搜索： a132111-编号：a132111
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A000290型
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| 正方形：a（n）=n^2。
（原名M3356 N1350）
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+10
3129
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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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要测试一个数字是否是正方形，请参阅科恩，第40页-N.J.A.斯隆2011年6月19日
从n开始，加上下一个数，减去前一个数等等，最后减去a 1:a（n）=n+（n+1）-（n-1）+（n+2）-（n-2）+（n+3）-（2n-1）-1=n^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月24日
1949年5月6日，EDSAC上电子计算机计算出的第一个序列（见Renwick链接）-俄罗斯考克斯，2006年4月20日
数k，使得虚二次域Q（sqrt（-k））有四个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
如果2集Y和（n-2）集Z是n集X的不相交子集，则（n-2-米兰Janjic，2007年9月19日
将a编号为a^1/2+b^1/2=c^1/2和a^2+b=c-西诺·希利亚德，2008年2月7日（此评论需要澄清，乔格·阿恩特2013年9月12日）
n>0时6^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a（n）是总和2^2+2^2+…+的所有分区数2^2，（n-1）次，变成2的幂-瓦伦丁·巴科耶夫2009年3月3日
a（n）是n X n板中可以“打开”的最大方块数，以便在应用操作后所有方块都“关闭”：在任何2 X 2子板中，如果其他三个方块都关闭，则一个方块从“打开”变为“关闭”-Srikanth K S公司2009年6月25日
满足A（x）/A（x^2），A（x=A173277号: (1, 4, 13, 32, 74, ...). -加里·亚当森2010年2月14日
除了第一项，这个序列是Pi^2/6=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+…的分母-穆罕默德·阿扎里安2011年11月1日
Drmota、Mauduit和Rivat证明了沿着正方形的Thue-Morse序列是正常的；看见A228039号. -乔纳森·桑多2013年9月3日
a（n）可以分解为四个数之和[二项式（n，1）+二项式A007318号，或两个数字之和[二项式（n，2）+二项式的（n+1，2）]，或这两个数字的差[二项制（n+2，3）-二项式[n，3）]-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日
就三角形拼接而言，边长为n的等边三角形内边长为1的等边三角的数量-K.G.斯蒂尔2013年10月30日
B_n和C_n型根系中的正根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n是k+n的倍数的最大整数k由k=n^（2*m）给出-德里克·奥尔2014年9月3日
对于n>0，a（n）是n+5到n个部分的组成数，该n个部分避开了部分2-米兰Janjic2016年1月7日
对于n>=3，a（n）也是具有n个顶点的循环图的所有连通子树的数目-维克塔·卡拉奇尼亚2016年3月2日
在每一个具有偶数个元素的自然连续数序列上，序列的后半部分的总和减去序列的前半部分的总数总是平方。示例：从61到70的序列具有偶数个元素（10）。则61+62+63+64+65=315；66 + 67 + 68 + 69 + 70 = 340; 340 - 315 = 25. （n/2）^2表示n=元素数量-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月20日
在从n^2到（n+1）^2的每一个自然连续数序列上，每一个可能组合中两半元素对的差之和总是（n+1）^2-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月24日
假设两个半径为1的圆彼此相切，并且与不通过切点的直线相切。创建与两个圆和直线相切的第三个圆。如果继续这个过程，对于n>0，a（n）是圆半径的倒数，从最大的圆开始-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月18日
费曼三角形问题的泛化解的分子，偏移量为2。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分母由下式给出A002061号[Cook&Wood，2004年]-乔·马拉斯科，2017年2月20日
二项式系数恒等式和{k=0..n}（-1）^（n+k+1）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）x（n-k）=n^2的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）-1}的子集A，B，使得|A|=|B|=k，并且A+B包含{0,12,2，……，A（n）-1-}}=n-迈克尔·朱2022年3月9日
避免模式132、213、321的n个元素的三次突变数。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
2n阶循环拉丁方格中的插入数（奇数阶循环拉丁方没有插入）-爱德华·瓦图丁2024年2月15日
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参考文献
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链接
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
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西蒙·普劳夫，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+x）/（1-x）^3。
例如：exp（x）*（x+x^2）。
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）。
a（n）=a（-n）。
所有矩阵元素M（i，j）之和=2*i/（i+j）（i，j=1..n）。a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..n{2*i/（i+j）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+2-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）是从1到2×n-1的奇数之和。
a（0）=0，a（1）=1，然后a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）
[1,3,2,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+1，2）+二项式。
这个序列可以从以下通用公式推导出来（参见。A001286号,A000330号)：n*（n+1）**（n+k）*（n+（n+1）+…+（n+k））/（k+2）*（k+1）/2）。实际上，使用算术级数之和的公式（n+（n+1）+…+（n+k））=（2*n+k，）*（k+1）/2通式可以改写为：n*（n+1）**（n+k）*（2*n+k”）/（k+2）！因此，对于上述k=0，通式退化为n*（2*n+0）/（0+2）=n^2-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月18日
根据（4）递推公式a（n+3）=3*a（n+2）-3*a（n+1）+a（n）和a（1）=1，a（2）=4，a（3）=9-阿图尔·贾辛斯基2008年10月21日
