搜索: a141711-编号:a1417111
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A002997号
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| Carmichael数:复合数k,使得a ^(k-1)==1(mod k)对于k的每个a互素。 (原名M5462)
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561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项(参见链接和K.Conrad的评论)-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和平方的,对于p素,p|k=>p-1|k-1。
奇数复合数k是一个伪素数,以a为基iff a^(k-1)==1(mod k)。Carmichael数是一个奇数复合数k,它是一个伪素数,以A为基数,对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的,并且p-1对每个素数p除以k除以k-1(Korselt,1899)
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了(a+b)^k==a^k+b^k(modk)(新生的梦想)恰好是当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人构造了一个具有10333229505质因子的Carmichael数,并且还构造了在3到19565220之间每m个具有m个质因子的Carmichael数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd(b,M)=1的N中的任何数字b和M,都有无穷多个Carmichael数k,使得k==b(mod M)-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^(k-1)+2^(k-1)+…+(k-1)^(k-1)-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
如果k是Carmichael数并且gcd(b-1,k)=1,那么根据Steuerwald定理,(b^k-1)/(b-1)是基b的伪素数;请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
所有Carmichael数的序列可以定义为:a(1)=561,a(n+1)=最小组合k>a(n),这样对于每个素数p<=n+2,p^k==p(modk)-托马斯·奥多夫斯基,2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数,当且仅当m是无平方的,并且它的每一个素数p都满足s_p(m)>=p和s_p。对于每个素因子p,锐界p<=a*sqrt(m)保持不变,a=sqrt(17/33)=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多,2019年3月3日
奇复合数m是一个Carmichael数,当m除以分母(Bernoulli(m-1))时。商为A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff,第1006页,以及Kellner和Sondow,关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
比格(1950)以美国数学家罗伯特·丹尼尔·卡迈克尔(1879-1967)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9,我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1,模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4,6,8,…,等于1的项数。。。,前10000个术语中有24个:9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测,类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森(Daniel Larsen)已经证明了这一点,请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·桑莫尔2023年1月17日
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参考文献
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N.G.W.H.Beeger,《关于每一个素数对N的a^N==1(mod N)的复合数N》,《数学脚本》,第16卷(1950年),第133-135页。
A.H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,多佛出版公司,纽约,1966年,表18,第44页。
D.M.Burton,《初等数论》,第五版,McGraw-Hill,2002年。
CRC标准数学表和公式,第30版,1996年,第87页。
R.K.Guy,《数论中未解决的问题》,A13。
O.Ore,《数论及其历史》,McGraw-Hill,1948年,多佛出版社,1988年再版,第14章。
P.Poulet,《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000》,斯芬克斯(布鲁塞尔),第8卷(1938年),第42-45页。
西尔宾斯基,《数论问题选集》。纽约麦克米伦出版社,1964年,第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue,通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》,第83卷,第286期(2014年),第899-915页,arXiv预印本,arXiv:1203.6664v1[math.NT],2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance,有无限多的卡迈克尔数,数学系安。(2) 139(1994),第3期,703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance(1994年)。"关于寻找可靠证人的困难“计算机科学课堂讲稿8771994,第1-16页。
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift,通信,1972年.
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias,乘积子集问题:在数论和密码学中的应用,arXiv:2002.07095[数学.NT],2020。另请参见第5章《分析、密码学和信息科学》,《世界科学》(2023年),第108页。
Gerhard Jaeschke,卡迈克尔数到10^12,数学。压缩机。,第55卷,第191号(1990年),第383-389页。
D.H.Lehmer,Poulet表勘误表,数学。压缩机。,25 (1971), 944-945. 25 944 1971.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff,Jr。,伪素数为25*10^9,数学。压缩机。,第35卷,第151期(1980年),第1003-1026页。
瓦克拉夫·西梅尔卡,Zbytky z算法(关于算术级数的余数),乔阿索皮斯·普罗普·斯托芬·马蒂马蒂基·菲西基。14 (1885), 221-225.
