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A039599号 由奇比雪夫多项式U峎n(x)的x的幂展开式的偶数列组成的三角形。 +10个
133
1、1、1、2、3、1、5、9、5、1、14、28、20、7、1、42、90、75、35、9、1、132、297、275、154、54、11、1、429、1001、1001、637、273、77、13、1、1430、3432、3640、2548、1260、440、104、15、1、4862、11934、13260、9996、5508、2244、663、135、17、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的点阵路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过线x-y=k,且仅位于该线上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNEN,EENNEN,EENENN,eneen,neenn-菲利普·德莱厄姆2005年5月23日

这个三角形的矩阵逆是三角矩阵T(n,k)=(-1)^(n+k)*A085478号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2005年5月26日

本质上与A050155型除了前面的对角线A000108号(加泰罗尼亚数字)1,1,2,5,14,42,132,429-菲利普·德莱厄姆2005年5月31日

半长n且向下k的Grand Dyck路径数返回x轴。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0的路径,起始于(0,0),结束于(2n,0),由步骤u=(1,1)和d=(1,-1))组成。示例:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d)、uud(d)u(d)、u(d)u(d)du、u(d)duu(d)和duu(d)u(d)(圆括号之间显示x轴的向下返回)-德国金刚砂2006年5月6日

Riordan数组(c(x),x*c(x)^2),其中c(x)是A000108号; 逆数组为(1/(1+x),x/(1+x)^2)-菲利普·德莱厄姆2007年2月12日

三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,…]生成,其中M是无限的三对角矩阵,所有1在上、次对角线上,而[1,2,2,2,2,…]在主对角线中-菲利普·德莱厄姆2007年2月26日

逆二项式矩阵应用于邮编:A124733. 二项式矩阵应用于A089942号. -菲利普·德莱厄姆2007年2月26日

形状的标准表格数(n+k,n-k)-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

菲利普·德莱厄姆2007年3月30日:(开始)

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值而出现:

(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号

(1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号;

(1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号;

(2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954;

(3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号;

(4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. (结束)

表U(n,k)=和{j=0..n}T(n,j)*k^j如下所示A098474号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月29日

序列读取模式2给出邮编:A127872. -菲利普·德莱厄姆2007年4月12日

从(0,0)到(2n,2k)的2n步走数,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成,且路径位于非负象限中。例:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd,uududdd,ududud,ududd,uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd,uuuddu,uuddu,uduu,uuduu,uuduud,uudu,uudu,uudu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuu d,uuudu,uuduu,uuduu,uduuu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuuu-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月17日,2007年4月18日

三角形矩阵,按行读取,等于三角形的矩阵逆邮编:A129818. -菲利普·德莱厄姆2007年6月19日

设Sum{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.,然后求和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n。A_m的相关扩展包括:A099493号,A033999,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221型,A002315,A033890号,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,邮编:A126866,A028230,邮编:A161591,分别为m=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德莱厄姆2009年11月16日

Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和将上述三角形与三个序列相连;参见交叉引用。有关这些三角形和的定义,请参见邮编:A180662. -约翰内斯W.梅杰2011年4月20日

4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256-加里·W·亚当森2011年6月13日

由n行定义系数的线性方程组求解n=2n+1边的正多边形的对角线长度;常数c^0,c^1,c^2。。。在右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。例:取与9-边(nonagon)相关的前4行,N=2*4+1;c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888。。。。方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c^2;(5,9,5,1)=立方厘米。解为1,2.53208…,2.87938…,和1.87938。。。;边=1的9-边(非边)的四个不同对角线长度。(参见A089942号它使用类似的运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)-加里·W·亚当森2011年9月21日

在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1),其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚数字。参见添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日

狼牙2013年9月20日:(开始)

T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次方的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),在单位圆(长度单位1)内接的正则n边形中奇指数对角线/边长比R(n,2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫多项式(见A049310型):

rho(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证明,请参见2013年9月21日的评论A053121号. 注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的阶数(参见A055034号),出现。

关于rho(n)的奇数幂,请参见A039598号. (结束)

方程多项式分子的无符号系数。第2.1节,定义了A067311号. -汤姆·科普兰2016年5月26日

参考文献

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T、 序列1,5,22,93,386。。。《戴克路径与有序树》,Congressus Numerant.,204(2010),93-104。

链接

T、 D.不,n=0..50行三角形,展平

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孙奕东;妈,卢平一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类欧元。J、 梳子。39,157-169(2014),表2.2。

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公式

T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。

德国金刚砂2006年5月6日:(开始)

T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。

G、 f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)

下列公式由菲利普·德莱厄姆2003年至2009年:(开始)

三角形T(n,k)按行读取;给予者A000012号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham在A084938号.

T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108号:加泰罗尼亚语的数量。

T(n,0)=A000108号(n) ;如果k>n,T(n,k)=0;当k>0时,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) 一。

T(n,k)=A009766号(n+k,n-k)=A033184(n+k+1,2k+1)。

G、 f.对于k列:Sum{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(x)=和{n>=0}A000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.

当n<0或n<k时,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);当k>=1时,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。

a(n)+a(n+1)=1+A000108号(m+1)如果n=m*(m+3)/2;a(n)+a(n+1)=A039598号(n) 否则。

T(n,k)=A050165型(n,n-k)。

和{j>=0}T(n-k,j)*A0598号(k,j)=A028364号(n,k)。

三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=(-1)^(n+k)的矩阵逆*A085478号(n,k)。

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000108号(n) 你说,A000984号(n) 你说,A007854号(n) 你说,A076035型(n) 你说,A076036号(n) 对于x=0,1,2,3,4。

和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。

T(n,k)*(-2)^(n-k)=A114193号(n,k)。

和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。

和{k=0..n}T(n,k)*5^k=邮编:A127628(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*7^k=A115970号(n) 一。

T(n,k)=和{j=0..n-k}A106566(n+k,2*k+j)。

和{k=0..n}T(n,k)*6^k=A126694号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000108号(k)=A007852号(n+1)。

和{k=0..floor(n/2)}T(n-k,k)=A000958型(n+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310型(n) 一。

T(2*n,n)=A126596号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-x)^k=A000007号(n) 你说,邮编:A126983(n) 你说,邮编:A126984(n) 你说,邮编:A126982(n) 你说,邮编:A126986(n) 你说,邮编:A126987(n) 你说,A127017号(n) 你说,A127016号(n) 你说,邮编:A126985(n) 你说,A127053号(n) 分别为x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395年(n,k)。

T(n,k)=和{j>=0}A106566(n,j)*二项式(j,k)。

T(n,k)=和{j>=0}A127543号(n,j)*A038207(j,k)。

和{k=0..floor(n/2)}T(n-k,k)*A000108号(k)=A101490号(n+1)。

T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。

和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。

T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(n,j)*二项式(j,k)。

和{j>=0}A110506号(n,j)*二项式(j,k)=和{j>=0}A110510型(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*2^(n-k)。

和{j>=0}A110518型(n,j)*A027465号(j,k)=和{j>=0}A110519号(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*3^(n-k)。

和{k=0..n}T(n,k)*A001045型(k)=A049027型(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n如果Sum{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*A040000美元(k)=A001700型(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A122553号(k)=A051924号(n+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*邮编:A123932(k)=A051944号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*A000217(k)=A002457号(n-1),对于n>=1。

和{j>=0}二项式(n,j)*T(j,k)=邮编:A124733(n,k)。

和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) 你说,A000984号(n) 你说,A089022号(n) 你说,A035610号(n) 你说,邮编:A130976(n) 你说,邮编:A130977(n) 你说,邮编:A130978(n) 你说,A130979号(n) 你说,邮编:A130980(n) 你说,A131521号(n) x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

和{k=0..n}T(n,k)*A005043号(k)=邮编:A127632(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A132262号(k)=A089022号(n) 一。

T(n,k)+T(n,k+1)=A039598号(n,k)。

T(n,k)=邮编:A128899(n,k)+288A199号(n,k+1)。

和{k=0..n}T(n,k)*A015518号(k)=A076025型(n) ,对于n>=1。还有和{k=0..n}T(n,k)*A015521型(k)=A076026型(n) ,对于n>=1。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*x^(n-k)=A033999(n) 你说,A000007号(n) 你说,A064062型(n) 你说,A110520型(n) 你说,邮编:A132863(n) 你说,邮编:A132864(n) 你说,邮编:A132865(n) 你说,邮编:A132866(n) 你说,邮编:A132867(n) 你说,邮编:A132869(n) 你说,邮编:A132897(n) x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^(k+1)*A000045型(k)=A109262(n) 你说,A000045型:=斐波纳契数。

和{k=0..n}T(n,k)*A000035号(k)*A016116型(k)=邮编:A143464(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A016116型(k)=A101850型(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A010684号(k)=A100320号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000034号(k)=A029651号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A010686号(k)=邮编:A144706(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A006130型(k-1)=邮编:A143646(n) ,与A006130型(-1)=0。