递归a（n+3）=3*a（n+2）-3*a（n+1）+a（n）由a（3）中的所有k次序列满足，其中a（0）=0，a（1）=1，a（2）=k-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）+4，n>2-加里·德特利夫斯2010年9月7日
a（n+1）=Integral_{x>=0}exp（-x）/-格鲁·罗兰2010年12月8日
长度-2序列的欧拉变换[4，-1]-迈克尔·索莫斯2011年2月12日
求和{n>=1}1/a（n）^k=（2*Pi）^k*B_k/（2*k！）=zeta（2*k），Bernoulli数B_k=-1，1/6，1/30，1/42。。。对于k>=0。请参见A019673号,A195055号/10等[Jolley eq 319]。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）^k=2^（k-1）*Pi^k*（1-1/2^（k-1））*B_k/k！[Jolley eq 320]，B_k如上。
a（2*a（n）+2*n+1）=a（2*1（n）+2*n）+a（2*n+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
a（n+1）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}（-1）^（n+t1+t2+…+tn）*多项式（t1+t2+…+tn，t1，t2，…，tn）*4^（t1）*7^（t2）*8^-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n）））/2=楼层（1/1（1-n*sin（1/n，）））/6，n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=上限（总和{k>=1}log（k）/k^（1+1/n））=-Zeta'[1+1/n]。因此，对k应用任何大于1的指数都会产生收敛。分数部分从A073002型=0.93754…当n=1时，缓慢收敛到0.9271841545163232…对于大n-理查德·福伯格2014年12月24日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+1）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
a（n）=产品{j=1..n-1}2-2*cos（2*j*Pi/n）-米歇尔·马库斯2015年7月24日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（Pi）/Pi=A156648号.
求和{n>=0}1/a（n！）=BesselI（0，2）=A070910型.（结束）
a（n）=总和{i=1..2*n-1}上限（n-i/2）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年4月16日
a（n）=总和{k=1..n}psi（n/gcd（n，k））。
a（n）=总和{k=1..n}psi（gcd（n，k））*φ。
a（n）=Sum_{k=1..n}sigma_2（n/gcd（n，k））*mu（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））。
a（n）=Sum_{k=1..n}sigma_2（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））。（结束）
a（n）=和{k=1..n}σ_1（k）+和{i=1..n{（n模i）-瓦迪姆·卡塔耶夫2022年12月7日
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例子
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对于n=8，a（8）=8*15-（1+3+5+7+9+11+13）-7=8*15-49-7=64-布鲁诺·贝塞利2010年5月4日
G.f.=x+4*x^2+9*x^3+16*x^4+25*x^5+36*x^6+49*x^7+64*x^8+81*x^9+。。。
a（4）=16。对于n=4个顶点，循环图C4是A-B-C-D-A。子树是：4个单根：A，B，C，D；4对：A-B、BC、C-D、A-D；4个三元组：A-B-C、B-C-D、C-D-A、D-A-B；4个四边形：A-B-C-D、B-C-D-A、C-D-A-B、D-A-B-C；4 + 4 + 4 + 4 = 16. -维克塔·卡拉奇尼亚2016年3月2日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，4}，60](*文森佐·利班迪2015年7月24日*）
系数列表[级数[-（x^2+x）/（x-1）^3，{x，0，50}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年7月23日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..1000]]中的n^2:n；
（PARI）{a（n）=n^2}；
（PARI）b000290（maxn）=用于（n=0，maxn，打印（n，“”，n^2）；）\\安纳托利·沃埃武德科2015年11月11日
（哈斯克尔）
a000290=（^2）
a000290_list=扫描（+）0[1，3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月6日
（Scala）（0到59）.map（n=>n*n）//阿隆索·德尔·阿特2019年10月7日
（Python）#参见Hobson链接
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A092205号,A128200个,A005408号,A128201型,A002522号,A005563号,A008865号,A059100型,A143051号,A143470型,143595英镑,A056944号,A001157号（逆Möbius变换），A001788号（二项式变换），A228039号,A001105号,A004159号,A159918号,A173277号,A095794号,A162395号,A186646号（皮萨诺时期），A028338美元（第二对角线）。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002061号
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| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原名M2638 N1049）
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+10
343
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1、1、3、7、13、21、31、43、57、73、91、111、133、157、183、211、241、273、307、343、381、421、463、507、553、601、651、703、757、813、871、931、993、1057、1123、1191、1261、1333、1407、1483、1561、1641、1723、1807、1893、1981、2071、2163、2257、2353、2451、2551、2653
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的游程：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，…]=[1，3，7，13，21，…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号设V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061号启动（1、3、7…）=M*V-加里·亚当森2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马可·马托西奇2006年11月10日
a（n）为素数的数字n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除以a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除以a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
.
