搜索: a138137-编号:a138137
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1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 3, 3, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 3, 2, 6, 3, 5, 4, 4, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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这是与分区的截面模型相连的大量序列的原始序列。
这里,“任何大于或等于n的整数的分区集的第n部分”(因此,“n的分区集最后一部分”)被定义为由所有部分组成的集,这些部分是由于取n的所有分区,然后删除n-1的所有分区而产生的。对于大于1的整数,截面的结构有两个主要区域:头部和尾部。头部由n的分区构成,其中n的分区不包含1。尾部由以下部分组成A000041号(n-1)分区为1。n的分区集包含前面数字的分区集。分区的分区模型根据分区的顺序或分区的表示有多个版本。在这个序列中,我们使用A026791号.
该模型的版本似乎显示了与k mod m一致的数字的部分和子部分重叠成>=m的部分。例如:
第一代(主表):
表1.0:与0 mod 1一致的整数划分为>=1部分。
第二代:
表2.0:与0模2同余的整数分为>=2部分。
表2.1:将与1模2同余的整数划分为大于等于2的部分。
第三代:
表3.0:与0模3同余的整数分为>=3部分。
表3.1:将与1模3同余的整数划分为大于等于3的部分。
表3.2:与2模3同余的整数分为>=3部分。
等等。
猜想:
设j和n是与k mod m同余的整数,使得0<=k<m<=j<n。设h=(n-j)/m。只考虑n的所有分区为>=m的部分。然后删除每个分区,其中尺寸m的部分出现了若干次<h。然后删除每一分区中尺寸m的h部分。其余的是将j划分为大于等于m的部分(注意,在截面模型中,h是删除的截面或子截面的数量)(奥马尔·波尔)。
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链接
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例子
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三角形开始:
[1];
[1] ,[2];
[1],[1],[3];
[1],[1],[1],[2,2],[4];
[1],[1],[1],[1],[1],[2,3],[5];
[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[2,2,2],[2,4],[3,3],[6];
...
初始术语说明(n=1..6)。该表以三种方式显示了6个分区集的六个部分。请注意,在解剖之前,分区集按中所述的顺序排列A026791号更一般地说,6的分区集的六个部分也可以解释为任何大于等于6的整数分区集的前六个部分。
---------------------------------------------------------
n j零件图零件
---------------------------------------------------------
. _
1 1 |_| 1; 1;
. _
2 1||_1,
2 2 |_ _| 2; 2;
. _
3 1 | | 1, 1,
3 2 | |_ _ 1, 1,
3 3 |_ _ _| 3; 三;
. _
4 1 | | 1, 1,
4 2 | | 1, 1,
4 3 | |_ _ _ 1, 1,
4 4 | |_ _| 2,2, 2,2,
4 5 |_ _ _ _| 4; 4;
_
5 1 | | 1, 1,
5 2 | | 1, 1,
5 3 | | 1, 1,
5 4 | | 1, 1,
5 5 | |_ _ _ _ 1, 1,
5 6 | |_ _ _| 2,3, 2,3,
5 7 |_ _ _ _ _| 5; 5;
. _
6 1 | | 1, 1,
6 2 | | 1, 1,
6 3 | | 1, 1,
6 4 | | 1, 1,
6 5 | |1,
6 6 | | 1, 1,
6 7 | |_ _ _ _ _ 1, 1,
6 8 | | |_ _| 2,2,2, 2,2,2,
6 9 | |_ _ _ _| 2,4, 2,4,
6 10 | |_ _ _| 3,3, 3,3,
6 11 |_ _ _ _ _ _| 6; 6;
...
(结束)
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MAPLE公司
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使用(组合):
T: =proc(m)局部b,ll;
b: =程序(n,i,l)
如果n=0,则ll:=ll,l[]
else seq(b(n-j,j,[l[],j]),j=i..n)
fi(菲涅耳)
结束;
ll:=空;b(m,2,[]);[1$numbpart(m-1)][],ll
结束时间:
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数学
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less[run1_,run2_]:=(lg1=run1//长度;lg2=run2//长度;Ig=Max[lg1,lg2];r1=If[lg1=lg,run1,PadRight[run1、lg,0]];r2=If[lg2==lg、run2,Pad右[run2、lg、0];Order[r1,r2]!=-1);row[n_]:=连接[Array[1&,{PartitionsP[n-1]}],排序[Reverse/@Select[IntegerPartitions[n],FreeQ[#,1]&],less]]//Flatten;表[行[n],{n,1,9}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年1月14日*)
表[反向@ConstantArray[{1},分区P[n-1]]~连接~
删除案例[排序@PadRight[Reverse/@Cases[Integer Partitions[n],x_/;最后[x]!=1] ],x_/;x==0,2],{n,1,9}]//展平(*罗伯特·普莱斯2020年5月12日*)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A026791号,A138121号,A141285号,A182703号,A187219号,A193870号,A194446号,A206437型,2007年2月31日,A207383型,A207379型,A211009型.
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 3, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 4, 4, 5, 3, 6, 2, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 5, 4, 6, 3, 3, 3, 3, 7, 2, 4, 3, 2, 5, 2, 2, 3, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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例子
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三角形开始:
[1];
[2],[1];
[3],[1],[1];
[4],[2,2],[1],[1],[1];
[5],[3,2],[1],[1],[1],[1],[1];
[6],[3,3],[4,2],[2,2,2],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1];
[7],[4,3],[5,2],[3,2,2],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1],[1];
...
