搜索： a161330-编号：a161330
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0, 2, 6, 6, 6, 18, 6, 18, 18, 18, 30, 18, 30, 42, 6, 18, 18, 30, 54, 30, 78, 42, 54, 78, 42, 66, 78, 18, 42, 42, 54, 90, 66, 126, 90, 90, 102, 66, 78, 90, 90, 90, 54, 66, 114, 78, 126, 126, 102, 102, 138, 102, 162, 102, 114, 162, 126, 162, 114, 102, 102, 126, 186, 186, 150, 138, 126, 162, 162, 186, 198, 114, 114, 162
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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第n轮雪花结构中添加的电子牙签数量。
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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这是一个电子牙签序列。在三角形纸上，考虑一个60度的无限楔形，其中有一根牙签（虚拟牙签）连接到它的顶点。在第0阶段，我们开始时没有电子牙签。在第一阶段，我们放置一个电子牙签，依此类推。序列给出了n个阶段后结构中电子牙签的数量。A211974型（第一个差异）给出了第n阶段添加的数字。该结构是由结构的六个辐条之一产生的树A213360型它与电子牙签（或雪花）的结构基本相同A161330型对于n>>1，结构看起来像是由两个斜边相连的不等边直角三角形形成的四边形-奥马尔·波尔2012年12月19日
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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0, 6, 24, 42, 60, 114, 132, 186, 240, 294, 384, 438, 528, 654, 672, 726, 780, 870, 1032, 1122, 1356, 1482, 1644, 1878, 2004, 2202, 2436, 2490, 2616, 2742, 2904, 3174, 3372, 3750, 4020, 4290, 4596, 4794, 5028, 5298, 5568, 5838, 6000, 6198, 6540, 6774, 7152, 7530
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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0、3、6、9、18、21、30、39、48、63、72、87、108、111、120、129、144、171、186、225、246、273、312、333、366、405、414、435、456、483、528、561、624、669、714、765、798、837、882、927、972、999、1032、1089、1128、1191、1254、1305、1356、1425、1476、1557、1608
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如果n>>1，该结构看起来像一个直角三角形，基本上是A161330号.序列给出了n个阶段后结构中电子牙签的数量。A211976型（第一个差异）给出了第n阶段添加的数字。
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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0、1、3、7、11、15、23、35、43、47、55、67、79、95、123、155、171、175、183、195、207、223、251、283、303、319、347、383、423、483、571、651、683、687、695、707、719、735、763、795、815、831、859、895、935、995、1083、1163、1199、1215、1243、1279、1319、1379
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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牙签是闭合区间[-1,1]的副本。（在本文中，我们将其视为单位区间[-1/2，1/2]的副本。）
我们从0阶段开始，没有牙签。
在第一阶段，我们将牙签垂直放置在平面上的任何位置。
一般来说，给定飞机上牙签的配置，在下一阶段，我们根据特定条件尽可能多地添加牙签：
-每个新牙签必须水平或垂直放置。
-两根牙签可能永远不会交叉。
-每个新牙签的中点必须正好与一根现有牙签的端点接触。
序列给出了n个阶段后的牙签数量。A139251号（第一个差异）给出了第n阶段添加的数字。
如果一根牙签的末端没有碰到其他牙签，就称其为“外露”。生长规律可以表达为：在每个阶段，放置新的牙签，使其中点接触每个暴露的端点。
这相当于二维细胞自动机。动画显示了类似分形的行为。
