搜索： a135817-编号：a135817
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A001906号
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| F（2n）=斐波那契数列的二分：a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）。
（原M2741 N1101）
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+10
422
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0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, 2178309, 5702887, 14930352, 39088169, 102334155, 267914296, 701408733, 1836311903, 4807526976, 12586269025, 32951280099, 86267571272, 225851433717, 591286729879, 1548008755920
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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除了初始项之外，还有Pisot序列E（3,8）、P（3,8,T（3,8-）。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
路径图P_4中长度为2n+1的从一端到另一端的行走次数。示例：a（2）=3，因为在路径ABABCD、ABCBCD和ABCDCD中-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
第六项为平方的二阶递推的最简单示例。
数量（0），s（1）。。。，s（2n）），使得0<s（i）<5和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n，s（0）=1，s（2n）=3-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日
a（n）（对于n>0）是不能通过对前面的项中选择的最多n个值求和来创建的最小正整数（允许重复）-安德鲁·魏姆霍特2004年7月20日
a（n+1）是3^n的切比雪夫变换(A000244号)，其中带有g.f.g（x）的序列被发送到带有g.f.（1/（1+x^2））g（x/（1+x2））的序列-保罗·巴里2004年10月25日
反向：φ=（sqrt（5）+1）/2，log_phi（（sqert（5）a（n）+sqrt
[1,3,8,21,55144，…]是[1,1,4,17,753391558，…]的Hankel变换（参见A026378号)-菲利普·德尔汉姆2007年4月13日
a（n+1）=AB^（n）（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817年用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，1=`1`，3=`10`，8=`100`，21=`1000`。。。，Wythoff代码。
a（n）也是宽度n（宽度（α）=最大（Im（α）））的幂等序保留部分变换（n元素链的）的数目。等价地，它是（n元素链的）保全变换的幂等序数-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月8日
a（n）是大小为（n-1）的0、1和2的字符串可以在没有12对的情况下排列的方式数-乌迪塔·卡图加姆波拉2008年9月24日
分数：1/71=0.01408450…或1/9701=0.000103021-马克·多尔斯2010年5月18日
n的成分中元素的乘积之和（例如n=3：成分为1+1+1、1+2、2+1和3；a（3）=1*1*1+1+1*2+2*1+3=8）Dylon Hamilton，2010年6月20日，杰弗里·克雷策,乔格·阿恩特2010年12月6日
a（n）涉及边数为偶数的正多边形，使得Product_{k=1..（n-2）/2}（1+4*cos^2k*Pi/n）=偶数诱导斐波那契数，a（n。作为乘积的常数=三角形均匀诱导行的根A152063号例如：a（5）=55满足与10-gon相关的乘积公式-加里·亚当森2010年8月15日
或者，根的乘积为x^4-12x^3+51x^2-90x+55，（三角形的第10行A152063号) = (4.618...)*(3.618...)*(2.381...)*(1.381...) = 55. -加里·亚当森2010年8月15日
a（n）是当存在i个不同类型的i时，n的广义组成数，（i=1,2，…）-米兰Janjic2010年8月26日
a（2）=3是唯一的素数。
秩为n>0且每个秩级正好有2个元素大于0的非同构分级偏序集和一致哈斯图的个数。（Uniform用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。Graded用于Stanley的意义，即每个最大链具有相同的长度n。）-大卫·纳辛2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
满足x^2+y^2=3xy+1的解（x，y）=（a（n），a（n+1））-米歇尔·拉格诺2014年2月1日
当n>=1时，a（n）等于字母{0,1,2}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic，2015年1月25日
当a（0）=0时，对于n>1，a（n）是序列中尚未出现的最小数，因此a（n）^2-a（n-1）^2是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月8日
设T是由这些规则生成的树：0位于T中，如果p位于T中则p+1位于T中且x*p位于T且y*p位于T中。第n代T由A001906号（n） 多项式，对于n>=0-克拉克·金伯利2015年11月24日
a（n+1）是图T_n的生成树数，其中T_n是n个三角形的序列，其中相邻三角形共享一条边-凯文·朗2018年5月7日
a（n）是划分[n]的方法的数目，使得每个块都是一系列连续的数字，并且每个块都有一个固定点，例如，对于n=3，12 |3用1和3作为固定点是有效的，但13 |2是无效的，因为1和3不形成一个序列。因此，a（n）还计算给定图的生成树，方法是选择一条具有n个顶点的路径，并在所有顶点附近添加另一个顶点-凯文·朗2018年5月11日
{a（n）}还给出了k*|k*phi|<1/sqrt（5）的非负数k的无限序列，其中无理数phi=A001622号（黄金分割），并且||x||是x和最接近的整数之间的差的绝对值。例如，见哈维尔参考文献，第171-172页。（结束）
这个切比雪夫序列a（n）=S（n-1，3）（见下面的公式）与输入F（a，b；0）=a和F（a、b；1）=b的斐波那契序列{F（a；b；n）}_{n>=0}的二分有关，通过F（a），b；2*k）=（a+b）*S（k-1，3，对于k>=0，并且S（-2，3）=-1。通过o.g.f.s证明GFeven（a，b，t）=（a-t*（2*a-b））/（1-3*t+t^2）和GFodd（a，b，t）=（b+t*（a-b））/（1-3*t+t^2）。特殊情况a=0，b=1返回F（2*k）=S（k-1，3）=a（k）-沃尔夫迪特·朗2019年6月7日
a（n）是两个n X 1矩形在一个公共端点正方形处正交连接的平铺数（从而使2n-1正方形呈直角V形），只有1 X 1和2 X 1平铺。这是F（2n）=F（n+1）*F（n）+F（n”*F（n-1）的结果-纳撒尼尔·格雷格2021年10月10日
这些是黄金比率tau的上收敛的分母；它们也是下收敛的分子（即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1）-克拉克·金伯利2022年1月2日
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参考文献
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链接
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瑞恩·斯蒂斯，螺旋结行列式序列，高级荣誉项目，论文84，詹姆斯·麦迪逊大学，2016年5月。
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-3*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-a（-n）。
a（n）=（ap^n-am^n）/（ap-am），其中ap:=（3+sqrt（5））/2，am:=（3-sqrt））/2。
自然数的逆变换：a（n）=Sum_{k=1..n}k*a（n-k），a（0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月27日
a（n）=S（n-1，3），S（n，x）=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式，见A049310型.