分区分区模型的三个视图(带有七个分区的版本“树”)的插图显示了几个序列之间的连接。
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
7 15 7 7 . . . . . .
4+3 4 4 . . . 3 . .
5+2 5 5 . . . . 2 .
3+2+2 3 3 . . 2 . 2 .
6+1 11 6 1 6 . . . . . 1
3+3+1 3 1 3 . . 3 . . 1
4+2+1 4 1 4。2 . 1
2+2+2+1 2 1 2 . 2 . 2 . 1
5+1+1 7 1 5 5 . . . . 1个
3+2+1+1 1 3 3 . . 2 . 1个
4+1+1+1 5 4 1 4 . . . 1 1 1个
2+2+1+1+1 2 1 2 . 2 . 1 1 1个
3+1+1+1+1 3 1 3 3 . . 1 1 1 1
2+1+1+1+1+1 2 2 1 2 . 1 1 1 1 1
1+1+1+1+1+1+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ---------------
. *<-------A000041号-------> 1 1 2 3 5 7 11
. 1 0 1
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
.
. . . . . 1 . . . .
. . . . 2 1 . . . .
. . 3 . . 1 2 . . .
.表2.0。2 2 1。三。表2.1
. . . . . 1 2 2 . .
. 1 . . . .
.
---------------------------------------------------------
.
初始术语说明(n=1..6)。该表显示了分区集6的六个部分。请注意,在解剖之前,分区集按中所述的顺序排列A026792号更一般地说,6的分区集的六个部分也可以解释为任何大于等于6的整数分区集的前六个部分。
初始术语说明:
---------------------------------------
n j图表部件
---------------------------------------
. _
1 1 |_| 1;
_
2 1 |_ | 2,
2 2 |_| . 1;
. _ _ _
3 1 |_ _ | 3,
3 2 | | . 1,
3 3 |_| . . 1;
. _ _ _ _
4 1 |_ _ | 4,
4 2 |_ _|_ | 2, 2,
4 3 | | . 1,
4 4 | | . . 1,
4 5 |_|。1;
. _ _ _ _ _
5 1 |_ _ _ | 5,
5 2 |_ _ _|_ | 3, 2,
5 3 | | . 1,
5 4 | | . . 1,
5 5 | | . . 1,
5 6 | | . . . 1,
5 7 |_| . . . . 1;
. _ _ _ _ _ _
6 1 |_ _ _ | 6,
6 2 |_ _ _|_ | 3, 3,
6 3 |_ _ | | 4, 2,
6 4 |_|_|_|_|2,2,2,
6 5 | | . 1,
6 6 | | . . 1,
6 7 | | . . 1,
6 8 | | . . . 1,
6 9 | | . . . 1,
6 10 | | . . . . 1,
6 11 |_| . . . . . 1;
...
(结束)
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数学
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less[run1_,run2_]:=(lg1=run1//长度;lg2=run2//长度;Ig=Max[lg1,lg2];r1=If[lg1=lg,run1,PadRight[run1、lg,0]];r2=If[lg2==lg、run2,Pad右[run2、lg、0];Order[r1,r2]!=-1);row[n_]:=连接[Array[1&,{PartitionsP[n-1]}],排序[Reverse/@Select[IntegerPartitions[n],FreeQ[#,1]&],less]]//Flatten//Reverse;表[行[n],{n,1,9}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年1月15日*)
表[反向/@撤销@删除案例[按PadRight排序[Reverse/@Cases[Integer分区[n] ,x_/;最后[x]=1] ],x_/;x==0,2]~Join~ConstantArray[{1},PartitionsP[n-1]],{n,1,9}]//展平(*罗伯特·普莱斯2020年5月11日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,较少的
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作者
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状态
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经核准的
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A182703号
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| 行读取的三角形:T(n,k)=n的分区集最后一部分中k的出现次数。 |
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+10 100
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1, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 0, 1, 5, 1, 1, 0, 1, 7, 4, 2, 1, 0, 1, 11, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 15, 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1, 22, 7, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 30, 15, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 42, 15, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 56, 27, 14, 10, 5, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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此外,第1列给出了n-1的分区数。对于k>=2,第n行列出了n的所有分区中k的数量,这些分区中不包含1。
.
. 1,
. 1, 0, 1,
. 4, 2, 1, 0, 1,
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
---------------------
11, 7, 5, 3, 2, 1, 1,
.
在第n行中,似乎开始了一个无限梯形,其中列和总是给出n-1的分区数。n=7的示例:
.
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
. 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1,
. 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1,
. 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
.4、2、2、1、1、0、1、,
. 5, 2, 2, 1, 1, 0,...
. 4, 2, 2, 1, 1,...
. 4, 2, 2, 1,...
. 4, 2, 2,...
. 4, 2,...
. 4,...
.
11,
.8中,
. 7, 6,
. 6, 5,
. 10, 5, ...
. 10, ...
. 10, ...
-------------------
11, 15, 22, 30, ...
