搜索: a160570-编号:a160570
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0, 1, 3, 7, 11, 15, 23, 35, 43, 47, 55, 67, 79, 95, 123, 155, 171, 175, 183, 195, 207, 223, 251, 283, 303, 319, 347, 383, 423, 483, 571, 651, 683, 687, 695, 707, 719, 735, 763, 795, 815, 831, 859, 895, 935, 995, 1083, 1163, 1199, 1215, 1243, 1279, 1319, 1379
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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牙签是闭合区间[-1,1]的副本。(在本文中,我们将其视为单位区间[-1/2,1/2]的副本。)
我们从0阶段开始,没有牙签。
在第1阶段,我们将牙签垂直放置在平面上的任何位置。
一般来说,给定飞机上牙签的配置,在下一阶段,我们根据特定条件尽可能多地添加牙签:
-每个新牙签必须水平或垂直放置。
-两根牙签可能永远不会交叉。
-每个新牙签的中点必须正好与一根现有牙签的端点接触。
序列给出了n个阶段后的牙签数量。139251英镑(第一个差异)给出了第n阶段添加的数字。
如果一根牙签的末端没有碰到其他牙签,就称其为“外露”。生长规律可以表达为:在每个阶段,放置新的牙签,使其中点接触每个暴露的端点。
这相当于二维细胞自动机。动画显示了类似分形的行为。
经过2^k-1步后,有2^k个暴露的端点,所有端点都位于垂直于初始牙签的两条线上。在下一步中,将2^k根牙签放在这些线上,只留下4个暴露的端点,位于边长为牙签长度2^(k-1)倍的正方形的角上-M.F.哈斯勒2009年4月14日等。有关证明,请参阅Applegate-Pol-Sloane文件。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须正好有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得相同的序列。牙签的形状当然不同于当前序列中的牙签。但如果我们从当前序列的配置开始,将每个牙签旋转四分之一圈,然后将整个配置旋转四分一圈,我们就得到了另一个配置。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须至少有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得序列n^2-n+1,因为网格中没有剩余的孔。
长度为2的“牙签”可以被视为含有两种成分的聚酯纤维,这两种成分都在同一条线上。在第n阶段,牙签结构是一个由2*a(n)个组件组成的多棱体。
猜测:考虑筛子中的矩形(包括正方形)。每个矩形(A=b*c)和边(b和c)的面积是2的幂,但至少有一条边(b或c)小于等于2。
在牙签结构中,如果n>>1,我们可以看到一些像“牙槽”和“衍射图案”的图案。例如,请参阅Applegate链接“A139250型:电影版本”,然后输入n=1008并单击“更新”。另请参阅链接部分中的“T方形(分形)”-奥马尔·波尔2009年5月19日,2011年10月1日
发件人贝诺伊特·朱宾2009年5月20日:克里斯·摩尔(Chris Moore)的网页“画廊”(见链接)中有一些很好的图片,与当前序列的图片有些相似。它们对应于什么序列?
等于三角形的行和A160570型从偏移量1开始;等效于卷积A160552号:(1,1,3,1,3,5,7,…)与(1,2,2,2,…)。等于A160762型:(1,0,2,-2,2,2,-6,…)与2*n-1:(1,3,5,7,…)卷积。从偏移1开始等于A151548号:[1,3,5,7,5,11,17,15,…]卷积A078008号签署(A151575号): [1, 0, 2, -2, 6, -10, 22, -42, 86, -170, 342, ...]. -加里·亚当森,2009年5月19日,2009年5月25日
观察矩形的排列:
似乎有一个由不同的模块化子结构形成的很好的模式:中央十字架由不同大小的不对称十字架(或“隐藏十字架”)和十字架的“核心”包围。
推测:经过2^k个阶段后,对于k>=2,以及对于m=1到k-1,存在大小为s=k-m的4^(m-1)个子结构,其中每个子结构都有4*s个矩形。子结构总数等于(4^(k-1)-1)/3=A002450型(k-1)。例如:如果k=5(32个阶段后),我们可以看到:
a) 有一个4号的中央十字架,上面有16个长方形。
b) 有四个隐藏的十字架,大小为3,每个十字架有12个矩形。
c) 有16个隐藏的十字架,大小为2,每个十字架有8个矩形。
d) 共有64个大小为1的十字架核,每个核有4个矩形。
因此,32个阶段后的子结构总数等于85。注意,在每个子结构的每个臂中,在潜在的增长方向上,矩形的长度是2的幂。(请参阅链接中的插图。另请参阅A160124号.)(结束)
版本“海鸥”:在半无限方格网上,在第1阶段,我们放置了一个水平的“鸥”,其顶点位于[(-1,2),(0,1),(1,2)]。在第二阶段,我们放置了两只垂直的海鸥。在第三阶段,我们放置了四只水平的海鸥。a(n)也是第n阶段之后的海鸥数量。有关海鸥生长的更多信息,请参见A187220型. -奥马尔·波尔2011年3月10日
版本“I-牙签”:我们将“I-牙签”定义为由两个相连的牙签组成,长度为2。长度为2的I型牙签由两个长度为1的牙签组成。I-牙签的中点被它的两根牙签碰到。a(n)也是在I-牙签结构的第n阶段之后的I-牙签的数量。I-牙签结构基本上是原始牙签结构,其中每个牙签都被一根I-牙刷取代。请注意,在原始牙签结构的物理模型中,新一代木制牙签的中点叠加在旧一代木质牙签的端点上。然而,在I-牙签结构的物理模型中,木质牙签并不重叠,因为所有木质牙签都是通过端点连接的。有关I-牙签结构中的牙签数量,请参见A160164号这也给出了鸥翼结构中鸥翼的数量,因为A160164号相当于I-牙签结构。似乎海鸥序列A187220型是原始牙签序列的超序列A139250型(此序列)。
