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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a152980-编号:a152980
显示找到的49个结果中的1-10个。 第页12 3 4 5
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A153001号 第行,共行A152980型当写为三角形时,收敛到这个序列。 +20
7
4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 49, 22, 15, 23, 28, 35, 52, 65, 56, 43, 53, 74, 91, 122, 168, 176, 113, 38, 15, 23, 28, 35, 52, 65, 56, 43, 53, 74, 91, 122, 168, 177, 120, 59, 53, 74, 91, 122, 169, 186, 155, 139, 180, 239, 304, 412, 512, 464, 257, 70, 15 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.1个
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
交叉参考
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2008年12月16日和21日
扩展
编辑人N.J.A.斯隆,2009年6月7日,2009年7月18日
状态
经核准的
A168131号 在角落牙签结构的第n阶段创建的正方形和矩形的数量(请参见A152980型A153006号). +20
4
0, 0, 1, 2, 1, 1, 5, 7, 3, 1, 4, 5, 3, 7, 18, 19, 7, 1, 4, 5, 3, 7, 17, 17, 7, 6, 13, 13, 13, 32, 56, 47, 15, 1, 4, 5, 3, 7, 17, 17, 7, 6, 13, 13, 13, 32, 55, 45, 15, 6, 13, 13, 13, 31, 51, 41, 20, 25, 39, 39, 58, 120, 160, 111, 31, 1, 4, 5, 3, 7, 17, 17, 7, 6, 13, 13, 13, 32, 55, 45, 15, 6 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
基本上是A170926号. -奥马尔·波尔2013年2月16日
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:当n>=2时,(13)应为u(n)=4*3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
请参阅Maple程序以了解重现性。
例子
如果写为三角形:
0中,
0中,
1,2,
1,1,5,7,
3,1,4,5,3,7,18,19,
7,1,4,5,3,7,17,17,7,6,13,13,13,32,56,47,
15,1,4,5,3,7,17,17,7,6,13,13,13,32,55,45,15,6,13,13,13,31,51,41,20,...
行(省略第一项)收敛到A170929号.
MAPLE公司
w:=proc(n)选项记忆;局部k,i;
如果(n=0),则RETURN(0)
elif(n≤3)然后返回(n-1)
其他的
k: =地板(对数(n)/对数(2));
i: =n-2^k;
如果(i=0),则返回(2^(k-1)-1)
elif(i<2^k-2)然后返回(2*w(i)+w(i+1));
elif(i=2^k-2)然后返回(2*w(i)+w(i+1)+1);
否则返回(2*w(i)+w(i+1)+2);
fi;
fi;
结束;
[序列(w(n),n=0..256)];
数学
a[n_]:=a[n]=模块[{k,i},其中[n==0,0,n<=3,n-1,True,k=楼层[Log2[n]];i=n-2^k;其中[i==0,2^(k-1)-1,i<2^k-2,2*a[i]+a[i+1],i==2^k-2;
表[a[n],{n,0,81}](*Jean-François Alcover公司,2022年9月25日,Maple代码之后*)
交叉参考
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2010年1月18日
扩展
编辑和扩展人N.J.A.斯隆2010年2月1日
状态
经核准的
A159785号 a(n)=A152980型(n) *3。 +20
1
3、6、9、9、12、21、24、15、12、21、27、30、45、66、60、27、12、21、27、30、45、66、63、42、45、69、84、105、156、192、144、51、12、21、27、30、45、66、63、42、45、69、84、105、156、192、147、66、45、69、84、105、156、195、168、129、159、222、273、366、504、528 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
交叉参考
牙签序列:139250英镑.
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2009年5月2日
扩展
来自3的更多术语*A152980型(n) 由王金源2020年3月14日
状态
经核准的
139250英镑 牙签序列(定义见注释行)。 +10
480
0, 1, 3, 7, 11, 15, 23, 35, 43, 47, 55, 67, 79, 95, 123, 155, 171, 175, 183, 195, 207, 223, 251, 283, 303, 319, 347, 383, 423, 483, 571, 651, 683, 687, 695, 707, 719, 735, 763, 795, 815, 831, 859, 895, 935, 995, 1083, 1163, 1199, 1215, 1243, 1279, 1319, 1379 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
牙签是闭合区间[-1,1]的副本。(在本文中,我们将其视为单位区间[-1/2,1/2]的副本。)
我们从0阶段开始,没有牙签。
在第一阶段,我们将牙签垂直放置在平面上的任何位置。
一般来说,给定飞机上牙签的配置,在下一阶段,我们根据特定条件尽可能多地添加牙签:
-每个新牙签必须水平或垂直放置。
-两根牙签可能永远不会交叉。
-每个新牙签的中点必须正好与一根现有牙签的端点接触。
序列给出了n个阶段后的牙签数量。A139251号(第一个差异)给出了第n阶段添加的数字。
如果牙签没有接触到任何其他牙签,则将其端点称为“暴露”。生长规律可以表达为:在每个阶段,放置新的牙签,使其中点接触每个暴露的端点。
这相当于二维细胞自动机。动画显示了类似分形的行为。
经过2^k-1步,有2^k个暴露的端点,都位于垂直于初始牙签的两条线上。在下一步中,将2^k根牙签放在这些线上,只留下4个暴露的端点,位于边长为牙签长度2^(k-1)倍的正方形的角上-M.F.哈斯勒,2009年4月14日及其他。有关证明,请参阅Applegate-Pol-Sloane文件。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须正好有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得相同的序列。牙签的形状当然不同于当前序列中的牙签。但如果我们从当前序列的配置开始,将每个牙签旋转四分之一圈,然后将整个配置旋转四分一圈,我们就得到了另一个配置。
如果定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须至少有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得序列n^2-n+1,因为网格中没有剩余的孔。
长度为2的“牙签”可以被视为具有两个组件的多棱边,两者位于同一条线上。在第n阶段,牙签结构是一个由2*a(n)个组件组成的多棱体。
猜测:考虑筛子中的矩形(包括正方形)。每个矩形(A=b*c)和边(b和c)的面积是2的幂,但至少有一条边(b或c)小于等于2。
在牙签结构中,如果n>>1,我们可以看到一些像“牙槽”和“衍射图案”的图案。例如,请参阅Applegate链接“139250英镑:电影版本”,然后输入n=1008并单击“更新”。另请参阅链接部分中的“T方形(分形)”-奥马尔·波尔2009年5月19日,2011年10月1日
发件人贝诺伊特·朱宾2009年5月20日:克里斯·摩尔(Chris Moore)的网页“画廊”(见链接)中有一些很好的图片,与当前序列的图片有些相似。它们对应于什么序列?