a（n）=和{k=1..n}二项式（n+k-1，n-k）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年3月23日
例如：（2/sqrt（5））*exp（3*x/2）*sinh（sqrt（5）*x/2）-保罗·巴里2003年4月11日
由T（i，1）=T（1，j）=1定义的数组的第二对角线，T（i、j）=Max（T（i-1，j；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-Benoit Cloitre公司2003年8月5日
F（2n+2）=1、3、8。。。是F（n+2）的二项式变换-保罗·巴里2004年4月24日
a（n）=和{i=0..n-1}二项式（2*n-1-i，i）*5^（n-i-1）*（-1）^i.马里奥·加泰拉尼（马里奥·卡塔拉尼（AT）unito.it），2004年7月23日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n+k，n-k-1）=Sum _{k=0..n}二项式（n=k，2k+1）。
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*（-1）^k*3^（n-2*k）-保罗·巴里2004年10月25日
a（n）=（n*L（n）-F（n））/5=和{k=0..n-1}（-1）^n*L。
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，2））的第i次幂中的项（1,2）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
a（n+1）=求和{i=0..n}求和{j=0..n{二项式（n-i，j）*二项式（n-j，i）-N.J.A.斯隆2005年2月20日
a（n）^2=和{k=1..n}a（2*k-1）。这是任意序列S（n）的一个性质，使得S（n）=B*S（n-1）-S（n-2），其中S（0）=0，S（1）=1包括{0,1,2,3，…}，其中B=2-肯尼思·J·拉姆齐2008年3月23日
a（n）=1/sqrt（5）*（φ^（2*n+2）-phi^（-2*n-2）），其中φ=（1+sqrt（五））/2，黄金比率-乌迪塔·卡图加姆波拉（SIU），2008年9月24日
如果p[i]=i，并且A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年5月2日
如果p[i]=Stirling2（i，2），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det（a）-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）=F（2*n+10）mod F（2*n+5）。
a（n）=1+a（n-1）+和{i=1..n-1}a（i），a（0）=0-加里·亚当森，2011年2月19日
a（n）等于（n-1）X（n-1”Hessenberg矩阵的永久值，3沿着主对角线，i沿着上对角线和次对角线（i是虚单位），0在其他地方-约翰·M·坎贝尔，2011年6月9日
a（n），n>1等于（n-x）x（n-1）三对角矩阵的行列式，主对角线为3，上对角线和次对角线均为1，其余为0-加里·亚当森2011年6月27日
a（n）＝b，使得积分_{x＝0.Pi/2}sin（n*x）/（3/2-cos（x））dx＝c+b*log（3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月1日
G.f.:A（x）=x/（1-3*x+x^2）=G（0）/sqrt（5）；其中G（k）=1-（a^k）/（1-b*x/（b*x-2*（a^k）/G（k+1）），a=（7-3*sqrt（5））/2，b=3+sqrt。。。；（连续部分3种，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月25日
a（n）=2^n*b（n；1/2）=-b（n；-1），其中b（n），n=0,1，。。。，d、 表示注释中定义的delta-Fibonacci数字A000045号（另见Witula等人的论文）-罗曼·维图拉2012年7月12日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=1+sqrt（5）-彼得·巴拉2012年12月23日
产品{n>=2}（1-1/a（n））=（1/6）*（1+sqrt（5））-彼得·巴拉2012年12月23日
G.f.:x/（1-2*x）+x^2/（1-2**）/（Q（0）-x）其中Q（k）=1-x/（x*k+1）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月23日
G.f.:G（0）/2-1，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+（1-x）^2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:x*G（0）/（2-3*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（5*k-9）/（x*（5*k-4）-6/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年7月17日
a（n）=U（n-1,3/2），其中U（n-1，x）是第二类切比雪夫多项式-米兰Janjic，2015年1月25日
o.g.f.A（x）满足A。o.g.f.适用于A004187号等于-A（sqrt（x））*A（-sqrt（x））-彼得·巴拉2015年4月2日
对于n>1，a（n）=（3*F（n+1）^2+2*F（n-2）*F（n+1）-F（n-2”^2）/4-J.M.贝戈2016年2月16日
对于n>3，a（n）=floor（MA）-4表示n偶数，floor（MA）+5表示n奇数。MA是四边形的最大面积，其边长顺序为L（n）、L（n=A000032号（n） 。较长对角线与较短对角线的比率接近5/3-J.M.贝戈2016年2月16日
a（n+1）=和{j=0..n}和{k=0..j}二项式（n-j，k）*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月18日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k+i，k-i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n）=H（2*n，1，1/2），对于n>0，其中H（n，a，b）->超深层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，-4）-彼得·卢什尼2019年9月3日
a（n）=-2/（sqrt（5）*tan（2*arctan（φ^（2*n））），其中φ=A001622号是黄金比例-迭戈·拉塔吉2021年11月21日
a（n）=sinh（2*n*arcsinh（1/2））/sqrt（5/4）-彼得·卢什尼2022年5月21日
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例子
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G.f.=x+3*x^2+8*x^3+21*x^4+55*x^5+144*x^6+377*x^7+987*x^8+。。。
a（3）=8，因为在一个三元链上正好有8个幂等序表示全变换，即：（1,2,3）->（1,1,1），（1,2,3,3）->（2,2,2），（1,2,3）->（1,1,3），（2,2,3）->（2,2-3），（1.2,3）->-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月8日
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MAPLE公司
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with（combstruct）：SeqSeqSeqL:=[T，{T=序列（S，卡片>0），S=序列（U，卡片>1），U=序列（Z，卡片>0）}，未标记]：seq（计数（SeqSeqSeqSeqL，大小=n+1），n=0..28）#零入侵拉霍斯2009年4月4日
H:=（n，a，b）->超深层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，-4）：
a:=n->`如果`（n=0，0，H（2*n，1，1/2））：
seq（简化（a（n）），n=0..30）#彼得·卢什尼2019年9月3日
组合[fibonacci]（2*n）；
结束进程：
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数学
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f[n_]：=斐波那契[2n]；数组[f，28，0]（*或*）
线性递归[{3，-1}，{0，1}，28](*罗伯特·威尔逊v2011年7月13日*）
取[Fibonacci[Range[0,60]]，{1，-1，2}](*哈维·P·戴尔2012年5月23日*）
系数列表[级数[（x）/（1-3x+x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2014年9月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=fibonacci（2*n）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（n+1）*4-poltcheby（n）*6，x，3/2）/5}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，3/2）}/*迈克尔·索莫斯2011年6月18日*/
（PARI）Vec（x/（1-3*x+x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月24日
（鼠尾草）[范围（27）内n的lucas_number1（n，3，1）]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（鼠尾草）[fibonacci（2*n）代表范围（0，28）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
（MuPAD）numlib:：fibonacci（2*n）$n=0..35//零入侵拉霍斯2008年5月9日
（哈斯克尔）
a001906 n=a001906_列表！！n个
a001906_列表=
0:1:zipWith（-）（map（*3）$tail a001906_list）a001906列表
（Python）
定义a（n，adict={0:0，1:1}）：
如果根中有n：
返回根[n]
根[n]=3*a（n-1）-a（n-2）
返回adict[n]#大卫·纳辛2012年3月4日
（Maxima）标记列表（fib（2*n），n，0，30）/*马丁·埃特尔，2012年10月21日*/
（Magma）[斐波那契（2*n）：在[0..30]]中的n//文森佐·利班迪2014年9月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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A001519号
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| 对于n>=2，a（n）=3*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=a（1）=1。
（原名M1439 N0569）
