搜索： a160487-编号：a160487
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10, 21, 2, 11, 13, 1, 34, 57, 5, 23, 1, 1, 29, 31, 2, 1, 37, 1, 41, 301, 1, 47, 1, 1, 53, 3, 1, 59, 61, 1, 2, 67, 1, 71, 73, 1, 1, 79, 1, 83, 1, 1, 89, 1, 1, 1, 97, 1, 505, 103, 1, 107, 109, 11, 113, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 127, 2, 131
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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3,1
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评论
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这个相当奇怪的ZL（n）序列同时统治着Zeta和Lambda三角形。
Zeta三角形导致第一个，Lambda三角形导致第二个Maple算法。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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nmax:=65；对于从0到nmax的n，do cfn1（n，0）：=1:cfn1 1）*cfn1（n-1，n-k1），k1=1..n））/（2*n-1）！end do：对于n从1到nmax do（n）：=2^（2*n-1）*Omega（n）end do:对于n从1~nmax的do b（n）:=4^（-n）*（2*n+1）*n*denom（欧米茄（n））end do:c（1）:=b（1）：对于n从到nmax-1的do c（n+1）:=lcm（c（n）*（n+1厘米（n）：=c（n）*（1/6）*4^n/（2*n+1）！end do：对于n从3到nmax+1 do ZL（n）：=cm（n-1）/cm（n-2）end do:seq（ZL（n），n=3..nmax+1）；
nmax1：=nmax；对于从0到nmax1的n，做cfn2（n，0）：=1:cfn2 2*k1）/（2*kl））*（-1）^（k1+n）*cfn2（n-1，n-k1），k1=1..n）/（2*4^（n-1）*（2*n-1）!) end do：对于从1到nmax1的n do b（n）：=（2*n）*（2*n-1）*denom（Delta（n-1））/（2^（2*n）*（2*n-1）！）end do：对于n从3到nmax1+1 do ZL（n）：=cm（n-1）/cm（n-2）end do:seq（ZL（n），n=3..nmax1+1）；
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容易的,非n,未经编辑的
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12, 1440, 907200, 101606400, 100590336000, 172613016576000, 31415569016832000, 256351043177349120000, 4471274895099323351040000, 8495422300688714366976000000, 90272357367118278863486976000000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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MAPLE公司
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n最大值：=11；对于从0到nmax的n，do cfn2（n，0）：=1:cfn2 1）/（2*k1））*（-1）^（k1+n）*cfn2（n-1，n-k1），k1=1..n）/（2*4^（n-1）*（2*n-1）!); LAMBDA（-2，n）：=总和（2*（1-2^（2*k1-1））*（-bernoulli（2*k1）/（2*k1））*n-3）：f（n）：=Lcgz（n）-（（2*n-3）/（2*n-2））*f（n-1）end do：对于从1到nmax的n do b（n）:=denom（Lcgz（n+1）)end do：对于n从1到nmax do b（n）：=2*n*denom（Delta（n-1））/2^；
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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1, -107, 59845, -6059823, 5508149745, -8781562891079, 1498497874868995, -11547310445901623393, 191303386010904797215729, -346881088942362502864933961, 3531597876908273097022040806863
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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链接
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MAPLE公司
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n最大值：=12；对于从0到nmax的n，do cfn2（n，0）：=1:cfn2 1）/（2*k1））*（-1）^（k1+n）*cfn2（n-1，n-k1），k1=1..n）/（2*4^（n-1）*（2*n-1）!); LAMBDA（-2，n）：=总和（2*（1-2^（2*k1-1））*（-bernoulli（2*k1）/（2*k1））*n-3）：f（n）：=Lcgz（n）-（（2*n-3）/（2*n-2））*f（n-1）end do：对于从1到nmax的n do b（n）:=denom（Lcgz（n+1）)end do:对于n从1到nmax do b（n）：=2*n*denom（Delta（n-1））/2^（2*n）end do:p（2）：=b（1）：对于n从2到nmax-do p（n+1）：=lcm（p（n）*（2*n-）*（2*n-1），b（n；
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经核准的
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1, -97, 52558, -5240581, 4720558732, -7481314964114, 1271274660247796, -9765829515601025979, 161400398363673797534104, -292099194247292179451930316, 2969226837548487086516550438360
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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为了确定行总和，将下面给出的Maple线添加到Lambda三角形算法中，请参见A160487号.