经过2^k-1步，有2^k个暴露的端点，都位于垂直于初始牙签的两条线上。在下一步中，将2^k根牙签放在这些线上，只留下4个暴露的端点，位于边长为牙签长度2^（k-1）倍的正方形的角上-M.F.哈斯勒2009年4月14日等。有关证明，请参阅Applegate-Pol-Sloane文件。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须正好有一个端点接触现有牙签的中点”，则获得相同的序列。牙签的形状当然不同于当前序列中的牙签。但如果我们从当前序列的配置开始，将每个牙签旋转四分之一圈，然后将整个配置旋转四分一圈，我们就得到了另一个配置。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须至少有一个端点接触现有牙签的中点”，则获得序列n^2-n+1，因为网格中没有剩余的孔。
长度为2的“牙签”可以被视为具有两个组件的多棱边，两者位于同一条线上。在第n阶段，牙签结构是一个由2*a（n）个组件组成的多棱体。
猜测：考虑筛子中的矩形（包括正方形）。每个矩形（A=b*c）和边（b和c）的面积是2的幂，但至少有一条边（b或c）小于等于2。
在牙签结构中，如果n>>1，我们可以看到一些像“牙槽”和“衍射图案”的图案。例如，请参阅Applegate链接“A139250型：电影版本”，然后输入n=1008并单击“更新”。另请参阅链接部分中的“T方形（分形）”-奥马尔·波尔2009年5月19日，2011年10月1日
发件人贝诺伊特·朱宾，2009年5月20日：Chris Moore的网页“Gallery”（见链接）有一些不错的图片，与当前序列的图片有些相似。它们对应于什么序列？
等于三角形的行和A160570型从偏移量1开始；等效于卷积A160552号：（1,1,3,1,3,5,7…）和（1,2,2,2…）。等于A160762型：（1，0，2，-2，2，2，-6，…）与2*n-1:（1，3，5，7，…）卷积。从偏移1开始等于A151548号：[1，3，5，7，5，11，17，15，…]卷积A078008号签署(A151575号): [1, 0, 2, -2, 6, -10, 22, -42, 86, -170, 342, ...]. -加里·亚当森2009年5月19日、5月25日
观察矩形的排列：
似乎有一个由不同的模块化子结构形成的很好的模式：中央十字架由不同大小的不对称十字架（或“隐藏十字架”）和十字架的“核心”包围。
推测：经过2^k个阶段后，对于k>=2，以及对于m=1到k-1，存在大小为s=k-m的4^（m-1）个子结构，其中每个子结构都有4*s个矩形。子结构总数等于（4^（k-1）-1）/3=A002450型（k-1）。例如：如果k=5（32个阶段后），我们可以看到：
a） 有一个4号的中央十字架，有16个矩形。
b） 有四个隐藏的十字架，大小为3，每个十字架有12个矩形。
c） 有16个隐藏的十字架，大小为2，每个十字架有8个矩形。
d） 共有64个大小为1的交叉核，每个核有4个矩形。
因此，32个阶段后的子结构总数等于85。注意，在每个子结构的每个臂中，在潜在生长方向上，矩形的长度是2的幂。（请参阅链接中的插图。另请参阅A160124号.）（结束）
版本“海鸥”：在半无限方格网上，在第1阶段，我们放置了一个水平的“鸥”，其顶点位于[（-1，2），（0，1），（1，2）]。在第二阶段，我们放置了两只垂直的海鸥。在第三阶段，我们放置了四只水平的海鸥。a（n）也是第n阶段之后的海鸥数量。有关海鸥生长的更多信息，请参见A187220型. -奥马尔·波尔2011年3月10日
版本“I-牙签”：我们将“I-牙签”定义为由两个相连的牙签组成，长度为2。长度为2的I型牙签由两个长度为1的牙签组成。I-牙签的中点被它的两根牙签碰到。a（n）也是I牙签结构中第n阶段后的I牙签数量。I-牙签结构基本上是原始牙签结构，其中每个牙签都被一根I-牙刷取代。请注意，在原始牙签结构的物理模型中，新一代木制牙签的中点叠加在旧一代木质牙签的端点上。然而，在I-牙签结构的物理模型中，木质牙签并不重叠，因为所有木质牙签都是通过端点连接的。有关I-牙签结构中的牙签数量，请参见A160164号这也给出了鸥翼结构中鸥翼的数量，因为A160164号相当于I-牙签结构。似乎海鸥序列A187220型是原始牙签序列的超序列A139250型（此序列）。
（结束）
牙签通过端点连接的一种形式：在第1阶段，在半无限方格上，我们从（0，0）开始放置一根长度为1的垂直牙签。在第二阶段，我们从（0,1）开始放置两个水平牙签，依此类推。排列看起来像是I牙签结构的一半。a（n）也是第n个后面的牙签数量-奥马尔·波尔2011年3月13日
版本“四分圆”（或Q牙签）：a（n）也是第一象限中Q牙签结构第n阶段之后的Q牙签数量。我们从（0,1）开始，第一根Q牙签位于（1,1）的中心。结构不对称。有关类似结构但从（0，0）开始的信息，请参见A187212号。请参阅A187210型和A187220型了解更多信息-奥马尔·波尔2011年3月22日
版本“树”：似乎a（n）也是牙签结构中第n阶段之后的牙签数量，按照一个特殊规则构建：当把新一代的牙签放在无限方格上时，它们的长度为4（注意每个牙签都有四个长度为1的分量），但在每个阶段之后，一个（或两个）如果新一代的每根牙签的四个部件中包含牙签的一个端点，并且该端点接触到另一个牙签的中点或端点，则该部件将被移除。牙签的截断端点永远暴露在外。请注意，结构中有三种尺寸的牙签：长度为4、3和2的牙签。A159795号给出了第n阶段后结构中组件的总数。A153006号（原始版本的角序列）给出了第n阶段后结构中组件总数的1/4-奥马尔·波尔，2011年10月24日
也：
（结束）
在无限开罗五边形瓷砖上，考虑由两个不相邻的五边形组成的对称图形，五边形由连接两个三价节点的线段连接。在第一阶段，我们首先打开其中一个图形。下一阶段的规则是，新一代图形的凹面部分必须与旧一代图形互补的凸面部分相邻。a（n）给出了第n级后结构中开启的图形数量。A160164号（n） 给出了第n阶段后结构中ON单元的数量-奥马尔·波尔2018年3月29日
这个序列的“单词”是“ab”。有关细胞自动机一词的更多信息，请参阅A296612型.
