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A039599号 由奇比雪夫多项式U峎n(x)的x的幂展开式的偶数列组成的三角形。 +10个
133
1、1、1、2、3、1、5、9、5、1、14、28、20、7、1、42、90、75、35、9、1、132、297、275、154、54、11、1、429、1001、1001、637、273、77、13、1、1430、3432、3640、2548、1260、440、104、15、1、4862、11934、13260、9996、5508、2244、663、135、17、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的点阵路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过线x-y=k,并且只位于这条线的上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNEN,EENNEN,enneen,eneen,neeen。-菲利普·德莱厄姆2005年5月23日

这个三角形的矩阵逆是三角矩阵T(n,k)=(-1)^(n+k)*A085478号(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2005年5月26日

本质上与A050155型除了一个斜线A000108号(加泰罗尼亚数字)1,1,2,5,14,42,132,429。。。。-菲利普·德莱厄姆2005年5月31日

半长n且向下k的Grand Dyck路径数返回x轴。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0的路径,起始于(0,0),结束于(2n,0),由步骤u=(1,1)和d=(1,-1))组成。示例:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d)、uud(d)u(d)、u(d)u(d)du、u(d)duu(d)和duu(d)u(d)(圆括号之间显示x轴的向下返回)。-德国金刚砂2006年5月6日

Riordan数组(c(x),x*c(x)^2),其中c(x)是A000108号;逆数组为(1/(1+x),x/(1+x)^2)。-菲利普·德莱厄姆2007年2月12日

三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,…]生成,其中M是无限的三对角矩阵,所有1在上、次对角线上,而[1,2,2,2,2,…]在主对角线中。-菲利普·德莱厄姆2007年2月26日

逆二项式矩阵应用于邮编:A124733. 二项式矩阵应用于A0942年. -菲利普·德莱厄姆2007年2月26日

形状的标准表格数(n+k,n-k)。-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

菲利普·德莱厄姆2007年3月30日:(开始)

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值而出现:

(0,0)->A053121号;(0,1)->A089942号;(0,2)->A126093号;(0,3)->A126970号

(1,0)->A061554号;(1,1)->A064189;(1,2)->A039599号;(1,3)->A110877号;

(1,4)->A124576号;(2,0)->A126075号;(2,1)->A038622号;(2,2)->A039598号;

(2,3)->邮编:A124733;(2,4)->A124575号;(3,0)->邮编:A126953;(3,1)->邮编:A126954;

(3,2)->A111418号;(3,3)->A091965号;(3,4)->A124574号;(4,3)->A126791号;

(4,4)->A052179号;(4,5)->A126331号;(5,5)->A125906号. (结束)

表U(n,k)=和{j,0<=j<=n}T(n,j)*k^j如表所示A098474号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月29日

序列读取模式2给出邮编:A127872. -菲利普·德莱厄姆2007年4月12日

从(0,0)到(2n,2k)的2n步走数,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成,且路径位于非负象限中。示例:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududud、uduud、ududd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uududu、uuduu、uduudu、uuduu、uuduu、uuduu、uuduu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuuu d、uuuudu、uuduu、uuduu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuuuuuuuu。-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月17日,2007年4月18日

三角形矩阵,按行读取,等于三角形的矩阵逆邮编:A129818. -菲利普·德莱厄姆2007年6月19日

(n{n.m)=n(m)的和{n{u.m)=n(n.m)=0的和A099493号,A033999,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221型,A002315,A033890号,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,邮编:A126866,A028230,邮编:A161591,分别为m=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15。-菲利普·德莱厄姆2009年11月16日

Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和将上述三角形与三个序列连接起来;参见交叉引用。有关这些三角形和的定义,请参见邮编:A180662. -约翰内斯W.梅杰2011年4月20日

4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256。-加里·W·亚当森2011年6月13日

系数由前n行定义的线性方程组求解n=2n+1边的正多边形的对角线长度;常数c^0,c^1,c^2,。。。在右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9-边(nonagon)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888。。。。方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c2;(5,9,5,1)=c3。解为1,2.53208…,2.87938…,和1.87938…;边=1的9-边(非边)的四个不同对角线长度。(参见A089942号它使用类似的运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)-加里·W·亚当森2011年9月21日

在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1),其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚数字。参见添加的参考。-贾扬达·巴苏2013年4月30日