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MAPLE公司
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对于从2到nmax的n dos（n）：=0：对于从1到n-1的m dos；
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容易的,签名
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经核准的
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A008956号
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| 中心阶乘数的三角形|4^k t（2n+1,2n+1-2k）|按行读取（n>=0，k=0..n）。 |
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+10
24
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1, 1, 1, 1, 10, 9, 1, 35, 259, 225, 1, 84, 1974, 12916, 11025, 1, 165, 8778, 172810, 1057221, 893025, 1, 286, 28743, 1234948, 21967231, 128816766, 108056025, 1, 455, 77077, 6092515, 230673443, 3841278805, 21878089479, 18261468225, 1, 680
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.5
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评论
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在k处计算的x^2中的下降行多项式会生成奇数系数，例如sin（arcsin（kt）/k）：1，x^2-1，9x^4-10x^2+1，225x^6-259x^4+34x^2-1-拉尔夫·斯蒂芬，2005年1月16日
我们用Beta（z，w）Beta函数定义（Pi/2）*Beta（n-1/2-z/2，n-1/2+z/2）/Beta（n-1/2，n-1/2）=（Pi/2。我们的定义导致了BG2[2m，1]=2*beta（2m+1），以及m=-2，-1，0，1，2。。并且n＝2，3，β（m）=总和（（-1）^k/（1+2*k）^m，k=0..无穷大）。我们观察到，对于m=-1，-2，-3，…，β（2m+1）=0。我们发现对于BG2[2*m，n]=sum（（-1）^（k+n）*t2（n-1，k-1）*2*β（2*m-2*n+2*k+1），k=1..n）/（2*n-3）！）^2具有如上定义的中心阶乘数t2（n，m）；另请参见Maple程序。
根据BG2矩阵以及密切相关的EG2和ZG2矩阵，请参见A008955号对于m=-2，-1，0，1，2，..，我们得到了由LG2[2m-1,1]=2*lambda（2*m）定义的LG2矩阵和递推关系LG2[2*m-1，n]=LG2[2*.m-3，n-1]/（（2*n-3）*（2*n-1））-（2*n-3）*LG2[2*m-1，n-1]/（2*n-1）。。n=2，3，lambda（m）=（1-2^（-m））*zeta（m）with zeta（m）是黎曼zeta函数。我们发现矩阵系数LG2[2m-1，n]=和（（-1）^（k+1）*t2（n-1，k-1）*2*lambda（2*m-2*n+2*k）/（2*n-1）*（2*n-3）！！），k=1..n），我们看到中心阶乘数t2（n，m）再次发挥了关键作用。
（结束）
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参考文献
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P.L.Butzer，M.Schmidt，E.L.Stark和L.Vogt，中心阶乘数：它们的主要性质和一些应用，数值泛函分析与优化，10（5&6），419-488（1989）。[来自约翰内斯·梅耶尔，2009年6月18日]
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第23章，第811-812页。[来自约翰内斯·梅耶尔，2009年6月18日]
R.H.Boels、T.Hansen、，目标空间中的弦理论，arXiv预印arXiv:1402.6356[hep-th]，2014。
T.L.Curtright、D.B.Fairlie、C.K.Zachos、，旋转矩阵多项式的紧致公式，arXiv预印本arXiv:1402.3541[math-ph]，2014年。
T.L.Curtright、T.S.Van Kortryk、，关于旋转作为自旋矩阵多项式，arXiv:1408.0767[math-ph]，2014年。
M.Eastwood和H.Goldschmidt，复射影空间上的零能量场，arXiv预印本arXiv:1108.1602[math.DG]，2011。
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配方奶粉
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可以由t2（n，0）=1和t2（n，n）=（（2*n-1）^2*t2（n-1，k-1）+t2^2. -约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
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例子
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三角形开始：
[1]
[1, 1]
[1, 10, 9]
[1, 35, 259, 225]
[1974年1月84日，1291611025]
[1, 165, 8778, 172810, 1057221, 893025]
[1, 286, 28743, 1234948, 21967231, 128816766, 108056025]
[1455、77077、6092515、230673443、3841278805、21878089479、18261468225]
...
