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A000041号 a(n)是n的分区数(分区数)。
(原M0663 N0244)
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1、1、2、3、5、7、11、15、22、30、42、56、77、101、135、176、231、297、385、490、627、792、1002、1255、1575、1958、2436、3010、3718、4565、5604、6842、8349、10143、12310、14883、17977、21637、26015、31185、37338、44583、53174、63261、75175、89134、105558、124754、147273、173525 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

同时给出了b+2c+3d+4e+的非负解的个数。。。=n和2c+3d+4e+的非负解的个数。。。<=n-亨利·巴特利2001年4月17日

a(n)也是对称群Sˉn中共轭类的数目(以及Sˉn的不可约表示数)。

也就是有n+1个节点且高度不超过2的有根树的数目。

与李代数gl(n)中幂零共轭类的数序列一致。A006950型,A015128号这个序列共同覆盖了李代数经典A,B,C,D级数的幂零共轭类。-Alexander Elashvili,2003年9月8日

a(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-2)+a(2)b(n-4)+。。。其中b=A000009号.

p^n阶的不同交换群的个数,其中p是素数(这个数与p无关)。-莱克莱·比达西2004年10月16日

n个顶点上不包含P3作为诱导子图的图的数目。-华盛顿博菲姆2005年5月10日

将n/f的第n个导数项展开时。-托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日

a(n)=A114099号(9*n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年2月15日

序列与对称群S峈n的Molien级数的展开一致,直到x^n.-Maurice D.Craig(townaar(AT)optusnet.com.au),2006年10月30日

同时给出了x_1+x_2+x_3+的非负整数解的个数。。。+x_n=n使得n>=x_1>=x_2>=x_3>=。。。>=x\u n>=0,因为通过让y_k=x_k-x_x(k+1)>=0(其中0<k<n),我们得到y_1+2y_2+3y_3+。。。+(n-1)y_u(n-1)+nx_n=n.-Werner Grundlingh(wgrundlingh(AT)gmail.com),2007年3月14日

设P(z):=和{j>=0}b_j z^j,b_0!=0。然后1/P(z)=和{j>=0}c_j z^j,其中c_j必须从无限三角形系统b_0 c_0=1,b_0 c_1+b_1 c_0=0等(系数设为0的柯西积)计算。第n个分位数是c_n表达式的分子项的个数:倒数幂级数的系数c u n是分母为b_0^(n+1)的分数,其分子具有n个系数b_i的(n)乘积。分区可以从b峎i.-Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de)的索引中读取,2007年4月9日

A026820型(a(n),n)=甲134737(n) n>0时。-莱因哈德·祖姆凯勒2007年11月7日

等于三角形的行和邮编:A137683. -加里·W·亚当森2008年2月5日

a(n)=用n个台阶爬上楼梯的不同方式的数量,步骤大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序不重要,并且对每一步的数量或大小没有限制。-穆罕默德阿扎里安2008年5月21日

等于三角形的特征向量A145006年分划数的特征三角形的行和,A145007年. -加里·W·亚当森2008年9月28日

从偏移量1开始=反转(1,1,0,0,-1,0,-1,…),其中A080995型,特征函数A001318型(1,2,5,7,12,…)与1有符号(+--++,…)相当于lim{n=1..inf}A145006年^n作为向量。(1,1,0,0,-1,…)的逆变变换开始(1,2,…),然后对于每个连续的运算,我们取(1,1,0,0,-1,…)的点积和我们系列(1,2,3,5,7,…)的进行中的结果,然后将结果添加到(1,1,0,0,-1,…)中的下一项。例如,a(7)=15=(0,-1,0,0,1,1)点(1,2,3,5,7,11)=(0*1,(-1)*2,0*3,0*5,1*7,1*11)=(-2+7+11)=16,然后加上(-1)=15。-加里·W·亚当森2008年10月5日

卷曲A147843号=A000203型以零开头:(0,1,3,4,7,…)。-加里·W·亚当森2008年11月15日

(1*0,1*0,1*0,1*0*1,1*0*1,1*0*1,1*0*1,1*0*0,1*0*1,1*0*1,1*0*1,1*0*1,1*0*0,1*0*1,1*0*1,1*0*0,1*0*1,1*0*1,1*0*0,1*0*1,1*0)

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。。。=(a)

1,2,5,4,5,4,5,4,5,4,5,4,5,5,4,5,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5。。。=(a*b)

1,1,2,3,4,5,7,8,10,11。。。=(a*b*c)

1,1,2,3,4,5,6,9,11,17。。。=(a*b*c*d)

1,1,2,3,5,5,7,10,13,18。。。=(a*b*c*d*e)

1,1,2,3,5,7,11,14,20,25。。。=(a*b*c*d*e*f)

1,1,2,3,5,7,11,15,21,27。。。=(a*b*c*d*e*f*g)

1,1,2,3,5,7,11,15,22,28。。。=(a*b*c*d*e*f*g*h)

1,1,2,3,5,7,11,15,22,29。。。=(a*b*c*d*e*f*g*h*i)

  ... 排成一排A000041号. 分割三角形A058398号=对角线上升。分隔三角形A008284号逆转A058398号. -加里·W·亚当森2009年6月12日

从偏移量1开始=三角形的行和邮编:A168532. -加里·W·亚当森2009年11月28日

a(n)=A026820型(n,n);a(n)=A108949号(n)+A045931号(n)+A108950号(n)=A130780号(n)+A171966年(n)-A045931号(n)=A045931号(n)+A171967年(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

P(x)=A(x)/A(x^2),其中P(x)=(1+x+2x^2+3x^3+5x^4+7x^5+…),

和A(x)=(1+x+3x^2+4x^3+10x^4+13x^5+…),

A(x^2)=(1+x^2+3x^4+4x^6+10x^8+…),其中A092119号=(1,1,3,4,10,…)=标尺序列的欧拉变换,A001511号. -加里·W·亚当森2010年2月11日

等于三角形的行和A173304型. -加里·W·亚当森2010年2月15日

p(x)=A(x)*A(x^2),A(x)=A174065型;p(x)=B(x)*B(x^3),B(x)=A174068号. 等于三角形的行和A174066号A174067号. -加里·W·亚当森2010年3月6日

三角形A113685号等于p(x)=p(x^2)*A000009号(x) 一。三角形邮编:A176202等于p(x)=p(x^3)*A000726号(x) 一。-加里·W·亚当森2010年4月11日

一系列正整数p=p_1。。。如果pˉ1+。。。+p_k=n和p_1>=。。。>=p_k。如果形式上需要p_j=0,则将p_j=0加到p上,表示某个n>=1的这些分区集。然后a(n)=1+和{p在p_n}层((p_1-1)/(p_2+1))。(参见。A000065号凯莱赫和奥沙利文(2009)的证明。例如a(6)=1+0+0+0+1+0+0+1+1+2+5=11。-彼得·卢什尼2010年10月24日

设n=和(k_u(p_m)p_m)=k_1+2 k_2+5 k_5+7 k_7+…,其中p_m是第m个广义五边形数(A001318型). 那么a(n)是所有这些五角形分区的总和,它是(-1)^(k_5+k_7+k_22+…)(k_1+k_2+k_5+…)!/(k逖1!2号!k九5!…),其中(-1)的指数是与偶数索引的GPN相对应的所有k的和-杰罗姆·马林凡特2011年2月14日

a(n)值的矩阵

a(0)

a(1)a(0)

a(2)a(1)a(0)

a(3)a(2)a(1)a(0)

  ....

a(n)a(n-1)a(n-2)。。。a(0)

是矩阵的倒数

1

-11个

-1-11

0-1-1 1

  ....