T(n,2*k)+T(n,2*k+1)=A118919年(n,k)。

和{k=0..j}T(n,k)=A050157型(n,j)。

和{k=0..2}T(n,k)=A026012号(n) ;和{k=0..3}T(n,k)=A026029号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+2)=A026671号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+1)=A026726号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057078号(k)=A000012号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A108411号(k)=A155084号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057077号(k) =2^n=A000079号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*A057079号(k) =3^n=A000244号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*A011782号(k)=A000957号(n+1)。

(结束)

T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108号(n+j)-保罗·巴里2011年2月17日

和{k=0..n}T(n,k)*A071679号(k+1)=A026674号(n+1)-菲利普·德莱厄姆2014年2月1日

和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)-沃纳·舒尔特2015年7月22日

和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日

和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日

T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1)-彼得·卢什尼2016年5月13日

T(n,n-2)=A014107号(n) 一-R、 J.马萨2019年1月30日

T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3-R、 J.马萨2019年1月30日

T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-7)/6-R、 J.马萨2019年1月30日

T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-3)*(2*n-9)/30-R、 J.马萨2019年1月30日

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0:1个

1: 11

2: 2 3 1

3: 5 9 5 1

4: 14 28 20 7 1

5: 42 90 75 35 9 1

6: 132 297 275 154 54 11 1

7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1

8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1

9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1

... 重新格式化者狼牙2015年12月21日

保罗·巴里2011年2月17日:(开始)

生产矩阵开始

1,1,

1,2,1,

0,1,2,1,

0,0,1,2,1,

0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,1,2,1(结束)

狼牙2013年9月20日:(开始)

rho(N)=2*cos(Pi/N)幂的例子:

n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n,5)=

2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho(N)),在N>=1中相同。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度δ(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以分别减少为R(4,1)=1和R(4,5)=-R(4,1)=-1。因此,rho(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)

枫木

T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于n从0到12,do-seq(T(n,k),k=0..n)od;#生成三角形形式的序列#德国金刚砂2006年5月6日

数学

Table[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克里特2011年12月18日*)

Join[{1},Flatten[Table[binoryment[2n-1,n-k]-二项式[2n-1,n-k-2],{n,10},{k,0,n}]]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日)

展平[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)

黄体脂酮素

塞德尔算法(1877)

#打印三角形的前n行

定义A039599号_三角形(n):

D=[0]*(n+2);D[1]=1

b=正确;h=1

对于范围内的i(2*n-1):

如果b:

对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]

h+=1

其他:

对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]

如果b:打印([D[z]代表z in(1..h-1)])

b=不是b

A039599号_三角形(10)#彼得·卢什尼2012年5月1日

(岩浆)/*呈三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文琴佐·利班迪2015年10月16日

(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)

三角线(n)=for(x=0,n-1,for(y=0,x,print1(a(y,x),“,”);print(“”)

三角板(10)\\费利克斯·弗利希2016年6月24日

交叉引用

列给出:A000108号,A000245型,A000344号,A000588号,A001392型,A000589号,A000590,A000012号,A005408号,A014107号(n>1)。

行总和:A000984号.

囊性纤维变性。A008313号,A039598号,A084938号,A000007号.

三角形和(见注释):A000958型(Kn11),A001558号(Kn12),A088218(图1,图2)。

囊性纤维变性。A067311号.

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

更正人菲利普·德莱厄姆,2009年11月26日,2009年12月14日

状态

经核准的

A053121号 按行读取的加泰罗尼亚三角形(带0)。 +10个
107
1、0、1、1、1、1、0、1、0、0、2、0、1、2、0、1、2、0、3、0、0、1、1、1、5、0、5、0、5、4、0、1、5、0、9、0、0、0、0、14、0、14、0、14、6、0、1、1、1、1、14、0、28、28、0、20、0、7、0、1、0、42、0、48、0、27、0、8、0、27、0、8、0、1、8、0、1、75、0、35、0、9、0、1、1、0、132、0、165、165、0、110、110、0、44、44、0、0、44、0、0 10,0,1,132,0,297,0,275,0,154,0,54,0,11,0 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,8个

评论

反下三角矩阵A049310型(n,m)(切比雪夫多项式的系数)。

带墙行走:从(0,0)到(n,m)的n步走数的三角形,其中每个步从(a,b)到(a+1,b+1)或(a+1,b-1),并且路径位于非负象限中。

T(n,m)是以m为终点的长度为n的堤坝路径的左因子个数。示例:T(4,2)=3,因为我们有UDUU、UUDU和UUUD,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。(这基本上是以前的“带墙行走”属性的不同表述。)-德国金刚砂2011年6月16日

“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡三角形相同,只是竖条的左边不能出现数字。”

G、 f.对于行多项式p(n,x):=和{m=0..n}(a(n,m)*x^m):c(z^2)/(1-x*z*c(z^2))。行和(x=1):A001405(中央二项式)。

在Shapiro等人的语言中,这种下三角(普通)卷积阵列被视为矩阵,属于Riordan群的Bell子群。给定Bell矩阵逆的m=0列的g.f.Ginv(x)(这里A049310型)通过Ginv(x)=(f^{(-1)}(x))/x从m=0列(这里g(x)=1/(1+x^2))的g.f.得到,其中f(x):=x*g(x),而f^{(-1)}是f的合成逆函数(这里我们发现,Ginv(0)=1,c(x^2))。参见Shapiro等人的参考文献。

{1,2,…,n}对合的个数,它们避开了模式132,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有2134、4231和3214。{1,2,…,n}的对合数,避免了模式321,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243,1324和2134。{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式213,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243,1432和4231-德国金刚砂2006年10月12日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; 2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

Riordan数组(c(x^2),xc(x^2)),其中c(x)是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德莱厄姆2007年11月25日

A053121号^2=三角形A145973号. 卷曲A001405=三角形邮编:A153585. -加里·W·亚当森2008年12月28日

按不带零的列,第n行=A000108号自我卷积n次;相当于A=(1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…),则第n行=A^(n+1)的系数-加里·W·亚当森2009年5月13日

按行读取的三角形,乘积邮编:A130595A064189视为无限下三角阵;A053121号=邮编:A130595*A064189=B^(-1)*A097609号*B其中B=A007318型. -菲利普·德莱厄姆2009年12月7日

马克·多尔斯2010年8月17日:(开始)

作为右上角三角形,行表示5平方米(24)的幂次:

5-平方英尺(24)^1=0.101020514。。。

5-平方英尺(24)^2=0.010205144。。。

5-平方英尺(24)^3=0.001030928。。。

(除以sqrt(96)这些幂表示A007318型,1/sqrt(96)为中间列。)(结束)

T(n,k)是长度为n的离散Dyck路径(即长度为n且在正高度没有(1,0)个台阶的Motzkin路径)具有k(1,0)个台阶的数量。例如:T(5,3)=4,因为表示U=(1,1),D=(1,-1),H=1,0),我们有HHHUD、HHUDH、HUDHH和udhh-德国金刚砂2011年6月1日

设S(N,x)表示x中的第N个Chebyshev S多项式(参见A049310型,参见[W.Lang])。然后x^n=和{k=0..n}T(n,k)*S(k,x)-五十、 埃德森·杰弗瑞2012年9月6日

对于有理数rho(n)=2*cos(Pi/n)=R(n,2)上的代数数,这个三角形a(n,m)也出现在幂次rho(n)的(未约化)公式中,正则n边形中最小的对角线/边比R:

rho(N)^N=和(a(N,m+1),m=0..N),N>=0,N>=1中相同。R(N,j)=S(j-1,x=rho(N))(切比雪夫S(A049310型)). 请参见下面的评论A039599号(偶数权力)和A039598号(奇数幂)。证据:参见2012年9月6日L.Edson Jeffery的评论,该评论源于T(n,k)(这里称为a(n,k))是Riordan三角形的逆A049310型. -狼牙2013年9月21日

这个钟形Riordan三角形(c(x^2),x*c(x^2))(见上面的注释)的所谓A序列是A(x)=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分给出的对于n>=1和m>=1的a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1)的递推公式。这个Riordan三角形的Z序列是Z(x)=x,这证明了递归a(n,0)=a(n-1,1),n>=1,a(0,0)=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参见下面的W.Lang链接A006232. -狼牙2013年9月22日

三角形的行描述了李代数sl(2)的标准(二维)表示的张量幂分解为不可约。因此,a(n,m)是第m个((m+1)维不可约表示在标准表示的n次张量幂中的重数-马穆卡·吉布拉泽2015年5月26日

Riordan行多项式p(n,x)属于Boas-Buck类(参见A046521号)因此,它们满足Boas-Buck恒等式:(E_x-n*1)*p(n,x)=(E_x+1)*Sum{j=0..n-1}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*p(n-1-j,x),对于n>=0,其中E_x=x*d/dx(欧拉算子)。对于三角形a(n,m),这就需要对公式部分中给出的m列序列进行递推-狼牙2017年8月11日

罗杰·福特2018年1月22日:(开始)

对于n行,非零值表示x轴上下n+1个非相交拱门形成的奇数分量(环),约束条件如下:顶部在位置1和下一个连续奇数位置具有起始拱门(n+3)/2)。所有其他起始顶拱的位置都是均匀的。底拱是一道彩虹形的拱门,如果分量=1,则拱结构是一个半曲流解。

示例:对于第3行{0,2,0,1}有3个架构配置:2个架构配置有一个组件=1;1有一个组件=3。c=组件,U=从奇数位置开始的上拱,U=从偶数位置开始的顶部拱,d=结束顶部拱:

.