对于连接到Sierpin ski三角形和Gould序列A001316号,看左边的牙签三角A151566号.
埃里克·罗兰2010年3月15日的评论称,这种牙签结构可以在方格上表示为5个州的CA,大卫·阿普尔盖特表明三种状态就足够了。请参阅链接。
等于三角形的行和A160570型从偏移量1开始;等效于卷积A160552号:(1,1,3,1,3,5,7…)和(1,2,2,2…)。等于A160762型:(1,0,2,-2,2,2,-6,…)与2*n-1:(1,3,5,7,…)卷积。从偏移1开始等于A151548号:[1,3,5,7,5,11,17,15,…]卷积A078008号签署(A151575号): [1, 0, 2, -2, 6, -10, 22, -42, 86, -170, 342, ...]. -加里·亚当森2009年5月19日、5月25日
有关牙签结构的三维版本,请参见A160160型. -奥马尔·波尔2009年12月6日
发件人奥马尔·波尔2010年5月20日:(开始)
观察矩形的排列:
似乎有一个由不同的模块化子结构形成的很好的模式:一个中央十字架被不同大小的不对称十字架(或“隐藏十字架”)和十字架的“核心”包围。
推测:经过2^k个阶段后,对于k>=2,以及对于m=1到k-1,存在大小为s=k-m的4^(m-1)个子结构,其中每个子结构有4*s个矩形。子结构总数等于(4^(k-1)-1)/3=A002450美元(k-1)。例如:如果k=5(32个阶段后),我们可以看到:
a) 有一个4号的中央十字架,有16个矩形。
b) 有四个隐藏的十字架,尺寸为3,每个十字架有12个矩形。
c) 有16个隐藏的十字架,大小为2,每个十字架有8个矩形。
d) 共有64个大小为1的交叉核,每个核有4个矩形。
因此,32个阶段后的子结构总数等于85。注意,在每个子结构的每个臂中,在潜在的增长方向上,矩形的长度是2的幂。(请参阅链接中的插图。另请参阅A160124号.)(结束)
假设牙签长度为2*k,则牙签结构第n阶段后覆盖的网格点数量等于(2*k-2)*a(n)+A147614号(n) ,k>0。参见公式A160420型A160422号. -奥马尔·波尔2010年11月13日
版本“海鸥”:在半无限方格网上,在第1阶段,我们放置了一个水平的“鸥”,其顶点位于[(-1,2),(0,1),(1,2)]。在第二阶段,我们放置了两只垂直的海鸥。在第三阶段,我们放置了四只水平海鸥。a(n)也是第n阶段之后的海鸥数量。有关海鸥生长的更多信息,请参见A187220型. -奥马尔·波尔2011年3月10日
发件人奥马尔·波尔,2011年3月12日:(开始)
版本“I-牙签”:我们将“I-牙签”定义为由两个连接的牙签组成,作为长度为2的条。长度为2的I型牙签由两个长度为1的牙签组成。I-牙签的中点被它的两根牙签碰到。a(n)也是I牙签结构中第n阶段后的I牙签数量。I-牙签结构基本上是原始牙签结构,其中每个牙签都被一根I-牙刷取代。请注意,在原始牙签结构的物理模型中,新一代木制牙签的中点叠加在旧一代木质牙签的端点上。然而,在I-牙签结构的物理模型中,木质牙签并不重叠,因为所有木质牙签都是通过端点连接的。有关I-牙签结构中的牙签数量,请参见A160164号这也给出了鸥翼结构中鸥翼的数量,因为A160164号相当于I-牙签结构。似乎海鸥序列A187220型是原始牙签序列的超序列139250英镑(此序列)。
有关与Ulam-Warburton细胞自动机的连接,请参阅Applegate-Pol-Sloane文件,另请参阅A160164号A187220型.