(结束)
更一般地,T(n,k)是任意整数>=n的分区集第n段中k的出现次数-奥马尔·波尔2013年10月21日
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链接
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配方奶粉
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例子
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7的分区集最后一部分的三种排列的图解,或者更一般地说,任何大于等于7的整数的分区集的第七部分:
. _ _ _ _ _ _ _
. (7) (7) |_ _ _ _ |
. (4+3) (4+3) |_ _ _ _|_ |
. (5+2) (5+2) |_ _ _ | |
.(3+2+2)(3+2+2)|__|__|_|
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) |_|
----------------
. |/|/|/|/|/|/|
.11,3,2,1,1,0,1-->此三角形的第7行。
.
请注意,最后一部分的“头部”由7个分区组成,其中不包含1个部分。“尾巴”由A000041号(7-1)尺寸为1的零件。行数(或区域数)为A000041号(7) = 15. 7的分区集的最后一部分包含11个1,3个2,2个3,1个4,1个5,没有6,它包含1个7。所以,对于k=1..7,第7行给出:11,3,2,1,1,0,1。
三角形开始:
1;
1, 1;
2, 0, 1;
3, 2, 0, 1;
5、1、1、0、1;
7, 4, 2, 1, 0, 1;
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1;
15, 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1;
22, 7, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
30, 15, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1;
42, 15, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
56, 27, 14, 10, 5, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
...
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MAPLE公司
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p: =(f,g)->拉链((x,y)->x+y,f,g,0):
b: =proc(n,i)选项记忆;局部g;
如果n=0,则[1]
elif n<2或i<2,然后[0]
否则g:=`if`(i>n,[0],b(n-i,i));
p(p([0$j=2..i,g[1]],b(n,i-1)),g)
fi(菲涅耳)
结束时间:
h: =proc(n)选项记忆;
`如果`(n=0,1,b(n,n)[1]+h(n-1))
结束时间:
T: =程序(n)h(n-1),b(n,n)[2..n][]结束:
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数学
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p[f_,g_]:=加号@@PadRight[{f,g}];b[n_,i_]:=b[n,i]=模[{g},其中[n==0,{1},n<2|i<2,{0},True,g=如果[i>n,{0{,b[n-i,i]];p[p[附加[Array[0&,i-1],g[[1]]],b[n,i-1]],g]]];h[n_]:=h[n]=如果[n==0,1,b[n,n][[1]]+h[n-1]];t[n]:={h[n-1],序列@@b[n,n][[2;;n]]};表[t[n],{n,1,20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年1月16日之后阿洛伊斯·海因茨的Maple代码*)
表[{分区P[n-1]}~联接~表[计数[扁平@箱子[整数分区[n],x_/;最后[x]!=1] ,k],{k,2,n}],{n,1,12}]//展平(*罗伯特·普莱斯2020年5月15日*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 6, 3, 5, 4, 7, 2, 4, 3, 6, 5, 4, 8, 3, 5, 4, 7, 3, 6, 5, 9, 2, 4, 3, 6, 5, 4, 8, 4, 7, 6, 5, 10, 3, 5, 4, 7, 3, 6, 5, 9, 5, 4, 8, 7, 6, 11, 2, 4, 3, 6, 5, 4, 8, 4, 7, 6, 5, 10, 3, 6, 5, 9, 4, 8, 7, 6, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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行读取的三角形:T(j,k)是j分区集最后一部分中第k个区域的最大部分。
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链接
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配方奶粉
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例子
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写为三角形T(j,k),序列开始:
1;
2;
三;
2, 4;
3, 5;
2, 4, 3, 6;
3、5、4、7;
2, 4, 3, 6, 5, 4, 8;
3, 5, 4, 7, 3, 6, 5, 9;
2, 4, 3, 6, 5, 4, 8, 4, 7, 6, 5, 10;
3, 5, 4, 7, 3, 6, 5, 9, 5, 4, 8, 7, 6, 11;
...
------------------------------------------
------------------------------------------
1=p(1)1
2=p(2)2。
3=p(3)。三
4 2 .
5=p(4)4。
6 . 三
7=p(5)。5
8 2 .
9 4 .
10 3 .
11=p(6)6。
12 . 三
13 . 5
14 . 4
15=p(7)。7
...
以三种方式说明初始术语(n=1..11):作为6个分区的最大部分(参见A026792号),也作为图中区域的最大部分,也作为三角形的对角线。根据“区域”的定义,第n个区域的最大部分也是第n个分区的最大部分(见下文):
--------------------------------------------------------
.三角图,其中
区域行的分区是分区
6的分区和列是区域
--------------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _
6 _ _ _ | 6
3+3 _ _ _|_ | 3 3
4+2 _ _ | | 4 2
2+2+2 _ _|_ _|_ | 2 2 2
5+1 _ _ | | | 5 1
3+2+1 _ _ _|_ | | 3 1 1
4+1+1 _ _ | | | 4 1 1
2+2+1+1 _ _|_ | | | 2 2 1 1
3+1+1+1 _ _ | | | | 3 1 1 1
2+1+1+1+1 _ | | | | | 2 1 1 1 1
1+1+1+1+1+1 | | | | | | 1 1 1 1 1 1
...