顶部Uududdd c=3顶部Uududdd c=1 top Uuddd c=1

       /\                    /\

      //\\                  /  \

     //  \\                / /\ \                    /\

    //    \\              / /  \ \                  /  \

   ///\  /\\\        /\  / / /\ \ \        /\  /\  / /\ \

   \\\ \/ ///        \ \ \ \/ / / /        \ \ \ \/ / / /

    \\\  ///          \ \ \  / / /          \ \ \  / / /

     \\\///            \ \ \/ / /            \ \ \/ / /

      \\//              \ \  / /              \ \  / /

       \/                \ \/ /                \ \/ /

                          \  /                  \  /

                           \/                    \/

对于第4行{2,0,3,0,1}有6个架构配置:2有一个组件=1;3有一个组件=3:1有一个组件=1。(结束)

参考文献

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链接

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MathOverflow公司,加泰罗尼亚数字作为加泰罗尼亚三角形行中数的平方和-有没有组合解释?

A、 恩克万塔和A.特费拉,涉及加泰罗尼亚生成函数和数字的奇怪关系和恒等式期刊,13.5,共13.9页。

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W、 -J.沃恩,加泰罗尼亚小径面积《离散数学》,226(2001),439-444。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

公式

a(n,m):=0,如果n<m或n-m奇数,则a(n,m)=(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1);

a(n,m)=(4*(n-1)*a(n-2,m)+2*(m+1)*a(n-1,m-1))/(n+m+2),a(n,m)=0,如果n<m,a(n,-1):=0,a(0,0)=1=a(1,1),a(1,0)=0。

G、 f.对于第m列:c(x^2)*(x*c(x^2))^m,其中c(x)=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.

G、 f.:G(t,z)=c(z^2)/(1-t*z*c(z^2)),其中c(z)=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚数字的G.f(A000108号). -德国金刚砂2011年6月16日

a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1),如果n>0且m>=0,a(0,0)=1,a(0,m)=0,如果m>0,a(n,m)=0;如果m<0,a(n,m)=0-亨利·巴特利2001年1月25日

和{k>=0}T(m,k)^2=A000108号(m) 一-保罗·D·汉娜2005年4月23日

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=0,如果m+n是奇数;和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号((m+n)/2)如果m+n是偶数-菲利普·德莱厄姆2005年5月26日

T(n,k)=和{i=0..n,(-1)^(n-i)*C(n,i)*和{j=0..i,C(i,j)*(C(i-j,j+k)-C(i-j,j+k+2))};k列有例如BesselI(k,2x)-BesselI(k+2,2x)-保罗·巴里2006年2月16日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=2^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A054336号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

T(2*n+1,2*k+1)=A039598号(n,k),T(2*n,2*k)=A039599号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2007年4月16日

和{k=0..n}T(n,k)^x=A000027号(n+1),A001405(n) 你说,A000108号(n) 你说,A003161(n) 你说,A129123号(n) 分别为x=0,1,2,3,4-菲利普·德莱厄姆2009年11月22日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=邮编:A126930(n) 你说,A126120型(n) 你说,A001405(n) 你说,A054341号(n) 你说,269A131号(n) 对于x=-1,0,1,2,3-菲利普·德莱厄姆2009年11月28日

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+1)=A098615型(n) 一-菲利普·德莱厄姆2012年2月3日

行多项式C(n,x)的递推:=Sum{m=0..n}a(n,m)*x^m=x*Sum{k=0..n}Chat(k)*C(n-1-k,x),n>=0,其中C(-1,1/x)=1/x和Chat(k)=A000108号(k/2)如果n是偶数,否则为0。从行多项式的o.g.f.:g(z;x):=和{n>=0}C(n,x)*z^n=C(z^2)*(1+x*z*g(z,x)),其o.g.f.C为A000108号. -艾哈迈特扎希德狼牙2015年8月23日

m列序列的Boas-Buck递推(见上面的注释)是:a(n,m)=((m+1)/(n-m))*和{j=0..n-1-m}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*a(n-1-j,k),对于n>m>=0,输入a(m,m)=1-狼牙2017年8月11日

和{m=1..n}a(n,m)=A037952号(n) 一-R、 J.马萨2021年9月23日

例子

三角形a(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:1个

1: 0 1

2: 1 0 1

3: 0 2 0 1

4: 2 0 3 0 1

5: 0 5 0 4 0 1

6: 5 0 9 0 5 0 1

7: 0 14 0 14 0 6 0 1

8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1

9: 0 42 0 48 0 27 0 8 0 1

10: 42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1

... (重新格式化狼牙2013年9月20日)

E、 第四行对应于多项式p(3,x)=2*x+x^3。

保罗·巴里2009年5月29日:(开始)

生产矩阵是

0,1,

1,0,1,

0,1,0,1,

0,0,1,0,1,

0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,0,1(结束)

k=2,n=6列的Boas-Buck递归:a(6,2)=(3/4)*(0+2*a(4,2)+0+6*a(2,2))=(3/4)*(2*3+6)=9-狼牙2017年8月11日

枫木

T: =过程(n,k):如果n+k mod 2=0,则(k+1)*二项式(n+1,(n-k)/2)/(n+1)否则0 fi结束:对于n从0到13,do seq(T(n,k),k=0..n)od;\生成三角形序列;德国金刚砂2006年10月12日

F: =proc(l,p)if((l-p)mod 2)=1则0其他(p+1)*l/(((l-p)/2)!*((l+p)/2+1)!);金融机构;结束;

r: =n->[顺序(F(n,p),p=0..n)];[顺序(r(n),n=0..15)]#N、 斯隆2011年1月29日

A053121号:=proc(n,k)选项记忆`如果`(k>n或k<0,0,`(n=k,1,

procname(n-1,k-1)+procname(n-1,k+1)))结束过程:

seq(打印(seq(A053121号(n,k),k=0..n),n=0..12)#彼得·卢什尼2011年5月1日

数学

a[n_u,m_u]/;n<m | | OddQ[n-m]=0;a[n_,m_u]=(m+1)二项式[n+1,(n-m)/2]/(n+1);展平[表[a[n,m],{n,0,12},{m,0,n}]][[1;;90]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月18日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A053表U!!n!!k

a053121行n=a053121表!!n

a053121_tabl=迭代

(\row->zipWith(+)([0]++行)(尾行++[0,0]))[1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月24日

(圣人)

定义A053121号_三角形(尺寸):

M=矩阵(ZZ,dim,dim)

对于n in(0..dim-1):M[n,n]=1

对于n in(1..dim-1):

对于k in(0..n-1):

M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k+1]

返回M

A053121号_三角形(13)#彼得·卢什尼2012年9月19日

(PARI)T(n,m)=如果(n<m |(n-m)%2,返回(0));(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1)

对于(n=0,9,对于(m=0,n,print1(T(n,m)”,“))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年3月9日

交叉引用

囊性纤维变性。A008315,A049310型,A000108号,A001405(行总和),A145973号,邮编:A153585,A108786号,A037952号. 另一个版本:A008313号.A039598号A039599号没有零,奇数和偶数行)。

无零对角线的变量:A033184行颠倒:A009766号.

关键字

容易的,美好的,,,改变

作者

狼牙

扩展

编辑N、 斯隆2011年1月29日

状态

经核准的

A039598号 用Chebyshev多项式U峎n(x)表示的x的幂展开式的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 +10个
66
1、2、1、5、4、1、14、14、6、1、42、48、27、8、1、132、165、110、44、10、1、429、572、429、208、65、12、1、1430、2002、1638、910、350、90、14、1、4862、7072、6188、3808、1700、544、119、16、1、16796、25194、23256、15504、7752、2907、798、152、18、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

T(n,k)是所有有n+1条边的有序树在k+1水平上的叶数-德国金刚砂2005年1月15日

Riordan阵列((1-2x-sqrt(1-4x))/(2x^2),(1-2x-sqrt(1-4x))/(2x))。逆数组是A053122型. -保罗·巴里2005年3月17日

T(n,k)是n步的行走次数,每个步在n、S、W或E方向上,从原点开始,保持在上半平面上,结束于高度k(参见R、 K.盖伊参考,p。5) 一。例如:T(3,2)=6,因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-德国金刚砂2005年4月15日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按T(0,0)=1的行读取,如果k<0或k>n,T(n,0)=2*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

从(0,0)到(2n+1,2k+1)的(2n+1)-步数,由u=(1,1)和d=(1,-1)步组成,其中路径位于非负象限。例如:T(2,0)=5,因为我们有uuudd,uududud,uuddu,ududu,udududu;T(2,1)=4,因为我们有uuud,uuudu,uuduu,uduu;T(2,2)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月18日

按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不在直线y=0之下,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和两种类型的步骤H=(1,0)组成;例如:T(3,1)=14,因为我们有UDU,UUD,4条HHU路径,4条hu路径和4条UHH路径-菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

这个三角形属于由T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)定义的三角形族。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

偏移量为[1,1]时,这是(普通)卷积三角形a(n,m),m列的o.g.f.由(c(x)-1)^m给出,其中c(x)是Catalan数的o.g.fA000108号. 查看Riordan评论保罗·巴里.