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MAPLE公司
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f： =n->mul（x+（2*i+1）^2，i=0..n-1）；
对于从0到12的n do
t1:=eval（f（n））；t1d：=度（t1）；
t12:=y^t1d*subs（x=1/y，t1）；t2:=序列列表（序列（t12，y，20））；
l打印（t2）；
A008956号：=程序（n，k）局部i；mul（x+2*i-2*n-1，i=1..2*n）；扩展（%）；系数（%，x=0，2*（n-k））；abs（%）；结束：对于从0到10的n，对从0到n的k执行打印f（“%a，”，A008956号（n，k））；日期：日期：#R.J.马塔尔2009年5月29日
nmax:=7：对于从0到nmax的n do t2（n，0）：=1:t2（n，n）：=（双阶乘（2*n-1））#约翰内斯·梅耶尔，2009年6月18日，2012年9月16日修订
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数学
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t[_，0]=1；t[n_，n]：=t[n，n]=（（2*n-1）！）^2; t[n，k]：=t[n、k]=（2*n-1）^2*t[n-1，k-1]+t[n-1，k]；表[t[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月7日之后约翰内斯·梅耶尔*)
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<=0，k==0，（-1）^k*polcoeff（分子（2^（2*n-1）/和（j=0，2*n-1，二项式（2*n-1，j）/（x+2*n-1-2*j））），2*n-2*k））}/*迈克尔·索莫斯2003年2月24日*/
（哈斯克尔）
a008956 n k=a008956_tabl！！不！！k个
a008956_row n=a008956-tabl！！n个
a008956_tabl=[1]：f[1]1其中
f xsu t=ys:f ysv（t*v）其中
ys=zipWith（+）（xs++[t^2]）（[0]++映射（*u^2）（初始化xs）++[0]）
v=u+2
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关键字
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作者
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经核准的
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-1, -11, 2, -114, 29, -2, -3963, 1156, -122, 4, -104745, 32863, -4206, 222, -4, -3926745, 1287813, -184279, 12198, -366, 4, -198491580, 67029582, -10317484, 781981, -30132, 562, -4
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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ES1矩阵系数由ES1[2*m-1，n]=2^（2*m-1）*int（y^（2%m-1）/（cosh（y））^（2*n），y=0..无穷大）/（2*m-1）定义！对于m=1、2、3。。n=1,2,3。
这个定义导致ES1[2*m-1，n=1]=2*eta（2*m-1）和递归关系ES1[2*1，n]=（（2*n-2）/（2*n-1））*（ES1[2*.m-1，n-1]-ES1[2*m-3，n-1]/（n-1）^2），我们用它将ES1矩阵系数的定义扩展到m=0，-1，-2。我们发现，对于n=1，2，…，ES1[-1，n]=0.5。通常，eta（m）=（1-2^（1-m））*zeta（m）与eta（米）是Dirichlet eta函数，zeta（米）则是Riemann zeta函数。
当m=1，2，3，..时，ES1矩阵列中的系数，n=2，3，4，可以用多项式GF（z，n）生成，对于该多项式，我们发现了以下一般表达式GF（z；n）=（（-1）^（n-1）*r（n）*CFN1（z，n）*GF（x；n=1）+ETA（z，m））/p（n）。
ETA（z，n）是导致ETA三角形的ETA多项式。
第一个Maple算法生成Eta三角形的系数。第二个Maple算法生成m=0，-1，-2，-3，…的ES1[2*m-1，n]系数。
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，问题1218，《Pi Mu Epsilon杂志》，第13卷，第2期，2010年春季，第116页。解决方案发表于2010年秋季第13卷第3期，第183-185页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第23章，第811-812页。
Johannes W.Meijer，Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点，jpg格式和pdf格式2013年3月3日。
J.W.Meijer和N.H.G.Baken，指数积分分布《统计与概率快报》，第5卷，第3期，1987年4月。第209-211页。