--------------------------------------------------------
.示意图
.个地区中的个地区
.以及成分和隔板
---------------------------------------------------------
j=1 2 3 4 5 j=1 3 4 5
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
1 1 _| | | | | ............ 1 1 _| | | | |
2 2 _ _| | | | ............ 2 2 _ _| | | |
3 1 _| | | | ......... 4 3 _ _ _| | |
4 3 _ _ _| | | ../ ....... 6 2 _ _| | |
5 1 _| | | | / ....... 8 4 _ _ _ _| |
6 2 _ _ | | |..//。。。。12 3 _ _ _| |
7 1 _| | | / / . 16 5 _ _ _ _ _|
8 4 _ _ _ _| | ../ / /
9 1 _| | | | / /
10 2 _ _| | | / /
11 1 _| | | / /
12 3 _ _ _| | ../ /
13 1 _| | | /
14 2 _ _| | /
15 1 _| | /
16 5 _ _ _ _ _| ../
...
我们还可以画出一个无限的Dyck路径,其中第n个奇数索引线段有一个(n)向上的步长,第n个偶数索引线段有A194446号(n) 向下走。注意,高度0处两个连续谷之间第n个最大峰值的高度也是分区数A000041号(n) ●●●●。见下文:
. 5
. /\ 3
. 4 / \ 4 /\
. /\ / \ /\ /
. 3 / \ 3 / \ / \/
. 2 /\ 2 / \ /\/ \ 2 /
. 1 /\ / \ /\/ \ / \ /\/
. /\/ \/ \/ \/ \/
.
.(完)
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数学
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上次/@DeleteCases[DeleteCases][排序@PadRight[Reverse/@IntegerPartitions[13]],x_/;x==0,2],{_}](*更新罗伯特·普莱斯2020年5月15日*)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A135010型,A182730型,A182731号,A182732号,A182733号,A182982号,A182983号,A182703号,A193870号,A194446号,A194447号,A194550号,A206437型,A210979号,210980英镑,A211978型,A220517型,A225600型,A225610型.
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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经核准的
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1, 2, 5, 12, 28, 64, 144, 320, 704, 1536, 3328, 7168, 15360, 32768, 69632, 147456, 311296, 655360, 1376256, 2883584, 6029312, 12582912, 26214400, 54525952, 113246208, 234881024, 486539264, 1006632960, 2080374784, 4294967296, 8858370048, 18253611008, 37580963840
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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设M_n是n×n矩阵M_(i,j)=2+abs(i-j),则det(M_n)=(-1)^(n-1)*a(n-1-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月28日
a(n)是规则(n+3)-多边形的三角剖分数,其中每个三角形与多边形本身至少共享一条边-大卫·卡兰2004年3月25日
j+n、j>n和j最大部分的成分数量。例如,a(4)由成分的数量导出,例如:54(2)、531(6)、522(3)、5211(12)和51111(5),得出2+6+3+12+5=28-乔恩·佩里2005年9月13日
如果X_1、X_2,。。。,X_n是(2n+2)-集X的2个块,那么,对于n>=1,a(n+1)是与每个X_i(i=1,2,…,n)相交的X的(n+1)-子集的数目-米兰Janjic2007年11月18日
由M*[1,1,1,…]的迭代生成,其中M=在主对角线和超对角线中具有(1,1,1,…),在次对角线上具有(1,0,0,0,…)的无限三对角矩阵-加里·亚当森2009年1月4日
a(n)是n的弱成分数,其中1部分正好等于0-米兰Janjic2010年6月27日
用交替符号表示g.f.为:(1+x)^2/(1+2*x)^2。
避免[n+2]的排列的132的数目,该排列恰好包含一个213模式-大卫·斯卡布勒2011年11月7日
a(n)是n+1的所有成分中1的数量=n+2的所有成分的2的数量=n+3的所有组成中3的数量=。。。所以部分和=A001792号. -杰弗里·克雷策2012年2月12日
还将n的组成分为2类,其中第一类的所有部分都位于第二类的所有部件之前;请参见示例-乔格·阿恩特2013年4月28日
对于n的组合,大小为k的部件的总运行次数为a(n-k)-a(n-2k)-格雷戈里·西蒙2018年2月17日
a(n)是n+1节点上与路径图同构的二叉树的数目。a(n)的比率/A000108美元(n+1)给出了n+1节点上的随机Catalan树与路径图同构的概率-马塞尔·K·高2020年5月9日
a(n)是字母{0,1,2}上长度为n的单词数,因此第一个字母不是2,最后一个1出现在第一个0之前-亨利·穆勒2021年3月8日
此外,翁和扎吉尔参考中的“特殊排列”数量-F.查波顿2022年9月30日
a(n-k)是在所有二进制n串上长度为k的1的游程总数-费利克斯·巴拉多2022年12月11日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Ron M.Adin和Yuval Roichman,矩阵、字符和下降,arXiv:1301.1675[math.CO],2013-2014年;见第10页。
费利克斯·巴拉多和盖诺尔·西尔维斯特,二进制字符串中一的运行,arXiv:2302.11532[math.CO],2023。见第6-7页。
埃瓦·查巴卡、里戈伯托·弗洛雷斯、莱安德罗·朱内斯和何塞·拉米雷斯,非递减Dyck路径上的峰谷枚举,离散数学。,第341卷,第10期(2018年),第2789-2807页。见第2798页。
Michael Dairyko、Lara Pudwell、Samantha Tyner和Casey Wynn,二叉树中的非相似模式避免.电子。J.Combina.,第19卷,第3期(2012年),论文22,21页MR2967227发件人N.J.A.斯隆2013年2月1日
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇,计数函数,arXiv 1301.4550[math.CO],2013年。