T(n,k)也是具有k个不动点的保序全变换的个数-阿卜杜拉希·乌马尔2008年10月2日

T(n,k)/2^(2n+1)=阶数n=2n+3的最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko(Pavel(AT)Holoborodko.com),2008年12月19日

有符号三角形S(n,k):=(-1)^(n-k)*T(n,k)提供了f(n,l):=l(2*l)*5^n*f(2*l)^(2*n+1)(f=斐波纳契数)之间的变换矩阵A000045型,L=卢卡斯数A000032号)F(4*l*(k+1)),k=0,…,n,对于每一个l>=0:F(n,l)=和{k=0..n}S(n,k)*F(4*l*(k+1)),n>=0,l>=0。证明:l.h.s.,g(l;x):=Sum{n>=0}f(n,l)*x^n=f(4*l)/(1-5*f(2*l)^2*x)的o.g.f.与r.h.s.的o.g.f.相匹配:在n-和k-和的交换之后,s=(C(x)/x,C(x))的Riordan属性(与上面的注释比较保罗·巴里),其中C(x):=1-C(-x),o.g.f.C(x)为A000108号(加泰罗尼亚数字),用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F(4*l*(k))*GS(k;x),其中三角形S的k列的o.g.F为GS(k;x):=Sum{n>=k}S(n,k)*x^n=C(x)^(k+1)/x。结果是GF(l;C(x))/x,o.g.f.GF(l,x):=和{k>=0}f(4*l*k)*x^k=x*f(4*l)/(1-l(4*l)*x+x^2)(参见A049670号,和A028412号)。如果使用,则标识L(4*n)-5*F(2*n)^2=2(在Koshy的书[参考A065563号]这是15号,p。88,归因于卢卡斯,1876年),从上面恢复l.h.s.的o.g.f.的证据归结为加泰罗尼亚o.g.f.上的一个微不足道的身份,即1/c^2(-x)=1+2*x-(x*c(-x))^2-狼牙2012年8月27日

O、 对于行多项式R(x):=和{k=0..n}a(n,k)*x^k:

((1+x)-C(z))/(x-(1+x)^2*z),C的o.g.fA000108号(加泰罗尼亚数字)。从Riordan((C(x)-1)/x,C(x)-1)与保罗·巴里以上评论。这与德国金刚砂在公式部分-狼牙2012年11月13日

这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1],Z序列是[2,1]。参见下面的W.Lang链接A006232有详细资料和参考资料-狼牙2012年11月13日

狼牙2013年9月20日:(开始)

T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n+1)次方的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),在单位圆(长度单位1)内接的正则n-边形中偶数索引对角线/边长比R(n,2*(k+1))=S(2*k+1,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫多项式(见A049310型):rho(N)^(2*N+1)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*(k+1)),N>=0,在N>=1中相同。有关证明,请参见2013年9月21日的评论A053121号. 注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的阶数(参见A055034号),出现。关于rho(n)的偶数幂,请参见A039599号. (结束)

示例部分中的三对角Toeplitz产生矩阵P对应于简单李代数A_nsignedcartan矩阵,因为n趋于无穷大(参见A053122型). -  汤姆·科普兰,2015年12月11日(2015年12月28日修订)

T(n,k)是从原点开始沿n或E方向各n步的非相交行走对的数目,并且两条路径的端点被水平距离k隔开。见夏皮罗1976-彼得·巴拉2017年4月12日

参考文献

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链接

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公式

n行:C(2n,n-k)-C(2n,n-k-2)。

a(n,k)=C(2n+1,n-k)*2*(k+1)/(n+k+2)=A050166号(n,n-k)=a(n-1,k-1)+2*a(n-1,k)+a(n-1,k+1)[如果n<0或n<k,a(0,0)=1和a(n,k)=0]-亨利·巴特利2001年9月24日

菲利普·德莱厄姆2004年2月14日:(开始)

T(n,0)=A000108号(n+1),如果n<k,T(n,k)=0;当k>0时,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) 一。

G、 f.对于k列:Sum{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+2),其中C(x)=和{n>=0}A000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号(m+n+1)。(结束)

T(n,k)=A009766号(n+k+1,n-k)=A033184(n+k+2,2k+2)-菲利普·德莱厄姆2004年2月14日

和{j>=0}T(k,j)*A039599号(n-k,j)=A028364号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2004年3月4日

反对角和{k=0..n}T(n-k,k)=A000957号(n+3)-杰拉尔德·麦加维2005年6月5日

三角形也可以由M^n*[1,0,0,0…]生成,其中M=无穷大的三对角矩阵,上、次对角线上有1,主对角线中有[2,2,2…]-加里·W·亚当森2006年12月17日

G、 f.:G(t,x)=C^2/(1-txC^2),其中C=(1-sqrt(1-4x))/(2x)是加泰罗尼亚函数。从这里G(-1,x)=C,即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号). -德国金刚砂2007年1月20日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000957号(n+1),A000108号(n) 你说,A000108号(n+1),A001700型(n) 你说,A049027型(n+1),A076025型(n+1),A076026型(n+1)分别适用于x=-2、-1、0、1、2、3、4(见A067345号). -菲利普·德莱厄姆2007年3月21日,2011年11月4日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=4^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A035324号(n,k),A035324号偏移量为0(0<=k<=n)-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月18日

T(n,k)=A039599号(n,k)+A0399号(n,k+1)-菲利普·德莱厄姆2007年9月11日

和{k=0..n+1}T(n+1,k)*k^2=A029760号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2007年12月16日

和{k=0..n}T(n,k)*A059841号(k)=A000984号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2008年11月12日

G、 f.:1/(1-xy-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-…(续分数))。

和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) 你说,A001700型(n) 你说,A194723号(n+1),A194724号(n+1),A194725号(n+1),A194726号(n+1),A194727号(n+1),A194728号(n+1),A194729号(n+1),A194730号(n+1)分别为x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德莱厄姆2011年11月3日

彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

这个三角形将Riordan群分解为(C(x),x*C(x))*(1/(1-x),x/(1-x))=A033184*A007318型,其中C(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号.

让U表示下单位三角形数组,主对角线上或下面有1,其他地方有0。对于k=0,1,2,。。。定义U(k)为下单位三角形块阵列

/我知道0\

\0u/具有k×k单位矩阵I賸k作为左上块;特别是U(0)=U,那么这个数组等于双无穷积(…*U(2)*U(1)*U(0))*(U(0)*U(1)*U(2)*…)。(结束)

彼得·巴拉2015年7月21日:(开始)

O、 g.f.g(x,t)=(1/x)*(x/f(x,t)),其中f(x,t)=(1+(1+t)*x)^2/(1+t*x)。

1+x*d/dx(G(x,t))/G(x,t)=1+(2+t)*x+(6+4*t+t^2)*x^2+。。。o.g.f是为了A094527号. (结束)

猜想:和{k=0..n}T(n,k)/(k+1)^2=H(n+1)*A000108号(n) *(2*n+1)/(n+1),其中H(n+1)=和{k=0..n}1/(k+1)-沃纳·舒尔特2015年7月23日

沃纳·舒尔特2015年7月25日:(开始)

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^2=(2*n+1)*二项式(2*n,n)。(A002457号)

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=4^n*(3*n+2)/2。

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^4=(2*n+1)^2*二项式(2*n,n)。

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^5=4^n*(15*n^2+15*n+4)/4。(结束)

o.g.f.g(x,t)是g(x,t+1)是A035324号,但偏移量为0,G(x,t-1)是A033184,同样偏移为0-彼得·巴拉2015年9月20日

例子

三角形T(n,k)开始:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0:1个

1: 2 1个

2: 5 4 1

3: 14 14 6 1

4: 42 48 27 8 1

5: 132 165 110 44 10 1

6: 429 572 429 208 65 12 1

7: 1430 2002 1638 910 350 90 14 1

8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1

9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1

10: 58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1

... 重新格式化并由扩展狼牙2012年11月13日。

生产矩阵开始:

2,1

1,2,1

0,1,2,1

0,0,1,2,1

0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,0,0,1,2,1

-菲利普·德莱厄姆2011年11月7日

狼牙2012年11月13日:(开始)

循环次数:T(5,1)=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列是[1,2,1]。

Riordan Z序列的递归[2,1]:T(5,0)=132=2*42+1*48。(结束)

狼牙2013年9月20日:(开始)

rho(N)=2*cos(Pi/N)幂的例子:

n=2:rho(n)^5=5*R(n,2)+4*R(n,4)+1*R(n,6)=5*S(1,rho(n))+4*S(3,rho(n))+1*S(5,rho(n)),在n>=1中相同。对于N=5(只有一条明显对角线的五边形),度δ(5)=2,因此R(5,4)和R(5,6)可以分别减少为R(5,1)=1和R(5,6)=-R(5,1)=-1。因此,rho(5)^5=5*R(N,2)+4*1+1*(-1)=3+5*R(N,2)=3+5*rho(5),黄金分割rho(5)。(结束)

枫木

T: =(n,k)->二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2)#N、 斯隆2013年8月26日

数学

展平[表[二项式[2n,n-k]-二项式[2n,n-k-2],{n,0,9},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月3日*)

黄体脂酮素

塞德尔算法(1877)

#打印三角形的前n行。

定义A039598号_三角形(n):

D=[0]*(n+2);D[1]=1

b=正确;h=1

对于范围内的i(2*n):

如果b:

对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]

h+=1

其他:

对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]

b=不是b

如果b:打印([D[z]代表z in(1..h-1)])

A039598号_三角形(10)#彼得·卢什尼2012年5月1日

(岩浆)/*三角形:*/[[二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文琴佐·利班迪2015年7月22日

(PARI)T(n,k)=二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年11月7日

交叉引用

镜像A050166号. 行和为A001700型.