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配方奶粉
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我们发现了Eta三角形系数Eta（n，m）=q（n）*（-1）*Eta（n-1，m-1）+（n-1）^2*Eta。。。m=2,3，具有
q（n）=1+（-1）^（n-3）*（楼层（log（n-1）/log（2））-楼层（log（n-2）/log（2）），对于n=3，4。。。。
请参见A160465型对于ETA（n，m=1），进一步，对于n=2，3，…，ETA（n，n）=0。。。。
矩阵列中系数的生成函数GF（z；n）定义为
GF（z；n）=sum_{m>=1}ES1[2*m-1，n]*z^（2*m-2），其中n=1，2，3。。。。这导致
GF（z；n=1）=（2*log（2）-Psi（z）-Psi（-z）+Psi（1/2*z）+Psi（-1/2*z））；Psi（z）是指地黄功能。
GF（z；n）=（（2*n-2）/（2*n-1）-2*z^2/（（n-1）*。
我们发现GF（z；n），n=2,3。。。，以下通用表达式：
GF（z；n）=（（-1）^（n-1）*r（n）*CFN1（z，n）*GF（z；n=1）+ETA（z，n））/p（n）
r（n）=2^楼层（log（n-1）/log（2）+1）和
p（n）=2^（-GCS（n））*（2*n-1）！具有
GCS（n）=对数（1/（2^（-（2*（n-1）-1-层（对数（n-1，/log（2））））/对数（2）。
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例子
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n=2,3，..三角形ETA（n，m）的前几行，。。m=1,2，。。。是
[ -1]
[ -11, 2]
[ -114, 29, -2]
[ -3963, 1156, -122, 4].
前几个ETA（z，n）多项式是
预计到达时间（z，n=2）=-1；
预计到达时间（z，n=3）=-11+2*z^2；
预计到达时间（z，n=4）=-114+29*z^2-2*z^4。
前几个CFN1（z，n）多项式是
CFN1（z，n=2）=（z^2-1）；
CFN1（z，n=3）=（z^4-5*z^2+4）；
CFN1（z，n=4）=（z^6-14*z^4+49*z^2-36）。
前几个生成函数GF（z；n）是：
GF（z；n=2）=（（-1）*2*（z^2-1）*GF（z；n=1）+（-1））/3；
GF（z；n=3）=（4*（z^4-5*z^2+4）*GF（z；n=1）+（-11+2*z^2））/30；
GF（z；n=4）=（（-1）*4*（z^6-14*z^4+49*z^2-36）*GF（z；n=1）+（-114+29*z^2-2*z^4））/315。
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MAPLE公司
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nmax:=8；c（2）：=-1/3：对于n从3到nmax do c（n）：=（2*n-2）*c（n-1）/；p（n）：=2^（-GCS（n-1））*（2*n-1）！；ETA（n，1）：=p（n）*c（n）；ETA（n，n）：=0 end do:mmax：=nmax：对于m从2到mmax do，对于n从m+1到nmax do q（n）：=（1+（-1）^，m），m=1..n-1），n=2..nmax）；
#结束第一个程序。
nmax1:=20；m： =1；ES1行：=1-2*m；使用（组合）：cfn1:=过程（n，k）：和（（-1）^j*stirling1（n+1，n+1-k+j）*stirling 1（n+1,n+1-k-j），j=-k.k）结束过程：mmax1:=nmax1：对于m1从1到mmax1的m1，做M（m1-1）：=2^（2*m1-2）/（（2*m2-1）！）；ES1[-2*m1+1，1]：=2*（1-2^（1-（1-2*m1）））*（-bernoulli（2*m1/（2*m2））od：对于从2到nmax1的n，对于从1到mmax1-n+1的m1，do执行ES1[1-2*m1，n]：=（-1）^（n-1）*M（n-1..n）od：od：seq（ES1[1-2*M，n]，n=1.nmax1-M+1）；
#结束第二个程序。
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交叉参考
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GCS（n）序列等于Geometric Connell序列A049039号（n） ●●●●。
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 12, 80, 448, 2304, 11264, 53248, 245760, 1114112, 4980736, 22020096, 96468992, 419430400, 1811939328, 7784628224, 33285996544, 141733920768, 601295421440, 2542620639232, 10720238370816, 45079976738816, 189115999977472, 791648371998720
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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-1/2*i*Pi+i*arcsin（（1+1/4*x^2）/（1-1/4*x*^2））展开式中的分母，其中i=sqrt（-1）；分子都是1。