Koushik Sinha和Bhabani P.Sinha,关于二进制字符串中1的运行分布《计算机与数学与应用》,第58卷,第9期(2009年),第1816-1829页。
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配方奶粉
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求和{k=0..n}(k+2)*二项式(n,k)给出了序列,但偏移量不同:2,5,12,28,64,144,320,704,1536-N.J.A.斯隆,2008年1月30日-公式修正人罗伯特·威尔逊v2018年2月26日
1,1,2,2,3,3,…的二项式变换-保罗·巴里2003年3月6日
a(0)=1,a(n)=(n+3)*2^(n-2),n>=1。
a(n+1)=2*a(n)+2^(n-1),n>0。
G.f.:(1-x)^2/(1-2*x)^2.-Detlef Pauly(dettodet(AT)yahoo.de),2003年3月3日
通用格式:1/(1-x-x^2-x^3-…)^2-乔恩·佩里,2004年7月4日
a(n)=和{0<=j<=k<=n}二项式(n,j+k)-贝诺伊特·克洛伊特2004年10月14日
a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*层((k+2)/2)-保罗·巴里2003年3月6日
a(n)=和{k=0..n}(k+1)*C(n-1,n-k)-彼得·卢什尼2015年4月20日
a(n)=和{k=0..n-1}a(k)+2^(n-1)=A001787号(n-1)+2^n,a(0)=1-《玉春记》2020年5月22日
a(n)=和{m=0..n}((2*m+2)*n-2*m^2+1)*C(2*n+2,2*m+1)/(4*n+2)*2^n)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年11月1日
例如:(1+exp(2*x)*(3+2*x))/4-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年12月19日
和{n>=0}1/a(n)=32*log(2)-61/3。
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=32*log(3/2)-37/3。(结束)
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例子
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例如a(2)=5,因为在3的组成中,即3,2+1,1+2,1+1,我们总共有五个1。
有一个(3)=12个由3组成的组合,分为2类,其中第一类的所有部分都位于第二类的所有部件之前。这里p:s代表“s类的p部分”:
01: [ 1:0 1:0 1:0 ]
02: [ 1:0 1:0 1:1 ]
03: [ 1:0 1:1 1:1 ]
04: [ 1:0 2:0 ]
05: [ 1:0 2:1 ]
06: [ 1:1 1:1 1:1 ]
07: [ 1:1 2:1 ]
08: [ 2:0 1:0 ]
09:[2:0 1:1]
10: [ 2:1 1:1 ]
11: [ 3:0 ]
12: [ 3:1 ]
对于6的成分,尺寸为2的零件的总运行次数为a(6-2)-a(6-2*2)=28-5=23,列举如下(2的运行包含在[]中):4,[2];[2],4; [2],3,1; [2],1,3; 3,[2],1; 1,[2],3; 3,1,[2]; 1,3,[2];[2,2,2]; [2,2],1,1; 1,[2,2],1; 1,1,[2,2]; [2],1,[2],1; 1,[2],1,[2]; [2],1,1,[2]; [2],1,1,1,1; 1,[2],1,1,1; 1,1,[2],1,1; 1,1,1,[2],1; 和1,1,1,1[2]-格雷戈里·西蒙,2018年2月17日
有一个(3)=12个长度为3的三字:(0,0,0)、(0,0,2)、(0,2,0)、-亨利·穆勒2021年3月8日
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MAPLE公司
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seq(ceil(1/4*2^n*(n+3)),n=0..50);
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数学
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表[如果[n==0,1,2^(n-2)(n+3)],{n,0,29}](*罗伯特·威尔逊v2005年6月27日*)
系数列表[级数[(1-2x+x^2)/(1-2x)^2,{x,0,30}],x](*或*)
线性递归[{4,-4},{1,2,5},31](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,n==0,(n+3)*2^(n-2))
(哈斯克尔)
a045623 n=a045623_列表!!n个
a045623_list=尾部$f a011782_list[],其中
f(u:us)vs=sum(zipWith(*)vs$reverse ws):f us ws
其中ws=u:vs
(间隙)a:=[2,5];;对于[3..40]中的n,做a[n]:=4*a[n-1]-4*a[n-2];od;级联([1],a)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日
(最大值)
a(n):=总和(((2*m+2)*n-2*m^2+1)*二项式(2*n+2,2*m+1),m,0,n)/((4*n+2)*2^n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年11月1日*/
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 22, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 30, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 42, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 3, 1, 1, 56, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 77, 1, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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也可以按行读取三角形:T(j,k)=j的分区集最后一部分的第k个区域中的零件数。参见示例。有关更多信息,请参阅A135010型.
为了用元胞自动机构建这个序列,我们使用以下规则:我们从正方形网格的第一象限开始,没有牙签。在第n阶段,我们将A141285号(n) 长度为1的牙签由其端点从点(0,n)开始沿水平方向连接。然后,我们将长度为1的牙签放在垂直方向上,由其端点连接,从露出的牙签端点向下向上接触结构或向上接触x轴。a(n)是第n阶段添加的垂直牙签数量(参见示例部分和A139250型,A225600型,A225610型).