7---8---9--10
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6 1---2 11
| | |
5---4---3 12
|
16--15--14--13
.
a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列的交点A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只适用于k=1、3、7、31和8191。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号（4） -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-Elliott线2013年1月24日
设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378号（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973年，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗，2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。[库克与伍德，2004年。]-乔·马拉斯科，2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如，[2,3,4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束，该术语位于矩形数组外，并给出术语+1（参见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1”）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基，2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的最大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058号（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
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参考文献
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链接
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史蒂文·温特劳布（Steven H.Weintraub），一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》，第111卷，第6期（2004年），第528-530页。
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配方奶粉
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通用名称：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a（n-2）。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[Transpose[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}，0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=（n-1）^2+（n-1-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.（名词）-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+（n-1）^2+n^2）[参见链接B.M.O.2007和Steve Dinh参考文献]-伯纳德·肖特2021年12月27日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年5月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003215号
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| 六角（或中心六角形）数：3*n*（n+1）+1（六角形晶格的水晶球序列）。
（原名M4362）
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+10
279
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1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997, 4219, 4447, 4681, 4921, 5167, 5419, 5677, 5941, 6211, 6487, 6769
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
此外，a（n）是6（n+1）个分区的数量，正好分成3个不同的部分-威廉·基思2004年7月1日
中心六边形图形中每边有n+1个点的点数。
立方体的第一个差异(A000578号)Cecilia Rossiter（Cecilia（AT）notificatingnumbers.net），2004年12月15日
十六进制数（十六进制（n）模10）的最后数字是周期性的，回文周期长度为5{1，7，9，7，1}。十六进制数（十六进制（n）mod 100）的最后两位是周期性的，回文周期长度为100-亚历山大·阿达姆楚克，2006年8月11日
a（n）的所有除数都与模6的1同余。证明：如果p是不同于3的奇素数，那么3n^2+3n+1=0（mod p）意味着9（2n+1）^2=-3（mod p），其中p=1（mod 6）-尼克·霍布森2006年11月13日
对于n>=1，a（n）是外拿破仑三角形的边，其参考三角形是一个带支腿的直角三角形（3a（nTom Schicker（tschike（AT）email.smith.edu），2007年4月25日
三元组（a，b，c）的数量，其中0<=（a，b）<=n和c=n（至少一次为项n）。例如，对于n=1：（0,0,1）、（0,1,0）、（1,0,0）、（0,1,1）、（1,0,1）、（1,1,0）、（1,1,1），因此a（1）=7Philippe Lallouet（philip.Lallouet，AT）wanadoo.fr），2007年8月20日
来自Terry Stickels，2009年12月7日：（开始）
此外，在查看大小不同的相同立方体的立方体堆栈时，任何一个静态点的最大可视立方体数。
例如，查看2 X 2 X 2堆栈将产生最多7个可视多维数据集。
如果堆栈是3 X 3 X 3，则任何一个静态位置的最大可视立方体数为19，依此类推。
堆栈中立方体的数量必须始终与宽度、长度、高度相同（在真正的规则立方体堆栈中），并且通过取任意立方体数并减去减去一的立方体数量，始终可以找到最大可见立方体数目。
例如：125-64=61，64-27=37，27-8=19。（结束）
a（n）的数字根的序列是周期3:repeat[1,7,1]-蚂蚁王2012年6月17日
第一个n（n>0）中心六边形数的平均值是第n个平方-菲利普·德尔汉姆2013年2月4日
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
6、7、8、9、10、11。。。
a（n）是钩和sum{k=0..n}a（n，k）+sum{r=0..n-1}a（r，n）-R.J.马塔尔2013年6月30日
a（n）是n+1 X n+1矩阵中的项减去数组中n X n矩阵中的项数之和，该数组由A158405型数组（每行中的起始项为1,3,5,7,9,11…）-J.M.贝戈2013年7月5日
这个公式也等于两个连续数字的三个不同组合的乘积：n^2，（n+1）^2，和n*（n+1）-J.M.贝戈2014年3月28日
任意三角形ABC的边被2n个点分成2n+1等分：A_1，A_2。。。，A_2n在A侧，也在b侧和c侧循环。如果A'B'C'是由AA_n、BB_n和CC_n cevians分隔的三角形，则（ABC）/（A'B'C'）=A（n）（请参阅Java applet链接）-伊格纳西奥·拉罗萨·卡涅斯特罗2015年1月2日
a（n）是（n+1）个三角形可以相互相交的最大部分数-伊万·伊纳基耶夫2015年2月18日
每个正整数是8个十六进制数（包括零）的和，其中最多3个大于1-毛罗·佛罗伦萨2018年1月1日
由n*Pi/2和（n+1）*Pi/2之间阿基米德螺线段包围的面积，单位为Pi^3/48-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