版本“三角网格”：如果我们只使用三个轴中的两个，a（n）也是无限三角网格上牙签结构第n阶段后长度为2的牙签的总数。否则，如果我们使用三个轴，那么我们就有了序列A296510型上面有单词“abc”。
正常的牙签结构可以被视为乌拉姆·沃布顿细胞自动机的上部结构，因为A147562型（n） 这里等于4*n级后“隐藏交叉”的总数，包括中心交叉（当它们的“核”完全由4个四边形组成时，开始计算交叉）。请注意，结构中的每个四边形都属于一个“隐藏十字”。
请注意，“隐藏十字架的细胞核”的位置与“六瓣花”在结构中的位置非常相似（基本相同）A323650型以及Ulam-Warburton细胞自动机“一步bishop”版本中“ON”单元的位置A147562型.（结束）
最简单的子结构是隐藏十字架的臂。结构的每个闭合区域（方形或矩形）都属于其中一个臂。窄臂有区域1、2、4、8。。。宽臂具有区域2、4、8、16。。。请注意，在2^（k-1）阶段之后，当k>=3时，每个象限中主要隐藏十字架的窄臂将确定牙签结构的大小。
另一种子结构可以称为“柱状图”或“条形图”。此子结构由宽度为2的矩形和正方形组成，这些矩形和正方体在2^k级后与牙签结构的四个边中的任何一个相邻，其中k>=2。这些连续区域的高度给出了从A006519号例如：如果k=5，则32个阶段后的相应高度为[1，2，1，4，1，2，1,8，1，2,1，4，1,2，1]。这些连续区域的面积给出了A171977号例如：如果k=5，则相应的面积为[2，4，2，8，2，4，2,16，2，4,2，8,2，4,12]。
似乎a（n）的图形与x的累积分布函数F（x）有着惊人的相似性，x是随机变量，取值在[0,1]中，其中x的二进制展开是由一系列独立的抛硬币给出的，每个比特的概率为3/4。似乎F（n/2^k）*（2^（2k+1）+1）/3接近a（n对于k大型-詹姆斯·科2022年1月10日
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参考文献
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D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》，国会数值，第206卷（2010年），第157-191页
L.D.Pryor，《桉树花序性状的遗传》，《新南威尔士州林奈学会学报》，第79卷，（1954年），第81、83页。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，第1卷，第二版，第1章，练习95，图1.28，剑桥大学出版社（2012），第120、166页。
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链接
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史蒂文·芬奇，牙签和活细胞，2015年7月21日。[经作者许可，缓存副本]
乌尔里希·格曼（Ulrich Gehmann）、马丁·雷切（Martin Reiche）、，世界山地机器柏林，（2014），第一版，第205、238、253页。
Mats Granvik，附加说明：数字块，其中每个数字表示方格上的一个点被牙签交叉或连接的次数，2009年6月21日。
J.K.Hamilton、I.R.Hooper和C.R.Lawrence，探索非周期性亚表面的微波吸收《高级电磁学》，10（3），1-6（2021）。
布莱恩·海耶斯，理想的约书亚树，《约书亚树和牙签》中的人物（参见前面的链接）
克里斯·摩尔，画廊，请参阅David Griffeath的元胞自动机部分。
L.D.Pryor，桉树花序性状的遗传《新南威尔士州林奈学会学报》，第79卷，（1954年），第79-89页。
N.J.A.Sloane和Brady Haran，非常棒的牙签图案，数字视频（2018）
亚历克斯·范登·布兰多夫和保罗·列弗里，Tandenstokerrij公司毕达哥拉斯，Wiskundetijdschrift voor Jongeren，55ste Jaargang，Nummer 6，Juni 2016，（见封面，第1、18、19页和封底）。
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公式
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通用公式：（x/（（1-x）*（1+2*x）））*（1+2*x*产品{k>=0}（1+x^（2^k-1）+2*x^-N.J.A.斯隆2009年5月20日，2009年6月5日
可以证明lim-supa（n）/n^2=2/3，并且lim-infa（n）/n^2似乎是0.451-贝诺伊特·朱宾2009年4月15日和2010年1月29日，N.J.A.斯隆2010年1月29日
观察结果：当n>=2时，a（n）==3（mod 4）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年2月5日
设n=msb（n）+j，其中msb（n）=A053644美元（n） 设a（0）=0。则a（n）=（2*msb（n）^2+1）/3+2*a（j）+a（j+1）-1-大卫·A·科内斯2015年3月26日
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例子
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a（10^10）=52010594272060810683-大卫·A·科内斯2015年3月26日
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MAPLE公司
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G:=（x/（（1-x）*（1+2*x））*（1+2*x*mul（1+x^（2^k-1）+2*x^（2^k），k=0..20））#N.J.A.斯隆2009年5月20日，2009年6月5日