(结束)
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链接
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配方奶粉
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例子
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序列以不规则三角形开头:
1;
2;
三;
1, 5;
1, 7;
1, 2, 1, 11;
1, 2, 1, 15;
1, 2, 1, 4, 1, 1, 22;
1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 30;
1, 2, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 42;
1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 3, 1, 1, 56;
1、2、1、4、1、1、7、1、2、1、1、12、1、2、1、4、1、2、1、1、77;
...
初始术语说明(前七个地区):
. _ _ _ _ _
. _ _ _ |_ _ _ _ _|
. _ _ _ _ |_ _ _| |_ _|
. _ _ |_ _ _ _| |_|
. _ _ _ |_ _| |_ _| |_|
. _ _ |_ _ _| |_| |_|
. _ |_ _| |_| |_| |_|
. |_| |_| |_| |_| |_|
.
. 1 2 3 1 5 1 7
.
下图显示了前七个区域的简约图。第n个水平线段的长度为A141285号(n) ●●●●。a(n)是第n条垂直线段的长度,即以第n行结尾的垂直线段(另请参见A225610型).
. _ _ _ _ _
. 7 _ _ _ |
. 6 _ _ _|_ |
. 5 _ _ | |
. 4 _ _|_ | |
. 3 _ _ | | |
.2 _ |||
. 1 | | | | |
.
. 1 2 3 4 5
.
无限Dyck路径中初始项的图解,其中第n个上升线段的长度为A141285号(n) ●●●●。a(n)是第n个下降线段的长度。
. /\
. / \
. /\ / \
. / \ / \
. /\ / \ /\/ \
. /\ / \ /\/ \ / 1 \
./\/\/\/1\/\
. 1 2 3 5 7
.
(结束)
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数学
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lex[n_]:=删除案例[排序@PadRight[反向/@整数分区@n],x_/;x==0,2];
对于[j=1,j<=30,j++,
mx=最大值@lex[j] [[j]];附加到[l,mx];
对于[i=j,i>0,i--,如果[l[i]]>mx,中断[]]];
];
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002865号,A006128号,A135010型,A138121号,A186114号,A186412号,193870英镑,A194436号,A194437号,A194438号,A194439号,A194447号.
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 1, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 9, 7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 8, 7, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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第n行中所有项的所有除数也是n的分区集的最后一部分中的所有部分。
因此,三角形前n行所有项的所有除数也是n的所有分区的所有部分。换句话说:第一行的所有除法A000070型(n-1)序列的项也是n的所有分区的所有部分-奥马尔·波尔2021年6月19日
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链接
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例子
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三角形开始:
1;
2;
3, 1;
4, 2, 1;
5, 3, 2, 1, 1;
6, 4, 3, 2, 2, 1, 1;
7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1;
8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1;
9, 7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
...
然后我们得到第六行数字的除数是:
.
三角形的第六行--------->6 4 3 2 2 1 1
3 2 1 1 1
2 1
1
.
有七个1,四个2,两个3,一个4和一个6。
总共有7+4+2+1=15个除数。
另一方面,6个分区集的最后一部分可以用几种方式表示,其中五种方式如下所示:
._ _ _ _ _ _
|_ _ _ | 6 6 6 6
|___|_|3 3 3 3 3 3 3 3 3
|_ _ | | 4 2 4 2 4 2 4 2
|_ _|_ _|_ | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| | 1 1 1 1
| | 1 1 1 1
| | 1 1 1 1
| | 1 1 1 1
| | 1 1 1 1
| | 1 1 1 1
|_| 1 1 1 1
.
图1。图2。图3。图4。图5。
.
每个图中都有7个1、4个2、2个3、1个4和1个6,如图中所示A182703号.
图5显示了除数和部分之间的对应关系,因为列给出了第六行三角形项的除数。
最后,我们可以看到三角形第六行中所有数字的所有除数都是与6的分区集最后一部分中所有部分相同的正整数。
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数学
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A336811型[row_]:=扁平[Table[ConstantArray[row-m,PartitionsP[m]-PartitionsP[m-1]],{m,0,row-1}]];
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黄体脂酮素
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(PARI)f(n)=编号部分(n-1);
T(n,k)={如果(k>f(n),错误(“无效k”));如果(k==1,返回(n));我的(s=0);而(k<=f(n-1),s++;n---;);1+s;}
tabf(nn)={对于(n=1,nn,对于(k=1,f(n),打印1(T(n,k),“,”););打印;);}\\米歇尔·马库斯2021年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000007号,A000041号,A027750型,A028310号,A002865号,A133735号,A135010型,A138121号,A138137号,A182703号,187219年,A207378型,A221529号,A336812飞机,A339278型,A340035型,A340061型,A346741飞机.