-天哪-天-天-天-天-天-天。。。-第11集

式中dˉq=(-1)^(m+1),如果q=m(3m-1)/2=第m个广义五边形数(A001318型),否则为0。-杰罗姆·马林凡特2011年2月14日

等于三角形的行和A187566号. -加里·W·亚当森2011年3月21日

设i<∗u是一个不等分的整数,设i<∗u为1<∗u。。。那么,等价地,a(n)等于n=n+i\u 1+i\u 2+的分区数。。。+其中每个i(1<=j<=k)至少作为一个部件出现一次。要看到这一点,请注意这个类的N的分区必须与N的分区1:1对应,因为N-i_1-i_2-。。。-我k=n-五十、 埃德森·杰弗瑞2011年4月16日

a(n)是所有有n+2个节点的自由树上不同度序列的数目。取整数n的一个分区,每个部分加1,并根据需要附加任意多个1,这样总数为2n+2。现在我们得到了一个具有n+2个节点的树的度序列。例如:分区3+2+1=6对应于度序列{4,3,具有8个顶点的树的2,1,1,1,1}。-杰弗里·克里特2011年4月16日

a(n)是n个不同特征多项式的个数!排列矩阵的大小为n×n-雅辛斯基2011年10月24日

猜想:从偏移量1开始表示n的有序组合的个数,使用的有符号(++--++…)项A001318型开始(1,2,-5,-7,12,15…)。-加里·W·亚当森,2013年4月4日(根据五边形数定理,乔尔阿恩特2013年4月8日)

a(n)也是对数(f(x)的n阶导数展开式中的项数。在数学中,表示法:表[长度[合[f[x]^n*D[Log[f[x]],{x,n}]]],{n,1,20}]。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日

猜想:没有a(n)具有m>1和x>1的x^m形式。-孙志伟2013年12月2日

包含p部分的n的分区是n-p的分区,因此m*n-r中包含k*n作为一部分的分区数为A000041号(h*n-r),其中h=m-k>=0,n>=2,0<=r<n;参见A111295号举个例子-克拉克·金伯利2014年3月3日

a(n)是n的正部分的组成数,避免了模式[1,2]。-鲍勃塞尔科2014年7月8日

猜想:对于任何j都存在k,使得所有素数p都存在<=A000040号(j) 是一个或多个a(n)<=a(k)的因子。这一覆盖率增长缓慢且不规则。k=1067覆盖了前102个素数,因此比A000027号. -理查德·R·福伯格2014年12月8日

a(n)是保序、降序和(保序与降序)内射变换半群中幂零共轭类的个数。-伊凡尼亚伊夫伊楚乌2015年6月3日

定义一个分段分区a(n,k,<s(1)…s(j)>为n的一个分区,其中s(j)部分t(j)彼此相同且与所有其他部分不同。注意n>=k,j<=k,0<=s(j)<=k,s(1)t(1)+。。。+s(j)t(j)=n和s(1)+。。。+s(j)=k,则n的至多有一个(k)分段分区,其中正好有k个部分。-格雷戈里·L·西梅2015年11月8日

(结束)

格雷戈里·L·西梅2015年11月9日:(开始)

a(n,k,<s(1),…,s(j)>的多项式具有j-1次。

a(n,k,<k>)=1,如果n=0模k,则=0

小于rk,s(a,s),<r*s,<1(s),k(s)

a(n奇数,k,<all s(j)偶>)=0

可以根据分段分区重新计算已建立的结果:

对于j(j+1)/2<=n<(j+1)(j+2)/2,A000009号(n) =a(n,1,<1>)+。。。+a(n,j,<j 1's>),j<n

<1,k-2(无)

(结束)

a(10^20)是使用NIST Arb软件包计算的。它有11140086260个数字,它的头和尾部分是18381765…88091448。参见Johansson 2015链接。-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月1日

满足本福德定律[Anderson Rolen Stoehr,2011]。-N、 斯隆2017年2月8日

所有n>25的配分函数p(n)为对数凹面[DeSalvo-Pak,2014]。-米歇尔·马库斯2019年4月30日

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“核心”序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

乘积{k>=1}(1-x^k)^m展开的索引项

与根树相关的序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

G、 f.:乘积{k>0}1/(1-x^k)=和{k>=0}x^k乘积{i=1..k}1/(1-x^i)=1+和{k>0}x^(k^2)/(乘积{i=1..k}(1-x^i))^2。

G、 f.:1+和{n>=1}x^n/(乘积{k>=n}1-x^k)。-乔尔阿恩特2011年1月29日

a(n)-a(n-1)-a(n-2)+a(n-5)+a(n-7)-a(n-12)-a(n-15)+。。。=0,其中和在n-k上,k是广义五边形数(A001318型)第(k+1)项是(k+1)的符号。看到了吗A001318型为了一个好的方法来记住这一点!

a(n)=(1/n)*和{k=0..n-1}西格玛(n-k)*a(k),其中sigma(k)是k的除数之和(A000203型).

a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqrt(2n/3))表示为n->infinity(Hardy和Ramanujan)。看到了吗A050811号.