(结束)
牙签通过端点连接的一种形式:在第1阶段,在半无限方格上,我们从(0,0)开始放置一根长度为1的垂直牙签。在第二阶段,我们从(0,1)开始放置两个水平牙签,依此类推。排列看起来像是I牙签结构的一半。a(n)也是第n个后面的牙签数量-奥马尔·波尔2011年3月13日
版本“四分圆”(或Q牙签):a(n)也是第一象限中Q牙签结构第n阶段之后的Q牙签数量。我们从(0,1)开始,第一根Q牙签位于(1,1)的中心。结构不对称。有关类似结构但从(0,0)开始的信息,请参见A187212号。请参阅187210英镑A187220型了解更多信息-奥马尔·波尔2011年3月22日
版本“树”:似乎a(n)也是牙签结构中第n阶段之后的牙签数量,按照一个特殊规则构建:当把新一代的牙签放在无限方格上时,它们的长度为4(注意每个牙签都有四个长度为1的分量),但在每个阶段之后,一个(或两个)如果新一代的每根牙签的四个部件中包含牙签的一个端点,并且该端点接触到另一个牙签的中点或端点,则该部件将被移除。牙签的截断端点永远暴露在外。请注意,结构中有三种尺寸的牙签:长度为4、3和2的牙签。A159795号给出了第n阶段后结构中组件的总数。A153006号(原始版本的角序列)给出了第n阶段后结构中组件总数的1/4-奥马尔·波尔2011年10月24日
发件人奥马尔·波尔2012年9月16日:(开始)
似乎a(n)/A147614号(n) 收敛到3/4。
似乎a(n)/A160124号(n) 收敛到3/2。
似乎a(n)/139252英镑(n) 收敛到3。
也:
看起来A147614号(n)/A160124号(n) 收敛到2。
看起来A160124号(n)/139252英镑(n) 收敛到2。
看起来A147614号(n)/139252英镑(n) 收敛到4。
(结束)
似乎a(n)也是在中描述的元胞自动机的结构的象限中的第n阶段之后的ON单元的总数A169707号加上在上述结构的象限中n+1个阶段之后没有其中心单元的ON单元的总数。请参阅中的NW-NE-SE-SW版本插图A169707号。另请参见A160164号A169707号. -奥马尔·波尔2015年7月26日
在无限开罗五边形瓷砖上,考虑由两个不相邻的五边形组成的对称图形,五边形由连接两个三价节点的线段连接。在第一阶段,我们首先打开其中一个图形。下一阶段的规则是,新一代图形的凹面部分必须与旧一代图形互补的凸面部分相邻。a(n)给出了第n级后结构中开启的图形数量。A160164号(n) 给出了第n阶段后结构中ON单元的数量-奥马尔·波尔2018年3月29日
发件人奥马尔·波尔2019年3月6日:(开始)
这个序列的“单词”是“ab”。有关细胞自动机一词的更多信息,请参阅A296612型.
版本“三角网格”:如果我们只使用三个轴中的两个,a(n)也是无限三角网格上牙签结构第n阶段后长度为2的牙签的总数。否则,如果我们使用三个轴,那么我们就有了序列A296510型上面有单词“abc”。
正常的牙签结构可以被视为乌拉姆·沃布顿细胞自动机的上部结构,因为A147562型(n) 这里等于4*n级后“隐藏交叉”的总数,包括中心交叉(当它们的“核”完全由4个四边形组成时,开始计算交叉)。请注意,结构中的每个四边形都属于一个“隐藏十字”。
此外,n个阶段后“隐藏交叉”的数量等于第n个阶段结构中“六瓣花”的总数A323650型,这似乎是此序列和之间的“缺失链接”A147562型.
请注意,“隐藏十字架的细胞核”的位置与“六瓣花”在结构中的位置非常相似(基本相同)A323650型以及Ulam-Warburton细胞自动机“一步bishop”版本中“ON”单元的位置A147562型.(结束)
发件人奥马尔·波尔2020年11月27日:(开始)
最简单的子结构是隐藏十字架的臂。结构的每个闭合区域(方形或矩形)都属于其中一个臂。窄臂有区域1、2、4、8。。。宽臂具有区域2、4、8、16。。。请注意,在2^(k-1)阶段之后,当k>=3时,每个象限中主要隐藏十字架的窄臂将确定牙签结构的大小。
另一种子结构可以称为“柱状图”或“条形图”。该子结构由宽度为2的矩形和正方形形成,这些矩形和正方形在2^k个阶段后与牙签结构的四边中的任何一个相邻,其中k>=2。这些连续区域的高度给出了来自A006519号例如:如果k=5,则32个阶段后的相应高度为[1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1]。这些连续区域的面积给出了A171977号例如:如果k=5,则相应的面积为[2,4,2,8,2,4,2,16,2,4,2,8,2,4,12]。
对于梅森素数的连接(A000668美元)和完美数字(A000396号)参见A153006号.
对于Wagstaff素数的表示(A000979美元)使用牙签结构参见A194810号.