狼牙2013年9月20日:(开始)

T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次方的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),在单位圆(长度单位1)内接的正则n边形中奇指数对角线/边长比R(n,2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫多项式(见A049310型):

rho(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证明,请参见2013年9月21日的评论A053121号. 注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的阶数(参见A055034号),出现。

关于rho(n)的奇数幂,请参见A039598号. (结束)

方程多项式分子的无符号系数。第2.1节,定义了A067311号. -汤姆·科普兰2016年5月26日

参考文献

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T、 序列1,5,22,93,386。。。《戴克路径与有序树》,Congressus Numerant.,204(2010),93-104。

链接

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公式

T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。

德国金刚砂2006年5月6日:(开始)

T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。

G、 f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)

下列公式由菲利普·德莱厄姆2003年至2009年:(开始)

三角形T(n,k)按行读取;由A000012号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham在A084938号.

T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108号:加泰罗尼亚语的数量。

T(n,0)=A000108号(n) 如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n)T(n-j,k-1)*A000108号(j) 一。

T(n,k)=A009766号(n+k,n-k)=A033184(n+k+1,2k+1)。

G、 f.对于k列:Sum{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(x)=和{n>=0}A000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.

当n<0或n<k时,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。

a(n)+a(n+1)=1+A000108号(m+1)如果n=m*(m+3)/2;a(n)+a(n+1)=A039598号(n) 否则。

T(n,k)=A050165型(n,n-k)。

和{j>=0}T(n-k,j)*A039598号(k,j)=A028364号(n,k)。

三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=(-1)^(n+k)的矩阵逆*A085478号(k,n)。

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000108号(n) 你说,A000984号(n) 你说,A007854号(n) 你说,A076035型(n) 你说,A076036号(n) 对于x=0,1,2,3,4。

和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。

T(n,k)*(-2)^(n-k)=A114193号(n,k)。

和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。

和{k=0..n}T(n,k)*5^k=邮编:A127628(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*7^k=A115970号(n) 一。

T(n,k)=和{j=0..n-k}A106566(n+k,2*k+j)。

和{k=0..n}T(n,k)*6^k=A126694号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000108号(k)=A007852号(n+1)。

和{k=0..floor(n/2)}T(n-k,k)=A000958型(n+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310型(n) 一。

T(2*n,n)=A126596号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-x)^k=A000007号(n) 你说,邮编:A126983(n) 你说,邮编:A126984(n) 你说,邮编:A126982(n) 你说,269A126986号(n) 你说,邮编:A126987(n) 你说,A127017号(n) 你说,A127016号(n) 你说,邮编:A126985(n) 你说,A127053型(n) 分别为x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395年(n,k)。

T(n,k)=和{j>=0}A106566(n,j)*二项式(j,k)。

T(n,k)=和{j>=0}A127543号(n,j)*A038207(j,k}。

和{k=0..floor(n/2)}T(n-k,k)*A000108号(k)=A101490号(n+1)。

T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。

和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。

T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(二项式,j)*(k,j)。

和{j>=0}A110506号(n,j)*二项式(j,k)=和{j>=0}A110510型(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*2^(n-k)。

{uj>=0}A110518型(n,j)*A027465号(j,k)=和{j>=0}A110519号(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*3^(n-k)。

和{k=0..n}T(n,k)*A001045型(千)=A049027型(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n如果Sum{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*A040000美元(k)=A001700型(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A122553号(k)=A051924号(n+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*邮编:A123932(k)=A051944号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*A000217(k)=A002457号对于n-1>=n。

和{j>=0}二项式(n,j)*T(j,k)=邮编:A124733(n,k)。

和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) 你说,A000984号(n) 你说,A089022号(n) 你说,A035610号(n) 你说,邮编:A130976(n) 你说,邮编:A130977(n) 你说,邮编:A130978(n) 你说,A130979号(n) 你说,邮编:A130980(n) 你说,A131521号(n) x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

和{k=0..n}T(n,k)*A005043号(k)=邮编:A127632(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A132262号(k)=A089022号(n) 一。