(结束)
牙签通过端点连接的一种形式:在第1阶段,在半无限方格上,我们从(0,0)开始放置一根长度为1的垂直牙签。在第二阶段,我们从(0,1)开始放置两个水平牙签,依此类推。排列看起来像是I牙签结构的一半。a(n)也是第n个后面的牙签数量-奥马尔·波尔2011年3月13日
版本“四分圆”(或Q牙签):a(n)也是第一象限中Q牙签结构第n阶段之后的Q牙签数量。我们从(0,1)开始,第一根Q牙签位于(1,1)的中心。结构不对称。有关类似结构但从(0,0)开始的信息,请参见A187212号。请参阅A187210型和A187220型了解更多信息-奥马尔·波尔2011年3月22日
版本“树”:似乎a(n)也是按照一条特殊规则构建的牙签结构中第n阶段之后的牙签数量:新一代牙签放置在无限正方形网格上时的长度为4(注意,每个牙签都有四个长度为1的组成部分),但在每个阶段之后,一个(或两个)如果新一代的每根牙签的四个部件中包含牙签的一个端点,并且该端点接触到另一个牙签的中点或端点,则该部件将被移除。截掉的牙签末端永远暴露在外。请注意,结构中有三种尺寸的牙签:长度为4、3和2的牙签。A159795号给出了第n阶段后结构中组件的总数。A153006号(原始版本的角序列)给出了第n阶段后结构中组件总数的1/4-奥马尔·波尔2011年10月24日
也:
(结束)
在无限开罗五边形瓷砖上,考虑由两个不相邻的五边形组成的对称图形,五边形由连接两个三价节点的线段连接。在第一阶段,我们首先打开其中一个图形。下一阶段的规则是,新一代图形的凹面部分必须与旧一代图形互补的凸面部分相邻。a(n)给出了第n级后结构中开启的图形数量。A160164号(n) 给出了在第n阶段之后的结构中ON单元的数量-奥马尔·波尔2018年3月29日
这个序列的“单词”是“ab”。有关细胞自动机一词的更多信息,请参阅A296612型.
版本“三角网格”:如果我们只使用三个轴中的两个,a(n)也是无限三角网格上牙签结构第n阶段后长度为2的牙签的总数。否则,如果我们使用三个轴,那么我们就有了序列A296510型它有单词“abc”。
正常的牙签结构可以被视为乌拉姆·沃布顿细胞自动机的上部结构,因为A147562型(n) 这里等于4*n级后“隐藏交叉”的总数,包括中心交叉(当它们的“核”完全由4个四边形组成时,开始计算交叉)。请注意,结构中的每个四边形都属于一个“隐藏十字”。
请注意,“隐藏十字架的细胞核”的位置与“六瓣花”在结构中的位置非常相似(基本相同)A323650型以及Ulam-Warburton细胞自动机“一步bishop”版本中“ON”单元的位置A147562型.(结束)
最简单的子结构是隐藏十字架的臂。结构的每个闭合区域(方形或矩形)都属于其中一个臂。窄臂有区域1、2、4、8。。。宽武器有区域2、4、8、16。。。请注意,在2^(k-1)阶段之后,当k>=3时,每个象限中主要隐藏十字架的窄臂将确定牙签结构的大小。
另一种子结构可以称为“柱状图”或“条形图”。此子结构由宽度为2的矩形和正方形组成,这些矩形和正方体在2^k级后与牙签结构的四个边中的任何一个相邻,其中k>=2。这些连续区域的高度给出了来自A006519号例如:如果k=5,则32个阶段后的相应高度为[1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1]。这些连续区域的面积给出了A171977号例如:如果k=5,则相应的面积为[2,4,2,8,2,4,2,16,2,4,2,8,2,4,12]。
似乎a(n)的图形与x的累积分布函数F(x)有着惊人的相似性,x是随机变量,取值在[0,1]中,其中x的二进制展开是由一系列独立的抛硬币给出的,每个比特的概率为3/4。似乎F(n/2^k)*(2^(2k+1)+1)/3接近a(n对于k大型-詹姆斯·科2022年1月10日
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参考文献
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D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》,国会数值,第206卷(2010年),第157-191页
L.D.Pryor,《桉树花序性状的遗传》,《新南威尔士州林奈学会学报》,第79卷,(1954年),第81、83页。
理查德·斯坦利(Richard P.Stanley),《枚举组合数学》,第1卷,第二版,第1章,练习95,图1.28,剑桥大学出版社(2012),第120、166页。
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链接
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史蒂文·R·芬奇,牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可,缓存副本]
乌尔里希·格曼(Ulrich Gehmann)、马丁·雷切(Martin Reiche)、,世界山地机器柏林,(2014),第一版,第205、238、253页。
Mats Granvik,附加说明:数字块,其中每个数字表示方格上的一个点被牙签交叉或连接的次数,2009年6月21日。
J.K.Hamilton、I.R.Hooper和C.R.Lawrence,探索非周期性亚表面的微波吸收《高级电磁学》,10(3),1-6(2021)。
布莱恩·海耶斯,理想的约书亚树,《约书亚树和牙签》中的人物(参见前面的链接)
Chris Moore,画廊,参见David Griffeth的细胞自动机部分。
L.D.Pryor,桉树花序性状的遗传《新南威尔士州林奈学会学报》,第79卷,(1954年),第79-89页。
N.J.A.Sloane和Brady Haran,非常棒的牙签图案,数字视频(2018)
亚历克斯·范登·布兰多夫和保罗·列弗里,坦登斯托克毕达哥拉斯,Wiskundetijdschrift voor Jongeren,55ste Jaargang,Nummer 6,Juni 2016,(见封面,第1、18、19页和封底)。
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配方奶粉