囊性纤维变性。A008313号,A039599号,邮编:A183134,A094527号,A033184,A035324号,A053122型.

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

一个条目中的错误由更正菲利普·德莱厄姆2007年12月16日

状态

经核准的

A064189 三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果n<k,T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。 +10个
52
1、1、1、2、2、1、4、5、3、1、9、12、9、4、1、21、30、25、14、5、1、51、76、69、44、20、6、1、127、196、189、133、70、27、7、1、323、512、518、392、230、104、35、8、1、835、1353、1422、1140、726、369、147、44、9、1、2188、3610、3915、3288、2235、1242、560、200、54、10、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

莫兹金三角形的顺序相反。

T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,弱地停留在x轴上方,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和H=(1,0)组成。例如:T(3,1)=5,因为我们有HHU,UDU,HUH,uh和UUD。第0、1、2和3列给出了A001006号(莫兹金数字),A002026号(莫兹金数的第一个差异),A005322号A005323号分别是-德国金刚砂2004年2月29日

里奥丹阵列((1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x^2),(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x))。逆是数组(1/(1+x+x^2),x/(1+x+x^2))(A104562号). -保罗·巴里2005年3月15日

逆二项式矩阵应用于A039598号. -菲利普·德莱厄姆2007年2月28日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按下列行读取:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1),k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形来自于为(x,y)选择不同的值:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; 0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

三角形的等二项式变换A053121号. -加里·W·亚当森2008年10月25日

考虑一个半无限的棋盘,其正方形标记为(n,k),秩或行n>=0,文件或列k>=0;长度n从(0,0)到(n,k),0<=k<=n的king路径的数目是T(n,k)。上面给出的循环关系与国王的运动有关。这基本上是Harrie Grondijs对Motzkin三角的评论A026300号. -约翰内斯W.梅杰2010年10月10日

参考文献

看到了吗A026300号以获取更多参考资料和其他信息。

E、 Barcucci,R.Pinzani,R.Sprugnoli,莫茨金家族,P.U.M.A.Ser。A、 1991年第2卷,第3-4期,第249-279页。

杨盛亮等,《帕斯卡菱形与里奥丹阵列》,Fib。Q、 2018年,第337-337页,第337页。见图3。

链接

G、 C.格雷贝尔,前50行n,a(n)表,展平

一、 多林卡,J.East,A.Evangelou,D.FitzGerald,N.Ham,Motzkin和Jones幺半群的幂等统计量,arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO],2015年。

一、 多林卡,J.East,R.D.格雷,Motzkin幺半群与部分Brauer幺半群,arXiv预印本arXiv:1512.02279[math.GR],2015年。

R、 唐纳希和夏皮罗,莫兹金数,J.科布林。理论,A辑,23(1977),291-301。

伊万娜•乌尔•耶夫、伊戈尔•多林卡、詹姆斯•伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。

萨缪尔·吉拉多,树序列与语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。

汤姆·哈尔弗森,西奥多·N·雅各布森,集合划分表与图代数的表示,arXiv:1808.08118[math.RT],2018年。

多纳泰拉·梅里尼,马西莫·诺森蒂尼,避免Riordan模式的语言代数生成函数《整数序列杂志》,第21卷(2018年),第18.1.3条。

R、 佩曼特尔和M.C.威尔逊,多元母函数导出的渐近性的二十个组合例子,暹罗出版社,50(2008),第2期,199-272。见第页。265

杨盛良、闫倪东、田晓荷,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式离散数学340.12(2017):3081-3091。

公式

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=3^n。

和{k=0..n}T(n,k)*T(n,n-k)=T(2*n,n)-T(2*n,n+2)

G、 f.:M/(1-t*z*M),其中M=1+z*M+z^2*M^2是Motzkin数的G.f(A001006号). -德国金刚砂2004年2月29日

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A001006号(m+n)-菲利普·德莱厄姆2004年3月5日

和{k>=0}T(n-k,k)=A005043号(n+2)-菲利普·德莱厄姆2005年5月31日

k列有例如f.exp(x)*(BesselI(k,2*x)-BesselI(k+2,2*x))-保罗·巴里2006年2月16日

T(n,k)=和{j=0..n}C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j,j+k+2))-保罗·巴里2006年2月16日

第n行由M^n*V生成,其中M=无穷大的三对角矩阵,上、主、次对角线上都是1;V=无穷向量[1,0,0,0,…]。E、 g.,第3行=(4,5,3,1),因为M^3*V=[4,5,3,1,0,0,…]-加里·W·亚当森2006年11月4日

T(n,k)=A122896号(n+1,k+1)-菲利普·德莱厄姆2007年4月21日

T(n,k)=(k/n)*和{j=0..n}二项式(n,j)*二项式(j,2*j-n-k)-弗拉基米尔·克鲁基宁2011年2月12日

和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*(k+1)=(-1)^n-沃纳·舒尔特2015年7月8日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=(2*n+1)*3^n-沃纳·舒尔特2015年7月8日

G、 f.:2/(1-x+sqrt(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)=和{n>=k>=0}T(n,k)*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日

T(n,k)=二项式(n,k)*超几何([(k-n)/2,(k-n+1)/2],[k+2],4)-彼得·卢什尼2021年5月19日

例子

三角形开始:

[0]1个;

[1] 1,1;

[2] 2,2,1;

[3] 1、5、4、4;

[4] 9,12,9,4,1;

[5] 21、30、25、14、5、1;

[6] 51、76、69、44、20、6、1;

[7] 127、196、189、133、70、27、7、1;

[8] 323、512、518、392、230、104、35、8、1;

[9] 835、1353、1422、1140、726、369、147、44、9、1。

.

菲利普·德莱厄姆2011年11月4日:(开始)

生产矩阵开始:

1,1

1,1,1

0,1,1,1

0,0,1,1,1

0,0,0,1,1,1

0,0,0,0,1,1,1(结束)

枫木

别名(C=二项式):A064189:=(n,k)->加(C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j,j+k+2)),j=0..n):序号(A064189(n,k),k=0..n),n=0..10)#彼得·卢什尼2019年12月31日

数学

T[0,0,x,y]:=1;T[n_1,0,x_u,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n|,k|,x|,y]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0 | k>n,0,T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k+1,x,y]];Table[T[n,k,1,1],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*G、 C.格雷贝尔2017年4月21日*)

T[n,k_u]:=二项式[n,k]超几何2f1[(k-n)/2,(k-n+1)/2,k+2,4];

Table[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*)

黄体脂酮素

(圣人)

定义A064189_三角形(尺寸):

M=矩阵(ZZ,dim,dim)

对于范围内的n(dim):M[n,n]=1

对于n in(1..dim-1):

对于k in(0..n-1):

M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k]+M[n-1,k+1]

返回M

A064189_三角(9)#彼得·卢什尼2012年9月20日

(PARI){T(n,k)=如果(k<0 | | k>n,0,polcoeff(2/(1-x+sqrt(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)+x*O(x^n),n),k))}/*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/

交叉引用

A026300号(此序列的主条目)行颠倒。

囊性纤维变性。A001006号,A002026号,A005322号,A005323号,A053121号.