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+10
348
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1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141, 433494437, 1134903170, 2971215073, 7778742049, 20365011074, 53316291173, 139583862445, 365435296162, 956722026041
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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具有n+1个边且高度最多为3的有序树的数量（高度=从根开始的最大路径上的边数）。区域n+1的定向柱-凸多边形数。长度为2n+2的非递减Dyck路径数-Emeric Deutsch公司2001年7月11日
a（0）=a（1）=1，a（n+1）是大于第n个部分和的最小斐波那契数-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月21日
将k编号为floor（phi^2*k^2）-floor（phi*k）^2=1，其中phi=（1+sqrt（5））/2-Benoit Cloitre公司2003年3月16日
区域为n+1的左侧水平凸多面体的数量。
字母表{1,2,3}中长度为n且不以3结尾的31个避免单词的数目。（例如，当n=3时，我们有111、112、121、122、132、211、212、221、222、232、321、322和332。）参见A028859号. -乔恩·佩里，2003年8月4日
似乎给出了方程的所有解>1：x^2=天花板（x*r*地板（x/r）），其中r=φ=（1+sqrt（5））/2-Benoit Cloitre公司2004年2月24日
a（1）=1，a（2）=2，则为使任何项的平方正好小于其相邻项的几何平均值的最小数。a（n+1）*a（n-1）>a（n）^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年4月6日
与活塞序列E（2,5）基本相同。
[n+1]避免321和3412的排列数。例如，a（3）=13，因为[4]避免321和3412的排列是1234、2134、1324、1243、3124、2314、2143、1423、1342、4123、3142、2413、2341-布里吉特·坦纳2005年8月15日
在[n+1]上避免循环排列的1324个。
（x，y）=（a（n），a（n+1））是x/（yz）+y/（xz）+z/（xy）=3与z=1的解-楼层van Lamoen2001年11月29日
数量（0），s（1）。。。，s（2n）），使得0<s（i）<5和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n，s（0）=1，s（2n）=1-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
使用插值零，统计P_4的开始或结束节点处长度为n的闭合行走。a（n）统计P_4的开始或结束节点处长度为2n的闭合行走。序列0,1,0,2,0,5，。。。计算P_4的开始节点和第二个节点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2005年1月26日
a（n）是n条边上有序树的数量，n条边正好包含一个非叶顶点，所有非叶顶点的子节点都是叶（每个有序树必须至少包含一个这样的顶点）。例如，a（0）=1，因为没有边的树的根不被视为叶子，并且根空洞地满足了“所有子级都是叶子”的条件，a（4）=13计算了4条边上的所有14个有序树(A000108号)except（忽略点）
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就延伸（1，1）-纳米管中六角体的数量而言，与聚对映体中Kekulé结构的数量相同。见I.Lukovits和D.Janezic第411页的表1-Parthasarathy楠比2006年8月22日
3-非交变量中对称多项式n次自由生成元的个数-迈克·扎布罗基2006年10月24日
逆：当φ=（sqrt（5）+1）/2，log_phi（（sqrt（5）*a（n）+sqrt大卫·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月19日
假设一个老师教一个学生，然后他发现他可以教两个学生，而原来的学生可以教一个。以此类推，每一代人都可以比以前多教一个学生。从a（2）开始的a（n）给出了新学生/教师的总数（见程序）-本·保罗·瑟斯顿2007年4月11日
a（n+1）=B^（n）（1），n>=0，组成为Wythoff互补a（n）：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，2=`0`，5=`00`，13=`000`。。。，Wythoff代码。
a（n）是[n]的分区pi的数量（以标准递增形式），使得Flatten[pi]是一个（2-1-3）-避免排列。示例：a（4）=13统计[4]的所有15个分区，13/24和13/2/4除外。这里的“标准递增形式”是指每个块中的条目都在递增，并且块是按其第一个条目的递增顺序排列的。另外，编号应避开3-1-2-大卫·卡伦2008年7月22日
设P是部分和算子，A000012号：（1；1,1；1,1,1；…）和A153463号=M，部分和移位运算符。看起来，从任意随机序列S（n）开始，操作M*S（n，->M*ANS，->P*ANS等的迭代（或以P开头）将快速收敛到（1，2，5，13，34，…）和（1，1，3，8，21，…）的双序列极限环-加里·亚当森2008年12月27日
每次取2个斐波那契数的平方和。偏移量1。a（3）=5.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年5月27日
在n-1个单位的时间段内，节奏音乐的音乐作品数量。示例：a（4）=13；事实上，用R表示1个单位时间段内的休息，用N[j]表示j个单位时间段内的音符，我们有（用N表示N[1]）：NNN，NNR，NRN，RNN，NRR，RNR，RRN，RRR，N[2]R，RN[2]，NN[2]，N[2]N，N[3]（见j.Groh参考文献，第43-48页）Juergen K.Groh（Juergen.Groh（AT）lhsystems.com），2010年1月17日
给定一个无限下三角矩阵M，每列中有（1，2，3，…），但最左边的列向上移动了一行。则（1，2，5，…）=lim_{n->无穷大}M^n。A144257号.) -加里·亚当森2010年2月18日
作为分数：8/71=0.112676或98/9701=0.010102051334…（对于没有初始项的序列，分数9/71或99/9701）。19/71或199/9701，用于倒序-马克·多尔斯2010年5月18日
对于n>=1，a（n）是2n-1到奇数个奇数部分的组合数（有序整数分区）。O.g.f.：（x-x^3）/（1-3x^2+x^4）=A（A（x）），其中A（x”）=1/（1-x）-1/（1-x^2）。
对于n>0，n X n三对角矩阵的行列式，上对角线和次对角线中有1，主对角线上有（1,3,3,3，…），其余零-加里·亚当森2011年6月27日
具有0和1的非同构分次偏序集和秩n+1的一致Hasse图的个数，每个秩正好有2个元素在0和1之间。（统一用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。分级用于R.Stanley的意义，即所有最大链具有相同的长度。）
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n+1）是写为正方形的Pascal三角形的上升对角线之和-参见中的注释A085812号例如，13=1+5+6+1-约翰·莫洛卡赫，2013年9月26日
a（n）是3X3矩阵[1,1,1；1,1,1；0,1,1]或[1，1,1；0，1，1；1，1]或[1,1，1，0；1，1，1]n次方的左上角条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
除初始项外，x（或y）的正值满足x^2-3xy+y^2+1=0-科林·巴克，2014年2月4日
除初始项外，x（或y）的正值满足x^2-18xy+y^2+64=0-科林·巴克2014年2月16日
x的正值，使得y满足x^2-xy-y^2-1=0-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月30日
a（n）也是同时避免经典意义上的231、312和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
（1，a（n），a（n+1）），n>=0，是Markoff三元组（参见A002559号和罗伯特·威尔逊v2005年10月5日的评论）。在马尔科夫树上，他们给了一根外部的树枝。证明：a（n）*a（n+1）-1=A001906号（2*n）^2=（a（n+1）-a（n））^2=a（n）^2+a（n+1）^2-2*a（n）*a（n+1），因此1^2+a（n）^2+a（n+1）^2=3*a（n）*a（n+1）-沃尔夫迪特·朗，2015年1月30日
对于n>0，a（n）是序列中没有的最小正整数，例如a（1）+a（2）+…+a（n）是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月1日
除第一项外，该序列可由Azarin论文中参考文献中的推论1（ii）生成-穆罕默德·阿扎里安2015年7月2日
精确地说，数字F（n）^k+F（n+1）^k也是k>1的斐波那契数字，请参见Luca&Oyono-查尔斯·格里特豪斯四世2015年8月6日
a（n）是无谷的半周长n+1的条图数量（即凸条图）。等价地，半周长n+1的条图数量正好有1个峰值。示例：a（5）=34，因为在35个(=A082582号（6） ）只有与组合[2,1,2]对应的半周长6的条形图才有谷-Emeric Deutsch公司2016年8月12日
整数k，使k*phi的小数部分小于1/k。参见Byszewski链接第2页-米歇尔·马库斯2016年12月10日
长度n-1超过{0,1,2,3}的单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
序列数（e（1）。。。，e（n）），0≤e（i）<i，这样就没有e（i，e（j）<e（k）的三元组i<j<k。[马丁内兹和萨维奇，2.12]-埃里克·施密特2017年7月17日
避开模式321和2341的[n]排列数-科林·德芬特2018年5月11日
这个序列解决了以下问题：找到所有配对（i，j），这样i除以1+j^2，j除以1+i^2。事实上，配对（a（n），a（n+1）），n>0，都是解-山田友弘2018年12月23日
S_n中的置换数，其Bruhat阶的主序理想是格（等价的、模的、分配的、布尔格）-布里吉特·坦纳2020年1月16日
a（n）是2X2三对角矩阵M_2=矩阵（[1,1]，[1,2]）的n次幂的左上项A322602型：a（n）=（（M_2）^n）[1,1]。
证明：从M_2的特征多项式（参见A322602型)和凯莱-汉密尔顿定理。递归M^n=M*M^（n-1）导致（M_n）^n=S（n，3）*1_2+S（n-a，3）*（M-3*1_2），对于n>=0，其中S（n、3）=F（2（n+1））=A001906号（n+1）。因此（（M_2）^n）[1,1]=S（n，3）-2*S（n-1，3）=a（n）=F（2*n-1）=（1/（2*r+1））*r^（2*n-1）*（1+（1/r^2）^（2*n-1）），其中r=rho（5）=A001622号（黄金比率）（参见2004年8月31日的第一个公式，使用S（n，3）的递推公式，以及迈克尔·索莫斯2002年10月28日配方奶粉）。这证明了加里·亚当森在里面A322602型.