有关彩色玻璃窗和隐藏曲线的连接,请参见A336532型.(结束)
似乎a(n)的图形与x的累积分布函数F(x)有着惊人的相似性,x是随机变量,取值在[0,1]中,其中x的二进制展开是由一系列独立的抛硬币给出的,每个比特的概率为3/4。似乎F(n/2^k)*(2^(2k+1)+1)/3接近a(n对于k大型-詹姆斯·科2022年1月10日
参考文献
D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》,国会数值,第206卷(2010年),第157-191页
L.D.Pryor,《桉树花序性状的遗传》,《新南威尔士州林奈学会学报》,第79卷,(1954年),第81、83页。
理查德·斯坦利(Richard P.Stanley),《枚举组合数学》,第1卷,第二版,第1章,练习95,图1.28,剑桥大学出版社(2012),第120、166页。
链接
David Applegate,电影版本
David Applegate,前32个阶段的动画
David Applegate,前64个阶段的动画
David Applegate,前128个阶段的动画
David Applegate,前256个阶段的动画
David Applegate,牙签结构的三态CA
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:(13)应读作u(n)=4.3^(wt(n-1)-1),n>=2。],也可在arXiv:1004.3036v2
艾莉安,牙签分形与断裂规律,Youtube视频(2021)
Joe Champion、,终极牙签图案照片1照片2照片3照片4博伊西州立大学博伊西数学界。[链接更新者P.迈克尔·哈钦斯2018年3月3日]
巴里·西普拉,接下来是什么?,《科学》(AAAS)327:943。
史蒂文·芬奇,牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可,缓存副本]
乌尔里希·格曼(Ulrich Gehmann)、马丁·雷切(Martin Reiche)、,世界山地机器柏林,(2014),第一版,第205、238、253页。
Mats Granvik,附加说明:数字块,其中每个数字表示方格上的一个点被牙签交叉或连接的次数,2009年6月21日。
戈登·汉密尔顿,娱乐数学中的三个整数序列,视频(2013?)。
J.K.Hamilton、I.R.Hooper和C.R.Lawrence,探索非周期性亚表面的微波吸收《高级电磁学》,10(3),1-6(2021)。
M.F.Hasler,初始术语说明
布莱恩·海耶斯,约书亚树和牙签
布莱恩·海耶斯,理想约书亚树,《约书亚树和牙签》中的人物(参见前面的链接)
布莱恩·海耶斯,牙签序列-咬合器
Benoit Jubin,初始术语说明
克里斯·摩尔,画廊,请参阅David Griffeath的元胞自动机部分。
奥马尔·波尔,初始术语说明
奥马尔·波尔,牙签结构中的图案插图(32步后)[缓存副本,具有权限]
编程难题与代码高尔夫堆栈交换,生成牙签序列
L.D.Pryor,桉树花序性状的遗传《新南威尔士州林奈学会学报》,第79卷,(1954年),第79-89页。
K.Ryde,牙签树.
丹尼尔·希夫曼,编码挑战#126:牙签《列车编码视频》(2018)
N.J.A.斯隆和布雷迪·哈兰,非常棒的牙签图案,数字视频(2018)
亚历克斯·范登·布兰多夫和保罗·列弗里,Tandenstokerrij公司毕达哥拉斯,Wiskundetijdschrift voor Jongeren,55ste Jaargang,Nummer 6,Juni 2016,(见封面,第1、18、19页和封底)。
维基百科,开罗五边形瓷砖
维基百科,H树
维基百科,牙签序列
维基百科,T平方(分形)
配方奶粉
a(2^k)=A007583号(k) ,如果k>=0。
a(2^k-1)=A006095号(k+1),如果k>=1。
一个(A000225号(k) )-a((A000225号(k) -1)/2)=A006516号(k) ,如果k>=1。
一个(A000668美元(k) )-a((A000668美元(k) -1)/2)=A000396号(k) ,如果k>=1。
通用公式:(x/((1-x)*(1+2*x)))*(1+2*x*产品{k>=0}(1+x^(2^k-1)+2*x^-N.J.A.斯隆2009年5月20日,2009年6月5日
可以证明lim-supa(n)/n^2=2/3,并且lim-infa(n)/n^2似乎是0.451-贝诺伊特·朱宾2009年4月15日和2010年1月29日,N.J.A.斯隆2010年1月29日
观察结果:当n>=2时,a(n)==3(mod 4)-杰姆·奥利弗·拉丰2009年2月5日
a(2^k-1)=A000969号(2^k-2),如果k>=1-奥马尔·波尔2010年2月13日
似乎a(n)=(A187220型(n+1)-1)/2-奥马尔·波尔2011年3月8日
a(n)=4*A153000个(n-2)+3,如果n>=2-奥马尔·波尔2011年10月1日
似乎a(n)=A160552号(n) +(+)(A169707号(n) -1)/2,n>=1-奥马尔·波尔,2015年2月15日
似乎a(n)=A255747型(n)+A255747型(n-1),n>=1-奥马尔·波尔2015年3月16日
设n=msb(n)+j,其中msb(n)=A053644号(n) 设a(0)=0。则a(n)=(2*msb(n)^2+1)/3+2*a(j)+a(j+1)-1-大卫·A·科内斯2015年3月26日
似乎a(n)=(A169707号(n) -1)/4+(A169707号(n+1)-1)/4,n>=1-奥马尔·波尔2015年7月24日
例子
a(10^10)=52010594272060810683-大卫·A·科内斯2015年3月26日
MAPLE公司
G:=(x/((1-x)*(1+2*x)))*(1+2*x*mul(1+x^(2^k-1)+2*x^#N.J.A.斯隆2009年5月20日,2009年6月5日
#发件人N.J.A.斯隆,2009年12月25日:139250英镑是T,A139251号是a。
a: =[0,1,2,4];T: =[0,1,3,7];M: =10;
对于从1到M的k do
a: =[op(a),2^(k+1)];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
