搜索： a143646-编号：a143645
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。示例：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud（d）u（d），u（d）u（d）du，u（d）duu（d）和duu（d）u（d）（向下返回x轴显示在括号之间）-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu，uduuuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230元,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆，2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边＝1的9边形（非边形）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034级)，出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利（Jonathan E.Beagley）和保罗·德鲁布（Paul Drube），Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]
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配方奶粉
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T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号)-沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2：2 3 1
3: 5 9 5 1
4：14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0，0，1，2，1，
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n,3）+1*R（n/5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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