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 6, 4, 7, 5, 9, 8, 7, 6, 7, 15, 12, 14, 6, 12, 11, 21, 20, 21, 12, 12, 8, 15, 33, 28, 35, 18, 24, 8, 15, 22, 45, 44, 49, 30, 36, 16, 15, 13, 30, 66, 60, 77, 42, 60, 24, 30, 13, 18, 42, 90, 88, 105, 66, 84, 40, 45, 26, 18, 12, 56, 126, 120, 154, 90, 132, 56, 75, 39, 36, 12, 28
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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上述注释指的是一座对称塔,其阶地是sigma(i)的对称表示,i=1..n,从顶部开始。这些梯田的等级是分区编号A000041号(h-1),对于h=1到n,从塔基开始,其中n是塔基最大侧的长度。
请注意,sigma(n)的对称表示的阶地和sigma的对称表示(n-1)的阶地都统一在结构的第1级。这是因为前两个分区号A000041号是[1,1]。
因此,n>=1的所有分区集都有一个关联的塔。
注意A000203号对于任何整数序列S,可以用同一系列的对称塔或结构来表示,其中其阶地是从顶部开始的sigma的对称表示,而从底部开始的阶地的高度是序列S的项
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链接
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T.J.Osler、A.Hassen和T.R.Chandrupatia,分区和除数之间令人惊讶的连接《大学数学杂志》,第38卷。第4期,2007年9月,278-287(见第287页)。
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配方奶粉
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例子
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三角形开始:
------------------------------------------------------
电话:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
------------------------------------------------------
1| 1;
2| 1, 3;
3| 2, 3, 4;
4| 3, 6, 4, 7;
5|5、9、8、7、6;
6| 7, 15, 12, 14, 6, 12;
7| 11, 21, 20, 21, 12, 12, 8;
8| 15, 33, 28, 35, 18, 24, 8, 15;
9| 22, 45, 44, 49, 30, 36, 16, 15, 13;
10| 30, 66, 60, 77, 42, 60, 24, 30, 13, 18;
…
第10行的总和为[30+66+60+77+42+60+24+30+13+18]=A066186号(10) = 420.
.
对于n=10,第10行的计算如下:
1 1 * 30 = 30
2 3*22=66
3 4 * 15 = 60
4 7 * 11 = 77
5 6 * 7 = 42
6 12 * 5 = 60
7 8 * 3 = 24
8 15 * 2 = 30
9 13 * 1 = 13
10 18 * 1 = 18
.
对于n=10,我们可以在下面看到两个相关联的多立方体的三个视图,这里称为“分区棱镜”和“塔”。这两个对象包含相同数量的多维数据集(该属性对n>=1有效)。
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
42 | _ _ _ _ _ _|
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|_ _|_ _|_ _|_ _|_ | _
30 | _ _ _ _ _ | | | | | 30
|_ _ _ _ _|_ | | | |
|_ _ _ | | | | |
|_ _ _|_ _ _|_ | | | |
|_ _ _ _ | | | | |
|_ _ _ _|_ | | | | |
|_ _ _ | | | | | |
|_ _ _|_ _|_ _|_ | | _|_|
22 |_ _ _ _ | | | | | 22
|_ _ _ _|_ | | | | |
|_ _ _ _ _|_ | | | | |
|_ _ _ | | | | | |
|_ _ _|_ | | | | | |
|__ ||||||
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15 |_ _ _ _ | | | | | | | 15
|_ _ _ _|_ | | | | | | |
|_ _ _ | | | | | | | |
|_ _ _|_ _|_ | | | | _|_|_ _|
11 |_ _ _ | | | | | | | | 11
|_ _ _|_ | | | | | | | |
|_ _ | | | | | | | | |
|_ _|_ _|_ | | | | | _| |_ _ _|
7 |_ _ _ | | | | | | | | | 7
|_ _ _|_ | | | | | | _|_ _|_ _ _|
5 |_ _ | | | | | | | | | | | 5
|__ | | | | | | | | | | | | | | _ __|
3 |_ _ | | | | | | | | _|_ _|_|_ _ _ _| 3
2 |_ | | | | | | | | | _ _|_ _|_|_ _ _ _ _| 2
1 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_| |_ _|_|_|_ _ _ _ _ _| 1
.
图1。图2。
侧视图的前视图
隔板棱镜。塔楼的。
.
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
| | | | | | | | |_| 1
| | | | | | |_|_ _| 2
| | | | |_|_ |_ _| 3
|||_|_|__|4
| |_ _ |_ |_ _ _| 5
|_ _ |_ |_ _ _ _| 6
|_ | |_ _ _ _| 7
|_ |_ _ _ _ _| 8
| | 9
|_ _ _ _ _ _| 10
.
图3。
俯视图
塔楼的。
.
图1是按色谱顺序划分的10个分区的二维图(参见。A026792号,A211992型). 图中面积为10*42=A066186美元(10) = 420. 请注意,该图也可以解释为右棱镜的前视图,其体积为1*10*42=420,等于图2和图3中塔的体积和立方体数量。
请注意,塔楼侧面视图的形状和面积与隔墙图中的形状和1所在的区域相同。在这种情况下,所述面积等于A000070型(10-1) = 97.
