搜索: a161361-编号:a161361
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1, 372, 372, 29250, 138384, 29250, -134120, 10881000, 10881000, -134120, 54261375, -49892640, 855562500, -49892640, 54261375, -6139293372, 20185231500, -3923010000, -3923010000, 20185231500, -6139293372
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行=
1;
372, 372;
29250, 138384, 29250;
-134120, 10881000, 10881000, -134120;
54261375, -49892640, 855562500, -49892640, 54261375;
-6139293372, 20185231500, -3923010000, -3923010000, 20185231500, -6139293372;
...
按行的乘法表:
.......1,.......372,.....29250,...
.....372,.....38384,..10881000,...
...29250,..10881000...
.-134120...
...
采取反对偶法,使第2行=(29250,138384,29250),总和=196884
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作者
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经核准的
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除法在n=6、10、12、15、16、18等处产生非整数值[R.J.马塔尔,2009年6月16日]
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配方奶粉
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例子
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1/(0+1)=1. 372/(1+1)=186. 29250/(2+1)=9750. 134120/(3+1)=33530. 54261375/(4+1)=10852275. 6139293372/(5+1)=1023215562.
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非n,完成,满的
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作者
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状态
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经核准的
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A000521号
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| 模函数j的系数作为q=e^(2 Pi i t)中的幂级数。另一个名称是椭圆模不变量J(tau)。 (原名M5477 N2372)
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+10 334
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1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184, 126142916465781843075
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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“(j函数的)最自然的归一化是将常数项设置为24,即j函数系数的Rademacher无穷级数所给出的数字”。[博切尔群岛]
将术语744更改为24表示A007240号Monster简单组的1A级McKay-Thompson系列。
Klein的绝对不变量J=J/1728是伽马模。
KleinInvariantJ[](版本6到8)的Mathematica实现中存在错误,为a[7]、a[9]、a[11]和其他值提供了错误的值-迈克尔·索莫斯2012年3月7日
如果有无穷多的k使得a(k)是素数,这是一个悬而未决的问题。已知的此类指数列于A339429型参见Fredrik Johansson的论文-彼得·卢什尼2021年5月5日
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参考文献
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J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第115页。
H.Cohen,《计算代数数论课程》,Springer,1996年,第376ff页。
A.Erdelyi,《高等超越功能》,McGraw-Hill,1955年,第3卷,第20页。
Evans、David E.和Yasuyuki Kawahigashi。“子因子和数学物理”,《美国数学学会公报》,60:4,(2023),459-482(见第472页)。
M.Kaneko,椭圆模函数j(tau)的傅里叶系数(日语),数学系Rokko数学讲座10。,神户大学科学院,日本神户市六甲市,2001年。
M.J.Knopp,J(tau)上的Rademacher,非正权的Poincare级数和Eichler上同调,Notices Amer。数学。《社会学杂志》,37:4(1990),385-393。
S.Lang,《模块化形式导论》,施普林格出版社,1976年,第12页。
B.Schoenberg,《椭圆模函数》,Springer Verlag,纽约,1974年,第56页。
J.H.Silverman,《椭圆曲线算术高级主题》,施普林格出版社,见第482页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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D.Alexander、C.Cummins、J.McKay和C.Simons,完全可复制的功能《组、组合数学与几何》(Durham,1990),第87-98页,伦敦数学。Soc.专著第165号。
D.Alexander、C.Cummins、J.McKay和C.Simons,完全可复制的功能,LMS课堂讲稿,165,编辑Liebeck和Saxl(1992),87-98,注释和扫描副本。
J.H.Conway和S.P.Norton,怪诞的月亮,公牛。伦敦。数学。Soc.11(1979)308-339。
W.杜克,连分式和模函数,公牛。阿默尔。数学。Soc.42(2005),137-162。
安德烈亚斯·恩格(Andreas Enge)、威廉·哈特(William Hart)和弗雷德里克·约翰逊(Fredrik Johansson),θ函数的短加法序列,arXiv:1608.06810[math.NT],2016-2018。
D.Ford、J.McKay和S.P.Norton,关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22,第13期,5175-5193(1994)。
Y.-H.He和V.Jejjala,模块化矩阵模型,arXiv:hep-th/03072932003年。
杨辉和约翰·麦凯,月光与生命的意义,arXiv:14082083[math.NT],2014年。
杨辉和约翰·麦凯,零星和例外,arXiv:1505.06742[math.AG],2015年。
M.Jankiewicz和T.W.Kephart,大c共形场理论之间的变换,编号。物理学。B 744(2006)380-397表6。
弗雷德里克·约翰逊,计算j函数的孤立系数,arXiv:2011.4671[math.NT],2020年。
小池正雄,非紧算术三角群上的模形式,未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释,2021年2月14日。我在第一页写的是2005年,但内部证据表明是1997年。]
瓦尔多·塔蒂舍夫,怪物月光简介,arXiv:1902.03118[math.NT],2019年。
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数《荷兰科宁克利法院诉讼》,A辑,56(1953),389-400【给出100个术语】。
A.van Wijngaarden,关于模不变量J(tau)的系数,Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen会议记录,A辑,56(1953),389-400[给出100个术语]。[带注释的扫描副本]
赫伯特·祖克曼,J(τ)较小系数的计算,公牛。阿默尔。数学。《社会学》第45卷(1939年),第917-919页。
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配方奶粉