a（n）是底部一行n个硬币的堆叠方式的数量，这样，底部一行以外的任何硬币都会正好接触到下面一行的两个硬币，并且任何一行上的所有硬币都是连续的[Wilf，2.12]-格雷格·德累斯顿2020年6月29日
a（n）是4 X 4 Jacobi矩阵L（i，j）=1的（2*n）次幂的左上入口，如果|i-j|=1，否则L（i、j）=0-迈克尔·什莫伊什2020年8月29日
判别式5的不定二元二次型F（1，-3，1）：=x^2-3*x*y+y^2的所有正解，表示-1（如果y<=z，特殊的马尔可夫三元组（1，y=x，z=y）是[x（n），y（n）]=[abs（F（2*n+1））），abs（F（2*n-1））]，对于n=-无穷大+无穷。（F（-n）=（-1）^（n+1）*F（n））。只有这一系列正确的解决方案，没有不正确的解决方法。[另请参阅Floor van Lamoen 2001年11月29日的评论，其中使用了这个负数n，以及我2015年1月30日的评论。]-沃尔夫迪特·朗2020年9月23日
这些是较低收敛到黄金比率tau的分母；它们也是上收敛的分子（即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1）-克拉克·金伯利2022年1月2日
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参考文献
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-3*x+x^2）。
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1-x）））-迈克尔·索莫斯2012年5月3日
对于Z中的所有n，a（n）=a（1-n）。
a（n）=（φ^（2*n-1）+φ^-迈克尔·索莫斯2002年10月28日
a（n）~（1/5）*sqrt（5）*phi^（2*n+1）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则q（n，1）=a（n）（该注释与L.Smiley的注释基本相同）-Benoit Cloitre公司2002年11月10日
由T（i，1）=T（1，j）=1，T（i，j）=max（T（i-1，j）+T（i-1，j-1）定义的阵列的主对角线；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-Benoit Cloitre公司2003年8月5日
当r=phi时，解x>0到等式楼层（x*r*floor（x/r））=楼层（x/r*flower（x*r））-Benoit Cloitre公司2004年2月15日
a（n）=和{i=0..n}二项式（n+i，n-i）-乔恩·佩里2004年3月8日
a（n）=S（n-1，3）-S（n-2，3）=T（2*n-1，sqrt（5）/2）/（sqrt。T（n，x），分别是切比雪夫第二多项式。第一类。请参见三角形A049310型，分别。A053120号. -沃尔夫迪特·朗2004年8月31日
a（n）=a（n-1）+Sum_{i=0..n-1}a（i）*a（nAndras Erszegi（Erszegi.Andras（AT）chello.hu），2005年6月28日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，2））的第i次幂的项（1,1）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3）；a（n）=（（sqrt（5）+5）/10）*（3/2+sqrt-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2008年3月21日
a（n）=斐波那契（2*n+2）mod斐波那奇（2*n），n>1-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=（斐波那契（n-1）^2+斐波那奇（n）^2+Fibonacci（2*n-1））/2-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=2^n*f（n；1/2），其中f（n），n=0,1，。。。，d、 表示所谓的delta-Fibonacci数（参见Witula等人的论文和评论A000045号)-罗曼·维图拉2012年7月12日
a（n）=（斐波那契（n+2）^2+斐波那奇（n-3）^2）/5-加里·德特利夫斯2012年12月14日
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1-x/（x*k+1）/Q（k+1）；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月23日
G.f.：（1-2*x）*G（0）/（2-3*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（5*k-9）/（x*（5%k-4）-6/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月19日
一般公式：1+x*（1-x^2）*Q（0）/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+2*x-x^2；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月11日
G.f.：Q（0，u），其中u=x/（1-x），Q（k，u）=1+u^2+（k+2）*u-u*（k+1+u）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月7日
对于Z中的所有n，1=a（n）*a（n+2）-a（n+1）*a-迈克尔·索莫斯2014年7月8日
a（n）=3*F（n-1）^2+F（n-3）*F（n）-2*（-1）^n-J.M.贝戈2016年2月17日
a（n）=（F（n-1）*L（n）+F（n）*L-J.M.贝戈2016年3月22日
例如：（2*exp（sqrt（5）*x）+3+sqrt（5））*exp（-x*（sqrt（5）-3）/2）/（5+sqrt（5））-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日
a（n）=（（M_2）^n）[1,1]=S（n，3）-2*S（n-1,3），其中2X2三对角矩阵M_2=矩阵（[1,1]，[1,2]）322602美元有关证据，请参阅上述2020年3月30日的评论-沃尔夫迪特·朗2020年3月30日
a（n+1）=产品{k=1..n}（1+4*cos（2*Pi*k/（2*n+1））^2）。的特殊情况A099390号. -格雷格·德累斯顿2021年10月16日
a（n+1）=4^（n+1”）*Sum_{k>=n}二项式（2*k，2*n）*（1/5）^（k+1）。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
a（n）=cosh（（2*n-1）*arcsinh（1/2））/sqrt（5/4）-彼得·卢什尼2022年5月21日
a（n）=（L（n-1）^2+L（n-1）*L（n+1））/5+（-1）^n。
a（n）=2*（顶点位于（L（n-2），L（n-1）），（F（n），F（n-1。（结束）
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例子
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a（3）=13：有14个有4条边的有序树；除有4条边的路径外，所有路径的高度最多为3。
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+13*x^4+34*x^5+89*x^6+233*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A001519号：=proc（n）选项请记住：如果n=0，则1 elif n=1，则1 elif n>=2，然后3*procname（n-1）-procnname（n-2）fi:end:seq(A001519号（n） ，n=0..28）#约翰内斯·梅耶尔2011年8月14日
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数学
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线性递归[{3，-1}，{1，1}，29](*罗伯特·威尔逊v2012年6月28日*）
a[n_]：=使用[{c=Sqrt[5]/2}，ChebyshevT[2n-1，c]/c]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月8日*）
系数列表[级数[（1-2x）/（1-3x+x^2），{x，0，30}]，x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=fibonacci（2*n-1）}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
（PARI）{a（n）=实（quadgen（5）^（2*n））}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（n）+poltchebi（n-1），x，3/2）*2/5}/*迈克尔·索莫斯，2003年7月19日*/
（鼠尾草）[范围（30）内n的lucas_number1（n，3，1）-lucas_nomber1（n-1，3，l）]#零入侵拉霍斯2009年4月29日
（哈斯克尔）
a001519 n=a001519_列表！！n个
a001519_list=1:zip带（-）（尾部a001906_list）a001906_list
a001519_list=1:f a000045_list，其中f（_：x:xs）=x:f xs
（Maxima）a[0]：1$a[1]：1$a[n]：=3*a[n-1]-a[n-2]$生成列表（a[n]，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月15日*/
（岩浆）[1]猫[（卢卡斯（2*n）-斐波纳契（2*n））/2:n in[1..50]]//文森佐·利班迪2014年7月2日
（间隙）
a： =[1，1]；；对于[3..10^2]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001653号,A055105号,A055106号,A055107号,A074664号,A101368号,A124292号,14293年,A124294号,A124295号,A140069型,A153463号,A153266号,A153267号,A144257号,A211216型,A002559号,A082582号.
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, 2207, 5778, 15127, 39603, 103682, 271443, 710647, 1860498, 4870847, 12752043, 33385282, 87403803, 228826127, 599074578, 1568397607, 4106118243, 10749957122, 28143753123, 73681302247, 192900153618, 505019158607, 1322157322203
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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a（n+1）=B^（n）AB（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817年对于Wythoff表示的数字（A为1，B为0，省略了自变量1）。例如，3=`10`，7=`010`，18=`0010`，47=`00010`。。。，Wythoff代码。在Wythoff码中，a（0）＝2＝B（1）。
Tesler公式（以及Lu和Wu的公式）对于m X n möbius带的完美匹配数的输出，其中m和n甚至专门用于m=2的序列-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、2、12、8、6、12、6、5、12、14、24、4、12、18、12、9、6-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）也是图P_4（o-o-o-o）（具有4个点（顶点）和3条线（或边）的简单路径）上往返总次数的一半，每个往返的长度为2*n。查看数组和三角形A198632号对于图P_N的一般情况（其中N为N，长度为l=2*k）。
w（4，l）的O.g.f.（奇数l为零）：y*（d/dy）S（4，y）/S（4，y），y=1/x和Chebyshev S-多项式（系数A049310型). 另请参阅A198632号对于重写形式。对于x->sqrt（x），此o.g.f.的一半产生下面给出的g.f.（2-3x）/（1-3x+x^2）。（结束）
满足x^2+y^2=3xy-5的解（x，y）=（a（n），a（n+1））-米歇尔·拉格诺2014年2月1日
除第一项外，满足x^2-7xy+y^2+45=0的x（或y）的正值-科林·巴克2014年2月16日
除第一项外，满足x^2-18xy+y^2+320=0的x（或y）的正值-科林·巴克2014年2月16日
a（n）是这样的数字，即a（n）^2-2是卢卡斯数-米歇尔·拉格诺2014年7月22日
这种形式的所有序列，b（n+1）=3*b（n）-b（n-1），不管初始值是多少，包括这个序列，都会得到如下序列：a（n）=（b（j+n）+b（j-n））/b（j），对于任何j，除非b（j）=0。还要注意下面的公式，将a（n）与形式G（n+1）=G（n）+G（n-1）的所有序列联系起来-理查德·福伯格，2014年11月18日
F（2n*（k+1））/F（2nk）k>=1的非简单连分式展开式是A（n）+（-1）/（A（n（-1）/a（n）），其中a（n）正好出现k次（F（n）表示第n个斐波那契数）。例如，F（16）/F（12）等于7+（-1）/（7+（-1-）/7）。此外，这些a（n）正好是正整数k，因此非简单无限连分式k+（-1）/（k+（-1-）/（k+（-1…））属于Q（sqrt（5））。与Benoit Cloitre和Thomas Baruchel在A002878号. -格雷格·德累斯顿2019年8月13日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），枚举组合学，第2卷。《剑桥高等数学研究》第62卷。剑桥大学出版社，剑桥，1999年。
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链接
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哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链及其相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
Pooja Bhadouria、Deepika Jhala和Bijendra Singh，k-Lucas序列的二项式变换及其性质《数学与计算机科学杂志》（JMCS），第8卷，第1期（2014年），第81-92页；序列B_1、T_1和R_1。
托尼·克里利，正整数的双序列，数学。天然气。，第69卷（1985年），第263-271页。
Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Murray L.Huber和Lee Knupp，符号交替Gibonacci多项式，arXiv:2012.14993[math.CO]，2020年。
Margherita Maria Ferrari和Norma Zagaglia Salvi，非周期合成与经典整数序列《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.8.8条。
安德烈·古根海姆（AndréGougenheim），关于整数的线性序列，使得每个项都是前面两个项的和第1部分 第2部分，纤维。夸脱。，第9卷，第3期（1971年），第277-295页，第298页。
陆文涛、吴福友，非定向表面上的封闭二聚体《物理快报A》，第293卷，第5-6期（2002年），第235-246页。【摘自Sarah-Marie Belcastro，2009年7月4日】
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，《魁北克大学论文》，1992年，arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
杰弗里·沙利特，有趣的连分数，数学。Mag.，第48卷，第4期（1975年），第207-211页。
杰弗里·沙利特，有趣的连分数，数学。Mag.，第48卷，第4期（1975年），第207-211页。[带注释的扫描副本]
杰弗里·沙利特和N.J.A.斯隆，通信, 1975.