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数学
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nrows=15;表[表[DivisorSigma[1,k]分区P[n-k],{k,n}],{n,nrows}](*保罗·沙萨*)2022年6月17日
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黄体脂酮素
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000070型,A000203号,A026792号,A027293号,A135010型,A138137号,A176206号,A182703号,2009年2月,A211992型,A221649号,A236104型,A237270型,237271元,A237593型,A245092型,A245093型,A245095型,A245099型,A262626型,A336811型,A336812飞机,A338156飞机,A339278型,A340035型,A340583型,A340584型,A345023型,A346741飞机.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 1, 2, 2, -5, 2, 3, 3, -8, 1, 2, 2, 2, 4, 3, -14, 2, 3, 3, 3, 2, 4, 4, -21, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 1, 3, 5, 5, 4, -32, 2, 3, 3, 3, 2, 4, 4, 1, 4, 3, 5, 6, 5, -45, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 1, 3, 5, 5, 4, -2, 2, 4, 4, 5, 3, 6, 6, 5, -65
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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这里,“区域”的秩定义为最大部分减去部分数(与Dyson的分区秩相同)。
行读取的三角形:T(j,k)=j的分区集最后一部分的第k个区域的秩。
每行的总和等于零。
请注意,在某些行中有几个负项-奥马尔·波尔2012年10月27日
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链接
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配方奶粉
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例子
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在三角形T(j,k)中,对于j=6,分区集6的最后一部分中的区域数等于4。[2]给出的第一个区域的秩为2-1=1。[4,2]给出的第二个区域的秩为4-2=2。[3]给出的第三个区域的秩为3-1=2。[6,3,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]给出的第四个区域的秩为6-11=-5(见下文):
---------------------------------------------------------
.地区地区排名图示
---------------------------------------------------------
对于J=6 k=1 k=2 k=3 k=4
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
. |_ _ _ | _ _ _ . |
. |_ _ _|_ | _ _ _ _ * * .| . |
. |_ _ | | _ _ * * . | . |
. |_ _|_ _|_ | * .| .| . |
. | | . |
. | | .|
. | | *|
.||*|
. | | *|
. | | *|
. |_| *|
.
所以第6行列出了:1 2 2-5
(结束)
以三角形开头:
0;
0;
0;
1,-1;
2,-2;
1,2,2,-5;
2,3,3,-8;
1,2,2,2,4,3,-14;
2,3,3,3,2,4,4,-21;
1,2,2,2,4,3,1,3,5,5,4,-32;
2,3,3,3,2,4,4,1,4,3,5,6,5,-45;
1,2,2,2,4,3,1,3,5,5,4,-2,2,4,4,5,3,6,6,5,-65;
2,3,3,3,2,4,4,1,4,3,5,6,5,-3,3,5,5,4,5,4,7,7,6,-88;
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A002865号,A135010型,A138121号,A138137号,A138879号,186114年,A186412号,A193870号,A194436号,A194437号,A194438号,1944年1月39日,A194446号,A206437型.
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关键词
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签名,标签
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作者
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状态
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经核准的
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2007年2月31日
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| 行读取的三角形:T(n,k)=n个分区集最后一段第k列所有部分的总和。 |
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+10 32
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1, 2, 1, 3, 1, 1, 6, 3, 1, 1, 8, 3, 2, 1, 1, 15, 8, 4, 2, 1, 1, 19, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 32, 17, 9, 6, 3, 2, 1, 1, 42, 20, 13, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 64, 34, 19, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 83, 41, 26, 16, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1, 124, 68, 41, 27, 17, 12, 7, 5, 3, 2, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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此外,T(n,k)是n的分区集最后一部分中>=k的部分数。因此,T(n,1)=A138137号(n) ,n的分区集最后一部分中的部件总数。为了计算奇偶部件的数量等,请遵循以下相同的规则A206563型.
更一般地说,设m和n是两个正整数,使得m<=n。看起来,由m个连接段或m个不连接段或两者的混合组成的任何集都具有条目中描述的相同属性A206563型.
看起来,第n行与第1行的第一个差就是三角形的第n行A182703号(参见示例)。-Omar E.Pol,2012年2月26日
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链接
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配方奶粉
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例子
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初始术语说明。三角形的前六行,作为前六个自然数最后部分的列和(或作为6的六个部分的列和):
. 6
. 3 3
. 4 2
. 2 2 2
. 5 1
. 3 2 1
. 4 1 1
. 2 2 1 1
. 3 1 1 1
. 2 1 1 1 1
. 1 1 1 1 1 1
.-----------------------------------------------------------
A: 1,2,1,3,1,1,6,3,1,1,8,3,2,1,1,1,15,8,4,2,1,1
. | |/| |/|/| |/|/|/| |/|/|/|/| |/|/|/|/|/|
B: 1、1,1、2,0,1、3,2,0.1、5,1,1、7,4,2,1,0,1
.
A:=这个三角形的初始项。
.
三角形开始:
1;
2, 1;
3, 1, 1;
6, 3, 1, 1;
8, 3, 2, 1, 1;
15, 8, 4, 2, 1, 1;
19, 8, 5, 3, 2, 1, 1;
32, 17, 9, 6, 3, 2, 1, 1;
42、20、13、7、5、3、2、1、1;
64, 34, 19, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1;
83, 41, 26, 16, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1;
124, 68, 41, 27, 17, 12, 7, 5, 3, 2, 1, 1;
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A002865号,A006128号,A135010型,A138121号,A181187号,A182703号,A206562型,A206563型,A207032型,A207379型,A208476型,A210955型,A210956号.
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