，A；
f2：=展开（f）；
如果whattype（f）=`+`那么
t1:=nops（f2）；A： =0；
对于从1到t1的i，做t2：=op（i，f2）；ix：=度数（t2，x）；iy:=度（t2，y）；
A： =A+x^ix*y^iy；od:A；
否则ix：=度（f2，x）；iy:=度（f2，y）；x^ix*y^iy；
fi；
结束；
M： =20；
F： =x*y+x/y+1/x*y+1/x/y模块2；
GG[0]：=1；
对于从1到M的n，做dd[n]：=展开（F*GG[n-1]）mod 2；
GG[n]：=布尔（GG[n-1]+dd[n]）；
l打印（n，C（GG[n]），C（GG[n]-GG[n-1]））；操作：
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数学
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Map[Function[Apply[Plus，Flatten[#1]]]，CellularAutomaton[{750，{2，{0,2，0}，{2,1，2}，}
数组绘图/@CellularAutomaton[{750，{2，{0,2,0}，{2,1,2}
Map[Function[Apply[Plus，Flatten[#1]]]，CellularAutomaton[{750，{2，{2,0,2}，{0,1,0}，}，[2]，{1,1}}
数组绘图/@CellularAutomaton[{750，{2，{2、0、2}、{0、1、0}、}、1、1}、1}}、0}}，23]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A169708号（第一个差异），A147562型,A147582号,169648英镑,A169649号,A169709号,1976年1月,A246333型,A246334号,A246335型,A246336号,A253098型（部分金额）。
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 4, 9, 18, 27, 36, 49, 74, 95, 104, 117, 142, 167, 192, 229, 302, 359, 368, 381, 406, 431, 456, 493, 566, 627, 652, 689, 762, 835, 908, 1017, 1234, 1399, 1408, 1421, 1446, 1471, 1496, 1533, 1606, 1667, 1692, 1729, 1802, 1875, 1948, 2057, 2274, 2443, 2468
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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T形牙签由三根长度相等的牙签组成，呈T形。有三个端点。我们把顶部牙签的中间称为枢轴点。
我们从0轮开始，没有T型牙签。
在第一轮比赛中，我们在飞机上的任何地方放置了一根T形牙签。
在第二轮，我们放置了另外三根T型牙签。
等等。。。
添加新T形牙签的规则如下。在任何暴露的端点添加一个新的T形牙签，枢轴点接触端点，使新牙签的横杆垂直于暴露的端点。
该序列给出了n轮后T型牙签的数量。A160173号（第一个差异）给出了第n轮添加的数字。
在无限方形网格上，T形牙签可以表示为一个从中心点起具有三个分量的方形多棱体：同一直线上的两个连续分量和一个中心正交分量。
如果T型牙签有三个组件，那么在第n轮结构是一个有3*a（n）组件的多棱体。
有关配方和更多信息，请参阅Applegate-Pol-Sloane论文第11章“T形牙签”。另请参见A160173号.
此外，这个序列可以用另一种结构来说明，在这种结构中，每个T形牙签都被一个等腰直角三角形所取代。（结束）
与的股份A255366型一些具有相同索引的项，例如元素a（43）=1729，Hardy-Ramanujan数-奥马尔·波尔2015年11月25日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]，
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配方奶粉
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数学
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wt[n]：=数字计数[n，2，1]；
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交叉参考
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囊性纤维变性。A139250型,A139251号,A147562型,A160120型,A160160型,A160164号,A160170型,A160173号,A160406型,A160408型,A160426号,A160800个,A162795号,A169707号,A187220型,A255366型,A256260型.