乔恩·肖恩菲尔德2014年8月17日:(开始)

从哈代和拉马努詹看来,上述近似值可以提炼为

a(n)~1/(4*n*sqrt(3))*e^(Pi*sqrt(2n/3+c0+c1/n^(1/2)+c2/n+c3/n^(3/2)+c4/n^2+…),其中系数c0到c4约为

c0=-0.230420145062453320665537

c1=-0.0178416569128570889793

c2=0.00513291273

c3=-0.0011129404

c4=0.0009573,

作为n->无穷大。(结束)

瓦茨拉夫·科特索维奇,2016年5月29日(c4于2016年11月7日添加):(开始)

c0=-0.230420145062453320665536704197233。。。=-1/36-2/π^2

c1=-0.01784165691285708897950135349949。。。=1/(6*sqrt(6)*Pi)-sqrt(3/2)/Pi^3

c2=0.005132991127342167594576391633559。。。=1/(2*Pi^4)

c3=-0.001112940489559760908236602843497。。。=3*sqrt(3/2)/(4*Pi^5)-5/(16*sqrt(6)*Pi^3)

c4=0.000957343284806972958968694349196。。。=1/(576*Pi^2)-1/(24*Pi^4)+93/(80*Pi^6)

a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*sqrt(3*n)*(1-(sqrt(3/2)/Pi+Pi/(24*sqrt(6))/sqrt(n)+(1/16+Pi^2/6912)/n)。

(平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方英寸/平方。

(结束)

a(n)<exp((2/3)^(1/2)Pi sqrt(n))(阿尤布,第197页)。

G、 f.:产品(1+x^m)^A0511号(m) ;m=1..inf-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月26日

a(n)=和{i=0..n-1}P(i,n-i),其中P(x,y)是x最多分成y部分的数目,P(0,y)=1。-乔恩·佩里2003年6月16日

G、 f.:积{i>=1}积{j>=0}(1+x^((2i-1)*2^j))^(j+1)。-乔恩·佩里2004年6月6日

G、 f.e^(和{k>0}(x^k/(1-x^k)/k))。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年2月8日

全1序列的欧拉变换(A000012号). 称重变换A001511号. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年3月15日

a(n)=A027187型(n)+A027193号(n)=A000701号(n)+682号A0462(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

卷曲A152537号给予A000079号,2的幂次。-加里·W·亚当森2008年12月6日

a(n)=Tr(n)/(24*n-1)=A183011号(n)/A183010型(n) ,n>=1。请参阅链接中的Bruinier Ono论文。-奥马尔·E·波尔2011年1月23日

杰罗姆·马林凡特2011年2月14日:(开始)

a(n)=n X n Toeplitz矩阵的行列式:

1-1个

11-1号

0 1 1-1

0 0 1 1-1

-10 0 1 1-1

   . . .

天哪,天哪,天哪,天哪

式中dΒq=(-1)^(m+1),如果q=m(3m-1)/2=pˉm,则第m个广义五边形数(A001318型),否则d_q=0。注意,1沿着对角线运行,而-1在超对角线上。(n-1)行(未写入)将以。。。1-1。(结束)

经验:设F*(x)=和{n=0..infinity}p(n)*exp(-Pi*x*(n+1)),然后F*(2/5)=1/sqrt(5),精确到13位数。

F*(4/5)=1/2+3/2/sqrt(5)-sqrt(1/2*(1+3/sqrt(5)),精度为28位。当a/b从F60到60时,这些是a/b的唯一值。F*(4/5)的数是25*x^4-50*x^3-10*x^2-10*x+1的实根之一。注意这里的指数(n+1)与标准符号n从0开始比较。-西蒙·普劳夫2011年2月23日

常数(2^(7/8)*伽马(3/4))/(exp(Pi/6)*Pi^(1/4))=1.0000034873。。。当在baseexp(4*Pi)中展开时,将给出a(n)的前52项,n>0,所需精度为300个十进制数字。-西蒙·普劳夫2011年3月2日

a(n)=A035363号(2n)。-奥马尔·E·波尔2009年11月20日

G、 f.:A(x)=1+x/(G(0)-x;G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^(k+1))/G(k+1);(连分式欧拉类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日

卷积A010815型具有A000712号. -加里·W·亚当森2012年7月20日

G、 f.:1+x*(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(k+1))/(1-x/(x-1/G(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月22日

G、 f.:Q(0),其中Q(k)=1+x^(4*k+1)/((x^(2*k+1)-1)^2-x^(4*k+3)*(x^(2*k+1)-1)^2/(x^(4*k+3)+(x^(2*k+2)-1)^2/Q(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月16日

a(n)=24*spt(n)+12*n_2(n)-Tr(n)=24*A092269号(n) +12岁*A220908年(n)-A183011号(n) ,n>=1。-奥马尔·E·波尔2013年2月17日

G、 f.:1/(x;x){inf}其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号。-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日

a(n)=A066186号(n) /n,n>=1。-奥马尔·E·波尔2013年8月16日

彼得·巴拉2013年12月23日:(开始)

{mu(mu)中的所有部分都是算术的A008683号).

设P(2,n)表示n到k>=2的部分的划分集。然后a(n-2)=-Sum{P(2,n)}mu(k)中所有分区的k部分。

n*(a(n)-a(n-1))=P(2,n)}k中所有分区的k部分之和(参见邮编:A138880).

设P(3,n)表示n到k>=3的部分的划分集。那么

a(n-3)=(1/2)*和{P(3,n)}phi(k)中所有分区的k部分,其中phi(k)是Euler-toient函数(参见A000010号). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Merten定理,我们可以找到配分函数的一个近似3项递推:a(n)~a(n-1)+(n-2)+(Pi^2/(3*n)-1)*a(n-3)。例如,将a(47)=124754,a(48)=147273和a(49)=173525代入递推,得到近似值a(50)~204252.48。。。与真值a(50)=204226相比。(结束)

a(n)=和{k=1..n+1}(-1)^(n+1-k)*A000203型(k)*A002040(n+1-k)。-米尔恰梅尔卡2014年2月27日

a(n)=A240690型(n)+A240690型(n+1),n>=1。-奥马尔·E·波尔2015年3月16日

加里·W·亚当森2015年6月22日:(开始)

偏移量为1的序列的乘积矩阵为M,为以下形式的无穷n x n矩阵:

a,1,0,0,0,0。。。

b,0,1,0,0,0。。。

c,0,0,1,0,0。。。

d,0,0,0,1,0。。。

.

.

