0,3

这种自同构将偶数长度列表（1…2n）的顶层排列为（12 n 2 n-1 3 2n-3…n n+1），当应用于奇数长度列表时，将其排列为（1 2n+1 2 n 3 2n-1…n n+1）。用于构造A127291号.

A.卡图恩，n=0..2055的n，a（n）表

加泰罗尼亚语自同构的符号置换索引条目

（作用于S表达式（即列表结构）的这种破坏性自同构的方案实现：）

（定义(*A127287号! s）(*A127285号! (*A057508号! s） ））

反向：A127288号.a（n）=A127285号(A057508号（n） ）。

非n

安蒂·卡图恩2007年1月16日

经核准的

0,2

此序列图A000108号（n） 按范围编码的有向（平面）根通用树[A014137号（n-1）。。A014138号（n） 第]页，共页A014486号到A000081号（n+1）不同的无向根一般树，由其Matula-Goebel数编码。后面的编码在中进行了解释A061773号.

A005517号和A005518号给出每个此类范围内出现的最小值和最大值。

素数出现在给定的位置A057548号（无序且有重复），以及类似的半素数，A001358号，发生在给定的位置A057518号，一般来说，A001222号（a（n））=A057515号（n） ●●●●。

如果加泰罗尼亚自同构SP的信号置换满足条件A127301号（SP（n））=A127301号（n） 对于所有n，它保留了一般树的非定向形式，这也意味着它是Łukasiewicz单词排列，满足A129593号（SP（n））=A129593号（n） 对于所有n>=0。此类自同构的示例包括A072796号,A057508号,A057509号/A057510号,A057511号/A057512号,A057164号,A127285号/A127286号和A127287号/A127288号.

A206487型（n） 告诉n在这个序列中发生了多少次-安蒂·卡图恩2013年1月3日

安蒂·卡图恩，n=0..6917的n，a（n）表

OEIS Wiki，Łukasiewicz单词

与Łukasiewicz相关序列的索引项

与Matula-Goebel数相关的序列的索引项

A001222号（a（n））=A057515号（n） 对于所有n。

A000081号（n+1）每个范围出现不同的值[A014137号（n-1）。。A014138号（n-1）]。例如，A014486号（5） =44（二进制=101100=A063171号（5） ），对以下平面树进行编码：

…..零

.....|

.o.…o

..\./.

...*..

此树的Matula-Goebel编码提供了一个代码编号A000040型(1) *A000040型(A000040型（1） ）=2*3=6，因此a（5）=6。

同样，A014486号（6） =50（二进制=110010=A063171号（6） ）对平面树进行编码：

.o型

.|

.o.…o

..\./.

...*..

此树的Matula-Goebel编码提供了一个代码编号A000040型(A000040型(1)) *A000040型（1） =3*2=6，因此a（6）也是6，这表明如果忽略它们的方向，这两棵树是相同的。

mgnum[t_]：=如果[t=={}，1，时间@@Prime/@mgnum/@t]；

binbalQ[n_]：=n==0||带有[{dig=IntegerDigits[n，2]}，和@@Table[If[k==Length[dig]，SameQ，LessEqual][Count[Take[dig，k]，0]，Count[Take[dig，k]，1]]，{k，Length[dig]}]]；

bint[n_]：=如果[n==0，{}，ToExpression[StringReplace[StringReplace[ToString[IntegerDigits[n，2]/。{1->"{", 0->"}"}], ", "->""], "} {"->"}, {"]]];

表[mgnum[bint[n]]，{n，选择[Range[0，1000]，binbalQ]}](*古斯·怀斯曼2022年11月22日*）

（方案：）（定义(A127301号n）(*A127301号(A014486号->括号(A014486号n） ）；；A014486号->中给出的括号A014486号.

（定义(*A127301号s） （如果（空？s）1（左折（λ（m t）（*m(A000040型(*A127301号t） ）1秒））

一个(A014138号（n） ）=A007097号（n+1），a(A014137号（n） ）=A000079号（n+1）表示所有n。

一个(|A106191号（n） |）=A033844号（n-1）对于所有n>=1。

囊性纤维变性。A001222号,A005517号,A005518号,A057515号,A057518号,A057548号,A127302号,A129593号,A153826号,A209638型,A243491型,A243492型,A243494型,A243496型.

对于标准编码而不是二进制编码，我们有A358506型.

A000108号计数有序根树，无序A000081号.

A014486号列出了有序根树的二进制编码。

囊性纤维变性。A001263号,A061775号,A196050型,A206487型,A358505型.

非n

安蒂·卡图恩2007年1月16日

经核准的

0,3

Deutsch和Elizalde在他们的论文中表明，这种自同构将有关Dyck路径“隧道”的某些属性转换为另一组关于山丘数、奇偶上升以及返回数的属性(A057515号)从而证明了上述参数的均匀分布。

这个自同构是用函数“tau”（下面给出的方案代码）实现的，该函数以一个S表达式和一个加泰罗尼亚自同构作为参数，该自同构只排列列表的顶层（即一般树的顶级分支或Dyck路径的整个拱形），因此当排列自同构应用于列表时长度为2n的（括号）它诱导了[1..2n]的一些置换。

这种自同构是由自同构以这种方式诱导的*A127287号同样*A127289号是由*A127285号, *A057164号由*A057508号, *A057501号由*A057509号和*A057502号由*A057510号.