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通用公式:(x/((1-x)*(1+2*x)))*(1+2*x*产品{k>=0}(1+x^(2^k-1)+2*x^-N.J.A.斯隆,2009年5月20日,2009年6月5日
可以证明lim-supa(n)/n^2=2/3,并且lim-infa(n)/n^2似乎是0.451-贝诺伊特·朱宾2009年4月15日和2010年1月29日,N.J.A.斯隆2010年1月29日
观察结果:当n>=2时,a(n)==3(mod 4)-杰姆·奥利弗·拉丰2009年2月5日
设n=msb(n)+j,其中msb(n)=A053644号(n) 设a(0)=0。则a(n)=(2*msb(n)^2+1)/3+2*a(j)+a(j+1)-1-大卫·A·科内斯2015年3月26日
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例子
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a(10^10)=52010594272060810683-大卫·A·科内斯2015年3月26日
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MAPLE公司
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G:=(x/((1-x)*(1+2*x)))*(1+2*x*mul(1+x^(2^k-1)+2*x^#N.J.A.斯隆,2009年5月20日,2009年6月5日
a: =[0,1,2,4];T: =[0,1,3,7];M: =10;
对于从1到M的k do
a: =[op(a),2^(k+1)];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
对于j从1到2^(k+1)-1 do
a: =[运算(a),2*a[j+1]+a[j+2]];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
od:od:a;T;
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数学
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系数列表[级数[(x/((1-x)*(1+2x)))(1+2x*积[1+x^(2^k-1)+2*x^,2^k),{k,0,20}]),{x,0,53}],x](*罗伯特·威尔逊v2010年12月6日*)
a[0]=0;a[n_]:=a[n]=模[{m,k},m=2^(长度[IntegerDigits[n,2]]-1);k=(2m^2+1)/3;如果[n==m,k,k+2a[n-m]+a[n-m+1]-1]];表[a[n],{n,0,100}](*Jean-François Alcover公司2018年10月6日之后大卫·A·科内斯*)
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黄体脂酮素
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(PARI)
A139250型(n,print_all=0)={my(p=[],/*“已用”点集。点写为复数,c=x+iy。牙签长度为2*/
ee=[[0,1]],/*(暴露的)端点列表。暴露的端点列为[c,d],其中c=x+iy是端点的位置,d(unimodular)是方向*/
c、 d,ne,cnt=1);打印全部&&print1(“0,1”);n<2&&返回(n);
对于(i=2,n,p=集合并(p,集合(Mat(ee~)[,1]));/*添加从上次移动到“已使用”点的端点(放弃方向)*/
ne=[];/*新的(公开的)端点*/
for(k=1,#ee,/*如果不在使用的点中,则添加新牙签的端点*/
集合搜索(p,c=ee[k][1]+d=ee[k][2]*I)|ne=setunion(ne,Set([c,d]]);
setsearch(p,c-2*d)||ne=集合联合(ne,Set([c-2*d,-d]]);
); /* 使用Set(),我们对点进行了排序,因此很容易删除那些最终没有暴露出来的点,因为它们碰到了新的牙签*/
forstep(k=#ee=eval(ne),2,-1,ee[k][1]==ee[k-1][1]&&k--&ee=vecextract(ee,Str(“^”k“..”,k+1));
cnt+=#ee;/*每个暴露的端点都会得到一根新牙签*/
打印全部&&print1(“,”cnt));碳纳米管\\M.F.哈斯勒2009年4月14日
(PARI)
\\适用于n>0
a(n)={my(k=(2*msb(n)^2+1)/3);如果
msb(n)=我的(t=0);而(n>>t>0,t++);2^(t-1)\\大卫·A·科内斯2015年3月26日
(Python)
定义msb(n):
t=0
当n>>t>0时:
t+=1
返回2**(t-1)
定义a(n):
k=(2*msb(n)**2+1)/3
如果n==0,则返回0;如果n==msb(n),则返回k;如果n==msb
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000079号,A002450型,A006519号,139251英镑,A139252号,A139253号,A147614号,A139560号,A152968号,A152978号,A152980型,A152998号,153万澳元,A153001号,A153003号,A153004号,A153006号,A153007号,A000217号,A007583号,A007683号,A000396号,A000225号,A000668号,A006516号,A006095号,A019988年,A160570型,A160552号,A000969号,A001316号,A151566号,A160406型,160408年,A160702型,A078008号,A151548号,A001045号,A147562型,A160124号,A160120型,A160160型,A160170型,A160172号,A161206号,A161328年,A161330型,A171977号,A194810号,A296510型,A296612型,A299476型,1994年2月,A323650型,A336532型.