2*arctanh展开式中奇项的分母（s/2）；分子都是1-格里·马滕斯2015年7月26日
sinh（x/2）/（x/2”）泰勒级数展开系数的倒数-汤姆·科普兰2016年2月3日
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链接
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G.A.Campbell，电波滤波器的物理理论，贝尔系统。《技术期刊》，1（1922），1-32，见等式（15d）。同样转载于M.E.Van Valkebburg编辑的《电路理论》，Dowden、Hutchinson和Ross，1974年。
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配方奶粉
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a（n）=4（（2n+1）/（2n-1））*a（n-1）=4*a-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月9日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-1-n）*4^（2*n+1）-迈克尔·索莫斯2017年6月18日
a（n）=和{k=0..n}（2*k+1）^2*二项式（2*n+1，n-k）-彼得·巴拉2019年2月25日
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数学
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a[n_]：=1/级数系数[2 ArcTanh[s/2]，{s，0，n}]
表[a[n]，{n，1，40，2}](*格里·马滕斯2015年7月26日*）
表[2^（2n）（2n+1），｛n，0，40｝](*文森佐·利班迪2015年8月8日*）
a[n]：=与[{m=2n+2}，如果[n<0，-a[-1-n]4^（m-1），m！级数系数[x^2 D[x Sinc[I x]^2，x]/2，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯，2017年6月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{对于（n=0200，写入（“b058962.txt”，n，“”，2^（2*n）*（2*n+1））；）}\\哈里·史密斯，2009年6月24日
（PARI）第一（m）=向量（m，n，n--；2^（2*n）*（2*n+1））/*安德斯·赫尔斯特罗姆2015年8月10日*/
（岩浆）[2^（2*n）*（2*n+1）：[0..30]]中的n//韦斯利·伊万·赫特2015年8月7日
（PARI）{a（n）=my（m=2*n+2）；如果（n<0，-a（-1-n）*4^（m-1），m！*polcoeff（x^2*导数（x*sinc（I*x+x*O（x^m））^2，x）/2，m））}/*迈克尔·索莫斯2017年6月18日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A036283号
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| 写入cosec x=1/x+总和e_n x ^（2n-1）/（2n-1）！；序列给出了en的分母。 |
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+10
13
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6, 60, 126, 120, 66, 16380, 6, 4080, 7182, 3300, 138, 32760, 6, 1740, 42966, 8160, 6, 34545420, 6, 270600, 37926, 1380, 282, 1113840, 66, 3180, 21546, 3480, 354, 1703601900, 6, 16320, 194166, 60, 4686, 5043631320, 6, 60, 9954, 9200400, 498, 142981020, 6
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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[2^（2n-1）-1]*Bernoulli（2n）/n的分母。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年，第75页（4.3.68）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年，第75页（4.3.68）。
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配方奶粉
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例子
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x^（-1）+1/6*x+7/360*x^3+31/15120*x^5+。。。
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MAPLE公司