注意，到目前为止，这些示例似乎满足同态条件，例如*A127287号= *A127285号o个*A057508号所以是*A127291号= *A127289号o个*A057164号.同样*A057510号= *A057508号o（o）*A057509号o个*A057508号，也是*A057502号= *A057164号o个*A057501号o个*A057164号.

然而，“挑选自同构”的确切标准是什么，以及该方法将导致双射的相应置换，这一问题仍然悬而未决。例如，如果我们提供*A127288号（与*A127287号)要发挥“τ”的作用，它不会诱导*A127292号实际上一点也不奇怪。

相反，我们必须用另一种更具体的算法来计算这个自同构的逆，该算法实现了Deutsch和Elizalde的描述，如A127300个.

A.卡图恩，n=0..2055的n，a（n）表

Emeric Deutsch和Sergi Elizalde，Dyck路的一个简单而不寻常的双射及其结果《组合数学年鉴》，7（2003），第3期，281-297。

加泰罗尼亚语自同构的符号置换索引条目

（麻省理工学院方案：）

（定义(A127291号n） （陶(A014486号->括号(A014486号n） ）*A127287号!)) ;;A014486号->括号如所示A014486号.

（定义（tau s permuter）（let*（（sper（transport-list->permvec（sexp->kk s）））（visivec（make-vector（vector-length sper）（））））(A080300型s） ）（else（let（（x（vector-ref sper（car tper））））（cond（（not（vector-ref visivec x）））

（define（transport-list->permvec tplist）（let（permvec（make-initialized-vector（*2（length tplist））（lambda（i）i）））（cdr tplist））；；将换位列表转换为置换向量[0..（n-1）]

（定义（iota0 upto_n）（let loop（（n upto-n）（result（list）））（cond（（zero？n）（cons 0 result））（else（loop（-n 1）（cons-n result；；（iota0 5）给出（0 1 2 3 4 5）

（define（sexp->kk-p）（let（（c（list（list）））（maxnode（list-1））））（cdr（反向！c）））;; 以标准方式将无符号S表达式转换为非交叉换位列表。

（定义（附加！元素列表）（set-cdr！列表（cons（car lista）（cdr lista）））（set-car！列表元素）列表）；；将元素物理附加到非空列表的前面。

反向：A127292号.a（n）=A127289号(A057164号（n） ）=A057164号(A127299号(A057164号（n） ）。A127291号(A057548号（n） ）=A072795号(A127291号（n） ），A127291号(A072795号（n） ）=A127307号(A127291号(A057502号（n） ）对于所有n>=1。范围内所有循环尺寸的循环数、最大循环尺寸和LCM[A014137号（n-1）。。A014138号该排列的（n-1）]由下式给出A127293号,A127294号和A127295号。固定点的数量从1、1、0、0、1、O、0、O、O、0,0、0……开始。。。

非n,看

安蒂·卡图恩2007年1月16日

经核准的

0,3

这是另一种情况A127291号，但使用A127285号而不是A127287号作为函数“tau”的“选择器排列”，可以在条目中找到A127291号.A014486号->括号如所示A014486号。此排列包含一些非常大的循环，请参见A127297号.

A.卡图恩，n=0..2055的n，a（n）表

加泰罗尼亚语自同构的符号置换索引条目

（方案：）（定义(A127289号n） （陶(A014486号->括号(A014486号n） ）*A127285号!))

反向：A127290号.a（n）=A127291号(A057164号（n） ）=A057164号(A127299号（n） ）。范围内所有循环尺寸的循环数、最大循环尺寸和LCM[A014137号（n-1）。。A014138号该排列的（n-1）]由下式给出A127296号,A127297号和A127298号.

非n

安蒂·卡图恩2007年1月16日

经核准的

0,3

ENIPS转换解释见A122204号这种自同构将偶数长度列表（1…2n）的顶层排列为（2 4 6…2n-2 2n 2n-1 2n-3…5 3 1），当应用于奇数长度列表时，将其排列为（24 6…2n 2 2n 2 n+1 2n-1 2 n-3…53 1）。用于构造A127288号.

n，a（n）的表，n=0..71。

加泰罗尼亚语自同构的符号置换索引条目

（作用于S表达式（即列表结构）的这种破坏性自同构的方案实现：）

（定义(*A127286号! s） （秒（对）(*A127286号! （cdr）(*A057508号! s） ）秒）

反向：A127285号.a（n）=A057508号(A127288号（n） ）。

非n

安蒂·卡图恩2007年1月16日

经核准的

0,3

这种自逆自同构将偶数长度列表（1 2 3 4…2n-1 2n）的顶层置换为（2 1 4 3…2n 2n-1），当应用于奇数长度列表时（1 2 4…2n 1 2n 2n+1），将其置换为（1 1 4 3..2n 2n-1 2n+1）。

安蒂·卡图恩，n=0..2055的n，a（n）表

加泰罗尼亚语自同构的符号置换索引条目

（此自同构的破坏性方案实现，作用于S表达式，即列表结构：）

（定义(*A130374号! s） （秒（对）(*A072796号! s） （如果（配对？（cdr））(*A130374号! （cddr）））

参考a（n）=A057508号(A130373号(A057508号（n） ））=A057164号(A130373号(A057164号（n） ））=A127285号(A127288号（n） ）=A127287号(A127286号（n） ）。也是一个(A085223号（n） ）=A130370型(A122282号(A130369号(A085223号（n） ））保持所有n>=0。循环数和范围内固定点的数量[A014137号（n-1）。。A014138号该排列的（n-1）]由下式给出A073193号和A073192号.

非n,看

安蒂·卡图恩2007年6月5日

经核准的