对于j从1到2^(k+1)-1 do
a: =[op(a),2*a[j+1]+a[j+2]];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
od:od:a;T;
数学
系数列表[级数[(x/((1-x)*(1+2x)))(1+2x*积[1+x^(2^k-1)+2*x^,2^k),{k,0,20}]),{x,0,53}],x](*罗伯特·威尔逊v2010年12月6日*)
a[0]=0;a[n_]:=a[n]=模[{m,k},m=2^(长度[IntegerDigits[n,2]]-1);k=(2m^2+1)/3;如果[n==m,k,k+2a[n-m]+a[n-m+1]-1]];表[a[n],{n,0,100}](*Jean-François Alcover公司2018年10月6日之后大卫·A·科内斯*)
黄体脂酮素
(PARI)
139250英镑(n,print_all=0)={my(p=[],/*“已用”点集。点写为复数,c=x+iy。牙签长度为2*/
ee=[[0,1]],/*(暴露的)端点列表。暴露的端点列为[c,d],其中c=x+iy是端点的位置,d(unimodular)是方向*/
c、 d,ne,cnt=1);打印全部&&print1(“0,1”);n<2&&返回(n);
对于(i=2,n,p=集并集(p,集(Mat(ee~)[,1]));/*添加从上次移动到“已使用”点的端点(放弃方向)*/
ne=[];/*新的(公开的)端点*/
for(k=1,#ee,/*如果不在使用的点中,则添加新牙签的端点*/
集合搜索(p,c=ee[k][1]+d=ee[k][2]*I)|ne=setunion(ne,Set([c,d]]);
setsearch(p,c-2*d)||ne=集合联合(ne,Set([c-2*d,-d]]);
); /* 使用Set(),我们对点进行了排序,因此很容易删除那些最终没有暴露出来的点,因为它们碰到了新的牙签*/
forstep(k=#ee=eval(ne),2,-1,ee[k][1]==ee[k-1][1]&&k--&ee=vecextract(ee,Str(“^”k“..”,k+1));
cnt+=#ee;/*每个暴露的端点都会得到一根新牙签*/
打印全部&&print1(“,”cnt));碳纳米管}\\M.F.哈斯勒2009年4月14日
(PARI)
\\适用于n>0
a(n)={my(k=(2*msb(n)^2+1)/3);如果
msb(n)=我的(t=0);而(n>>t>0,t++);2^(t-1)\\大卫·A·科内斯2015年3月26日
(Python)
定义msb(n):
t=0
当n>>t>0时:
t+=1
返回2**(t-1)
定义a(n):
k=(2*msb(n)**2+1)/3
如果n==0,则返回0;如果n==msb(n),则返回k;如果n==msb
[范围(101)中n的a(n)]#因德拉尼尔·戈什2017年7月1日之后大卫·A·科内斯的PARI脚本
交叉参考
关键词
非n美好的
作者
奥马尔·波尔2008年4月24日
扩展
通过使用给定的PARI代码验证和扩展a(49)-a(53)M.F.哈斯勒2009年4月14日
进一步编辑人N.J.A.斯隆2010年1月28日
状态
经核准的
A139251号 牙签编号的第一个差异139250英镑. +10
236
0, 1, 2, 4, 4, 4, 8, 12, 8, 4, 8, 12, 12, 16, 28, 32, 16, 4, 8, 12, 12, 16, 28, 32, 20, 16, 28, 36, 40, 60, 88, 80, 32, 4, 8, 12, 12, 16, 28, 32, 20, 16, 28, 36, 40, 60, 88, 80, 36, 16, 28, 36, 40, 60, 88, 84, 56, 60, 92, 112, 140, 208, 256, 192, 64, 4, 8, 12, 12, 16, 28, 32, 20, 16, 28 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
第n步添加到牙签结构中的牙签数量(参见139250英镑).
如果n等于1加上2的正指数幂,则a(n)=4。(有关证据,请参阅第二个Applegate链接。)
似乎这个序列,甚至是超完美数,梅森素数,甚至是完美数之间都有联系。推测:在台与台之间添加到牙签结构中的牙签总数A061652美元(k) 和舞台A000668美元(k) 等于k次偶数完全数,对于k>=1。例如:A000396号(1) = 2+4 = 6.A000396号(2) = 4+4+8+12 = 28.A000396号(3) = 16+4+8+12+12+16+28+32+20+16+28+36+40+60+88+80 = 496. -奥马尔·波尔,2009年5月4日
关于这个推测,请参见大卫·阿普尔盖特的评论A153006号. -N.J.A.斯隆2009年5月14日
在三角形中(参见示例线),第k行的总和等于A006516号(k) ,对于k>=1-奥马尔·波尔2009年5月15日
与卷积的等式(1,2,2,…)A160762型:(1,0,2,-2,2,2,-6,…)-加里·亚当森2009年5月25日
用Jacobsthal序列卷积A001045号=A160704型: (1, 3, 9, 19, 41, ...). -加里·亚当森2009年5月24日
似乎两个连续项的总和A160552号给出这个序列的正项-奥马尔·波尔2015年2月19日
发件人奥马尔·波尔2019年2月28日:(开始)
三角网格牙签自动机的研究(A296510型),和同一家族的其他C.A.,揭示了一些具有循环周期的细胞自动机通常可以用不规则三角形(第一个差异)表示,其行长度是A011782号乘以k,其中k>=1,是一个内循环的长度。这个内部循环被称为细胞自动机的“单词”。例如:A160121号有单词“a”,所以k=1。这个序列有单词“ab”,所以k=2。A296511型有单词“abc”,所以k=3。A299477型有单词“abcb”,所以k=4。A299479型有单词“abcbc”,所以k=5。
对于非零项,这个三角形(单词为“ab”,k=2)的结构如下:
a、 b;
a、 b;
a、 b、a、b;
a、 b,a,b,a、b、a、b;
a、 b,a,b,b,a;
...