... 因此(a,b,c,d,…)是的签名版本A080995型偏移量为1:(1,1,0,0,-1,0,-1,…)

a(n)是M^n的左上项。

此操作相当于g.f.(1+x+2x^2+3x^3+5x^4+…)=1/(1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+…)。(结束)

G、 f.:x^(1/24)/eta(对数(x)/(2πi))。-托马斯·巴鲁切尔2016年1月9日,之后迈克尔·索莫斯(在理查德·德德金德之后)。

a(n)=和{k=-inf..+inf}(-1)^ka(n-k(3k-1)/2),其中a(0)=1,a(负)=0。和可以限制在(有限)范围内,从k=(1-sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6,因为这个范围之外的所有项都是零。-乔斯库特2016年6月1日

G、 f.:(猜想)(r(x)*r(x^2)*r(x^4)*r(x^8)*…),其中r(x)是A000009号:(1,1,1,2,2,3,4,…)。-加里·W·亚当森2016年9月18日;多伦·齐尔伯格今天我们注意到“这直接来自欧拉公式1/(1-z)=(1+z)*(1+z^2)*(1+z^4)*(1+z^8)*…”加里·W·亚当森2016年9月20日

a(n)~2*Pi*BesselI(3/2,sqrt(24*n-1)*Pi/6)/(24*n-1)^(3/4)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月11日

G、 f.:乘积{k>=1}(1+x^k)/(1-x^(2*k))。-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日

a(n)=p(1,n),其中p(k,n)=p(k+1,n)+p(k,n-k),如果k<n,则为1;如果k>n,则为0。p(k,n)是将n分成大于等于k的部分的数目-李洛琳2020年1月28日

例子

a(5)=7,因为5有7个分区,即:{1,1,1,1},{2,1,1,1},{2,2,1},{3,1,1},{3,2},{4,1},{5}。-鲍勃塞尔科2014年7月8日

G、 f.=1+x+2*x^2+3*x^3+5*x^4+7*x^5+11*x^6+15*x^7+22*x^8+。。。

G、 f.=1/q+q^23+2*q^47+3*q^71+5*q^95+7*q^119+11*q^143+15*q^167+。。。

格雷戈里·L·西梅2015年11月8日:(开始)

n的分区中有多达a(4)=5个分段分区,正好有4个部分。它们是a(n,4,<4>),a(n,4,<3,1>),a(n,4,<2,2>),a(n,4,<2,1,1>),a(n,4,<1,1,1>)。

分区8,8,8,8在(32,4,<4>中计数。

分区9,9,9,5在a(32,4,<3,1>中计数)。

分区11,11,5,5在a(32,4,<2,2>中计数)。

分区13,13,5,1在a(32,4,<2,1,1>中计数)。

分区14,9,6,3以a(32,4,<1,1,1,1>)计算。

a(n奇数,4,<2,2>)=0。

a(12,6,<2,2,2>)=a(6,3,<1,1,1>)=a(6-3,3)=a(3,3)=1。单独的分区是3,3,2,2,1,1。

(结束)

枫木

A000041号:=n->组合:-numbpart(n):[顺序(A000041号(n) ,n=0..50);#警告:Maple 10和11在某些情况下给出了错误的答案:A110375号.

规范:=[B,{B=Set(Set(Z,card>=1))},未标记];

[顺序(组合结构[计数](规格,尺寸=n),n=0..50)];

带(combstruct):ZL0:=[S,{S=Set(Cycle(Z,card>0))},未标记]:seq(count(ZL0,size=n),n=0..45)#泽伦瓦拉乔斯2007年9月24日

G: ={P=Set(Set(Atom,card>0))}:combstruct[gfsolve](G,labeled,x);seq(combstruct[count]([P,G,unlabeled],size=i),i=0..45)#泽伦瓦拉乔斯2007年12月16日

#使用函数EULER from Transforms(参见页面底部的链接)。

1,op(欧拉([顺序(1,n=1..49)]))#彼得·卢什尼2020年8月19日

数学

表[PartitionsP[n],{n,0,45}]

a[n_x]:=系列系数[q^(1/24)/DedekindEta[Log[q]/(2pi I)],{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

a[n_u]:=系列系数[1/产品[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

系数表[1/QPochhammer[q]+O[q]^100,q](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年11月25日*)

黄体脂酮素

(岩浆)a:=func<n |分区数(n)>;[a(n):n in[0..10]];

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(1/eta(x+x*O(x^n)),n))};

(PARI)/*PARI中Hardy Ramanujan Rademacher的精确公式如下所示(不再需要,因为它现在已内置到numbpart命令中):*/

Psi(n,q)=局部(a,b,c);a=sqrt(2/3)*Pi/q;b=n-1/24;c=sqrt(b);(sqrt(q)/(2*sqrt(2)*b*Pi))*(a*cosh(a*c)-(sinh(a*c)/c))

L(n,q)=如果(q==1,1,和(h=1,q-1,如果(gcd(h,q)>1,0,cos((g(h,q)-2*h*n)*Pi/q)))

g(h,q)=如果(q<3,0,和(k=1,q-1,k*(分形(h*k/q)-1/2)))

部分(n)=圆形(总和(q=1,max(5,0.5*sqrt(n)),L(n,q)*Psi(n,q)))

/*拉尔夫·斯蒂芬2002年11月30日,修复人瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月9日*/

(PARI){a(n)=numberpart(n)};

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(sum(k=1,sqrtint(n),x^k^2/prod(i=1,k,1-x^i,1+x*O(x^n))^2,1),n))};

(PARI)f(n)=我的(v,i,k,s,t);v=向量(n,k,0);v[n]=2;t=0;while(v[1]<n,i=2;while(v[i]==0,i++);v[i]--;s=和(k=i,n,k*v[k]);而(i>1,i--;s+=i*(v[i]=(n-s)\i));t++);t\\托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日

(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(exp(和(k=1,n,x^k/(1-x^k)/k,x*O(x^n)),n))\\乔尔阿恩特2010年4月16日

(MuPAD)combinat::partitions::count(i)$i=0..54//泽伦瓦拉乔斯2007年4月16日

(Sage)[范围(46)中n的_分区数(n)]#泽伦瓦拉乔斯2009年5月24日

(圣人)

@缓存函数

定义A000041号(n) 公司名称:

如果n==0:返回1

S=0;J=n-1;k=2

当0<=J时:

T=A000041号(J)

S=S+T如果是_奇数(k//2),否则S-T

J-=k如果是_奇(k)else k//2

k+=1

返回S

[A000041号(n) 对于范围(50)]#彼得·卢什尼2012年10月13日

(哈斯克尔)

导入Data.MemoCombinators(memo2,integral)

a000041 n=a000041_列表!!n

a000041_list=map(p'1)[0..]其中

p'=memo2积分p

p?0=1

p k m=如果m<k,则0其他p'k(m-k)+p'(k+1)m

--莱因哈德·祖姆凯勒,2015年11月3日,2013年11月4日

(Maxima)num_分区(60,列表)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/

(GAP)列表([1..10],n->Size(OrbitsDomain(SymmetricGroup(IsPermGroup,n),SymmetricGroup(IsPermGroup,n),\ ^))#阿提拉·埃格里·纳吉2014年8月15日

(Perl)使用ntheory“:all”;my@p=map{partitions($\u0)}0..100;说“[@p]”#达娜·雅各布森2015年9月6日

(球拍)

#浪拍

;和(k,-inf,+inf)(-1)^k p(n-k(3k-1)/2)

