搜索: a143646-编号:a143645
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10 133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的晶格路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过x-y=k线,且仅位于该线上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNNE,EENNEN,EENENN,ENEENN,NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径,从(0,0)开始,到(2n,0)结束,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成)。例如:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d),uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,0,…]生成,其中M是无限三对角矩阵,所有1都在超对角和次对角中,[1,2,2,2,2,2,2,…]在主对角线中-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:
从(0,0)到(2n,2k)的2n步行走次数,由步长u=(1,1)和d=(1,-1)组成,路径保持在非负象限中。例如:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuu d,uuuudu,uuuduu,uuduuu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.,则和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081美元,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号,对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形;请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇数整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256-加里·亚当森,2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度;常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9边(非边)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888……方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c^2;(5,9,5,1)=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。;边=1的9边(非边)的四个不同对角线长度。(参见中的注释A089942号其使用类似的运算,但是c=1+2*cos(2*Pi/9)。)-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1)给出,其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),根据单位圆(长度单位1)内接的正n边形中的奇数索引对角线/边长比R(n,2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫S多项式(参见A049310型):
ρ(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034号),出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第796页。
T.Myers和L.Shapiro,序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木,众议员。,204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利(Jonathan E.Beagley)和保罗·德鲁布(Paul Drube),Tableau反演的组合数学,电子。J.Combina.,22(2015),#P2.44。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero,加泰罗尼亚三角数的幂和,arXiv:1602.04347[math.NT],2016(见2.8)。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学。,第14卷,第4期(1957年),405-414:124。[注意:有一个输入错误]
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公式
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T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。
T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。
G.f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)
T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。总和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108号:加泰罗尼亚语的数字。
T(n,0)=A000108号(n) ;如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
如果n<0或n<k,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1)。
三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=*A085478号(n,k)。
Sum_{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。
Sum_{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310号(n) ●●●●。
Sum_{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395号(n,k)。
求和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。
T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(n,j)*二项式(j,k)。
Sum_{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n如果Sum_{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。
(结束)
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108号(n+j)-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1)-彼得·卢什尼2016年5月13日
T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-7)/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-3)*(2*n-9)/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0:1
1: 1 1
2: 2 3 1
3:5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1(结束)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n/5)=
2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度数△(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以减少,即分别为R(4,1)=1和R(4],5)=-R(4,1)=-1。因此,ρ(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于从0到12的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=n,则1 elif k>n,则0 elif k=0,则T(n-1,0)+T
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..9)od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*)
连接[{1},扁平[Table[二项式[2n-1,n-k]-二项式[2],{n,10},{k,0,n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*)
压扁[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
b=非b
(岩浆)/*作为三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)
三角行(n)=对于(x=0,n-1,对于(y=0,x,print1(a(y,x),“,”));打印(“”)
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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