行长度是A011782号乘以2,等于方形数组的第2列A296612型: 2, 2, 4, 8, 16, ...
这种排列的特点是,奇数诱导列(a)包含平行于初始牙签的牙签数量,而均匀诱导列(b)包含与初始牙签正交的牙签的数量(参见示例部分中的第三个三角形)。
动画的相关声音可以是(tick,tock)、(tick、tock)…、。。。,和滴答作响的钟声一样。
有关细胞自动机“单词”的更多信息,请参阅A296612型.(结束)
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1),n>=2.],国会数字,第206卷(2010),157-191。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
David Applegate,电影版本
配方奶粉
来自的重复N.J.A.斯隆2009年7月20日:a(0)=0;a(2^i)=所有i的2^i;否则写n=2^i+j,0<j<2^i,然后写a(n)=2a(j)+a(j+1)。证明:这是以下循环的简化大卫·阿普尔盖特.量化宽松政策
重复周期自大卫·阿普尔盖特2009年4月29日:(开始)
写出n=2^(i+1)+j,其中0<=j<2^(i+1)。然后,对于n>3:
对于j=0,a(n)=2*a(n-2^i)(=n=2^(i+1))
对于1<=j<=2^i-1,a(n)=a(n-2^i)
对于j=2^i,a(n)=a(n-2^i)+4(=2^(i+1)+4)
对于2^i+1<=j<=2^(i+1)-2,a(n)=2*a(n-2^i)+a(n-2 ^i+1)
对于j=2^(i+1)-1,a(n)=2*a(n-2^i)+a(n-2 ^i+1)-4
当n=1,2,3时,a(n)=2^(n-1)。(结束)
通用公式:(x/(1+2*x))*(1+2***产品{k>=0}(1+x^(2^k-1)+2*x^-N.J.A.斯隆2009年5月20日,2009年6月5日
使用偏移量0(这将更自然,但偏移量1现在已固定):a(0)=1,a(1)=2;对于i>=1,a(2^i)=4;否则写n=2^i+j,0<j<2^i,然后a(n)=2*Sum_{k>=0}2^(wt(j+k)-k)*二项式-N.J.A.斯隆2009年6月3日
似乎a(n)=A187221号(n+1)/2-奥马尔·波尔2011年3月8日
似乎a(n)=A160552号(n-1)+A160552号(n) ,n>=1-奥马尔·波尔2015年2月18日
例子
发件人奥马尔·波尔,2008年12月16日:(开始)
三角形开始:
1;
2;
4,4;
4,8,12,8;
4,8,12,12,16,28,32,16;
4,8,12,12,16,28,32,20,16,28,36,40,60,88,20,32;
(结束)
发件人大卫·阿普尔盖特2009年4月29日:(开始)
对三角形的布局进行了调整,以显示柱变为常量,如下所示:
. 0;
. 1;
. 2,4;
. 4,4,8,12;
. 8,4,8,12,12,16,28,32;
.16,4,8,12,16,28,32,20,16,28,36,40,60,88,80;
.32,4,8,12,12,16,28,32,20,16,28,36,40,60,88,80,36,16,28,36,40,60,88,84,56,...
...
行总和给出A006516号.
(结束)
发件人奥马尔·波尔2018年2月28日:(开始)
此外,非零项可以写成不规则三角形,其中的行长度是A011782号乘以2,如下所示:
1,2;
4,4;
4,8,12,8;
4,8,12,12,16,28,32,16;
4,8,12,12,16,28,32,20,16,28,36,40,60,88,20,32;
...
(结束)
MAPLE公司
G:=(x/(1+2*x))*(1+2***mul(1+x^(2^k-1)+2*x^,2^k),k=0..20))#N.J.A.斯隆2009年5月20日,2009年6月5日
#139250英镑是T,A139251号是a。
a: =[0,1,2,4];T: =[0,1,3,7];M: =10;
对于从1到M的k do
a: =[op(a),2^(k+1)];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
对于j从1到2^(k+1)-1 do
a: =[op(a),2*a[j+1]+a[j+2]];
T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops[a)]];
od:od:a;T;
#N.J.A.斯隆2009年12月25日
数学
系数列表[级数[((x-x^2)/(1-x)(1+2x)))(1x2x乘积[1+x^(2^k-1)+2x^[2^k),{k,0,20}]),{x,0,60}],x](*文森佐·利班迪,2014年8月22日*)
交叉参考
等于2*A152968号和4*A152978号(如果我们忽略了前两项)。
请参见A147646号行的限制行为。另请参见A006516号.
行长度inA011782号.
囊性纤维变性。A160121号(单词“a”),A296511型(单词“abc”),A299477型(单词“abcb”),A299479型(单词“abcbc”)。
关键词
非n标签
作者
奥马尔·波尔2008年4月24日
扩展
部分编辑人奥马尔·波尔2019年2月28日
状态
经核准的
A153006号 牙签序列从一个无限正方形的外角开始,从中伸出一根半牙签。 +10
54
0, 1, 3, 6, 9, 13, 20, 28, 33, 37, 44, 53, 63, 78, 100, 120, 129, 133, 140, 149, 159, 174, 196, 217, 231, 246, 269, 297, 332, 384, 448, 496, 513, 517, 524, 533, 543, 558, 580, 601, 615, 630, 653, 681, 716, 768, 832, 881, 903, 918, 941 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
a(n)是n步后的整型牙签总数。
这个序列似乎与三角数、梅森素数甚至完美数有关。推测:a(A000668美元(n) )=A000217号(A000668美元(n) )。推测:a(A000668美元(n) )=A000396号(n) ,假设没有奇数完全数。
此序列的主要条目是139250英镑。另请参阅A152980型(第一个区别)和A147646号.