这个序列包含所有数字k，因此12*k-3是一个正方形-克劳斯·普拉斯，2021年10月19日
sqrt（3*a（n））的连分式展开式是[3n+1；{1,2,n，1,1,6n+2}]。对于n=0，它折叠为[1；{1，2}]-朱棣文（Magus K.Chu）2022年9月12日
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参考文献
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链接
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R.K.盖伊，强大的小数定律.美国。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=3*n*（n+1）+1，n>=0（见名称）。
a（n）=（n+1）^3-n^3=a（-1-n）。
通用名称：（1+4*x+x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=1+和{j=0..n}（6*j）。例如，a（2）=19，因为1+6*0+6*1+6*2=19Xavier Acloque，2003年10月6日
前n个六边形数的和是n^3。也就是说，求和{n>=1}（3*n*（n-1）+1）=n^3爱德华·威德（eweed（AT）gdrs.com），2003年10月23日
a（n）=M^n*[1 1 1]中的右项，其中M=3X3矩阵[1 0 0/2 1 0/3 3 1]。M^n*[1 1 1]=[1 2n+1 a（n）]。例如，a（4）=61，M^4*[1 1 1]中的右项，因为M^4*1[1 1]=[1 9 61]=[12n+1 a（4-加里·亚当森2004年12月22日
a（n）=3*n^2+3*n+1。证明：1）如果n出现一次，它可能位于3个位置；对于另外两个，n项是独立可能的，那么我们有3*n^2个不同的三元组。2） 如果项n出现两次，第三个可以放在3个位置，有n个可能的值，那么我们有3*n个不同的三元组。3） 项n可以以一种方式出现3次，从而得出公式Philippe Lallouet（philip.Lallouet，AT）wanadoo.fr），2007年8月20日
[1,6,6,0,0,0，…]的二项式变换；Narayana变换(A001263号)第页，共页[1,6,0,0,0…]-加里·亚当森2007年12月29日
a（n）=积分（（sin（（n+1/2）x）/sin（x/2））^3，x=0..Pi）/Pi-亚尔钦·阿克塔尔2011年12月3日
求和{n>=0}1/a（n）=Pi/sqrt（3）*tanh（Pi/（2*sqrt（三）））=1.305284153013581-蚂蚁王2012年6月17日
a（n）=3*积分{x=n.n+1}x^2dx-卡米娜·苏里亚诺2018年4月10日
和{n>=0}a（n）/n！=10*e。
和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=2/e（完）
a（n）=1+2*Sum_{j=n.2n}j-克劳斯·普拉斯2021年10月19日
（结束）
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例子
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G.f.=1+7*x+19*x^2+37*x^3+61*x^4+91*x^5+127*x^6+169*x^7+217*x^8+。。。
初始术语说明：
.
.o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o
.
.1 7 19 37
.
（结束）
（1） a（19）不是质数，因为除了a（19。
（2） a（25）是素数，因为除了a（25。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1,6范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，7，19}，47](*罗伯特·威尔逊v2013年7月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=3*n*（n+1）+1}；
（哈斯克尔）
（最大值）makelist（3*n*（n+1）+1，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（岩浆）[0..50]]中的[3*n*（n+1）+1:n//G.C.格鲁贝尔2017年11月4日
（Python）[3*n*（n+1）+1代表范围（47）内的n]#迈克尔·布拉尼基2021年1月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000124号,A000166号,A000217号,A000290型,A000578号（立方体或部分总和），A001263号,A001498年,A002061号,A002378号,A002407号（素数），A003514号,A005408号,A005449号,A005891号,A028896号,A048766号,A056105美元,A056106年,A056107号,A056108号,A056109号,A063496号,A056220型,A130298号,A132111号（第二对角线），A158405型,A215630型,A239449号,A243201型.
另请参阅2008年2月3日对于形式为n*P（s，n）-（n-1）*P（s，n-1）的数字列表，其中P（s、n）是具有s条边的第n个多边形数。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003136号
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| Loeschian数：x^2+xy+y^2形式的数；A2格中向量的范数。
（原名M2336）
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+10
118
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0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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同样，形式为x^2-xy+y^2的数字-雷·钱德勒2009年1月27日
定理（Schering，Delone，Watson）：表示相同数字的唯一正定二次型是x^2+xy+y^2和x^2+3y^2（按比例）-N.J.A.斯隆2014年6月22日
等价地，数n使得θ3（x）*Theta3（x^3）中的系数x^n不为零-乔格·阿恩特2011年1月16日
等价地，数字n使得a（x）（resp.b（x））中的系数x^n非零，其中a（）、b（）是三次AGM函数-迈克尔·索莫斯2011年1月16日
顶点位于三角形晶格上的等边三角形的相对面积安东·舍伍德（bronto（AT）pobox.com），2001年4月5日
形式的数字（x^2+y^2+（x+y）^2）/2。如果我们让z=-x-y，那么对于任意n，x^2+y^2+z^2=k和x+y+z=0的所有解都是k=2a（n）-乔恩·佩里2012年12月16日
形式为-（x*y+y*z+x*z）且x+y+z=0的数字。x^2+y^2+z^2-（x*y+y*z+x*z）=（x-y）*（x-z）+（y-x）*（y-z）+-迈克尔·索莫斯2013年6月26日
单位边等边三角形上带Dirichlet边界条件的Helmholtz方程的Lame解具有如下形式的特征值：（x^2+x*y+y^2）*（4*Pi/3）^2。从1开始计算简并的实际集合由下式给出A060428号例如，第一简并度是49，其中（x，y）=（0,7）和（3,5）-罗伯特·斯蒂芬·琼斯2015年10月1日
一碗整数中球体的曲率，即洛氏球体。Mod 12，数字等于0、1、3、4、7、9-小埃德·佩格，2017年1月10日
以德国经济学家August Lösch（1906-1945）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，Springer-Verlag出版社，第111页。
伊瓦斯·彼得森（Ivars Peterson），《随机丛林：数学旅行》（The Jungles of Randomness:A Mathematical Safari），约翰·威利父子出版社（John Wiley and Sons），（1998），第53页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Mira Bernstein、N.J.A.Sloane和Paul E.Wright，关于六角形格的子格，离散数学。，第170卷，第1-3期（1997年），第29-39页；(摘要,pdf格式,秒).