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关键字
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非n,美好的,已更改
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作者
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经核准的
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0, 2, 6, 14, 22, 30, 42, 70, 86, 94, 106, 134, 154, 182, 222, 310, 342, 350, 362, 390, 410, 438, 478, 566, 602, 630, 670, 758, 814, 906, 1046, 1302, 1366, 1374, 1386, 1414, 1434, 1462, 1502, 1590, 1626, 1654, 1694, 1782, 1838, 1930, 2070, 2326, 2394, 2422, 2462
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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MAPLE公司
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数学
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术语=100；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 5, 6, 9, 14, 21, 22, 25, 30, 37, 42, 53, 70, 85, 86, 89, 94, 101, 106, 117, 134, 149, 154, 165, 182, 201, 222, 261, 310, 341, 342, 345, 350, 357, 362, 373, 390, 405, 410, 421, 438, 457, 478, 517, 566, 597, 602, 613, 630, 649, 670, 709, 758, 793, 814, 853, 906, 965, 1046, 1173, 1302, 1365, 1366, 1369, 1374
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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使用von Neumann邻域（参见A169707号). 因此，a（n）也是该细胞自动机NW-NE-SE-SW版本四个象限之一中n+1阶段ON细胞的总数。
另请参阅公式部分。
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链接
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配方奶粉
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例子
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同样，写为一个不规则三角形，其中的行长度是A011782号（n的组成数，n>=0），序列开始：
0;
1;
2, 5;
6, 9, 14, 21;
22, 25, 30, 37, 42, 53, 70, 85;
86, 89, 94,101,106,117,134,149,154,165,182,201,222,261,310,341;
...
这个三角形似乎只与A151920号第1、2、4、8、16…列的正元素。。。（2的权力）。
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数学
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累计[Nest[Join[#，2#+Append[Rest@#，1]&，{0}，6]](*伊凡·涅雷汀2017年2月9日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002450型,A011782号,A047849号,A139250型,A151548号,A151920号,A160552号,A162795号,A169707号,A169779号,A246336号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 5, 1, 5, 5, 17, 1, 5, 5, 17, 5, 17, 21, 49, 1, 5, 5, 17, 5, 17, 21, 49, 5, 17, 21, 49, 21, 53, 81, 129, 1, 5, 5, 17, 5, 17, 21, 49, 5, 17, 21, 49, 21, 53, 81, 129, 5, 17, 21, 49, 21, 53, 81, 129
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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似乎a（2^k）=1，对于k>=0。[来自奥马尔·波尔2010年2月22日]
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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例子
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如果写为三角形：
1;
1,5;
1,5,5,17;
1,5,5,17,5,17,21,49;
1,5,5,17,5,17,21,49,5,17,21,49,21,53,81,129;
1,5,5,17,5,17,21,49,5,17,21,49,21,53,81,129,5,17,21...
（结束）
Omar E.Pol的贡献，2011年4月1日（开始）：
（结束）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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更多术语（a（51）-a（55））摘自Nathaniel Johnston，2011年3月30日
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状态
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经核准的
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1, 4, 4, 12, 4, 12, 16, 32, 4, 12, 16, 32, 16, 36, 60, 80, 4, 12, 16, 32, 16, 36, 60, 80, 16, 36, 60, 84, 60, 112, 208, 192, 4, 12, 16, 32, 16, 36, 60, 80, 16, 36, 60, 84, 60, 112, 208, 192, 16, 36, 60, 84, 60, 112, 208, 196, 60, 112, 208, 224, 212, 364, 672, 448, 4, 12, 16, 32, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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请注意，这些牙签与结构中的初始牙签平行。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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例子
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1;
4;
4,12;
4、12、16、32；
4,12,16,32,16,36,60,80;
4,12,16,32,16,36,60,80,16,36,60,84,60,112,208,192;
4,12,16,32,16,36,60,80,16,36,60,84,60112208192,16,36,60,84,60112208196,60112,208,224,212,364,672,448;
...
（结束）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000302号,A001787号,A139250型,A139251号,A147582号,A159791号,A159792号,A162794号,A162795号,A162796号,A162797号,A169708号.
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关键字
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非n,标签
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