Pawe J.Szab owski，关于康托矩及其相关分布，arXiv预印本arXiv:1403.0386[math.PR]，2014。
格伦·特斯勒，非定向曲面上图的匹配《组合理论杂志》，B辑，第78卷，第2期（2000年），第198-231页。
A.V.Zarelua，关于费马小定理的矩阵类比《数学笔记》，第79卷，第6期（2006年），第783-796页。翻译自Matematicheskie Zametki，第79卷，第6期（2006年），第840-855页。
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配方奶粉
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a（n）=斐波那契（2*n-1）+斐波那奇（2*n+1）。
G.f.：（2-3*x）/（1-3*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=S（n，3）-S（n-2，3）=2*T（n，3/2），其中S（n-1，3）=A001906号（n） S（-2，x）=-1。U（n，x）=S（n，2*x）和T（n，x）是切比雪夫的U多项式和T多项式。
a（n）=a（k）*a（n-k）-a（n-2k）对于所有k，即a（n）=2*a（n-亨利·博托姆利2001年5月8日
a（n）~φ^（2*n），其中φ=（1+sqrt（5））/2.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
a（0）=2，a（1）=3，a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）=a（-n）-迈克尔·索莫斯2003年6月28日
a（n）=phi^（2*n）+phi^（-2*n），其中phi=（sqrt（5）+1）/2，黄金比例。例如，a（4）=47，因为φ^（8）+φ^-丹尼斯·沃尔什2003年7月24日
a（n）=（1/（n+1/2））*和{k=0..n}B（2k）*L（2n+1-2k）*二项式（2n+1，2k），其中B（2k）是第（2k-Benoit Cloitre公司2005年11月2日
a（n）=1 X 2矩阵[2,3]中的项（1,1）。[3,1；-1,0]^n编号-阿洛伊斯·海因茨2008年7月31日
a（n）=2*cosh（2*n*psi），其中psi=log（（1+sqrt（5））/2）Al Hakanson，2009年3月21日
（n）-（a（n）-F（2n））/2-F（2n+1）=0。（特斯勒）
产品{r=1..n}（1+4*（sin（（4r-1）*Pi/（4n）））^2）。（卢/吴）（完）
a（n）=斐波那契（2n+6）mod斐波那奇（2n+2），n>1-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=5*Fibonacci（n）^2+2*（-1）^n-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=2^（2*n）*Sum_{k=1..2}（cos（k*Pi/5））^（2*n）-L.埃德森·杰弗里2012年1月21日
设F（x）=Product_{n>=0}（1+x^（4*n+1））/（1+x^（4*n+3））。设α=1/2*（3-sqrt（5））。这个序列给出了1+F（α）=2.31829 56058 81914 31334…=的简单连分式展开式2 + 1/(3 + 1/(7 + 1/(18 + ...))).
此外，F（-alpha）=0.64985 97768 07374 32950具有连分式表示1-1/（3-1/（7-1/（18-…））和简单连分式展开式1/（1+1/（（3-2）+1/（1-2）+1/。
F（α）*F（-alpha）具有简单的连续分数展开式1/（1+1/（（3^2-4）+1/（1+1/（（7^2-4。
2019年10月13日添加：1/2+1/2*F（alpha）/F（-alpha）=1.5142923542…具有简单的连分式展开式1+1/（（3-2）+1/（1+1/（（18-2）+1/。（结束）
G.f.：（W（0）+6）/（5*x），其中W（k）=5*x*k+x-6+6*x*（5*k-9）/W（k+1）（连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月19日
对于Z中的所有n，0=a（n）*a（n+2）-a（n+1）^2-5-迈克尔·索莫斯2014年8月24日
a（n）=（G（j+2n）+G（j-2n））/G（j），对于n>=0和任何j，正的或负的，除了G（j）=0，对于形式为G（n+1）=G（n）+G（n-1）的任何序列，具有G（0）、G（1）的任何初始值，包括非整数值。G（n）包括Lucas和Fibonacci。与进行比较A081067美元对于来自j的奇数偏移-理查德·福伯格2014年11月16日
a（n）=[x^n]（（1+3*x+sqrt（1+6*x+5*x^2））/2）^n对于n>=1-彼得·巴拉2015年6月23日
对于n>0，a（n）=F（n-1）*L（n）+F（2*n+1）-（-1）^n与F（k）=A000045号（k） ●●●●。
对于n>1，a（n）=F（n+1）*L（n）+F（2*n-1）-（-1）^n。
对于n>2，a（n）=5*F（2*n-3）+2*L（n-3）*L（n）+8*（-1）^n。（结束）
对于n>1，a（n）=L（n-2）*L（n+2）-7*（-1）^n-J.M.贝戈2016年2月10日
例如：exp（4*x/（1+sqrt（5））^2）+exp（（1/4）*（1+m2）^2*x）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年8月13日
a（n）=迹（M^n），其中M是2X2矩阵[0，1；1，1]^2=[1，1，1]。
因此，高斯同余成立：对于所有素数p和正整数n和k，a（n*p^k）=a（n*p^（k-1））（mod p^ k）。参见Zarelua和Stanley（第5章，例5.2（a）及其解）。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+1/a（n））=1/5。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+3/（a。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+9/。
x*exp（和{n>=1}a（n）*x^/n）=x+3*x^2+8*x^3+21*x^4+。。。o.g.f.是用来的吗A001906号.（结束）
a（n）=n+2+和{k=1..n-1}k*a（n-k）-于晓（音）2020年5月30日
求和{n>=0}1/（a（n）+3）=（2*sqrt（5）+1）/10（André-Jeannin，1991）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月23日
a（n）=2*cosh（2*n*arccsch（2））=2*cosh（2*n*asinh（1/2））-彼得·卢什尼2022年5月25日
a（n）=（5/2）*（和{k=-n.n}二项式（2*n，n+5*k））-（1/2）*4^n-格雷格·德累斯顿2023年1月5日
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例子
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G.f.=2+3*x+7*x^2+18*x^3+47*x^4+123*x^5+322*x^6+843*x^7+-迈克尔·索莫斯2009年8月11日
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MAPLE公司
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a： =n->（<<2|3>>.<3|1>，<-1|0>^n）[1$2]：序列（a（n），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年7月31日
与（组合）：seq（5*fibonacci（n）^2+2*（-1）^n，n=0..26）；
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数学
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a[0]=2；a[1]=3；a[n]：=3a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，27}](*罗伯特·威尔逊v2004年1月30日*）
斐波那契[1+2n]+1/2（-Fibonacci[2n]+LucasL[2n]）（*Tesler。萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗，2009年7月4日*）
线性递归[{3，-1}，{2，3}，50](*斯图尔·舍斯特特2011年11月27日*）
LucasL[范围[0，60，2]](*哈维·P·戴尔2014年9月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=斐波那契（2*n+1）+斐波那奇（2*n-1）}/*迈克尔·索莫斯，2002年6月23日*/
（PARI）{a（n）=2*subst（poltchebi（n），x，3/2）}/*迈克尔·索莫斯2003年6月28日*/
（鼠尾草）[范围（37）内n的lucas_number2（n，3，1）]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（岩浆）[卢卡斯（2*n）：n in[0..100]]//文森佐·利班迪2011年4月14日
（哈斯克尔）
a005248 n=a005248_列表！！n个
a005248_list=zipWith（+）（尾部a001519_list）a001519 _ list
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非n,容易的
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经核准的
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A007895号
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| n的Zeckendorf表示中的项数（将n写为非连续的不同斐波那契数的总和）。 |
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+10
130
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0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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或者，a（n）是Wythoff的B序列的应用次数A001950号n>=1的唯一Wythoff表示中需要。例如，16=A（B（A（A（B）（1）））=ABAAB=`10110`，因此A（16）=2-沃尔夫迪特·朗2008年1月21日
设M（0）=0，M（1）=1，对于i>0，M。那么序列就是从0到无穷大的j的M（j）的串联Claude Lenormand（Claude.Lenormand（AT）free.fr），2003年12月16日
设m是n的组成部分按字典顺序排列成奇数部分的列表中的部分数，a（k）=（n-长度（组成部分（k）））/2表示所有k<斐波那契（n）和所有n（参见示例）。
设m是n的组成部分列表中的部分数，以字母顺序将其分为第1部分和第2部分，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<斐波那契（n）和所有n（参见示例）。
a（n）也是求和为n的斐波那契数列的最小数目，与相邻或重复无关-阿兰·沃利2015年4月17日
这是因为序列是次可加的：对于非负整数n，m，a（n+m）<=a（n）+a（m）。参见Stoll链的引理2.1-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月17日
这个序列是无限字母表上的一个同态序列，即（a（n））是同态τ的不动点的字母到字母的投影。
字母表是{0,1，…，j，…}X{0,1}，τ由下式给出
τ（（j，0））=（j，0）（j+1,1），
τ（（j，1））=（j，0）。
字母对字母的映射由第一个坐标上的投影给出：（j，i）->j表示i=0.1。
为了证明这一点，首先注意字母的第二个坐标产生了无限的斐波那契字=A003849号= 0100101001001....