;对于超出范围(1-(sqrt(1-24n))/6到(1+sqrt(1-24n))/6的k,参数n-k(3k-1)/2<0。

;因此下面的循环是有限的。哈希避免了重复的相同计算。

(定义(pn);n个分区的个数。

(散列参考h n

  (λ ()

r定义

    (+

(让循环((k1)(n(sub1n))(s0))

(如果(<n 0)s

(回路(add1 k)(-n(*3 k)1)(如果(奇数?k) (+s(pn))(-s(pn)))))

(让循环((k-1)(n(-n2))(s0))

(如果(<n 0)s

(回路(子1 k)(+n(*3 k)-2)(如果(奇数?k) (+s(pn))(-s(pn)))))))

(哈希集!h n r)

r)))

(define h(make hash'((0。1) ))

;(for((k(在0.50范围内))(printf“~s,(pk)))马上运行。

;乔斯库特2016年6月1日

(蟒蛇)

从sympy.ntheory导入npartitions

打印([npartitions(i)for i in range(101)])#印度教2017年3月17日

(Julia)DedekindEta的定义见A000594号

A000041列表(长度)=DedekindEta(长度,-1)

A000041列表(50)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日

交叉引用

囊性纤维变性。A000009号,A000079号,A000203型,A001318型,A008284号,A113685号,A132311号,A145006年,A145007年,A147843号,A152537号,邮编:A168532,邮编:A173238,A173239号,邮编:A173241,A173304型,A174065型,A174066号,A174068号,邮编:A176202.

连续差异见A002865号,A053445号,A072380型,A081094型,A081095型.

三角形的反对角和A092905号. a(n)=A054225(n,0)。

布氏变换:A000733号,A000751号.

囊性纤维变性。A167376号(补充),A061260型(多集)。

关键字

核心,容易的,,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

来自olaveshta的补充评论(olaveshta(AT)my deja.com),2001年2月28日

来自Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com)的其他评论,2001年4月7日

状态

经核准的

A063886 从原点开始但不返回原点的直线上的n步走数。 +10个
31
1,2,2,4,6,12,20,40,70,140,252,504,924,1848,3432,6864,12870,25740,48620,97240,184756,369512,705432,1410864,2704156,5408312,10400600,20801200,40116600,80233200,155117520,310235040,601080390,1202160780 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

切比雪夫变换A007877号(n+1)。在映射g(x)->(1/(1+x^2))g(1/(1+x^2))下,g.f.被转换成(1+x)/((1-x)(1+x^2))。-保罗·巴里2004年10月12日

a(n-1)=2*C(n-2,[(n-2)/2])也是长度为n的位串的数目,其中00子串的数目等于11个子串的数目。例如,当n=4时,我们有4个这样的位串:0010101010和1100。-天使广场2009年4月23日

汉克尔变换是A120617号. -保罗·巴里2009年8月10日

a(n)的Hankel变换是(-2)^C(n+1,2)。(-1)^C(n+1,2)*a(n)的Hankel变换是(-1)^C(n+1,2)*邮编:A164584(n) 一。-保罗·巴里2009年8月17日

对于n>1,a(n)也是从原点开始并精确返回一次的n步走数。-杰弗里·克里特2010年1月24日

-a(n)是Riordan数组的Z序列邮编:A130777. (参见下面的W.Lang链接A006232对于Riordan矩阵的A序列和Z序列)。-狼牙2011年7月12日

{1,…,n}的子集数目,其中偶数元素在偶数位置出现的频率与奇数位置相同。-格斯·怀斯曼2018年3月17日

参考文献

D、 Perrin,关于有理序列的猜想,R.M.Capocelli编辑的267-274页,序列,Springer Verlag,NY 1990。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表

保罗·巴里,加泰罗尼亚半群Riordan数组的一个注记,arXiv:1912.01124[math.CO],2019年。

德国Emeric,美国数学月刊11424题2009年3月。

公式

G、 f.:sqrt((1+2*x)/(1-2*x))。

a(n+1)=2*C(n,[n/2])=2*A001405(n) 2n(n,n)=2牛顿=A000984号(n) =4*a(2n-2)-|A002420(n) |=4*a(2n-2)-2*A000108号(n-1)=2*A001700型(1*2牛顿)=A028329号(n) 一。

2*a(n)=A047073型(n+1)。

a(n)=和{k=0..n}绝对值(A106180号(n,k))。-菲利普·德莱厄姆2006年10月6日

a(n)=和{k=0..n}(k+1)二项式(n,(n-k)/2)(1-cos((k+1)*Pi/2)(1+(-1)^(n-k))/(n+k+2))。-保罗·巴里2004年10月12日

G、 f.:1/(1-2x/(1+x/(1+x/(1-x/(1-x/(1+x/(1+x/(1-x/(1-x/(1+)。。。(续分数)。-保罗·巴里2009年8月10日

G、 f.:1+2*x/(G(0)-x+x^2),其中G(k)=1-2*x^2-x^4/G(k+1);(连分式,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月10日

D-有限递归:n*a(n)-2*a(n-1)+4*(-n+2)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2012年12月3日

G、 f.:1/G(0),式中G(k)=1-2*x/(1+2*x/(1+1/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月26日

G、 f.:G(0),式中G(k)=1+2*x/(1-2*x/(1+1/G(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月26日

G、 (1*x+2),其中(1*2+2)(续)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月26日

a(n)=2^n*乘积{k=0..n-1}(k/n+1/n)^((-1)^k)。-彼得·卢什尼2013年12月2日

G、 f.:G(0),其中G(k)=1+2*x*(4*k+1)/((2*k+1)*(1+2*x)-(2*k+1)*(4*k+3)*x*(1+2*x)/((4*k+3)*x+(k+1)*(1+2*x)/G(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月19日

例子

a(4)=6,因为有六个长度的四次行走不返回原点:{-1,-2,-3,-4},{-1,-2,-3,-2},{1,-2,-1,-2},{1,2,1,2},{1,2,3,2},{1,2,3,4}。还有六个这样的遍历只返回一次:{-1,-2,-1,0},{-1,0,-1,-2},{-1,0,-1,2},{1,0,-1,-2},{1,0,1,2},{1,2,1,0}。-杰弗里·克里特2010年1月24日

偶数元素出现在偶数位置和奇数位置相同的a(5)=12子集:{},{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{2,4},{3,5},{1,2,4},{1,3,5},{2,4,5},{1,2,4,5},{1,2,4,5},{1,2,4,5}。-格斯·怀斯曼2018年3月17日

枫木

seq(二项式(2*j,j)*i,i=1..2),j=0..16#泽伦瓦拉乔斯2007年4月28日

#第二个枫树计划:

a: =proc(n)option记住;`if`(n<2,n+1,

4*a(n-2)+2*(a(n-1)-4*a(n-2))/n)

结束:

顺序(a(n),n=0..40)#海因茨2014年2月10日

数学

Table[Length[Select[Map[Accumulate,Strings[{-1,1},n]],Count[#,0]==0&]],{n,0,20}](*杰弗里·克里特2010年1月24日)

系数列表[系列[Sqrt[(1+2x)/(1-2x)],{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2016年4月28日*)

黄体脂酮素

(蟒蛇)

从数学导入ceil

从gmpy import comb

定义a(n):

.return 2*组合(n-2,ceil(n/2)-1)#大卫·纳金2012年2月29日

(1)二项式(1)=(1)+2

(PARI)a(n)=2^n*生产(k=0,n-1,(k/n+1/n)^((-1)^k))\\米歇尔·马库斯2013年12月3日

交叉引用

除初始条款外,与A182027号.

