搜索： a156709-编号：a156708
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A002321号
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| Mertens函数：Sum_{k=1..n}mu（k），其中mu是Moebius函数A008683号.
（原名M0102 N0038）
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评论
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如果j=1或i除以j，则由A（i，j）=1定义的n X n（0,1）矩阵的行列式。
当n>1时，Mertens函数的第一个正值是n=94。该图似乎显示了Mertens函数的负偏差，这与Chebyshev偏差惊人地相似（如A156749号和A156709号). 所谓的偏差似乎在经验上近似于-（6/Pi^2）*（sqrt（n）/4）（通过查看图表）（参见MathOverflow链接，2012年5月28日），其中6/Pi^2=1/zeta（2）是无平方数的渐近密度（Moebius mu为0的平方数）。这将是一种类似切比雪夫偏向的增长模式-丹尼尔·福格斯2011年1月23日
Soundararajan证明，在Riemann假设下，a（n）<<sqrt（n）exp（sqrt，log n）*（log log n，^14）强化了众所周知的等价性-查尔斯·格里特豪斯四世2015年7月17日
Balazard和De Roton（根据Riemann假设）将此改进为a（n）<<sqrt（n）exp（sqrt）*（log log n）^k），对于任何k>5/2，其中Vinogradov符号中的隐含常数取决于k-查尔斯·格里特豪斯四世2023年2月2日
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参考文献
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Biswajyoti Saha和Ayyadurai Sankaranarayanan，《关于Mertens函数的估计》，《国际数论杂志》，第15卷，第02期（2019年），第327-337页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
J.von zur Gatheren和J.Gerhard，《现代计算机代数》，剑桥，1999年，见第482页。
H.S.Wilf，《问候》；以及对黎曼假设的看法，阿默。数学。月刊，94:1（1987），3-6。
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链接
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J.B.Conrey，黎曼猜想，通知Amer。数学。Soc.，50（第3期，2003年3月），341-353。见第347页。
布雷迪·哈兰（Brady Haran）、霍利·克里格（Holly Krieger）和皮特·麦克帕特兰（Pete McPartlan），一个大惊喜（Mertens猜想），数字爱好者视频（2019）。
内森·吴，Möbius函数求和函数的分布，程序。伦敦数学。Soc.（3）89（2004），第2期，361-389；arXiv:math/0310381[math.NT]，2003年。
A.M.Odlyzko和H.J.J.te Riele，Mertens猜想的反驳，J.reine angew。数学。，357（1985），第138-160页。
Kannan Soundararajan，Möbius函数的部分和《数学杂志》，第631卷（2009年），第141-152页。arXiv:0705.0723[math.NT]，2007-2008年。
保罗·塔劳，用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，《计算机科学讲义》，2011年，第6916/2011卷，第218-238页。
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配方奶粉
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假设黎曼假设，每eps>0，a（n）=O（x^（1/2+eps））（利特伍德-见朗道第161页）。
兰伯特级数：和{n>=1}a（n）*（x^n/（1-x^n）-x^（n+1）/（1-x ^（n+1））=x和-1/x-Mats Granvik公司2010年9月9日和9月23日
Sum_｛k=1..n｝a（楼层（n/k））=1-大卫·W·威尔逊2012年2月27日
Schoenfeld证明了n>1时|a（n）|<5.3*n/（log n）^（10/9）-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月17日
G.f.A（x）满足（x）=（1/（1-x））*（x-和{k>=2}（1-x^k）*A（x^k-伊利亚·古特科夫斯基，2021年8月11日
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例子
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G.f.=x-x ^3-x ^4-2*x ^5-x ^6-2*x ^7-2*x^8-2*x^9-x ^10-2**x ^11-2*×^12-。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；A002321号：=n->add（mobius（k），k=1..n）；
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数学
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休息[FoldList[#1+#2&，0，Array[MoebiusMu，100]]
累积[阵法[MoebiusMu，100]](*哈维·P·戴尔，2011年5月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=1，n，moebius（k））