这意味着n和j都有
|tau^n（j，0）|＝F（n+2），
其中，|w|表示单词w的长度，以及（F（n））=A000045号是斐波那契数列。
其次，我们需要以下简单但关键的观察。设n的Zeckendorf表示为Z（n）=A014417号（n） 。例如，
Z（0）=0，Z（1）=1，Z（2）=10，Z（3）=100，Z（4）=101，Z（5）=1000。
从Zeckendorf表示的唯一性来看，对于位置i=0,1，。。。，F（n）-1有
Z（F（n+1）+i）=10…0 Z（i），
其中Z（i）加上零，得到总表示长度n-1。
这给出了i=0,1，。。。，F（n）-1表示
a（F（n+1）+i）＝a（i）+1。
从第一个观察结果来看，tau^n（j，0）的第一个F（n+1）字母等于tau^{n-1}（j，O），而tau^ n（j、0）的最后一个F（n）字母等于τ^{n-1}（j+1，1）=τ^{n-2}（j+1，0）。
将此与第二次观察结果相结合表明，从（0,0）开始，τ不动点的第一个坐标给出（a（n））。
当然，通过改变字母表（j，0）->2j（j，1）->2j+1，可以获得自然数上的态射τ’，这就产生了态射
τ'（2j）=2j，2j+3，τ'[2j+1）=2j。
从0开始的tau'的不动点是
u=03225254254472544747625。。。
相应的字母对字母映射λ由λ（2j）=j，λ（2 j+1）=j给出。然后λ（u）=（a（n））。
（结束）
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参考文献
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科尼利乌斯·格瑞特·莱克克尔（Cornelius Gerrit Lekkerkerker）、沃斯泰利·范·纳图里克·盖塔伦（Voorstalling van natuurlijke getallen door een som van getallen van Fibonacci）、西蒙·斯特文（Simon Stevin）29（1952）、190-195。
F.Weinstein，《斐波那契分区》，预印本，1995年。
埃杜亚德·泽肯多夫（Ed douard Zeckendorf），《自然无名代表》，公牛。Soc.罗伊。科学。Liège 41179-1821972年。
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链接
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Paul Baird-Smith、Alyssa Epstein、Kristen Flint和Steven J.Miller，Zeckendorf游戏，arXiv:1809.04881[math.NT]，2018年。
F.V.Weinstein，关于斐波那契分区的注记，arXiv:math/0307150[math.NT]，2003-2018年。
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配方奶粉
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例子
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a（46）=a（1+3+8+34）=4。
将n的组成连接到奇数部分（见注释）：
[#]：将（n）组合成奇数部分
[ 0] [ 0] 1 1 1 1 1 1 1 1
[ 1] [ 1] 1 1 1 1 1 3
[ 2] [ 1] 1 1 1 1 3 1
[ 3] [ 1] 1 1 1 3 1 1
[ 4] [ 2] 1 1 1 5
[ 5] [ 1] 1 1 3 1 1 1
[ 6] [ 2] 1 1 3 3
[ 7] [ 2] 1 1 5 1
[ 8] [ 1] 1 3 1 1 1 1
[9][2]1 3 1 3
[10] [2]1 3 3 1
[11] [ 2] 1 5 1 1
[12] [ 3] 1 7
[13] [1]3 1 1 1 1 1
[14] [ 2] 3 1 1 3
[15] [ 2] 3 1 3 1
[16] [2]3 3 1 1
[17] [ 3] 3 5
[18] [ 2] 5 1 1 1
[19] [ 3] 5 3
[20] [ 3] 7 1
将n的成分连接到第1部分或第2部分（见注释）：
[#]：a（n）组成为第1部分和第2部分
[ 0] [0] 1 1 1 1 1 1 1
[ 1] [1] 1 1 1 1 1 2
[ 2] [1] 1 1 1 1 2 1
[ 3] [1] 1 1 1 2 1 1
[ 4] [2] 1 1 1 2 2
[ 5] [1] 1 1 2 1 1 1
[ 6] [2] 1 1 2 1 2
[ 7] [2] 1 1 2 2 1
[ 8] [1] 1 2 1 1 1 1
[ 9] [2] 1 2 1 1 2
[10] [2] 1 2 1 2 1
[11] [2]1 2 2 1 1
[12] [3] 1 2 2 2
[13] [1] 2 1 1 1 1 1
[14] [2] 2 1 1 1 2
[15] [2] 2 1 1 2 1
[16] [2] 2 1 2 1 1
[17] [3] 2 1 2 2
[18] [2] 2 2 1 1 1
[19] [3] 2 2 1 2
[20] [3] 2 2 2 1
（结束）
生成此序列的态射τ的第三次迭代：
τ^3（（0,0））=（0,0,1）（1,0）（1,0,1）
=（a（0），0）（a（1），1）（a。（结束）
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MAPLE公司
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#对于下面的Maple程序（不是最好的程序），B（n）（n>=1）产生n的Zeckendorf表示中的项数。
with（combint）：B:=proc（n）local A，ct，m，j:A:=prog（n）局部i:for i，而fibonacci（i）<=n do n-fibonaci（i）end do end proc:ct:=0；m：=n：对于j，当0<A（m）do ct：=ct+1：m：=A（m）end do：ct+1 end proc：0，seq（B（n），n=1。。104）；
N： =1000:#得到N≤N的a（N）
m： =天花板（对数[（1+sqrt（5））/2]（sqert（5）*N））：
Z： =矢量（m）：
a[0]：=0：
对于从1到n的n do
如果Z[1]=0，则Z[1]：=1；q： =1；
否则Z[2]：=1；Z[1]：=0；q： =2；
fi；
而Z[q+1]=1 do
Z[q]：=0；
Z[q+1]：=0；
Z[q+2]：=1；
q： =q+2；
日期：
a[n]：=加（Z[i]，i=1..m）；
日期：
#备选方案
读取（“转换”）：
结束进程：
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数学
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zf[n_]：=（k=1；ff={}；While[（fi=Fibonacci[k]）<=n，AppendTo[ff，fi]；k++]；下降[ff，1]）；zeckRep[n_]：=如果[n==0，0，r=n；s={}；fr=zf[n]；当[r>0时，lf=Last[fr]；如果[lf<=r，r=r-lf；PrependTo[s，lf]]；fr=下降[fr，-1]]；s] ；zeckRepLen[n_]：=长度[zeckRep[n]]；表[zeckRepLen[n]，{n，0，104}](*Jean-François Alcover公司2011年9月27日*）
表[Length[DeleteCases[NestWhileList[#-Fibonacci[Floor[Log[Sqrt[5]*#+3/2]/Log[GoldenRatio]]&，n，#>1&]，0]]，{n，0，143}](*阿隆索·德尔·阿特2019年5月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n，mx=0）=如果（n<4，n>0，if（！mx，while（fibonacci（mx）<n，mx++））；而（斐波那契（mx）>n，mx-）；1+a（n-fibonacci（mx），mx-2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月14日
（PARI）a（n）=如果（n<4，n>0，my（k=2，s，t）；而（fibonacci（k++）<=n，）；而（k&&n，t=fibonacci（k）；如果（t<=n，n-=t；s++）；k——）；s）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月2日
（哈斯克尔）
（Python）
从sympy导入fibonacci
定义a（n）：
k=0
x=0
当n>0时：
k=0
而斐波那契（k）<=n:k+=1
x+=10**（k-3）
n-=斐波那契（k-1）
返回str（x）.count（“1”）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000045号,A007953号,A035514号,A035515美元,A035516号,A035517号,A105446号,A189920号,A213676号,A000120号,A001950号,A003714号,A007015号,A007016号,A104324号,A182535号,A213911型,A014417号,A003849号.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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Felix Weinstein（wain（AT）ana.unibe.ch）和克拉克·金伯利
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扩展
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状态
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经核准的
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A001611号
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| a（n）=斐波那契（n）+1。
（原名M0288 N0103）
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+10
74
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1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, 10947, 17712, 28658, 46369, 75026, 121394, 196419, 317812, 514230, 832041, 1346270, 2178310, 3524579, 5702888, 9227466, 14930353, 24157818, 39088170, 63245987, 102334156
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（0）=1，a（1）=2，则取最大数，使得三角形可以用三个连续项作为边来构造-阿玛纳斯·穆尔西2003年6月3日
a（n+2）=a^（n）B（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，2=`0`，3=`10`，4=`110`，6=`1110`。。。，Wythoff代码。
第一个差序列是斐波那契序列(A000045号)罗兰·施罗德（florola（AT）gmx.de），2010年8月5日
2和3是这个序列中唯一的素数。
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参考文献
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G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有几种禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
Fumio Hazama，旋律空间的图形谱，离散。数学。，311 (2011), 2368-2383. 见表5.1。
多夫·贾登，递归序列1966年，耶路撒冷莱马特马提卡河。[注释扫描副本]见第97页。
N.S.Mendelsohn，有限位移排列、加拿大。数学。公牛。，4 (1961), 29-38.