梅森素数猜想是正确的,但实际上并不是关于梅森素子的。a(2^i-1)=2^i(2^i-1)/2表示所有i(无论i或2^i-l是否为素数)。这是根据以下公式得出的139250英镑(2^i-1)和139250英镑(2 ^i)-大卫·阿普尔盖特2009年5月11日
然后我们可以写一个(A000225号(k) )=A006516号(k) ,对于k>0-奥马尔·波尔2009年5月23日
等于A151550号与[1,2,2,2,…]卷积。(这相当于观察到g.f.是x((1+x)/(1-x))*Product_{n>=1}(1+x^(2^n-1)+2*x^等价地,等于A151555号与…卷积A151575号. -加里·亚当森2009年5月25日
似乎a(n)也是牙签结构总路径长度的1/4139250英镑在第n阶段之后,按照一个特殊的规则构造:新一代的牙签放在方格上时长度为4(每个牙签有四个长度为1的分量),但在每个阶段之后,新一代牙签的四个分量中的一个(或两个)被移除,如果该部件包含牙签的端点,并且该端点接触到另一根牙签的中点或端点。牙签的截断端点永远暴露在外。请注意,结构中有三种尺寸的牙签:长度为4、3和2的牙签。a(n)也是第n级之后覆盖的网格点数量的1/4,结构的中心点除外。A159795号给出了第n级后结构中的总路径长度和组件总数-奥马尔·波尔2011年10月24日
链接
David Applegate,电影版本
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
奥马尔·波尔,初始术语说明
奥马尔·波尔,A153006(31)=496的图解
配方奶粉
通用格式:x*((1+x)/(1-x))*产品{n>=1}(1+x^(2^n-1)+2*x^-N.J.A.斯隆2009年5月20日
MAPLE公司
G: =x*((1+x)/(1-x))*mul((1+4^(2^n-1)+2*x^(2 ^n)),n=1..20)#N.J.A.斯隆2009年5月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000225号A006516号.
囊性纤维变性。A153007号A078008号A151555号.
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔,2008年12月17日,2008年11月19日,2009年4月28日
扩展
编辑人N.J.A.斯隆2008年12月19日
状态
经核准的
A160552号 a(0)=0,a(1)=1;对于0<=j<2^i,a(2^i+j)=2*a(j)+a(j+1)。 +10
38
0, 1, 1, 3, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 35, 21, 39, 53, 59, 81, 127, 129, 63, 1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
此重复出现在A152980型,但没有特殊情况。
按三角形查看的序列:
0中,
1,
1, 3,
1, 3, 5, 7,
1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15,
1, 3, 5, 7, 5, 11, 17, 15, 5, 11, 17, 19, 21, 39, 49, 31.
行聚合到A151548号.
第k行(k>=1)中的项的总和也是4^(k-1)。归纳法证明-N.J.A.斯隆2010年1月21日
如果序列[1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,5,11,17,15,…]与[1,2,2,2,2,…]卷积,我们得到139250英镑,牙签序列。例子:139250英镑(5) = 15 = (1, 2, 2, 2, 2) * (3, 1, 3, 1, 1). -加里·亚当森2009年5月19日
以1开头,并与[1,2,0,0,…]卷积=A151548号. -加里·亚当森2009年6月4日
请参阅A162956号对于使用N=3的类似三角形-加里·亚当森2009年7月20日
似乎两个连续项的和给出了A139251号. -奥马尔·波尔2015年2月18日
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
通用公式:x*(1+2*x)/(1+x)+(4*x^2/(1+2**x))*(-1+产品{k>=1}(1+x^(2^k-1)+2*x^-N.J.A.斯隆,2009年5月23日,基于加里·亚当森上面的评论和已知的139250英镑.
似乎a(n)=A169708号(n) /4,n>=1-奥马尔·波尔,2015年2月15日
似乎a(n)=A139251号(n) -a(n-1),n>=1-奥马尔·波尔2015年2月18日
例子
a(2)=a(2^1+0)=2*a(0)+a(1)=1,a(3)=a。
MAPLE公司
S: =proc(n)选项记忆;局部i,j;如果n<=1,则返回(n);fi;i: =地板(对数(n)/对数(2));j: =n-2^i;2*S(j)+S(j+1);结束#N.J.A.斯隆2009年5月18日
H:=x*(1+2*x)/(1+x)+(4*x^2/(1+2**x))*(倍数(1+x^(2^k-1)+2*x^;系列(H,x,120)#N.J.A.斯隆2009年5月23日
数学
嵌套[Join[#,2#+Append[Rest@#,1]]&,{0},7](*伊凡·内雷廷2017年2月9日*)
交叉参考
对于递归a(2^i+j)=C*a(j)+D*a(j+1),a(0)=a,a(1)=B,关于(a B C D)的下列值,请参见:(0 1 1)A118977号, (1 0 1 1)A151702号, (1 1 1 1)A151570型, (1 2 1 1)A151571号,(0 1 1 2)A151572号, (1 0 1 2)A151703号, (1 1 1 2)A151573号, (1 2 1 2)A151574号, (0 1 2 1)A160552号, (1 0 2 1)A151704号,(1 1 2 1)A151568号, (1 2 2 1)A151569号, (0 1 2 2)A151705号, (1 0 2 2)A151706年, (1 1 2 2)A151707号, (1 2 2 2)A151708号.