a： =[0,1,2,4]；T： =[0,1,3,7]；M： =10；
对于从1到M的k do
a： =[op（a），2^（k+1）]；
T： =[op（T），T[nops（T）]+a[nops[a）]]；
对于j从1到2^（k+1）-1 do
a： =[op（a），2*a[j+1]+a[j+2]]；
T： =[op（T），T[nops（T）]+a[nops[a）]]；
od:od:a；T；
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数学
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系数列表[级数[（x/（（1-x）*（1+2x）））（1+2x*积[1+x^（2^k-1）+2*x^，2^k），{k，0，20}]），{x，0，53}]，x](*罗伯特·威尔逊v2010年12月6日*）
a[0]=0；a[n_]：=a[n]=模[{m，k}，m=2^（长度[IntegerDigits[n，2]]-1）；k=（2m^2+1）/3；如果[n==m，k，k+2a[n-m]+a[n-m+1]-1]]；表[a[n]，｛n，0，100｝](*Jean-François Alcover公司2018年10月6日之后大卫·A·科内斯*)
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黄体脂酮素
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（PARI）
A139250型（n，print_all=0）={my（p=[]，/*“已用”点集。点写为复数，c=x+iy。牙签长度为2*/
ee=[[0，1]]，/*（暴露的）端点列表。暴露的端点列为[c，d]，其中c=x+iy是端点的位置，d（unimodular）是方向*/
c、 d，ne，cnt=1）；打印全部&&print1（“0，1”）；n<2&&返回（n）；
对于（i=2，n，p=集合并（p，集合（Mat（ee~）[，1]））；/*添加从上次移动到“已使用”点的端点（放弃方向）*/
ne=[]；/*新的（公开的）端点*/
for（k=1，#ee，/*如果不在使用的点中，则添加新牙签的端点*/
集合搜索（p，c=ee[k][1]+d=ee[k][2]*I）|ne=setunion（ne，Set（[c，d]]）；
setsearch（p，c-2*d）||ne=集合并集（ne，Set（[[c-2*d，-d]]））；
); /* 使用Set（），我们对点进行了排序，因此很容易删除那些最终没有暴露出来的点，因为它们碰到了新的牙签*/
forstep（k=#ee=eval（ne），2，-1，ee[k][1]==ee[k-1][1]&&k-&&ee=vecextract（ee，Str（“^”k“..”，k+1））；
cnt+=#ee；/*每个暴露的端点都会得到一根新牙签*/
打印全部&&print1（“，”cnt））；碳纳米管\\M.F.哈斯勒2009年4月14日
（PARI）
\\适用于n>0
a（n）={my（k=（2*msb（n）^2+1）/3）；如果
msb（n）=我的（t=0）；而（n>>t>0，t++）；2^（t-1）\\大卫·A·科内斯2015年3月26日
（Python）
定义msb（n）：
t=0
当n>>t>0时：
t+=1
返回2**（t-1）
定义a（n）：
k=（2*msb（n）**2+1）/3
如果n==0，则返回0；如果n==msb（n），则返回k；如果n==msb
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交叉参考
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参见。A000079号,A002450型,A006519号,A139251号,A139252号,A139253号,A147614号,A139560号,A152968号,A152978号,A152980型,A152998号,A153000个,A153001号,A153003号,A153004号,A153006号,A153007号,A000217号,A007583号,A007683号,A000396号,A000225号,A000668号,A006516号,A006095美元,A019988年,A160570型,A160552号,A000969号,A001316号,A151566号,A160406型,A160408型,A160702型,A078008号,A151548号,A001045号,A147562型,A160124号,A160120型,A160160型,A160170型,160172美元,A161206号,A161328号,A161330号,A171977号,A194810号,A296510型,A296612型,A299476型,A299478型,A323650型,A336532型.
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关键字
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作者
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扩展
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验证和扩展，a（49）-a（53），使用给定的PARI代码M.F.哈斯勒2009年4月14日
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经核准的
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