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通用名称:A007245号(q) ^3/q;或(1+240 Sum_{k>0}sigma_3(k)q^k)^3/(q乘积_{k>0}(1-q^k,^24)。
128*(θ_2(q)^8+θ_3-迈克尔·索莫斯2007年10月2日
a(n)~exp(4*Pi*n(1/2))/(2^(1/2)*n(3/4))[Peterson(1932),Rademacher(1938)]-Gheorghe Coserea公司2015年10月9日
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例子
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j=1/q+744+196884*q+21493760*q^2+86429970*q^3+20245856256*q^4+。。。
如果J_n:=J(sqrt(-n))^(1/3),则J_1=12,J_2=20,J_4=66,J_77=255-迈克尔·索莫斯2019年10月31日
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MAPLE公司
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其中(数字理论):TOP:=31;
g2:=(4/3)*(1+240*加法(sigma[3](n)*q^n,n=1..TOP-1));
g3:=(8/27)*(1-504*加(σ[5](n)*q^n,n=1..TOP-1));
δ:=系列(g2^3-27*g3^2,q,TOP);
j:=系列(1728*g2^3/δ,q,TOP);
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数学
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系数表[Normal[Series[1728*KleinInvariantJ[z],{z,0,30}]*Exp[-2*I*Pi/z]]/。E^(Pi*复数[0,n_]/z)->t^(-n/2),t](*阿图尔·贾辛斯基,2008年12月20日,以Daniel Lichtblau命名,更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)
a[n_]:=具有[{tau=Log[q]/(2 Pi I)},级数系数[Series[1728 KleinInvariantJ[tau],{q,0,n}],{q,0,n{]];(*迈克尔·索莫斯2011年11月20日*)(*自V7开始*)
a[n_]:=与[{e1=DedekindEta[Log[q]/(2Pi I)]^24,e2=DedekindEta[Log[q]/(Pi I;(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n_]:=与[{L=ModularLambda[Log[q]/(2Pi I)]},系列系数[系列[256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2,{q,0,2n+3}],{q、0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
a[n_]:=如果[n<-1,0,With[{E4=1+240 Sum[DivisorSigma[3,k]q^k,{k,n+2}],E6=1-504 Sum[divisorSigra[5,k]q ^k,},{k、n+2}]},SeriesCoefficient[Series[1728 E4^3/(E4^3-E6^2),{q,0,n}],{q、0,n{}]];(*迈克尔·索莫斯2012年3月9日*)
系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^3/(16777216*QPoch hammer[-1,x]^24],{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
a[n_]:=级数系数[With[{L=Inverse EllipticNomeQ[rootQ]},256(L^2-L+1)^3/(L(1-L))^2],{rootQ,0,2n}];(*简·曼加尔丹2020年7月7日之后迈克尔·索莫斯; 已由更正利奥·斯坦因2024年2月25日*)
a[n_]:=级数系数[12^3克莱因不变量J[Log[q]/(2 Pi I)],{q,0,n}](*利奥·斯坦因2024年2月25日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(2*n+2)*O(x);a=x*/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<-1,0,a=x^(5*n+5)*O(x);a=(eta(x+a)/eta(x^5+a))^6/x;polcoeff(subst((x^2+10*x+5)^3/x,x,a),5*n))}/*迈克尔·索莫斯2004年4月30日*/
(PARI){a(n)=my(a);如果(n<-1,0,a=x^2*O(x^n);a=x*(eta(x^2+a)/eta(x+a))^24;极系数((1+256*a)^3/a,n))}/*迈克尔·索莫斯,2004年7月13日*/
(PARI)q='q+O('q^66);向量(ellj(q))\\乔格·阿恩特2016年4月24日
(PARI){a(n)=如果(n<-1,0,polceoff(ellj(x+x^3*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月25日*/
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n,美好的,核心
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作者
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经核准的
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1, 31, -2848, 413823, -68767135, 12310047967, -2309368876639, 447436508910495, -88755684988520798, 17924937024841839390, -3671642907594608226078, 760722183234128461061246, -159105706560247952472114973
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于k>0,如果mod(k,8)<>0,则(q*j(q))^(k/24)渐近于-(-1)^n*sin(k*Pi/8)*k*3^ 1))。等价地,是-(-1)^n*k*3^(k/8)*Gamma(1/3)^(3*k/4)*exp(Pi*sqrt(3)*(n-k/24))/(Pi^(k/2)*2^。
对于k>0,如果mod(k,8)=0,则(q*j(q))^(k/24)对exp(Pi*sqrt(2*k*n/3))*k^(1/4)/(2^(5/4)*3^(1/4)*n^(3/4))是渐近的。
(结束)
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链接
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配方奶粉
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a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月2日,2018年3月6日更新
a(n)*A289397型(n) ~c*exp(2*Pi*sqrt(3)*n)/n^2,其中c=-sqrt(2-sqrt)/(16*Pi)-瓦茨拉夫·科特索维奇,2018年3月6日
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例子
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1+31*q-2848*q^2+413823*q^3-68767135*q^4+123010047967*q^5-2309368876639*q^6+。。。
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(1/8)/(2*QPoch hammer[-1,x]),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff((ellj(x+x^2*O(x^n))*x)^(1/24),n))}
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 62, -4735, 651070, -103766140, 17999397756, -3292567703035, 624659270035130, -121698860487451255, 24194029851560118900, -4886913657541566648179, 999849040331683393909232, -206741394604073327046805355