关键字

,容易的,

作者

N、 斯隆2001年9月21日

扩展

更多条款来自弗拉德塔·乔沃维奇2001年9月23日

状态

经核准的

A061554号 用对角线读入的方桌:a(n,k)=二项式(n+k,floor(k/2))。 +10个
44
1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,1,1,1,6,4,4,1,1,1,1,5,5,1,1,1,20,15,15,6,6,6,1,1,35,35,21,21,21,7,7,7,1,1,1,1,1,70,56,56,28,28,28,8,8,8,1,1,1,8,8,1,1,84,126,126,84,84,36,36,36,9,9,9,9,9,1,1,9,1,1,1,1,1,1,4,1,1,4,1,1,462,1,1,1,1,1,1,1,1,11,11,1,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

等价地,按行读取的三角形,其中的行是通过对Pascal三角形的行的元素进行排序而得到的(A007318型)按降序排列-菲利普·德莱厄姆2005年5月21日

等价地,作为按行读取的三角形,这是T(n,k)=二项式(n,floor((n-k)/2));然后,k列有如f.贝塞尔逯I(k,2x)+贝塞尔逯I(k+1,2x)-保罗·巴里2006年2月28日

反斜角和是A0372年(n+1)=C(n+1,[n/2])。矩阵逆是三角形的行反转A066170型. 特征序列是A125094号(n) =和{k=0..n-1}A125093号(n-1,k)*A125094号(k) 一-保罗·D·汉娜2006年11月20日

Riordan数组(1/(1-x-x^2*c(x^2)),x*c(x^2));其中c(x)=加泰罗尼亚数的g.fA000108号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月17日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按下列行读取:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k+1),k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; ((1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (3,4)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

T(n,k)是从(0,k)到某个(n,m)的路径数,这些路径从不低于y=0,至少接触一次y=0,并且只由步骤(1,1)和(1,-1)组成。这可以用Deléham提供的递推证明-杰拉尔德·麦加维2008年10月15日

按行读取的三角形=的部分和A053121号从右边开始的术语-加里·W·亚当森2008年10月24日

作为“三角形族”的一个子集(Deleham评论,2007年9月25日),从A061554号,M=(-1,0)=(1;-1,1;2,-1,1;-3,3,-1,1;…)M的连续二项式变换得到(0,1)-A089942号; (1,2)-A039599号; (2,3)-邮编:A124733; (3,4)-A124574号; (4,5)-A126331号; ... 使得由(n,n+1)生成的三角形的二项式变换=由(n+1,n+2)生成的三角形。类似地,另一个子集以A053121号-(0,0),采用连续的二项式变换得到(1,1)-A064189; (2,2)-A039598号; (3,3)-A091965号, ... 按行,由(n,n)生成的三角形可由(n-1,n)三角形从右开始取成对和得到。例如,(1,2)的第2行-A039599号=(2,3,1);从右边取两两和,得到(5,4,1)=(2,2)的第2行-A039598号. -加里·W·亚当森2011年8月4日

由行(n)和交替符号(+-+…)组成的联立方程组(n)求解奇数n(n=2n+1)正多边形的对角线长度。每种情况下的常数都是c=2*cos(2*Pi/N)的幂次。举例来说,前3行与七边形有关,联立方程为(1,0,0)=1;(-1,1,0)=c=1.24697。。。;和(2,-1,1)=c^2。答案是1,2.24697…,和1.801。。。;边=1的七边形的三个不同对角线长度-加里·W·亚当森2011年9月7日

链接

G、 C.格雷贝尔,前50行n,a(n)表,展平

约翰西格勒,关于x轴带状晶格路径的一些注记与猜想,arXiv:1501.04750[math.CO],2015年。

欧芙轩尼诗,Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路中的应用研究,博士论文,沃特福德理工学院,2011年10月。

孙奕东;妈,卢平一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类欧元。J、 梳子。39,157-169(2014),表2.2。

公式

作为三角形:T(n,k)=二项式(n,m),其中m=楼层((n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2)。

二项式(k/a)=0/k)=A001405(k) ;对于n>0 T(n,k)=T(n+1,k-2)+T(n-1,k)。

第n行=M^n*V,其中M=无穷大三对角矩阵,所有1在上、下对角线中,且(1,0,0,0,…)在主对角线中。V=无限向量[1,0,0,0,…]。示例:(3,3,1,1,0,0,0,…)=M^3*V-加里·W·亚当森2006年11月4日

和{k=0..n}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A001405(m+n)-菲利普·德莱厄姆2007年2月26日

和{k=0..n}T(n,k)=2^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A127361号(n) 你说,邮编:A126869(n) 你说,A001405(n) 你说,A000079号(n) 你说,邮编:A127358(n) 你说,A127359号(n) 你说,A127360型(n) 对于x=-2,-1,0,1,2,3,4-菲利普·德莱厄姆2009年12月4日

作为三角形:T(n,k)=二项式(n,floor((n-k)/2)),0<=k<=n-沃纳·舒尔特2021年7月2日

例子

阵列开始:

1,1,2,3,6,10,20,35,70,126。。。

1,1,3,4,10,15,35,56,126,210。。。

1,1,4,5,15,21,56,84,210,330。。。

1,1,5,6,21,28,84,120,330,495。。。

1,1,6,7,28,36,120,165,495,715。。。

1,1,7,8,36,45,165,220,715,1001。。。

1,1,8,9,45,55,220,286,1001,1365。。。

1,1,9,10,55,66,286,364,1365,1820。。。

1,1,10,11,66,78,364,455,1820,2380。。。

1,1,11,12,78,91,455,560,2380,3060。。。

三角形(反斜线)版本开始:

1个;

1,1;

2,1,1;

3,3,1,1;

6、4、4、1、1;

10,10,5,5,1,1;

20,15,15,6,6,1,1;

35,35,21,21,7,7,1,1;

70、56、56、28、28、8、8、1、1;

126、126、84、84、36、36、9、9、1、1;

252、210、210、120、120、45、45、10、10、1、1;

462、462、330、330、165、165、55、55、11、11、1、1。。。

矩阵逆运算开始:

1个;

-1,1;

-1,-1,1;

1,-2,-1,1;

1,2,-3,-1,1;

-1,3,3,-4,-1,1;

-1、-3、6、4、-5、-1、1;

1、-4、-6、10、5、-6、-1、1;

1,4,-10,-10,15,6,-7,-1,1。。。

保罗·巴里2009年5月21日:(开始)

生产矩阵是

1,1,

1,0,1,

0,1,0,1,

0,0,1,0,1,

0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,1,0,1(结束)

枫木

T:=proc(n,k)选项记忆;

如果n=k,则为1 elif k<0或n<0或k>n,则为0

elif k=0则T(n-1,0)+T(n-1,1)否则T(n-1,k-1)+T(n-1,k+1)fi结束:

对于n从0到9,按顺序(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日

数学

t[n,k_u]=二项式[n,Floor[(n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2]];展平[表[t[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月31日*)

黄体脂酮素

(PARI)T(n,k)=二项式(n,(n+1)\2-(-1)^(n-k)*((k+1)\2)

交叉引用

行是A001405,A037952号,A037955号,A037951号,A037956号,A037953号,A037957号列被截断对A000012号,A000027号,A000217,A000292号,A000332号,A000389号,A000579号等。主对角线是A051036号.

囊性纤维变性。A007318型,A107430,A125094号,A037952号,A066170型.

关键字

,

作者

亨利·巴特利2001年5月17日

扩展

按条目修改N、 斯隆2006年11月22日

状态

经核准的

A052179号 立方格上游动计数中产生的数字三角形。 +10个
33
1、4、1、17、8、1、76、50、12、1、354、288、99、16、1、1704、1605、700、164、20、1、8421、8824、4569、1376、245、24、1、42508、48286、28476、10318、2380、342、28、1、218318、264128、172508、72128、20180、3776、455、32、1137400、1447338 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

三角形T(n,k),0<=k<=n,按下列行读取:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=4*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+4*T(n-1,k)+T(n-1,k+1),k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不在直线y=0之下,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和四种类型的步骤H=(1,0)组成;例如:T(3,1)=50,因为我们有UDU,UUD,16条HHU路径,16条hu路径和16条UHH路径-菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A1256号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

Riordan阵列((1-4x-sqrt(1-8x+12x^2))/(2x^2),(1-4x-sqrt(1-8x+12x^2))/(2x))。相反的A159764号. -保罗·巴里2009年4月21日

6^n=(第n行项)点(在(1,2,3,…)中的前n+1项)。例如:6^3=216=(76,50,12,1)点(1,2,3,4)=(76+100+36+4)=216-加里·W·亚当森2011年6月15日

“三角形族”(Deléham评论2007年9月25日)的一个子集是从三角形开始的二项式变换的继承A053121号,(0,0);给予->A064189,(1,1);->A039598号,(2,2);->A091965号,(3,3);->A052179号,(4,4);->A125906号,(5,5)->等。;通常由(n,n)生成的三角形的二项式变换=由((n+1),(n+1))生成的三角形的二项式变换-加里·W·亚当森2011年8月3日

链接

G、 C.格雷贝尔,前100行的n,a(n)表,展平

里戈博托·弗洛雷斯,莱安德罗·朱内斯,何塞·拉米雷斯,关于n维立方格子中路径的进一步结果《整数序列杂志》,第21卷(2018年),第18.1.2条。

R、 K.盖伊,猫步,沙阶和帕斯卡金字塔《整数序列杂志》,第3卷(2000年),#00.1.6。

公式

和{k,k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A005572号(m+n)-菲利普·德莱厄姆2005年9月15日

第n行=M^n*V,其中M=无穷大三对角矩阵,所有1在上、下对角线中,且(4,4,4,…)在主对角线中。E、 g.,第3行=(76,50,12,1),因为M^3*V=[76,50,12,1,0,0,0,…]-加里·W·亚当森2006年11月4日

和{k=0..n}T(n,k)=A005573号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2007年2月4日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=6^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A033543号(n) 你说,A064613号(n) 你说,A005572号(n) 你说,A005573号(n) 对于x=-2,-1,0,1-菲利普·德莱厄姆2009年11月28日

作为无限下三角矩阵=的二项式变换A091965号第四次二项式变换A053121号. -加里·W·亚当森2011年8月3日

例子

三角形开始:

1个;

4,1;

17,8,1;

76,50,12,1;

354、288、99、16、1;

  ...