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seq（denom（（2^（2*n-1）-1）*bernoulli（2*n）/n），n=1..100）#罗伯特·伊斯雷尔2016年10月14日
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=分母（（2^（2*n-1）-1）*bernfrac（2*n）/n）\\雨果·普福尔特纳2022年12月18日
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交叉参考
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关键字
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非n,压裂,容易的
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作者
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经核准的
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-1, 51, -10, -10594, 2961, -210, 356487, -115940, 12642, -420, -101141295, 35804857, -4751890, 254562, -4620, 48350824787, -18071509911, 2689347661, -180909586, 5471466, -60060
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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ZS1矩阵的系数由ZS1[2*m-1，n]=（2^（2*m-1））*int（y^（2*m-1。。n=1、2、3。。在n<=（m-1）的条件下。
这个定义导致ZS1[2*m-1，n=1]=2*zeta（2*m-1），对于m=2，3，和递归关系ZS1[2*m-1，n]：=（1/（2*n-1））*（（2/（n-1）。通常，ζ（m）是黎曼ζ函数。这两个公式使我们能够确定ZS[2*m-1，n]系数的值，其中m为所有整数，n为所有正整数，但并非全部为正整数。如果我们选择ZS1[1，n=1]=2*gamma，而gamma是Euler-Mascheroni常数，那么我们可以确定所有的参数，这有点武断，但不是完全武断。
对于m＝1，2，3，..，ZS1矩阵的列中的系数。。，n=2，3，4，可以用GH（z；n）多项式生成，对于该多项式，我们发现了以下一般表达式GH（z；n）=（h（n）*CFN1（z；n）*GH（x；n=1）+ZETA（z；m））/p（n）。
ZETA（z；n）是导致ZETA三角形的ZETA多项式。
第一个Maple算法生成Zeta三角形的系数。第二个Maple算法生成m=0，-1，-2，…的ZS1[2*m-1，n]系数。
M（n）序列，见第二个Maple算法，导致Gould序列A001316号和一个类似Taylor级数中tan（x）分母的序列，即。，A156769号（n） ●●●●。
我们的一些结果是基于数值证据的推测。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第23章，第811-812页。
穆罕默德·阿扎里安，问题1218《Pi Mu Epsilon杂志》，第13卷，第2期，2010年春季，第116页。解决方案出版于2010年秋季第13卷第3期，第183-185页。
Johannes W.Meijer，Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点，jpg格式和pdf格式2013年3月3日。
Johannes W.Meijer和N.H.G.Baken，指数积分分布《统计与概率快报》，第5卷，第3期，1987年4月。第209-211页。
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配方奶粉
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对于n=3,4，…，我们发现Zeta三角形系数Zeta（n，m）=ZL（n）*（Zeta，n-1，m-1）-（n-1）^2*Zeta。。。并且m=2,3。。。。请参见A160475型对于ZETA（n，m=1），进一步，对于n=2，3，…，ZETA。。。。
矩阵列中系数的生成函数GH（z；n）定义为
GH（z；n）=和（ZS1[2*m-1，n]*z^（2*m-2），m=1..无穷大），其中n=1，2，3。。。。这个定义，以及我们选择的ZS1[1,1]=2*gamma，导致GH（z；n=1）=（-Psi（1-z）-Psi（1+z）），其中Psi（z）是digamma函数。此外，我们发现，对于n=2，3。。。，ZS1[-1，n]=2^（2*n-1）时*A002195号（n）/A002196号（n） 对于n=1，2。。。。
对于n=2,3，…，我们发现GH（z；n）多项式的一般表达式如下：
GH（z；n）=（h（n）*CFN1（z；n）*GH（z；n=1）+ZETA（z；n））/p（n）
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例子
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n=2,3，…三角形ZETA（n，m）的前几行，。。。m=1,2，。。。是
[ -1],
[51, -10],
[ -10594, 2961, -210],
[356487, -115940, 12642, -420].