囊性纤维变性。A0712年,A000984号,A001405,A026010号,A045931号,A063886,A097613号,邮编:A130777,A130780号,A171966年,甲239241,A300787飞机,A300788飞机,A300789型.

囊性纤维变性。A307768飞机(补充事件)。

关键字

,步行

作者

亨利·巴特利2001年8月28日

状态

经核准的

A240009号 n的分区数T(n,k),其中k是奇数部分数与偶数部分数之差;三角形T(n,k),n>=0,-floor(n/2)+(n mod 2)<=k<=n,按行读取。 +10个
24
1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、2、2、4、4、3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1 5,7,5,4,4,2,2,1,1,0,1,1,2,4,7,7,6,8,6,4,2,1,1,0,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,19

评论

T(n,k)=T(n+k,-k)。

和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…-1}T(n,k)=A108949号(n) 一。

和{k=-楼层(n/2)+(n mod 2)…0}T(n,k)=A171966年(n) 一。

和{k=1..n}T(n,k)=A108950号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)=A130780号(n) 一。

和{k=-1..1}T(n,k)=邮编:A239835(n) 一。

和{k<>0}T(n,k)=A171967年(n) 一。

T(n,-1)+T(n,1)=邮编:A239833(n) 一。

和{k=-楼层(n/2)+(n mod 2)…n}k*T(n,k)=A209423号(n) 一。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,行n=0..120,展平

公式

G、 f.:1/prod(n>=1,1-e(n)*q^n)=1+和(n>=1,e(n)*q^n/prod(k=1..n,1-e(k)*q^k),其中e(n)=u,如果n为奇数,则为1/u;参见Pari程序。[乔尔阿恩特2014年3月31日]

例子

T(5,-1)=1:[2,2,1]。

T(5,0)=2:[4,1],[3,2]。

T(5,1)=1:[5]。

T(5,2)=1:[2,1,1,1]。

T(5,3)=1:[3,1,1]。

T(5,5)=1:[1,1,1,1,1]。

三角形T(n,k)开始于:

:n\k:-5-4-3-2-1 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

+-----+----------------------------------------------------

:0:1;

:1:1;

:2:1,0,0,1;

:3:1,1,0,1;

1:0,1,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1:0,1;

:5:1,2,1,1,1,0,1;

:6:1,1,1,1,2,2,1,1,0,1;

:7:1,2,3,2,2,2,1,1,0,1;

:8:1,1,2,2,2,4,3,2,2,1,1,0,1;

:9:1、2、4、5、3、4、4、2、2、1、1、0、1;

1,2,1,2,1,5,1,5,1,2,1,5,1,5,1,2,5,1,2,1,5,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1;

枫木

b: =proc(n,i)选项记住;`if`(n=0,1,`if`(i<1,0,

展开(b(n,i-1)+`if`(i>n,0,b(n-i,i)*x^(2*irem(i,2)-1))))

结束:

T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=l绿色(p)…度(p))(b(n$2)):

序号(T(n),n=0..14);

数学

b[n_U,i_U]:=b[n,i]=如果[n==0,1,如果[i<1,0,b[n,i-1]+如果[i>n,0,b[n-i,i]*x^(2*Mod[i,2]-1]]];T[n_u]:=(度=指数[b[n,n],x];ldegree=-指数[b[n,n]/。x->1/x,x];表[系数[b[n,n],x,i],{i,ldegree,degree}]);Table[T[n],{n,0,14}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2015年1月6日,译自Maple*)

黄体脂酮素

(PARI)N=20;q='q+O('q^N);

e(n)=如果(n%2!=0,u,1/u);

gf=1/产品(n=1,n,1-e(n)*q^n);

V=Vec(gf);

{for(j=1,#V,\\打印三角形,包括前导零

对于(i=0,N-j,print1(“”);\\padding

对于(i=-j+1,j-1,print1(波尔科夫(V[j],i,u),“,”);

print();

); }

/*乔尔阿恩特2014年3月31日*/

交叉引用

k=(-1)-10列给出:甲239832,A045931号,A240010型,A240011型,A240012型,A240013型,A240014型,A240015型,A240016型,A240017型,A240018型,A240019型.

行总和给出A000041号.

T(2n,n)给出A002865号.

T(4n,2n)给出邮编:A182746.

T(4n+2,2n+1)给出邮编:A182747.

行长度给出A016777号(楼层(n/2))。

囊性纤维变性。A240021型(对于不同部分的划分也是一样),A242618号(对于没有多重性计数的零件也是如此)。

囊性纤维变性。A209423号.

关键字

,塔夫

作者

海因茨2014年3月30日

状态

经核准的

A045931号 偶数和奇数相等的n的划分数。 +10个
21
1,0,0,1,0,2,1,3,2,5,5,7,9,11,16,18,25,28,41,44,62,70,94,107,140,163,207,245,302,361,440,527,632,763,904,1090,1285,1544,1812,2173,2539,3031,3538,4202,4896,5793,6736,7934,9221,10811,12549,14661,16994,19780 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,6

评论

(t.1的偶数部分,标记为^ 1的偶数部分,标记为^ 1)。-德国金刚砂2006年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..3500时的n,a(n)表(前1001学期作者:大卫·W·威尔逊)

公式

G、 f.:和{k>=0}x^(3*k)/乘积{i=1..k}(1-x^(2*i))^2。-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月18日

a(n)=A000041号(n)-A171967年(n)=A130780号(n)-A108950号(n)=A171966年(n)-A108949号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

例子

a(9)=5,因为我们有[8,1]、[7,2]、[6,3]、[5,4]和[2,2,2,1,1,1]。

枫木

g: =1/产品((1-t*x^(2*j-1))*(1-s*x^(2*j)),j=1..30):gser:=简化(系列(g,x=0,56)):P[0]:=1:对于n从1到53 do P[n]:=subs(s=1/t,coeff(gser,x^n))od:seq(coeff(t*P[n],t),n=0..53)#德国金刚砂2006年3月30日

数学

p[n_35;:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],Count[#,\u?#=奥数?{n偶数}(偶数部分=0,p]*n)

表格格式[t](*分区,垂直格式*)

表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)

(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)

交叉引用

k=0列A240009号.