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配方奶粉
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总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.004706,27.8724)(Bayless和Kinlaw,2017)。Kinlaw(2023年)将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日,2024年2月24日
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MAPLE公司
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过滤器:=进程(n)
局部q;
如果isprime(n),则返回false fi;
如果2&^(n-1)mod n<>1,则返回false fi;
如果不是numtheory:-issqrfree(n),则返回false fi;
对于numtheory:-factorset(n)do中的q
如果(n-1)mod(q-1)<>0,则返回假fi
日期:
真;
结束进程:
选择(过滤器,[seq(2*k+1,k=1..10^6)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp(n-1,数字理论:-lambda(n)),而不是isprime(n)和n<>1:
选择(isA002997,[1..10000])#彼得·卢什尼,2019年7月21日
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数学
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案例[范围[1,100000,2],n_/;Mod[n,CarmichaelLambda[n]]==1&&!PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日;次要编辑来自扎克·塞多夫2011年2月16日*)
选择[Range[1600001,2],CompositeQ[#]和Mod[#,CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)Korselt(n)=我的(f=系数(n));对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,2]>1||(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));1
isA002997(n)=n%2&&!isprime(n)&&Korselt(n)&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)是_A002997年(n,F=factor(n)~)={#F>2&&!foreach(F,F,(n%(F[1]-1)==1&&F[2]==1)||return)}\\不需要检查奇偶校验:如果需要效率,只扫描奇数-M.F.哈斯勒,2012年8月24日,编辑于2022年3月24日
(哈斯克尔)
a002997 n=a002997_列表!!(n-1)
a002997_list=[x|x<-a024556_list,
所有(==0)$map((mod(x-1))。(减1)$a027748_当前x]
(岩浆)[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime(n)和n mod CarmichaelLambda(n)eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
(鼠尾草)
定义为Carmichael(n):
如果n==1或is_even(n)或is_prime(n):
返回False
因子=因子(n)
对于因子中的f:
如果f[1]>1:返回False
如果(n-1)%(f[0]-1)!=0:
返回False
return True
打印(如果是Carmichael(n),则[n代表(1..20000)中的n])#彼得·卢什尼2019年4月2日
(Python)
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime,factorint
p、 q=3,5
为True时:
对于范围(p+2,q,2)内的n:
f=因子(n)
如果max(f.values())==1,而对于f中的p没有任何((n-1)%(p-1)):
产量n
p、 q=q,下一素数(q)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556美元,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717号,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,324315美元,A324316型,A324973型,A324975型,A324977型,A326690型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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经核准的
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A006931号
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| 具有n个素因子的最小Carmichael数,如果不存在该数,则为0。 (原名M5463)
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561, 41041, 825265, 321197185, 5394826801, 232250619601, 9746347772161, 1436697831295441, 60977817398996785, 7156857700403137441, 1791562810662585767521, 87674969936234821377601, 6553130926752006031481761, 1590231231043178376951698401
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Alford、Grantham、Hayman和Shallue构造了大型Carmichael数,找到了a(3)-a(19565220)和a(10333229505)的上界-查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月30日
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参考文献
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J.-P.Delahaye,《Merveilleux nombres premires》(《神奇素数》),第269页,《Pour la Science》,巴黎,2000年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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数学
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(*程序不适合计算多个项*)
A2997=选择[Range[1,10^6,2],CompositeQ[#]&&Mod[#,CarmichaelLambda[#]]==1&];
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黄体脂酮素
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(PARI)Korselt(n,f=因子(n))=对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,2]>1||(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));1
a(n)=my(p=2,f);对于素数(q=3,默认(素数极限),对于步长(k=p+2,q-2,2,f=因子(k));如果(vecmax(f[,2])==1&#f[,2]==n&&Korselt(k,f),返回(k));p=q)
(PARI)
carmichael(A,B,k)=A=最大值(A,vecprod(素数(k+1))\2);(f(m,l,lo,k)=我的(列表=列表());my(hi=sqrtnint(B\m,k));如果(lo>hi,返回(列表));如果(k==1,lo=最大值(lo,ceil(A/m));my(t=升程(1/Mod(m,l)));而(t<lo,t+=l);对于步(p=t,hi,l,if(isprime(p),my(n=m*p));if((n-1)%(p-1)==0,listput(list,n))),对于prime(p=lo,hi,if(gcd(m,p-1)==1,list=concat(list),f(m*p,lcm(l,p-1,p+1,k-1)));列表);向量排序(Vec(f(1,1,3,k)));
a(n)=如果(n<3,return());my(x=vecprod(素数(n+1))\2,y=2*x);而(1,my(v=carmichael(x,y,n));如果(#v>=1,返回(v[1]));x=y+1;y=2*x)\\丹尼尔·苏图2023年2月24日
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非n
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经核准的
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825265, 1050985, 9890881, 10877581, 12945745, 13992265, 16778881, 18162001, 27336673, 28787185, 31146661, 36121345, 37167361, 40280065, 41298985, 41341321, 41471521, 47006785, 67371265, 67994641, 69331969, 74165065
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a(1)=825265=5*7*17*19*73
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黄体脂酮素
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容易的,非n
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经核准的
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321197185, 413631505, 417241045, 496050841, 509033161, 611397865, 612347905, 638959321, 672389641, 832060801, 834720601, 868234081, 945959365, 986088961, 1074363265, 1177800481, 1210178305, 1256855041, 1410833281, 1481619601
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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a(1)=32197185=5*19*23*29*37*137
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黄体脂酮素
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容易的,非n
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5394826801, 6295936465, 12452890681, 13577445505, 15182481601, 20064165121, 22541365441, 24673060945, 26242929505, 26602340401, 27405110161, 28553256865, 33203881585, 38059298641, 39696166081, 40460634865
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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a(1)=5394826801=7*13*17*23*31*67*73。
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黄体脂酮素
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容易的,非n
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9746347772161, 11537919313921, 11985185775745, 14292786468961, 23239986511105, 24465723528961, 26491881502801, 27607174936705, 30614445878401, 30912473358481, 34830684315505, 51620128928641
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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a(1)=9746347772161=7*11*13*17*19*31*37*41*641。
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黄体脂酮素
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232250619601, 306177962545, 432207073585, 576480525985, 658567396081, 689702851201, 747941832001, 1013666981041, 1110495895201, 1111586883121, 1286317859905, 1292652236161, 1341323384401, 1471186523521, 1567214060545
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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a(1)=232250619601=7*11*13*17*31*37*73*163。
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容易的,非n
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