前几个ZETA（z；n）多项式是
ZETA（z；n=2）=-1，
ZETA（z；n=3）=51-10*z^2，
ZETA（z；n=4）=-10594+2961*z^2-210*z^4。
前几个CFN1（z；n）多项式是
CFN1（z；n=2）=（z^2-1），
CFN1（z；n=3）=（z^4-5*z^2+4），
CFN1（z；n=4）=（z^6-14*z^4+49*z^2-36）。
前几个生成函数GH（z；n）是
生长激素（z；n=2）=（6*（z^2-1）*生长激素（z；n=1）+（-1））/9，
生长激素（z；n=3）=（60*（z^4-5*z^2+4）*GH（z；n=1）+（51-10*z^2））/450，
生长激素（z；n=4）=（1260*（z^6-14*z^4+49*z^2-36）*GH（z；n=1）+（-10594+2961*z^2-210*z^4））/99225。
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MAPLE公司
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nmax:=7；使用（组合）：cfn1:=proc（n，k）：总和（（-1）^j*stirling1（n+1，n+1-k+j）*stirling 1（n+1,n+1-k-j），j=-k.k）结束过程：Omega（0）：=1：对于n从1到nmax做Omega 1…n））/（2*n-1）！end do：对于n从1到nmax do Zc（n）：=（Omega（n）*2^（2*n-1））*2/（（2*n+1）*（n））end do:c（1）：=denom（Zc（1；p（n）：=c（n-1）end do:y（1）：=Zc（1）:n从1到nmax-1 do y（n+1）：=Zc（n+1）*（2*n+3）/2，b（n+1））end do：对于n从1到nmax do cm（n）：=c（n）*（1/6）*4^n/（2*n+1）！end do：对于n从1到nmax-1 do ZL（n+2）：=cm（n+1）/cm（n）end do:mmax:=nmax:对于n从2到nmax do ZETA（n，1）：=p（n）*y（n-1）：ZETA；seq（seq（ZETA（n，m），m=1..n-1），n=2..nmax）；
nmax1：=10；m：=1；ZS1排：=1-2*m；带（combinet）：t1:=proc（n，k）：sum（（-1）^j*stirling1（n+1，n+1-k+j）*stirling1（n+1，n+1-k-j），j=-k.k）end proc:mmax1:=nmax1:对于m1从1到mmax1，do M（m1-1）：=2^（2*m1-2）/（（2*m1-1）！）end do：对于从1到mmax1的m1，执行ZS1[-2*m1+1，1]：=2*（-bernoulli（2*m1）/（2*m2））od：对于从2到nmax1的n，执行m1从1到mmax1-n+1的do，执行ZS1[-2*1+1，n]：=M（n-1）*总和（（-1）^（k1+1）*t1（n-1，k1-1）*ZS1[2*k1-2*n-2*m1+1,1，1]，k1=1…n）od:od：seq（ZS1[1-2*M，n]，n=1..nmax1-M+1）；
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交叉参考
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经核准的
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-1, -11, 1, -299, 36, -1, -15371, 2063, -85, 1, -1285371, 182474, -8948, 166, -1, -159158691, 23364725, -1265182, 29034, -287, 1, -27376820379, 4107797216, -237180483, 6171928, -77537, 456, -1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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BS1矩阵的系数由BS1[2*m-1，n]=int（y^（2*m-1）/（cosh（y））^（2*n-1），y=0..无穷大）/阶乘（2*m-1。。。n=1，2。
该定义导致BS1[2*m-1，n=1]=2*beta（2*m），对于m=1，2。。。，以及递归关系BS1[2*m-1，n]=（2*n-3）/（2*n-2）*（BS1[2*.m-1，n-1]-BS1[2*m-3，n-1]/（2xn-3）^2），我们使用它将BS1矩阵系数的定义扩展到m=0，-1，-2。我们发现BS1[-1，n]=1代表n=1，2。通常β（m）=总和（（-1）^k/（1+2*k）^m，k=0..无穷大）。
对于m=1、2、3…，BS1矩阵列中的系数。。。，n=2,3,4。。。，可以用GK（z；n）多项式生成，我们发现了以下通用表达式GK（z；n）=（（-1）^（n+1）*CFN2（z；n）*GK（z；n=1）+BETA（z；n））/p（n）。
BETA（z；n）是导致BETA三角形的BETA多项式。