关键字

作者

大卫·W·威尔逊

状态

经核准的

A171966年 n的奇偶部分不多于偶数部分的划分数。 +10个
14
1,0,1,1,2,3,4,6,8,12,15,21,28,37,49,63,83,105,138,171,223,275,353,433,551,673,846,1031,1282,1558,1922,2327,2848,3440,4179,5032,6078,7293,8763,10482,12534,14943,17797,21146,25090,29719,35138,41493,48908,57578 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,5个

评论

a(n)=A108949号(n)+A045931号(n)=A000041号(n)-A108950号(n) 一。

a(n)=和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…0}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..500时的n,a(n)表

枫木

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<=0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

$RecursionLimit=1000;b[n,i_u,tü]:=b[n,i,t]=If[n==0,If[t<=0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]];a[n_u]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年6月30日,之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A130780号,A171967年.

关键字

作者

莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

状态

经核准的

A026010号 a(n)=(s(0),s(1),…,s(n))的个数,其中s(i)为非负整数,| s(i)-s(i-1)|=1,i=1,…,n和s(0)=2。另外,a(n)=中定义的数组T的第n+1行中的数字之和A026009号. +10个
12
1、2、4、7、14、25、50、91、182、336、672、1254、2508、4719、9438、17875、35750、68068、136136、260338、520676、999362、1998724、3848222、7696444、14858000、29716000、57500460、115000920、222981435、445962870、8662915、1732525830、3370764540 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

猜想:a(n)是n+2的整数组成的个数,其中偶数部分在偶数位置出现的频率和在奇数位置出现的次数一样多(确认到n=19)。-格斯·怀斯曼2018年3月17日

链接

迈克尔·德弗利格,n=0..3326的n,a(n)表

克里斯蒂安·克兰塔勒,丹尼尔·亚库比,路径生成函数的一些行列式,arXiv:1802.05990[math.CO],2018年;高级应用程序。数学。101(2018年),第232-265页。

公式

a(2*n)=((3*n+1)/(2*n+1))*C(2*n+1,n)=A051924号(1+n),n>=0,a(2*n-1)=a(2*n)/2=A097613号(1+n),n>=1。-赫伯特·科西姆巴2004年5月8日

a(n)=和{k=0..n}二项式(floor((n+k)/2),floor(k/2))。-保罗·巴里2004年7月15日

反二项式变换A005774号:(1,3,9,26,75,216,…)。-加里·W·亚当森2007年10月22日

猜想:(n+3)*a(n)-2*a(n-1)+(-5*n-3)*a(n-2)+2*a(n-3)+4*(n-3)*a(n-4)=0。-R、 J.马萨2013年6月20日

a(n)=(1/2)^((5-(-1)^n)/2)*(6*n+7-3*(-1)^n)*加泰罗尼亚语((2*n+1-(-1)^n)/4),其中Catalan是加泰罗尼亚数字=A000108号. -G、 C.格雷贝尔2018年11月8日

例子

a(3)=7由5组成的构图,其中偶数部分出现在偶数位置的频率与奇数位置相同,分别是(5)、(311)、(131)、(113)、(221)、(122)、(11111)。缺少的是(41),(14),(32),(23),(212),(2111),(1211),(1121),(1112)。-格斯·怀斯曼2018年3月17日

数学

数组[Sum[binoryment[Floor[(#+k)/2],Floor[k/2]],{k,0,#}]&,34,0](*迈克尔·德维利格2018年5月16日*)

表[2^(-1+n)*(((2+3*#)*Gamma[(1+#)/2])/(Sqrt[Pi]*Gamma[2+#/2])&[n+Mod[n,2]],{n,0,40}](*Peter Pein,2018年11月8日*)

表[(1/2)^((5-(-1)^n)/2)*(6*n+7-3*(-1)^n)*加泰罗尼亚数[(2*n+1-(-1)^n)/4],{n,0,40}](*G、 C.格雷贝尔2018年11月8日*)

黄体脂酮素

(PARI)向量(40,n,n--;和(k=0,n,二项式(floor((n+k)/2),floor(k/2)))\\G、 C.格雷贝尔2018年11月8日

(岩浆)[(&+[二项式(Floor((n+k)/2),底板(k/2)):k in[0..n]]):n in[0..40]]//G、 C.格雷贝尔2018年11月8日

交叉引用

第一个区别A050168型. 两两和A037952号.

囊性纤维变性。A0712年,A001405,A005774号,A045931号,A063886,A097613号,A130780号,A171966年,甲239241,A299926号,A300061型,A300787飞机,A300788飞机,A300789型.

关键字

作者

克拉克·金伯利

状态

经核准的

A108949号 奇数部分大于n个偶数部分的分区。 +10个
9
0、0、1、0、2、1、3、3、6、7、10、14、19、26、33、45、58、77、97、127、161、205、259、326、411、510、639、786、980、1197、1482、1800、2216、2677、3275、3942、4793、5749、6951、8309、9995、11912、14259、16944、20194、23926、28402、33559、39687、46767、55120、64780、76110、89222 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,5个

评论

a(n)=A171966年(n)-A045931号(n)=A171967年(n)-A108950号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

a(n)=和{k=-floor(n/2)+(n mod 2)…-1}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..1000时的n,a(n)表

例子

a(6)=3:{[6],[4,2],[2,2,2]};a(7)=3:{[4,2,1],[3,2,2,1]}。

枫木

带(组合,分区):

evnbigrodd:=proc(n::nonnegint)

本地平均数,奇数,大数,零件,i,j;

大计数:=0;

分区:=分区(n);

对于从1到nop(分区)的i

平均数:=0;

奇数:=0;

对于从1到nops(分区[i])的j

如果(op(j,分区[i])mod 2<>0),则

奇数:=奇数+1

金融机构;

如果(op(j,分区[i])mod 2=0),则

平均数:=平均数+1

金融机构

外径;

如果(evencount>oddcount),则

大数:=大数+1

金融机构

外径;

返回(bigcount)

结束程序;

序号(evnbigrodd(i),i=1..42);

#第二个枫树计划:

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

p[n_35;:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],Count[#,\u?OddQ]==计数?EvenQ]&];t=Table[p[n],{n,0,10}](*n的分区,其中#奇数部分=#偶数部分*)

表格格式[t](*分区,垂直格式*)

表[长度[p[n]],{n,0,30}](*A045931号*)