Raghavendra N.Bhat、Cristian Cobeli和Alexandru Zaherescu，平面的整数菱形三角剖分，arXiv:2403.10500[math.NT]，2024。
John H.Conway、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于相似子格的存在性《加拿大数学杂志》，第51卷，第6期（1999年），第1300-1306页；(摘要,pdf格式,秒).
B.N.Delone，正二次型的几何。第二部分《Uspekhi Mat.Nauk》，第4卷（1938年），第102-164页。
戴安·多诺万（Diane M.Donovan）、特里·格里格斯（Terry S.Griggs）、托马斯·麦考特（Thomas A.McCourt）、雅库布·奥普拉萨尔（Jakub Opršal）和大卫·斯坦诺夫斯克（David Stanovsk），分配和反分配Mendelsohn三系，arXiv:1411.5194[math.CO]，（2014年11月19日）
奥古斯特·洛施，区位经济学，纽黑文和伦敦：耶鲁大学出版社，1954年。见第117f页。
奥斯卡·马蒙，圆上的六角形格点，arXiv:math/0508201[math.NT]，2005年。
奥利维尔·拉马雷、S.Ettahri和L.Surel，一些欧拉积的快速多精度计算《计算数学》（2021）hal-03381427。
V.N.Timofeev，关于表示相同数字的正二次型《Uspekhi Mat.Nauk》，第18卷（1963年），第191-193页。
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配方奶粉
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在n的素因式分解中，n=0或其他形式的所有3a+2素数必须只出现偶幂（同余于0或1模3的素数没有限制）。
如果n在序列中，那么n^k在序列中（但反过来不是真的）。n在序列中，当n^（2k+1）在序列中时-雷·钱德勒2009年2月3日
序列是乘法的，如果m和n在序列中，那么m*n也是乘法的-乔恩·佩里2012年12月18日
Richard C.Schroeppel的评论，2016年7月20日：（开始）
该集合在限制除法下也是闭合的：如果M和N是成员，并且M除以N，则N/M是成员。
如果N==2（mod 3），则N不在序列中。
成员的密度（相对于>0的整数）逐渐降至0。密度为O（1/sqrt（log N））。这意味着，如果N是一个成员，则N的平均预期表示数为O（sqrt（log N））。
表示通常以6为一组：（K，L），（K+L，-K），（K+L，-L）及其负值。（结束）
由于Q（zeta）是一个基本的单位第三根，其中zeta有第1类，整数的形式是否为x^2+xy+y^2的情况类似于x^2+y^2：n的形式是当且仅当每个素数p除以n，即=5模6，将其除以偶数幂。Rich提到的1/sqrt（x）密度是Landau的旧结果-维克托·米勒2016年7月20日
在n的素因式分解中，设S_1是p_i==1（mod 3）的不同素数因子p_i的集合，设S_2是p_j==2（mod3）的独特素数因子p_j的集合，且设M是3的指数。那么n=3^M*（S_1}p_i^e_i中的Product_{p_i）*（S_2}p_j^e_j中的Product_{p_j），并且x^2+xy+y^2=n的解的数目是6*如果所有e_j都是偶数，则S_1}中的产品_{p_ i（e_i+1）为0。
对于所有Löschian数，都有非负的X，Y，使得X^2+XY+Y^2=n。对于X，Y，使得X^2+XY+Y^2=m取X=min（|X|，|Y|），如果XY<0且X=|X|、Y=|Y|否则取Y=|X+Y|。（结束）
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MAPLE公司
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readlib（ifactors）：对于n from 2 to 200 do m:=ifactors[2]：标志：=1：对于i from 1 to nops（m）do，如果m[i，1]mod 3=2和m[i、2]mod 2=1，那么标志：=0；break fi:od：如果flag=1，则打印f（`%d，`，n）fi:od:#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
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数学
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ok[n_]：=解析[Exists[{x，y}，Reduce[n==x^2+x*y+y^2，{x，y}，Integers]]]；选择[范围[0192]，确定](*Jean-François Alcover公司2011年4月18日*）
nn=14；选择[Union[Flatten[Table[x^2+x*y+y^2，{x，0，nn}，{y，0，x}]]，#<=nn^2&](*T.D.诺伊2011年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、union、fromList、deleteFindMin）
a003136 n=a003136_列表！！（n-1）
a003136_list=f 0$singleton 0，其中
f x s | m<x ^2=m:f x s'
|否则=m:f x’
（联合'$fromList$map（\y->x'^2+（x'+y）*y）[0..x']）
其中x'=x+1
（m，s'）=删除查找最小值
（PARI）isA0003136（n）=本地（fac，flag）；如果（n==0，1，fac=系数（n）；标志=1；对于（i=1，矩阵大小（fac）[1]，如果（Mod（fac[i，1]，3）==2&Mod（fac[i，2]，2）==1，标志=0））；标志）
（PARI）是（n）=#bnfisint范数（bnfinit（z^2+z+1），n）\\拉尔夫·斯蒂芬2013年10月18日
（PARI）x='x+O（'x^200）；p=eta（x）^3/eta（x^3）；对于（n=0，199，如果（polceoff（p，n）！=0，打印1（n，“，”））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月8日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），y，t）；对于（x=0，平方（lim\3），my（y=x，t）；while（t=x^2+x*y+y^2）<=lim，listput（v，t）；y++））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月5日
（PARI）is_a003136（n）=！n||#qfbsolve（Qfb（1,1,1），n，3）\\雨果·普福尔特纳2023年8月4日
（Magma）[n:n in[0..192]|标准方程（3，n）eq true]//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年5月11日
（朱莉娅）
函数是A003136（n）
n%3==2&&返回false
[0，1，3]中的n&&返回true
M=Int（圆形（2*sqrt（n/3））
对于0:M中的y，对于0:y中的x
n==x^2+y^2+x*y&&返回true
结束
返回false
结束
A003136list（upto）=[n代表0中的n：upto代表A003136（n）]
A003136list（192）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月17日
（Python）
从itertools导入计数，islice
来自sympy导入因子
定义A003136号_gen（）：如果全部返回（n代表计数（0）中的n（e%2==0代表p，e代表因子（n）.items（），如果p%3==2））