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x^2）/（1-2*x+x^3）。
a（0）=1，a（1）=2，a（n）=a（n-2）+a（n-1）-1。
F（4*n）+1=F（2*n-1）*L（2*n+1）；F（4*n+1）+1=F（2*n+1”）*L（2*n）；F（4*n+2）+1=F（2*n+2）*L（2*n）；F（4*n+3）+1=F（2*n+1）*L（2*n+2），其中F（n）=斐波那契（n），L（n）=Lucas（n）-R.K.盖伊2003年2月27日
a（1）=2；a（n+1）=楼层（a（n）*（sqrt（5）+1）/2）罗兰·施罗德（florola（AT）gmx.de），2010年8月5日
a（n）=Sum_{k=0..n+1}斐波那契（k-3）-埃伦·梅特卡夫2019年4月15日
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MAPLE公司
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与（组合）：seq（（fibonacci（n）+1），n=0..35）；
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数学
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a[0]=1；a[1]=2；a[n]：=a[n]=a[n-2]+a[n-1]-1；表[a[n]，{n，0，40}]
斐波那契[Range[0，50]]+1(*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[斐波那契（n）+1:n在[1.37]中]//布鲁诺·贝塞利2011年7月26日
（哈斯克尔）
a001611=（+1）。阿000045
a001611_list=1:2:映射（减去1）
（zipWith（+）a001611_list$tail a001611_list）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 4, 12, 33, 88, 232, 609, 1596, 4180, 10945, 28656, 75024, 196417, 514228, 1346268, 3524577, 9227464, 24157816, 63245985, 165580140, 433494436, 1134903169, 2971215072, 7778742048, 20365011073, 53316291172, 139583862444, 365435296161, 956722026040
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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T（2n+1，n+1），T由A027935号也是逆Stolarsky数组的第一行。
数组的第三对角线由T（i，1）=T（1，j）=1，T（i、j）=Max（T（i-1，j；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-Benoit Cloitre公司，2003年8月5日
长度为2（n+1）的Schroeder路径的数量，正好有一个向上台阶，从偶数高度开始（Schroederpath是一个从（0,0）开始，在x轴上的一个点结束的晶格路径，仅由台阶U=（1,1）（向上台阶）、D=（1，-1）（向下台阶）和H=（2,0）（水平台阶）组成，永远不会低于x轴）。Schroeder路径由较大的Schroede数计算(A006318号). 例如：a（1）=4，因为在长度为4的六条Schroeder路径中，只有路径（U）HD、（U）UDD、H（U）D、（U-Emeric Deutsch公司2004年12月19日
还有：最小数，不可写为少于n个正斐波那契数的和。例如，a（5）=88，因为它是需要至少5个斐波那契数的最小数：88=55+21+8+3+1-约翰·克莱斯，2005年4月19日迈克·斯佩纳，2023年9月19日]通常，a（n）是n个正斐波那契数列的和，作为a（n）=sum_{i=1..n}A000045号（2*i）。请参见A001076号当负斐波那契数可以包含在总和中时-迈克·斯佩纳2023年9月24日
连续极值花瓣弯曲β（n）=a（n-2）。参见K.Stephenson的Rodin和Sullivan的环引理，《圆填充导论》（剑桥大学出版社，2005年），第73-74和318-321页大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net）
a（n+1）=AAB^（n）（1），n>=1，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，4=`110`，12=`1100`，33=`11000`，88=`110000`。。。，Wythoff代码。AA（1）=1=a（1），但由于唯一性原因，在Wythoff代码中1=a（1）-N.J.A.斯隆2008年6月29日
以n开头。每个n生成一个子列表{n-1，n-1，n-2，..，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。在所有术语中添加数字。例如，3->{2,2,1}和2->{1,1}，因此a（3）=3+2+2+1+1+1=1=12-乔恩·佩里2012年9月1日
此外，数字m使得5*m*（m+2）+1是一个正方形-布鲁诺·贝塞利2014年5月19日
此外，跨越整数初始区间的权重为n的多集的非空子多集的数量（参见第二个示例）-古斯·怀斯曼2015年2月10日
包括a（-1）：=0，连续项（a（n-1），a（n））=（u，v）或（v，u）给出双曲线u^2-u+v^2-v-4*u*v=0上的所有点，两个坐标均为非负整数。注意，这源于用马尔可夫三元组（1，斐波那契（2n-1），斐波纳契（2n+1））来标识（1，u+1，v+1）。请参见A001519号（Robert G.Wilson于2005年10月5日发表评论，Wolfdieter Lang于2015年1月30日发表评论）。
设T（n）表示第n个三角形数。如果i，j是上述序列的任意两个连续元素，则（T（i-1）+T（j-1））/T（i+j-1）＝3/5。（结束）
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参考文献
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R.C.Alperin，非线性递归及其与切比雪夫多项式的关系，Fib。问：58:2（2020），140-142。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。12。
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链接
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Russ Euler和Jawad Sadek，问题B-912《基本问题和解决方案》，《斐波纳契季刊》，第39卷，第1期（2001年），第85页；从乘积到和《B-912问题的解决方案》，查尔斯·库克著，同上，第39卷，第5期（2001年），第468-469页。
克拉克·金伯利，间隙和分散《美国数学学会学报》，117（1993）313-321。
路易斯·梅迪纳和阿明·斯特劳布，关于多重无穷对数压缩性《组合数学年鉴》，第20卷，第1期（2016年），第125-138页；arXiv预印本，arXiv:1405.1765[math.CO]，2014；预印本, 2014.