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，matdet（矩阵（n，n，i，j，j==1|0=j%i））
（PARI）a（n）=本人；forsquarefree（k=1，n，s+=moebius（k））；秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月8日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericIndex）
a002321 n=通用索引a002321_llist（n-1）
a002321_list=扫描1（+）a008683_list
（Python）
来自sympy import mobius
def M（n）：返回和（范围（1，n+1）中k的mobius（k））
打印（[M（n）代表范围（151）中的n]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n==0：
返回0
c、 j=n，2
k1=无
当k1>1时：
j2=无/无k1+1
j、 k1=j2，n//j2
（岩浆）[&+[MoebiusMu（k）：k in[1..n]]：n in[1..81]]//布鲁诺·贝塞利2021年7月12日
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签名,容易的,美好的
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A156749号
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| 对于从k（n）={3,5,7,9,11，…}开始的所有与-1或+1（mod 4）同余的数字k（n。 |
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a（k（n））主要为负的事实表明了切比雪夫偏差（其中非二次剩余的同余通常在素数竞赛中领先，至少对于“小”整数而言，在二次剩余同余上领先）。
这种偏倚（除其他原因外？）似乎是由于所有这些平方（偶数幂）与4互素的存在剥夺了素数出现在二次剩余类+1（mod 4）中的机会，而非二次剩余类别-1（mod 3）是无平方的。
与+1（mod 4）同余的平方的密度是1/（4*sqrt（k（n）。
这里1是二次剩余模4，但3（或等价的-1）是二次非剩余模4。所有的偶数幂（包括在正方形中）分别映射同余{-1，+1}到{+1，+1}，因此有助于偏差，而所有的奇数幂分别映射{-1，+1}到{-1，+1}，所以没有助于偏差。
当k（n）增加时（因为1/（4*sqrt（k（n。
这种绝对值偏差的持续性与否并不矛盾《算术级数素数定理》（Dirichlet），该定理指出，每个同余类互质中素数计数与m的渐近（相对）比在向无穷大的极限中趋于1。（参见下面的“Prime Number Races”链接。）
此外，即使这种偏差以绝对值增长，它也会被每个同余类互质中素数增加到4的波动所淹没（尽管非常缓慢），因为假设黎曼假设成立，它们的最大振幅将是，在我们的例子中，x代表k（n），h（x）=O（sqrt（x）*log（x）)绝对值的<=C*sqrt（x）*log（x），在任一同余类中素数pi（x，{4，1}）/x和pi。
由于1/（4*sqrt（x））是o（log（x）/sqrt（x）），偏差最终将被对应于任一同余类素数密度波动的“粉红噪声或近1/f噪声”所淹没。黎曼假设的错误意味着更大的波动，因为相对湿度对应于最小h（x）。
如果把pi（x，{4，k}）/x的素密度涨落看作x上的振幅谱（功率密度谱为（C*log（x）/sqrt（x））^2=（（C*log（x。然后，这个功率密度谱接近1/x，并且对于x的每一个倍频程具有几乎相等的能量（尽管缓慢增加为（C*log（x））^2）。（参见下面的“素数：计算视角”链接。）
在与-1或+1（mod 4）[索引范围从n=1到49999，其中k（n）=4*上限（n/2）+（-1）^n]同余的高达100000的正整数k（n，对于指数n=13430（对应于素数k（n）=26861，由于n是偶数，所以与+1（mod 4）同余），其中同余+1领先一次！
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参考文献
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Richard E.Crandall和Carl Pomerance，素数：计算视角
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链接
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A.Granville和G.Martin，质数种族，arXiv:math/0408319[math.NT]，2004年。
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配方奶粉
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数学
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交叉参考
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囊性纤维变性。A066339号,A066490号,A066520号,A007350型,A007351号,A038691美元,A096628号,A156707号,A156709号,A156706号,A101264号,A075743号.
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A156706号
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| 对于从k（n）={5,7,11,13，…}开始的所有与+1或-1（mod 6）同余的数字k（n。 |
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k（n）的表达式为：k（n”）=6*上限（n/2）+（-1）^n，因此n的奇偶性给出了k（n）的同余（mod 6）-丹尼尔·福格斯2009年3月1日
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