囊性纤维变性。A162956号A170903型.
关键词
非n
作者
大卫·阿普尔盖特2009年5月18日
状态
经核准的
A160406型 牙签序列从无限90度楔形物的顶点开始。 +10
32
0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 20, 22, 26, 30, 34, 40, 50, 58, 60, 62, 66, 70, 74, 80, 90, 98, 102, 108, 118, 128, 140, 160, 186, 202, 204, 206, 210, 214, 218, 224, 234, 242, 246, 252, 262, 272, 284, 304, 330, 346, 350, 356, 366, 376, 388, 408, 434, 452, 464, 484, 512, 542, 584 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
考虑由y>=|x|的点(x,y)定义的平面楔形,初始牙签从(0,0)延伸到(0,2);然后按照与139250英镑总是呆在楔子里。
n轮后结构中的牙签数量。
牙签序列139250英镑是此序列的主条目。另请参见A153000个.第一个区别:A160407型.
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
奥马尔·波尔,初始术语说明
配方奶粉
139250英镑(n) =2a(n)+2a(n+1)-4n-1,对于n>0-N.J.A.斯隆2009年5月25日
设G=(x+2*x^2+4*x^2(1+x)*((乘积{k>=1}(1+x^(2^k-1)+2*x*2(2^k)))-1)/(1+2*x))/(1-x)(=G.f139250英镑); 则当前序列的g.f.为(g+2+x*(5-x)/(1-x)^2)*x/(2*(1+x))-N.J.A.斯隆2009年5月25日
MAPLE公司
G:=(x+2*x^2+4*x^2*(1+x)*(mul(1+x^(2^k-1)+2*x^(2 ^k),k=1..20)-1)/(1+2*x))/(1-x);P: =(G+2+x*(5-x)/(1-x)^2)*x/(2*(1+x));系列(P,x,200);系列列表(%)#N.J.A.斯隆2009年5月25日
数学
条款=62;
G=(x+2x^2+4x^2(1+x)(乘积[1+x^(2^k-1)+2x^;
P=(G+2+x(5-x)/(1-x)^2)x/(2(1+x));
系数列表[P+O[x]^项,x](*Jean-François Alcover公司2018年11月3日,枫叶出版社*)
交叉参考
囊性纤维变性。A170886号-A170895号.
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2009年5月23日
扩展
更多术语来自N.J.A.斯隆2009年5月25日
定义修订人N.J.A.斯隆2010年1月2日
状态
经核准的
A152978号 a(n)=A139251号(n+2)/4=A152968号(n+1)/2。 +10
23
1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 5, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 20, 8, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 5, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 20, 9, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 48, 16, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 5, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 20, 9, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
此外,牙签编号的第一个差异A153000个.
链接
David Applegate,电影版本
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
通用公式:(1+x)*(生产(1+x^(2^k-1)+2*x^,2^k),k=1..oo)-1)/(1+2*x)-N.J.A.斯隆2009年5月20日
例子
如果写为三角形,则开始:
.1,1;
.1,2,3,2;
.1,2,3,3,4,7,8,4;
.1,2,3,3,4,7,8,5,4,7,9,10,15,22,20,8;
....
行聚合到A152980型.
行总和似乎给出了A004171号.[来自奥马尔·波尔,2010年5月25日]
交叉参考
参考牙签序列139250英镑.
囊性纤维变性。A004171号.[来自奥马尔·波尔,2010年5月25日]
关键词
非n容易的
作者
奥马尔·波尔2008年12月16日、12月20日
扩展
更多术语来自奥马尔·波尔2009年7月26日
状态
经核准的
A160407型 牙签编号的第一个差异A160406型. +10
20
1、1、2、2、2、4、4、2、2、4、4、6、10、8、2、2、4、4、6、10、8、4、6、10、12、20、26、16、2、2、4、4、4、6、10、8、4、6、10、10、12、20、26、16、4、6、10、12、20、20、28、30、42 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
第n阶段在牙签结构中添加的牙签数量A160406型.
发件人奥马尔·波尔2020年3月15日:(开始)
中描述的元胞自动机A160406型有单词“ab”,所以这个三角形的结构如下:
a、 b;
a、 b;
a、 b、a、b;
a、 b,a,b,a、b、a、b;
a、 b,a,b,b,a;
...
行长度是A011782号乘以2,等于方形数组的第2列A296612型: 2, 2, 4, 8, 16, ...
这种排列的特点是,奇数诱导列(a)包含与初始牙签平行的牙签数量,而均匀诱导列(b)包含与最初牙签正交的牙签的数量。
有关元胞自动机“单词”的更多信息,请参阅A296612型.(结束)
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
例子
发件人奥马尔·波尔2009年7月18日,2020年3月15日:(开始)
如果写为三角形:
1,1;
2,2;
2,2,4,4;
2,2,4,4,4,6,10,8;
2,2,4,4,4,6,10,8,4,6,10,10,12,20,26,16;
2,2,4,4,4,6,10,8,4,6,10,10,12,20,26,16,4,6,10,10,12,20,26,18,12,20,28,30,42;...
(结束)
交叉参考
关键词
非n
作者
奥马尔·波尔2009年5月23日
扩展
更多术语来自N.J.A.斯隆2009年7月17日
状态
经核准的
第页12 3 4 5

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