LászlóNémeth，双曲Pascal金字塔，arXiv:1511.02067[math.CO]，2015（表1的第二行是3*a（n-2））。
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{k=0..n-1}U（k，3/2）=Sum _{k=0..n-1}S（k，3）=A001906号（k+1）-保罗·巴里2003年11月14日
G.f.:x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））=x/（1-4*x+4*x^2-x^3）。
a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+a（n-3），其中n>=2，a（-1）=0，a（0）=0、a（1）=1。
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）+1，其中n>=1，a（-1）=0，a（0）=0。
a（n）=2*a（n-1）+（Sum_{k=1..n-2}a（k））+n-乔恩·佩里2012年9月1日
总和{n>=1}1/a（n）=3-φ，其中φ=1/2*（1+sqrt（5））是黄金比率。相邻项r（n）：=a（n）/a（n-1）的比值满足n>=2的递推关系r（n+1）=（4*r（n-彼得·巴拉2013年12月5日
a（n）=S（n，3）-S（n-1，3）-1，n>=0，使用切比雪夫S多项式（参见A049310型)，其中S（-1，x）=0-沃尔夫迪特·朗2014年8月28日
a（n）=-1+（2^（-1-n-科林·巴克2016年6月3日
例如：（sqrt（5）*sinh（sqert（5）*x/2）+5*cosh（sqrt（5）*1x/2））*exp（3*x/2）/5-exp（x）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月3日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*Fibonacci（k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k+i+1，k-i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
当n>1时，a（n）*a（n-2）=a（n-1）*（a（n-1）-1）-罗伯特·K·莫尼奥2020年8月23日
a（n）=和{k=1..n}C（2*n-k，k）-韦斯利·伊万·赫特2020年12月22日
a（n）=和{k=1..2*n+2}（-1）^k*Fibonacci（k）-彼得·巴拉，2021年11月14日
a（n）=（2*cosh（（1+2*n）*arccsch（2）））/sqrt（5）-1-彼得·卢什尼2021年11月21日
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例子
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a（5）=88=2*33+12+4+1+5。a（6）=232=2*88+33+12+4+1+6-乔恩·佩里2012年9月1日
a（4）=33统计最后一行的所有非空子多重集：[1][2][3][4]、[11][12][13][14][22][23][24][24][23][24][33][34]、[111][112][113][122][123][123][124][133][134][222][223][234]、[1111][11122][11223][1234][1234]-古斯·怀斯曼2015年2月10日
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MAPLE公司
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a： =n->和（二项式（n+k+1，2*k），k=0..n）：序列（a（n），n=-1..26）#零入侵拉霍斯2007年10月2日
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数学
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线性递归[{4，-4，1}，{0，1，4}，40](*哈维·P·戴尔2021年8月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（2*n+1）-1:n in[0.30]]//文森佐·利班迪2011年4月18日
（PARI）concat（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x+x^2））+O（x^40））\\科林·巴克2016年6月3日
（哈斯克尔）
a027941=（减去1）。a000045。(+ 1) . (* 2)
（最大值）
a（n）：=总和（二项式（n+1，k+1）*fib（k），k，0，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月14日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A212336号对于更多具有类型1/（1-k*x+k*x^2-x^3）的g.f.的序列。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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保罗·巴里2003年11月14日的公式，对偏移量0和Chebyshev多项式的索引链接进行了递归和g.f.校正沃尔夫迪特·朗2014年8月28日
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 12, 112, 22, 1112, 212, 122, 11112, 2112, 1212, 1122, 222, 111112, 21112, 12112, 11212, 2212, 11122, 2122, 1222, 1111112, 211112, 121112, 112112, 22112, 111212, 21212, 12212, 111122, 21122, 12122, 11222, 2222, 11111112, 2111112, 1211112, 1121112
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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n： 1.2.4.5.6.7.8.9。。。
A： 1 3 4.6.9 11 12 14。。。
B： 2 5 7 10 13 15 18 20 23。。。
设置a（0）=0。对于n>0，在表的A行和B行中找到n，并指出如何从第1列开始到达该条目。例如，18=B（7）=B（B（3））=B。
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参考文献
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沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang），《Wythoff和Zeckendorf对数字的表示是等价的》（The Wythof and The Zeckenderf representations of numbers are equivalent），载于G.E.Bergum et al.（edts.）《斐波那契数的应用》（Application of Fibonacci numbers）第6卷，克卢沃（Kluwer。
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链接
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数学
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z[n_]：=楼层[（n+1）*黄金比率]-n-1；h[n]：=z[n]-z[n-1]；w[n_]：=模[{m=n，zm=0，hm，s={}}，而[zm！=1，hm=h[m]；附录[s，hm]；如果[hm==1，zm=z[m]，zm=z[z[m]]]；m=zm]；s] ；a[n_]：=从数字[ReplaceAll[w[n]，{0:>2}]]；a[0]=0；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月1日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001612号
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| 当n>1时，a（n）=a（n-1）+a（n-2）-1，a（0）=3，a（1）=2。
（原名M0974 N0364）
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+10
9
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3, 2, 4, 5, 8, 12, 19, 30, 48, 77, 124, 200, 323, 522, 844, 1365, 2208, 3572, 5779, 9350, 15128, 24477, 39604, 64080, 103683, 167762, 271444, 439205, 710648, 1149852, 1860499, 3010350, 4870848, 7881197, 12752044, 20633240, 33385283, 54018522
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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评论
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a（n+3）=a^（n）B^（2）（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，5=`00`，8=`100`，12=`1100`。。。，Wythoff代码。
a（n）是由零和避开模式001（或等效地，模式110）的一个零组成的循环序列的数目，前提是圆上的零和一的位置是固定的。考虑到这个序列，这很容易证明A000071号（n+3）是长度为n的二进制零位字的数目，它避开了模式001，并且a（n）=A000071号（n+3）-2*A000071号（n） 。（从所有避免001的零一二进制序列集合中，减去以1开头、以00结尾的序列，以及以01开头、以0结尾的序列。）
对于n=1,2，数字a（n）仍然给出了由零和一组成的循环序列的数量，这些零和一避开了模式001（前提是零和一在圆上的位置是固定的），即使我们假设序列在圆上绕着自己。例如，当01环绕自身时，它将变为01010…，并且它从不包含模式001。（结束）
对于n>=3，a（n）也是n+1节点上轮图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因，2017年3月31日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Fumio Hazama，旋律空间的图形谱，离散。数学。，311 (2011), 2368-2383. 见表5.2。
多夫·贾登，递归序列1966年，耶路撒冷莱马特马提卡河。[注释扫描副本]见第97页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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G.f.：（3-4*x）/（（1-x）*（1-x-x^2））。
a（n）=a（n-1）+a（n-2）-1。
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例子
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MAPLE公司
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A001612号：=-（-2+3*z**2）/（z-1）/（z**2+z-1）；#推测者西蒙·普劳夫在他1992年的论文中；给出除开头3以外的序列
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数学
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表[Fibonacci[n]+斐波纳契[n-2]+1，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2017年3月31日*）
线性递归[{2，0，-1}，{3，2，4}，20]](*埃里克·韦斯特因2017年3月31日*）
系数列表[级数[（3-4 x）/（1-2 x+x^3），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）+1
（哈斯克尔）
a001612 n=a001612_列表！！n个
a001612_list=3:2：（映射（减去1）$
zipWith（+）a001612_llist（尾部a001612_list）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1
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评论
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有关n的Wythoff表示，请参阅W.Lang参考。
Wythoff互补序列为A（n）：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） ，n>=1。n=1的Wythoff表示是A（1），对于n>=2，有一个唯一的表示，即A序列或B序列的组合应用于B（1）=2。例如，n=4表示A（A（B（1））），写为AAB或`110`，或此处写为1,1,0，即A为1，B为0。
1的Wythoff轨道（总是从B（1）开始，应用任何数量的A-或B-序列）只产生一次n>1的每个数。这将为n>1生成一个二进制Wythoff代码，始终以0结尾（对于B（1））。
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参考文献
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沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang），《Wythoff和Zeckendorf对数字的表示是等价的》（The Wythof and The Zeckenderf representations of numbers are equivalent），载于G.E.Bergum et al.（edts.）《斐波那契数的应用》（Application of Fibonacci numbers）第6卷，克卢沃（K。[参见A317208型链接。]
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链接
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配方奶粉
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第n行的条目，n>=1，由W（n）给出，使用W.Lang参考第335页给出的算法进行计算。1用于Wythoff的A序列，0用于B序列。
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例子
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n=1:1；
n=2:0；
n=3:1,0；
n=4:1，1，0；
n=5:0，0；
n=6:1、1、1和0；
n=7:0，1，0；
n=8:1，0，0；
...
1=A（1）；2=B（1），3=A（B（1，
5=B（B（1）），6=A（A（A，
8=A（B（B（1）））。。。
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数学
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z[n_]：=楼层[（n+1）*黄金比率]-n-1；h[n]：=z[n]-z[n-1]；w[n_]：=模[{m=n，zm=0，hm，s={}}，而[zm！=1，hm=h[m]；附录[s，hm]；如果[hm==1，zm=z[m]，zm=z[z[m]]]；m=zm]；s] ；w[0]=0；表[w[n]，{n，1，25}]//扁平(*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月1日*）
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交叉参考
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请参见A317208型用于另一种编码；也可以链接到已扫描的W.Lang文章并进行更正。
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关键词
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非n,容易的,标签,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 7, 8, 5, 6, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 7, 8, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 7, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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有关n的Stolarsky表示，请参阅C.Mongoven链接。
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链接
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配方奶粉
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例子
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19的斯托拉尔斯基表示为11101。长度为5。因此a（19）=5。
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数学
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stol[n_]：=stol[n]=如果[n==1，{}，如果[n！=Round[Round[n/GoldenRatio]*GoldenRatio]，连接[stol[Floor[n/GordenRatio^2]+1]，{0}]，连接[stol[Round[n/GodenRatio]]，{1}]]；
a[n_]：=如果[n==1，1，长度[stol[n]]]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）stol（n）={my（phi=quadgen（5））；如果（n==1，[]，如果（n！=round（round（n/phi）*phi），concat
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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