第一个Maple算法生成Beta三角形的系数。第二个Maple算法为m=0，-1，-2，-3，…生成BS1[2*m-1，n]系数。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第23章，第811-812页。
Johannes W.Meijer，Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点，jpg格式和pdf格式2013年3月3日。
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配方奶粉
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对于n=3,4，…，我们发现了β三角形系数Beta（n，m）=（2*n-3）^2*Beta（n-1，m）-Beta（n-1、m-1）之间的关系。。。m=2,3。。。BETA（n，m=1）=（2*n-3）^2*BETA（n-1，m=1）-（2*n-4）！对于n=2,3。。。当n=1，2，…时，BETA（n，n）=0。
矩阵列中系数的生成函数GK（z；n）定义为
GK（z；n）=和（BS1[2*m-1，n]*z^（2*m-2），m=1..无穷大），其中n=1，2。
这个定义导致GK（z；n=1）=1/（z*cos（Pi*z/2））*int（sin（z*t）/sin（t），t=0..Pi/2）。
此外，我们还发现，对于n=2，3，……，GK（z；n）=GK。
对于n=2,3，…，我们发现了GK（z；n）多项式的以下一般表达式。。。，
GK（z；n）=（（-1）^（n+1）*CFN2！。
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例子
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n=2,3，……三角形BETA（n，m）的前几行，。。。m=1,2，。。。是
[ -1],
[ -11, 1],
[ -299, 36, -1],
[ -15371, 2063 -85, 1].
前几个BETA（z；n）多项式是
贝塔系数（z；n=2）=-1，
贝塔系数（z；n=3）=-11+z^2，
贝塔系数（z；n=4）=-299+36*z^2-z^4。
前几个CFN1（z；n）多项式是
CFN2（z；n=2）=（z^2-1），
CFN2（z；n=3）=（z^4-10*z^2+9），
CFN2（z；n=4）=（z^6-35*z^4+259*z^2-225）。
前几个生成函数GK（z；n）是
GK（z；n=2）=（（-1）*（z^2-1）*GK（z，n=1）+（-1））/2，
GK（z；n=3）=（（z^4-10*z^2+9）*GK（z，n=1）+（-11+z^2））/24，
GK（z；n=4）=（（-1）*（z^6-35*z^4+259*z^2-225）*GK（z，n=1）+（-299+36*z^2-z^4））/720。
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MAPLE公司
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nmax:=8；mmax：=nmax：对于n从1到nmax做BETA（n，n）：=0结束do：m：=1：对于n，从m+1到nmmax做BETA（n，m）：=（2*n-3）^2*BETA（n-1，m）-（2*n-4）！od：对于m从2到mmax，do对于n从m+1到nmax，do BETA（n，m）：=（2*n-3）^2*BETA（n-1，m）-BETA（n-1，m-1）od:od:seq（seq（BETA（n，m），m=1..n-1），n=2..nmax）；
#结束第一个程序
nmax1：=25；m：=1；BS1行：=1-2*m；对于从0到nmax1的n，执行cfn2（n，0）：=1:cfn2 ax1 do表示m1从1到mmax1-n+1表示BS1[1-2*m1，n]：=（-1）^（n+1）*总和（（-1）*（k1+1）*cfn2（n-1，k1-1）*BS1[2*k1-2*n-2*m1+1，1]，k1=1..n）/（2*n-2）！od:od:seq（BS1[1-2*m，n]，n=1..nmax1-m+1）；
#结束第二个程序
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数学
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BETA[2,1]=-1；
BETA[n_，1]：=BETA[n，1]=（2*n-3）^2*BETA[n-1，1]-（2*n-4）！；
β[n_/；n>2，m_/；m>0]/；1<=m<=n:=β[n，m]=（2*n-3）^2*β[n-1，m]-β[n-1，m-1]；
BETA[_，_]=0；
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交叉参考
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关键字
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作者
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