T(n,k)+T(n,k+1)=A039598号(n,k)。

T(n,k)=邮编:A128899(n,k)+邮编:A128899(n,k+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*A015518号(k)=A076025号(n) ,对于n>=1。还有和{k=0..n}T(n,k)*A015521型(k)=A076026型(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*x^(n-k)=A033999(n) 你说,A000007号(n) 你说,A064062型(n) 你说,A110520型(n) 你说,邮编:A132863(n) 你说,邮编:A132864(n) 你说,邮编:A132865(n) 你说,邮编:A132866(n) 你说,邮编:A132867(n) 你说,邮编:A132869(n) 你说,邮编:A132897(n) x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^(k+1)*A000045型(k)=A109262(n) 你说,A000045型:=斐波纳契数。

和{k=0..n}T(n,k)*A000035号(千)*A016116型(k)=邮编:A143464(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A016116型(k)=A101850型(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A010684号(k)=A100320号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000034号(k)=A029651号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A010686号(k)=邮编:A144706(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A006130型(k-1)=邮编:A143646(n) ,与A006130型(-1)=0。

T(n,2*k)+T(n,2*k+1)=A118919年(n,k)。

和{k=0..j}T(n,k)=A050157型(日本)。

和{k=0..2}T(n,k)=A026012号(n) ;和{k=0..3}T(n,k)=A026029号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+2)=A026671号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+1)=A026726号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057078号(k)=A000012号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A108411号(k)=A155084号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057077号(k) =2^n=A000079号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057079号(k) =3^n=A000244号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*A011782号(k)=A000957号(n+1)。

(结束)

{二项式(k,k)=0*A000108号(n+j)。-保罗·巴里2011年2月17日

和{k=0..n}T(n,k)*A071679号(k+1)=A026674号(n+1)。-菲利普·德莱厄姆2014年2月1日

和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)。-沃纳·舒尔特2015年7月22日

和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日

和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日

T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1)。-彼得·卢什尼2016年5月13日

T(n,n-2)=A014107号(n) 一。-R、 J.马萨2019年1月30日

T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3。-R、 J.马萨2019年1月30日

T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-7)/6。-R、 J.马萨2019年1月30日

(n-2)*(n-2)*(n-2)*(n-2)。-R、 J.马萨2019年1月30日

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0:1个

1: 一

2: 2 3 1

3: 5 9 5 1

4: 14 28 20 7 1

5: 42 90 75 35 9 1

6: 132 297 275 154 54 11 1

7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1

8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1

9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1

... 重新格式化者狼牙2015年12月21日

保罗·巴里2011年2月17日:(开始)

生产矩阵开始

1,1,

1,2,1,

0,1,2,1,

0,0,1,2,1,

0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0结束

狼牙2013年9月20日:(开始)

rho(N)=2*cos(Pi/N)幂的例子:

n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n,5)=

2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho(N)),在N>=1中相同。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度δ(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以分别减少为R(4,1)=1和R(4,5)=-R(4,1)=-1。因此,rho(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)

枫木

T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于n从0到12的do-seq(T(n,k),k=0..n)od;#生成三角形序列#德国金刚砂2006年5月6日

数学

Table[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克里特2011年12月18日)

Join[{1},Flatten[Table[binoryment[2n-1,n-k]-二项式[2n-1,n-k-2],{n,10},{k,0,n}]]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*)

展平[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)

黄体脂酮素

塞德尔算法(1877)

#打印三角形的前n行

定义A039599号_三角形(n):

D=[0]*(n+2);D[1]=1

b=正确;h=1

对于范围内的i(2*n-1):

如果b:

对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]

h=1+

其他:

对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]

[1..z中的[1-z]

b=不是b

A039599号_三角形(10)#彼得·卢什尼2012年5月1日

(岩浆)/*呈三角形*/[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..0。。15] ]//文琴佐·利班迪2015年10月16日

(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)

三角线(n)=for(x=0,n-1,for(y=0,x,print1(a(y,x),“,”);print(“”)

三角板(10)\\费利克斯·弗利希2016年6月24日

交叉引用

列给出:A000108号 A000245型 A000344号 A000588号 A001392型 A000589号 A000590,A000012号 A005408号 A014107号(n>1)

行总和:A000984号

囊性纤维变性。A008313号 A0598号 A084938号 A000007号

三角形和(见注释):A000958型(Kn11),A001558号(Kn12),A088218(图1,图2)。

囊性纤维变性。A067311号.

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

更正人菲利普·德莱厄姆,2009年11月26日,2009年12月14日

状态

经核准的

第1页

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