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交叉参考
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关键词
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核心,容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243, 300, 363, 432, 507, 588, 675, 768, 867, 972, 1083, 1200, 1323, 1452, 1587, 1728, 1875, 2028, 2187, 2352, 2523, 2700, 2883, 3072, 3267, 3468, 3675, 3888, 4107, 4332, 4563, 4800, 5043, 5292, 5547, 5808, 6075, 6348
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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写1、2、3、4，。。。在0附近呈六角螺旋形；则a（n）是从0开始沿0,3方向读取直线得到的序列，。。。。螺旋开始于：
.
33--32--31--30
/ \
34 16--15--14 29
//\\
35 17 5---4 13 28
/ / / \ \ \
36 18 6 0---3--12--27--48-->
/////////
37 19 7 1---2 11 26 47
\ \ \ / / /
38 20 8---9--10 25 46
\ \ / /
39 21--22--23--24 45
\ /
40--41--42--43--44
（结束）
此外，6n+3的分区数最多可分为3个部分-R.K.盖伊2003年10月23日
也就是将6n的分区数精确地分为3个部分-科林·巴克2015年3月23日
对n进行编号，使虚二次域Q[sqrt（-n）]具有六个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
霍恩序列的分母（由G.L.Honaker，Jr.回忆）和该序列的分子颠倒了。序列是1/3，（1+3）/（5+7），（1+3+5）/（7+9+11），（1+3+5+7）/（9+11+13+15）。。。；减少到1/3、4/12、9/27、16/48。对于反转，减少量为3/1、12/4、27/9、48/16-伊诺克·哈加2007年10月5日
冠图G（n）的维纳指数（n>=3）。冠图G（n）是顶点集{x（1），x（2），…，x（n），y（1）、y（2）、…，y（n）}和边集{（x（i），y。例如：a（3）=27，因为G（3）是循环C（6）和6*1+6*2+3*3=27。G（n）的Hosoya-Wiener多项式是n（n-1）（t+t^2）+nt^3-Emeric Deutsch公司，2013年8月29日
边长在交换环Z[3^（1/4）]中的等边三角形的整数区域A={A+b*3^，（1/4）+c*3^（1/2）+d*3^-（3/4），Z}中的A、b、c和d。
边长为k的等边三角形的面积由A=k^2*sqrt（3）/4给出。在环Z[3^（1/4）]中，如果k=q*3^。例如：27在序列中，因为三角形（6*3^（1/4），6*3*（1/4）和6*3*（1/4））的面积是27。（结束）
a（n）是短边n的30-60-90三角形面积的2*sqrt（3）倍，也是n×n正方形面积的3倍-韦斯利·伊万·赫特2016年4月6日
考虑平面的六边形平铺。提取边缘相邻的任意四个六边形。这可以通过三种方式实现。折叠四个六边形，使所有相对的面都占据平行的平面。对于生成对象的所有平行投影，至少有两个对应于原始六边形n边长的面积a（n）-托拉赫·拉什2022年8月17日
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链接
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配方奶粉
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当n>2时，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：3*x*（1+x）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年9月9日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi^2/36。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（3）*sinh（Pi/sqrt（三））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（3）*sin（Pi/sqrt（三））/Pi。（结束）
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例子
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初始术语说明：
.o型
.o o（零）
.o o（零）
.o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
n=1 n=2 n=3 n=4
（结束）
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MAPLE公司
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数学
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3范围[0，50]^2
线性递归[{3，-3，1}，{0，3，12}，50](*哈维·P·戴尔2013年2月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=3*n^2
（Maxima）标记列表（3*n^2，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（哈斯克尔）
a033428=（*3）。(^ 2)
a033428_list=0:3:12:zipWith（+）a033428列表
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a033428_list）a033428列表）
（岩浆）[0..50]]中的[3*n^2:n//文森佐·利班迪2015年5月18日
（Python）def a（n）：返回3*（n**2）#托拉赫·拉什2022年8月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 13, 28, 49, 76, 109, 148, 193, 244, 301, 364, 433, 508, 589, 676, 769, 868, 973, 1084, 1201, 1324, 1453, 1588, 1729, 1876, 2029, 2188, 2353, 2524, 2701, 2884, 3073, 3268, 3469, 3676, 3889, 4108, 4333, 4564, 4801, 5044, 5293, 5548, 5809, 6076, 6349
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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等于[1，3，6，0，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年5月3日
2*a（n）^2的形式为x^4+y^4+（x+y）^4。事实上，2*a（n）^2=（n-1）^4+（n+1）^4+（2n）^4-布鲁诺·贝塞利2013年7月16日
数字m，使m+（m-1）+（m-2）为正方形-塞萨尔·阿奎莱拉2015年5月26日