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp(Pi*sqrt(3)*n)/n^(5/4),其中c=0.20023616340194530610545017761063156355568043417672219092092096121424…=3^(1/4)*伽马(1/4)*Gamma(1/3)^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(1/4)/(2*QPoch hammer[-1,x])^2,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
(q*1728*KleinInvariantJ[-Log[q]*I/(2*Pi)])^(1/12)+O[q]^13//
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作者
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状态
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经核准的
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1, 93, -5661, 741532, -113207799, 19015433748, -3390166183729, 629581913929419, -120437982238038210, 23564574046009042869, -4692899968498921291530, 948024211601180444075739, -193775768073341380441728322
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp●●●●-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
a(n)*A299827型(n) ~-3*2^(1/4)*sqrt(1+sqert(2))*exp(2*sqrt(3)*Pi*n)/(16*Pi*n^2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年2月20日
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(3/8)/(2*QPoch hammer[-1,x])^3,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
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作者
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经核准的
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1, 124, -5626, 715000, -104379375, 16966161252, -2946652593626, 535467806605000, -100554207738307500, 19359037551684042500, -3800593180746056684372, 757968936254309704500248, -153133996443087103652605627
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp(Pi*sqrt(3)*n)/n^(3/2),其中c=0.27174882346571745439868471841345665496773077910099184617347055088…=sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
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数学
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系数列表[系列[Sqrt[65536+x*QPochhammer[-1,x]^24]/(2*QPoch hammer[-1,x])^4,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 155, -4630, 601265, -83644610, 13148835656, -2223584717035, 395257299676190, -72843145114522035, 13796578308407774725, -2669652272250261922223, 525556527400692937755655, -104937908072571416700653120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.:产品{n>=1}(1-q^n)^(5*A192731号(n) /24)。
a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp(Pi*sqrt(3)*n)/n^(13/8),其中c=0.251632947644375791274794486526871011059274679945447776728146817…=5*3^*圆周率(7/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
a(n)*A299829型(n) ~-5*sqrt(2+sqert(2))*exp(2*sqort(3)*Pi*n)/(16*Pi*n^2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年2月20日
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(5/8)/(2*QPoch hammer[-1,x])^5,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年9月23日*)
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作者
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经核准的
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1, 186, -2673, 430118, -56443725, 8578591578, -1411853283028, 245405765574252, -44373155962556475, 8266332741845429800, -1576306833508315403544, 306275559567641721838494, -60432437032381794135586069
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp(Pi*sqrt(3)*n)/n^(7/4),其中c=0.1955865990744763088634116856422381013939034554805874572099292810179…=3^(3/4)*Gamma(1/3)^-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(3/4)/(64*QPoch hammer[-1,x]^6),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 217, 245, 231350, -27293420, 4017072017, -643057897118, 109259930443485, -19377905432572925, 3549922504344871655, -666990037937425724641, 127890778891452935279096, -24934077008209243436961385
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.:产品{n>=1}(1-q^n)^(7*192731年(n) /24)。
a(n)~(-1)^(n+1)*c*exp(Pi*sqrt(3)*n)/n^(15/8),其中c=0.1087897204449698006618392127198797088563371823367481878…=7*3^ Pi^(9/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月3日,2018年3月6日更新
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数学
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系数列表[系列[(65536+x*QPochhammer[-1,x]^24)^(7/8)/(2*QPoch hammer[-1,x])^7,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月23日*)
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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经核准的
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