(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)

b[n,i,tüu]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t<0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]]];a[n,i,t]=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年11月2日,之后海因茨*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)={nb=0;forpart(p=n,nb+=(2*#(选择(x->x%2,Vec(p))<#p););nb;}\\米歇尔·马库斯2015年11月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A045931号对于偶数部分=奇数部分,A108950号对于偶数部分<奇数部分。

囊性纤维变性。A171966年,A130780号. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

关键字

作者

蓝笑脸2005年7月21日

扩展

更多条款来自乔尔阿恩特2012年10月4日

状态

经核准的

A108950号 奇数部分多于偶数部分的n的划分数。 +10个
8
1、1、2、3、4、7、9、14、18、27、35、49、64、86、113、148、192、247、319、404、517、649、822、1024、1285、1590、1979、2436、3007、3682、4515、5501、6703、8131、9851、11899、14344、17252、20703、24804、29640、35377、42115、50085、59415、70420、83261、98365、115947、136557 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,3

评论

a(n)=A130780号(n)-A045931号(n)=A171967年(n)-A108949号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

{1..uk=nA240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=1..500时的n,a(n)表

公式

G、 f.:和{k>=0}x^k*(1-x^(2*k))/乘积{i=1..k}(1-x^(2*i))^2。-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月19日

例子

a(4)=3:{[3,1],[2,1,1],[1,1,1]};a(5)=4:{[5],[3,1,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1]}。

枫木

使用(combinat,partition):oddbigrevn:=proc(n::nonnegint)local evencount,oddcount,bigcount,parts,i,j;printlevel:=-1;bigcount:=0;partitions:=partition(n);对于从1到nops(partitions[i])的j,do if(op(j,partitions[i])mod 2<>0),则oddcount:=oddcount+1 fi;如果(op(j,partitions[i])mod 2=0)则evencount:=evencount+1 fi-od;如果(evencount<oddcount),则bigcount:=bigcount+1 fi-od;printlevel:=1;return(bigcount)end proc;seq(oddbigrevn(i),i=1..42);

#第二个枫树计划:

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t>0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=1..80)#海因茨2014年3月30日

数学

p[n_35;:=p[n]=选择[IntegerPartitions[n],Count[#,\u?OddQ]>计数?EvenQ]&];t=Table[p[n],{n,0,15}](*n的分区,具有#奇数部分>#偶数部分*)

表格格式[t](*分区,垂直格式*)

表[长度[p[n]],{n,1,30}](*A108950号*)

(*彼得·J·C·摩西2014年3月10日*)

b[n,i,tüu]:=b[n,i,t]=如果[n==0,如果[t>0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]];a[n,i,t]=b[n,n,0];表[a[n],{n,1,80}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年11月16日,之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A045931号对于偶数部分=奇数部分,A108949号对于偶数部分>奇数部分。

囊性纤维变性。A171966年,A171967年. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

关键字

作者

蓝笑脸2005年7月21日

扩展

更多条款来自乔尔阿恩特2012年10月4日

状态

经核准的

A171967年 具有不同奇偶部分数的n的划分数。 +10个
8
0、1、2、2、5、5、10、12、20、25、37、49、68、90、119、158、206、269、344、446、565、722、908、1148、1435、1795、2229、2765、3416、4204、5164、6315、7717、9380、11406、13793、16692、20093、24203、29012、34799、41552、49636、59059、70279、83341、98822 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

a(n)=A000041号(n)-A045931号(n)=A108949号(n)+A108950号(n) 一。

a(n)=和{k<>0}A240009号(n,k)。-海因茨2014年3月30日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..3500时的n,a(n)表

枫木

b: =proc(n,i,t)选项记住;`if`(n=0,

如果`(t<>0,1,0),`if`(i<1,0,b(n,i-1,t)+

如果`(i>n,0,b(n-i,i,t+(2*irem(i,2)-1)))))

结束:

a: =n->b(n$2,0):

顺序(a(n),n=0..80)#海因茨2014年3月30日

数学

$RecursionLimit=1000;b[n_2;i_2;t]:=b[n,i,t]=If[n==0,If[t!=0,1,0],如果[i<1,0,b[n,i-1,t]+如果[i>n,0,b[n-i,i,t+(2*Mod[i,2]-1]]]];a[n_9]:=b[n,n,0];表[a[n],{n,0,80}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年6月30日之后海因茨*)

交叉引用

囊性纤维变性。A130780号,A171966年.

关键字

作者

莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

状态

经核准的

A325698飞机 素数的奇偶素数,用多重数计数。 +10个
6
1、6、14、15、26、33、35、36、38、51、58、65、69、74、77、84、86、90、93、95、106、119、122、123、141、142、143、145、156、158、161、177、178、185、196、198、201、202、209、210、214、215、216、217、219、221、225、226、228、249、262、265、278、287、291、299 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

这些是由A045931号.

n的素数指数是素数(m)除以n的一个数m。n的多个素数指数集是A112798号.

两个连续素数乘积生成的正有理数乘法子群中的整数(A006094号). 序列在乘法、素移位下是闭合的(A003961号)整数下的-是除法的结果。使用这些闭包,所有的项都可以从6的存在中导出。例如,A003961号(6) =15,A003961号(15) =35,6*35=210,210/15=14。也关闭了A297845年,因为A297845年素数和乘法可以用平方移位来定义。-彼得·芒恩2020年10月5日

链接

大卫·A·科尼思,n=1..10000的n,a(n)表

例子

它们的素数项从它们的素项序列开始:

1:{}

6:{1,2}

14:{1,4}

15:{2,3}

26:{1,6}

33:{2,5}

35:{3,4}

36:{1,1,2,2}

38:{1,8}

51:{2,7}

58:{1,10}

65:{3,6}

69:{2,9}

74:{1,12}

77:{4,5}

84:{1,1,2,4}

86:{1,14}

90:{1,2,2,3}

93:{2,11}

95:{3,8}

数学

选择[范围[100],总计[事例[如果[#==1,{},因子合并器[#]],{p,k}:>k*(-1)^PrimePi[p]]==0&]

黄体脂酮素

(PARI)是(n)={my(v=向量(2),f=因子(n));对于(i=1,#f~,v[1+primepi(f[i,1])%2]+=f[i,2]);v[1]==v[2]}\\大卫·A·科尼思2020年10月6日

交叉引用

0的位置A195017号.

甲57992(n)=A257991号(n) 一。

囊性纤维变性。A000712号,A001222号,A001405,A006094号,A026010号,A045931号,A063886,A097613号,A112798号,A130780号,A171966年,甲239241,A241638号,A325700型.

关闭条件:A003961号,A003991号,A297845年.

子序列A028260号,A332820.

关键字

,改变

作者

格斯·怀斯曼2019年5月17日

状态

经核准的

第1页2

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