对于n>3，还包括n X n环面网格图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月30日
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参考文献
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Edward J.Barbeau、Murray S.Klamkin和William O.J.Moser，《五百个数学挑战》，MAA，华盛顿特区，1995年，问题444，第42和195页。
本·汉密尔顿（Ben Hamilton），《Brainteasers and Mindbenders，Fireside》，1992年，第107页。
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链接
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A.L.Rubinoff和Leo Moser，问题E773的解决方案《美国数学月刊》，第55卷，第2期（1948年2月），第99页。
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配方奶粉
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a（n）=3*n^2+1。
当n>2时，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
通用名称：（1+x+4*x^2）/（1-x）^3。
当n>0时，a（n）=a（n-1）+6*n-3。
当n>1时，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+6。
例如：（1+3*x+3*x^2）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔，2018年12月2日
和{n>=0}1/a（n）=（1+（Pi/sqrt（3））*coth（Pi/squart（3”））/2。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=（1+（Pi/sqrt（3））*csch（Pi/squart（3。（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=sqrt（2）*csch（Pi/sqrt（3））*sinh（sqrt）*Pi）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=（Pi/sqrt（3））*csch（Pi/squart（3。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{1，4，13}，47](*迈克尔·德弗利格2017年2月8日*）
系数列表[级数[（1+x+4x^2）/（1-x）^3，{x，0，46}]，x](*迈克尔·德弗利格2017年2月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，1000，如果（发行方（n+（n-1）+（n-2）），打印1（n“，”））\\塞萨尔·阿奎莱拉2015年5月26日
（PARI）a（n）=3*n^2+1\\阿尔图·阿尔坎2017年2月8日
（岩浆）[0..40]]中的[3*n^2+1:n//G.C.格鲁贝尔，2018年12月2日
（鼠尾草）[3*n^2+1代表范围（40）内的n]#G.C.格鲁贝尔，2018年12月2日
（GAP）列表（[0..40]，n->3*n^2+1）#G.C.格鲁贝尔，2018年12月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103, 124, 147, 172, 199, 228, 259, 292, 327, 364, 403, 444, 487, 532, 579, 628, 679, 732, 787, 844, 903, 964, 1027, 1092, 1159, 1228, 1299, 1372, 1447, 1524, 1603, 1684, 1767, 1852, 1939, 2028, 2119, 2212, 2307, 2404, 2503
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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方程X^3-（X+3）^2+X+6=Y^2的解的非负X值。为了证明X=n^2+3:Y^2=X^3-（X+3）^2+X+6=X^3-X^2-5X-3=（X-3）（X^2+2X+1）=（X-3）*-穆罕默德·布哈米达2007年11月12日
例如，整数因子分解的等效技术适用于方程X^3-3*X^2-9*X-5=（X-5）（X+1）^2=Y^2，寻找形式为X-5=n^2的完美平方-R.J.马塔尔2007年11月20日
取一个由（n+1）X（n+1”）点组成的正方形数组（对应于由n个Xn个正方形组成的网格的顶点）。用任意长度的垂直和水平线段连接这些点，以便每个点都连接到它的每个正交邻域，并且没有线段与之前绘制的线段相交。那么线段的最小数量是a（n），对于n>=1-勒罗伊·奎特2009年4月12日
a（n）也是双扇形图F（n）的维纳指数。双扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与另外两个节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（3n-1）t+（1/2）（n^2-3n+4）t^2。示例：a（3）=12，因为相应的双扇形图是5节点OABCD上的轮图，O是轮的中心。其维纳指数=边数+|AC|+|BD|=8+2+2=12-Emeric Deutsch公司2010年9月24日
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：（3-5*x+4*x^2）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2007年11月20日
a（n）=（（n-3）^2+3*（n+1）^2）/4-莱因哈德·祖姆凯勒2009年2月13日
a（n）=上限（（n+1/n）^2），n>0-文森佐·利班迪2011年10月19日
a（n）=2*n+a（n-1）-1（a（0）=3）-文森佐·利班迪2010年11月13日
求和{n>=0}1/a（n）=（1+sqrt（3）*Pi*coth（sqrt）*Pi））/6。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=（1+（sqrt（3）*Pi）*csch（sqert（3）*Pi））/6。（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=2*csch（sqrt（3）*Pi）*sinh（2*Pi。
产品{n>=0}（1-1/a（n））=平方（2/3）*csch（平方（3）*Pi）*sinh（平方（2）*Pi）。（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（3，n，-3）代表范围（0，51）中的n]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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经核准的
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0, 7, 28, 63, 112, 175, 252, 343, 448, 567, 700, 847, 1008, 1183, 1372, 1575, 1792, 2023, 2268, 2527, 2800, 3087, 3388, 3703, 4032, 4375, 4732, 5103, 5488, 5887, 6300, 6727, 7168, 7623, 8092, 8575, 9072, 9583, 10108, 10647, 11200, 11767, 12348, 12943, 13552, 14175