生产矩阵开始:

4,1;

1,4,1;

0,1,4,1;

0,0,1,4,1;

0,0,0,1,4,1;

0,0,0,0,1,4,1;

0,0,0,0,0,1,4,1;

-菲利普·德莱厄姆2011年11月4日

数学

t[0,0]=1;t[n_u,k_u]/;k<0 | | k>n=0;t[n_0]:=t[n,0]=4*t[n-1,0]+t[n-1,1];t[n,k_u]:=t[n,k]=t[n-1,k-1]+4*t[n-1,k]+t[n-1,k+1];展平[表格[t[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年10月10日,在Philippe Deleham之后

交叉引用

囊性纤维变性。A039598号,A053121号,A064189,A091965号.

关键字

,步行,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆2000年1月26日

状态

经核准的

A091965号 按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不在直线y=0之下,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和三种类型的步骤H=(1,0)(3-Motzkin步长的左因子)组成。 +10个
33
1,3,1,10,6,1,36,29,9,1,137,132,57,12,1,543,590,315,94,15,1,2219,2628,1629,612,140,18,1,9285,11732,8127,3605,1050,195,21,1,39587,52608,39718,19992,6950,1656,259,24,1,171369,237129,191754,106644,42498,12177,2457 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

T(n,0)=A002212(n+1),T(n,1)=A045445号(n+1);行总和给出A026378号.

反之亦然A207815号. -加里·W·亚当森,2006年12月17日[更正人菲利普·德莱厄姆2012年2月22日]

逆转A084536号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月23日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按T(0,0)=1的行读取,如果k<0或k>n,T(n,0)=3*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+3*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

这个三角形属于由T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)定义的三角形族。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

5^n=(第n行项)点(在(1,2,3,…)中的前n+1项)。例如第4行:5^4=625=(137,132,57,12,1)点(1,2,3,4,5)=(137+264+171+48+5)=625-加里·W·亚当森2011年6月15日

里奥丹阵列((1-3*x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x^2),(1-3*x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x))-菲利普·德莱厄姆2012年2月19日

参考文献

A、 恩克万塔,晶格路径和RNA二级结构,离散数学中的DIMACS级数。理论计算机科学,341997,137-147。

链接

文琴佐·利班迪,行n=0..100,展平

张淑娟和罗伯特·史洛克,晶格条上磁场中Potts模型的配分函数和传递矩阵的结构,J.Stat.Physics 137(2009)667,表5。

赫尔穆特·普罗丁格,Motzkin路径的振幅,arXiv:2104.07596[math.CO],2021年。提到这个序列。

赫尔穆特·普罗丁格,多边树与3色Motzkin路:双目标问题,arXiv:2105.03350[math.CO],2021年。

公式

G、 f.:G=2/(1-3*z-2*t*z+sqrt(1-6*z+5*z^2))。或者,G=M/(1-t*z*M),其中M=1+3*z*M+z^2*M^2。

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A002212(m+n+1)-菲利普·德莱厄姆2005年9月14日

三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,…]生成,其中M=一个无限的三对角矩阵,在上、次对角线中有1,在主对角线中有[3,3,3,…]-加里·W·亚当森2006年12月17日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=5^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A117641号(n) 你说,A033321型(n) 你说,A007317型(n) 你说,A002212(n+1),A026378号(n+1)分别为x=-3、-2、-1、0、1-菲利普·德莱厄姆2009年11月28日

T(n,k)=(k+1)*和{m=k..n}二项式(2*(m+1),m-k)*二项式(n,m)/(m+1)-弗拉基米尔·克鲁基宁2011年10月8日

例子

三角形开始:

1个;

3,1;

10,6,1;

36、29、9、1;

137,132,57,12,1;

543、590、315、94、15、1;

2219、2628、1629、612、140、18、1;

T(3,1)=29,因为我们有UDU,UUD,9个HHU路径,9个hu路径和9个UHH路径。

生产矩阵开始

3,1;

1,3,1;

0,1,3,1;

0,0,1,3,1;

0,0,0,1,3,1;

0,0,0,0,1,3,1;

0,0,0,0,0,1,3,1;

0,0,0,0,0,0,1,3,1;

0,0,0,0,0,0,0,1,3,1;

0,0,0,0,0,0,0,0,1,3,1;

-菲利普·德莱厄姆2011年11月7日

数学

nmax=9;t[nˉ,kˉ]:=((k+1)*n!*超几何2f1[k+3/2,k-n,2k+3,-4])/((k+1)!*(n-k)!);展平[表[t[n,k],{n,0,nmax},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年11月14日,之后弗拉基米尔·克鲁基宁*)

T[0,0,x,y]:=1;T[n_1,0,x_u,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n,k|,x|,y|]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0 | k>n,0,

T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-1,k+1,x,y]];

Table[T[n,k,3,3],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*G、 C.格雷贝尔2017年5月22日*)

黄体脂酮素

(马克西玛)

T(n,k):=(k+1)*和((二项式(2*(m+1),m-k)*二项式(n,m))/(m+1),m,k,n)/弗拉基米尔·克鲁基宁2011年10月8日*/

(圣人)

@缓存函数

定义A091965号(n,k):

如果n==0且k==0:返回1

如果k<0或k>n:返回0

如果k==0:返回3*A091965号(n-1,0)+A091965号(n-1,1)

返回A091965号(n-1,k-1)+3*A091965号(n-1,k)+A091965号(n-1,k+1)

对于n in(0..7):

    [A091965号(n,k)代表k in(0..n)]#彼得·卢什尼2012年11月5日

交叉引用

囊性纤维变性。A002212,A045445号,A026378号.

囊性纤维变性。邮编:A123965.

关键字

,

作者

德国金刚砂2004年3月13日

状态

经核准的

A038622号 计算有根多胺的三角形数组。 +10个
32
1、2、1、5、3、1、13、9、4、1、35、26、14、5、1、96、75、45、20、6、1、267、216、140、71、27、7、1、750、623、427、238、105、35、8、1、2123、1800、1288、770、378、148、44、9、1、6046、5211、3858、2436、1296、570、201、54、10、1、17303、15115、11505、7590、4302、2067、825、265 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

PARI程序以正方形或直角三角形数组格式给出这个三角形数组的任意k行和第n项Randall L.Rathbun,2002年1月20日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按下列行读取:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=2*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1),k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月27日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; ((1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

三角形行的偏和A064189从右边开始的术语-加里·W·亚当森2008年10月25日

k列有例如f.exp(x)*(Bessel_I(k,2x)+Bessel_I(k+1,2x))-保罗·巴里2011年3月8日

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..120行三角形,展平

D、 你好,波尚,G.维恩,二维有向动物问题与一维路径问题的等价性,高级应用程序。数学。9(1988),第3号,334-357。见第340页表1。

公式

a(n,k)=a(n-1,k-1)+a(n-1,k)+a(n-1,k+1),当k>0时,a(n,k)=2*a(n-1,k)+a(n-1,k+1)。

Riordan阵列((sqrt(1-2x-3x^2)+3x-1)/(2x(1-3x)),(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x))。Riordan数组的逆((1-x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x^2))。第一列是A005773号(n+1)。行和为3^n(A000244号)如果我=A038622号,那么L*L'是A005773号(n+1),其中L'是L的转置-保罗·巴里2006年9月18日

T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1/2)。在这种形式下,还缺少三角形1,1,1,3,7,19,。。。(参见。A002426号)可以计算-彼得·卢什尼2016年5月12日

彼得·巴拉2021年7月12日:(开始)

T(n,k)=和{j=k..n}二项式(n,j)*二项式(j,floor((j-k)/2))。

Riordan阵列的矩阵积(1/(1-x),x/(1-x))*((1-x*c(x^2))/(1-2*x),x*c(x^2))=A007318型*A061554号(三角形版本),其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.

三角形等于A007318型^(-1)*A092392号*A007318型. (结束)

例子

保罗·巴里2011年3月8日:(开始)

三角形开始

1个;

2,1;

5、3、1;

13,9,4,1;

35,26,14,5,1;

96、75、45、20、6、1;

267、216、140、71、27、7、1;

750、623、427、238、105、35、8、1;

2123、1800、1288、770、378、148、44、9、1;

生产矩阵是

2,2,

1,1,1,

0,1,1,1,

0,0,1,1,1,

0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,0,0,1,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,1,1

(结束)

枫木

T:=(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1/2)):

对于n从1到9,按顺序(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日

数学

nmax=10;t[n_2;n>0,k_2;k>=1]:=t[n,k]=t[n-1,k-1]+t[n-1,k]+t[n-1,k+1];t[0,0]=1;t[0,]=0;t[u?阴性,?阴性]=0;t[n_0]:=2 t[n-1,0]+t[n-1,1];展平[表[t[n,k],{n,0,nmax},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年11月9日*)

黄体脂酮素

(平价)s=[0,1];{A038622号(n,k)=如果(n==0,1,t=(2*(n+k-1)*(n+k-1)*s[2]+3*(n+k-1)*(n+k-2)*s[1])/((n+2*k-1)*n);s[1]=s[2];s[2]=t;t)}

(哈斯克尔)

导入数据。列表(转置)

a038622 n k=a038622表!!n!!k

a038622行n=a038622表!!n

a038622_tabl=迭代(\row->map sum$

转置[tail row++[0,0],row++[0],[head row]+++row])[1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月26日

交叉引用

囊性纤维变性。A005773号(第1列),A005774号(第2列),A005775号,A066822号,A000244号(行总和)。

囊性纤维变性。A064189,A007318型,A061554号,A092392号.