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关键字
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作者
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扩展
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通过使用给定的PARI代码验证和扩展a(49)-a(53)M.F.哈斯勒2009年4月14日
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状态
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经核准的
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A160552号
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| a(0)=0,a(1)=1;对于0<=j<2^i,a(2^i+j)=2*a(j)+a(j+1)。 |
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+10 38
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0, 1, 1, 3, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 35, 21, 39, 53, 59, 81, 127, 129, 63, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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按三角形查看的序列:
0,
1,
1、3,
1, 3, 5, 7,
1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15,
1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31.
第k行中的项之和(k>=1)为4^(k-1)。归纳法证明-N.J.A.斯隆,2010年1月21日
如果序列[1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,5,11,17,15,…]与[1,2,2,2,2,…]卷积,我们得到A139250型,牙签序列。例子:A139250型(5) =15=(1,2,2,2,2)*(3,1,2,3,1,1)-加里·亚当森2009年5月19日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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通用公式:x*(1+2*x)/(1+x)+(4*x^2/(1+2**x))*(-1+产品{k>=1}(1+x^(2^k-1)+2*x^-N.J.A.斯隆2009年5月23日,基于加里·亚当森上面的评论和已知的A139250型.
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例子
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a(2)=a(2^1+0)=2*a(0)+a(1)=1,a(3)=a。
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MAPLE公司
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S: =proc(n)选项记忆;局部i,j;如果n<=1,则RETURN(n);fi;i: =地板(对数(n)/对数(2));j: =n-2^i;2*S(j)+S(j+1);结束#N.J.A.斯隆2009年5月18日
H:=x*(1+2*x)/(1+x)+(4*x^2/(1+2**x))*(倍数(1+x^(2^k-1)+2*x^;系列(H,x,120)#N.J.A.斯隆2009年5月23日
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数学
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嵌套[Join[#,2#+Append[Rest@#,1]]&,{0},7](*伊凡·内雷廷2017年2月9日*)
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交叉参考
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对于递归a(2^i+j)=C*a(j)+D*a(j+1),a(0)=a,a(1)=B,关于(a B C D)的下列值,请参见:(0 1 1)A118977号, (1 0 1 1)A151702号, (1 1 1 1)A151570型, (1 2 1 1)A151571年,(0 1 1 2)A151572号, (1 0 1 2)A151703号, (1 1 1 2)A151573号, (1 2 1 2)A151574号, (0 1 2 1)A160552号, (1 0 2 1)A151704号,(1 1 2 1)A151568号, (1 2 2 1)A151569号, (0 1 2 2)A151705号, (1 0 2 2)A151706号, (1 1 2 2)A151707号, (1 2 2 2)A151708号.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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