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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配方奶粉
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a（n）=14*n+a（n-1）-7（其中a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年8月5日
总尺寸：-7*x*（1+x）/（x-1）^3-R.J.马塔尔2017年2月6日
Sum_｛n＞＝1｝1/a（n）＝Pi^2／42。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi^2/84。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（7）*sinh（Pi/sqrt（七））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（7）*sin（Pi/sqrt（七））/Pi。（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A073254号
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| 反对偶读取数组，A（n，k）=n^2+n*k+k^2。 |
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+10
9
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0, 1, 1, 4, 3, 4, 9, 7, 7, 9, 16, 13, 12, 13, 16, 25, 21, 19, 19, 21, 25, 36, 31, 28, 27, 28, 31, 36, 49, 43, 39, 37, 37, 39, 43, 49, 64, 57, 52, 49, 48, 49, 52, 57, 64, 81, 73, 67, 63, 61, 61, 63, 67, 73, 81, 100, 91, 84, 79, 76, 75, 76, 79, 84, 91, 100, 121, 111, 103, 97
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.4
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评论
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平面六角晶格A_2中元素的范数。
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配方奶粉
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设m=2，对于m=3、4和5的情况，请参见交叉参考。
T（n，k）=k^2-k*n+n^2=A（n-k，k）。
T（n，k）=求和{j=0..m}求和{i=0..m{（-1）^（j+i）*C（i，j）*n^j*k^（m-j），对于m=2。
T（2n，n）=（m+1）*n^m=3*n^2=A033428型（n） ●●●●。
T（2n+1，n+1）=（n+1）^（m+1）-n^=A003215号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）=（5*n^3+6*n^2+n）/6=A033994号（n） ●●●●。
T（n+1，k+1）*二项式（n，k）^3/（k+1）^2=A194595号（n，k）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始：
[0] 0
[1] 1, 1
[2] 4, 3, 4
[3] 9, 7, 7, 9
[4] 16, 13, 12, 13, 16
[5] 25, 21, 19, 19, 21, 25
[6] 36, 31, 28, 27, 28, 31, 36
[7] 49、43、39、37、37、39、43、49
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MAPLE公司
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#使用三角形公式：
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数学
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（*使用数组公式：*）
A[n_，k_]：=n^2+nk+k^2；
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黄体脂酮素
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（PARI）{A（n，k）=n^2+n*k+k^2}
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作者
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经核准的
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0, 4, 23, 68, 150, 280, 469, 728, 1068, 1500, 2035, 2684, 3458, 4368, 5425, 6640, 8024, 9588, 11343, 13300, 15470, 17864, 20493, 23368, 26500, 29900, 33579, 37548, 41818, 46400, 51305, 56544, 62128, 68068, 74375, 81060, 88134, 95608, 103493, 111800
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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通用：x*（4+7*x）/（1-x）^4-科林·巴克2012年6月6日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-文森佐·利班迪2012年6月29日
例如：exp（x）*x*（24+45*x+11*x^2）/6-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年2月21日
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数学
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系数列表[级数[x*（4+7*x）/（1-x）^4，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪，2012年6月29日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，4，23，68}，40](*哈维·P·戴尔2021年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[0,4,23,68]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..50]]中的n//文森佐·利班迪2012年6月29日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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