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆,torsten.sillke(AT)lhsystems.com

扩展

更多条款来自大卫·W·威尔逊

状态

经核准的

A089942号 逆二项式矩阵应用于A039599号. +10个
32
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,2,1,3,6,6,6,3,1,1,15,15,10,4,1,15,36,40,29,15,5,1,36,36,1,36,91,105 105,84,49,21,21,6,1,1,1,91,232,232,232,28,7,1 1,232,6036037,750,750,672,468,258,111 111,36,468,258 111,111,36,8,8,1,1,36,8,1,1,6031,1585,2025,1890,1398,837,4055,155,45,45,9,9,1,1,1585,1585,5500个 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,8个

评论

背面A071947号-与晶格路径有关。第一列是A005043号.

三角形T(n,k),0<=k<=n,定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=T(n-1,k-1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1)-菲利普·德莱厄姆2007年2月27日

如果T k=1(T*0),则n-0(T-0)属于三角形(T k+1)=1(T-0)。其他三角形来自于为(x,y)选择不同的值:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

Riordan数组(f(x),x*g(x)),其中f(x)是A005043号g(x)是A001006号. -菲利普·德莱厄姆2009年11月22日

Riordan数组((1+x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x(1+x)),(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x))。Riordan数组的逆((1+x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x^2))。E、 k列的g.f.为exp(x)*(Bessel_I(k,2x)-Bessel_I(k+1,2x))。

对角线和是A187306号.

使用前n行的联立方程求解奇数n=(2n+1)正多边形的对角线长度,常数c^0,c^1,c^2,。。。;其中c=1+2*cos(2*Pi/N)=sin(3*Pi/N)/sin(Pi/N)=N>5的第三长对角线。例如,取与9-边(nonagon)相关的前4行,N=(2*4+1),其中c=1+2*cos(2*Pi/9)=2.5320888。。。。联立方程为(1,0,0,0)=1;(0,1,0,0)=c;(1,1,1,0)=c^2,(1,3,2,1)=c^3。答案是1,2.532…,2.879…,和1.879。。。;边=1的9-边(非边)的四个不同对角线长度-加里·W·亚当森2011年9月7日

链接

G、 C.格雷贝尔,前50行n,a(n)表,展平

P、 巴里和A.轩尼诗,四项递归、正交多项式和Riordan数组《整数序列杂志》,2012年,第12.4.2条N、 斯隆2012年9月21日

E、 Deutsch,L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005)第101-122页。

D、 梅里尼,D.G.罗杰斯,R.斯普鲁格诺利和M.C.韦里,关于Riordan阵列的一些替代特征,Canad J.Math.,49(1997年),第301-320页。

孙奕东;妈,卢平一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类欧元。J、 梳子。39157-169(2014)表2.2

公式

G、 f.:(1+z-q)/[(1+z)(2z-t+tz+tq)],其中q=sqrt(1-2z-3z^2)。

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A005043号(m+n)-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

和{k=0..n}T(n,k)*(2k+1)=3^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

和{k=0..n}T(n,k)*2^k=A112657号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2007年4月1日

T(n,2k)+T(n,2k+1)=A109195(n,k)-菲利普·德莱厄姆2008年11月11日

T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1/2),对于1<=k<=n-彼得·卢什尼2016年5月12日

例子

三角形开始

1个,

0,1,

1,1,1,

1,3,2,1,

3,6,6,3,1,

6,15,15,10,4,1,

15,36,40,29,15,5,1,

36,91,105,84,49,21,6,1,

91、232、280、238、154、76、28、7、1

生产矩阵是

0,1,

1,1,1,

0,1,1,1,

0,0,1,1,1,

0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,0,1,1,1,

0,0,0,0,0,0,1,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,1,1

枫木

T: =(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1/2)):对于n从1到9的do-seq(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日

#或通过重复:

T:=proc(n,k)选项记忆;

如果n=k,则为1 elif k<0或n<0或k>n,则为0

elif k=0则T(n-1,1)否则T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1)fi结束:

对于n从0到9,按顺序(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日

数学

T[nˉ,kˉ]:=GegenbauerC[n-k,-n+1,-1/2]-GegenbauerC[n-k-1,-n+1,-1/2];Table[T[n,k],{n,1,10},{k,1,n}]//展平(*G、 C.格雷贝尔2017年2月28日*)

交叉引用

行总和给出A002426号(中心三项式系数)。

关键字

,

作者

保罗·巴里2003年11月16日

扩展

编辑德国金刚砂2004年3月4日

状态

经核准的

A111418号 帕斯卡三角形奇数行的右侧。 +10个
31
1、3、1、10、5、1、35、21、7、1、126、84、36、9、1、462、330、165、55、11、1、1716、1287、715、286、78、13、1、6435、5005、3003、1365、455、105、15、1、24310、19448、12376、6188、2380、680、136、17、1、92378、75582、50388 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

Riordan数组(c(x)/sqrt(1-4*x),x*c(x)^2),其中c(x)是A000108号. 的未签名版本A113187号. 对角线和是A014301(n+1)。

三角形T(n,k),0<=k<=n,按定义的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或k>n,T(n,0)=3*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

逆转A122366号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

k列有e.g.f.exp(2x)(贝塞尔_I(k,2x)+Bessel_I(k+1,2x))-保罗·巴里2007年6月6日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; ((1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

对角线和是A014301(n+1)-保罗·巴里2011年3月8日

这个三角形T(n,k)出现在Fibonacci数F的奇数次幂展开中=A000045型以奇数的倍数作为指数的F数。见Ozeki参考,第页。108,引理2。公式为:F_l^(2*n+1)=和(T(n,k)*(-1)^((n-k)*(l+1))*F{(2*k+1)*l},k=0..n)/5^n,n>=0,l>=0-狼牙2012年8月24日

中心条款给出A052203型. -莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月14日

这个三角形出现在(4*x)^n的展开式中,用多项式Todd(n,x):=T(2*n+1,sqrt(x))/sqrt(x)=和(A084930型(n,m)*x^m),n>=0。这源于下三角Riordan矩阵的反演A084930型比较行多项式的g.f-狼牙2014年8月5日

狼牙2014年8月15日:(开始)

这个三角形是有符号Riordan三角形(-1)^(n-m)的逆三角形*A111125号(n,m)。

这个三角形T(n,k)出现在x^n的展开式中,用多项式todd(k,x):=T(2*k+1,sqrt(x)/2)/(sqrt(x)/2)=S(k,x-2)-S(k-1,x-2),三角形的行多项式T和SA053120型A049310型,分别为:x^n=和(T(n,k)*托德(k,x),k=0..n)。与前面的注释进行比较。

这个Riordan三角形的A序列和Z序列是[1,2,1,重复0]和[3,1,重复0]。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参见下面的W.Lang链接A006232. 这与上述Philippe Deléham 2007年3月22日的评论中所述的重复发生相对应。(结束)

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..125行三角形,展平

保罗·巴里,关于序列的Hurwitz变换《整数序列杂志》,第15卷(2012年),#12.8.7。

E、 Deutsch,L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005)第101-122页。

阿萨莫阿·恩克万塔和R·巴恩斯伯爵,两个Catalan型Riordan阵列及其与第一类Chebyshev多项式的联系《整数序列杂志》,第12.3.3条,2012年。

A、 恩克万塔,A.特费拉,涉及加泰罗尼亚生成函数和数字的奇怪关系和恒等式《整数序列杂志》,16(2013年),#13.9.5。

K、 奥泽基,梅勒姆圣母院斐波那契夸脱。46/47(2008/2009),第2号,107-110。

孙奕东;妈,卢平一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类欧元。J、 梳子。39,157-169(2014),表2.2。

公式

T(n,k)=C(2*n+1,n-k)。

和{k=0..n}T(n,k)=4^n。

和{k,0<=k<=n}(-1)^k*T(n,k)=二项式(2*n,n)=A000984号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

T(n,k)=和{j=k..n,C(n,j)*2^(n-j)*C(j,floor((j-k)/2))}-保罗·巴里2007年6月6日

和{k,k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A001700型(m+n)-菲利普·德莱厄姆2009年11月22日

G、 f.行多项式:((1+x)-(1-x)/sqrt(1-4*z))/(2*(x-(1+x)^2*z))

(参见上述评论中提到的Riordan属性)-狼牙2014年8月5日

例子

狼牙2014年8月5日:(开始)

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:1个

1: 3 1个

2: 10 5 1

3: 35 21 7 1

4: 126 84 36 9 1

5: 462 330 165 55 11 1

6: 1716 1287 715 286 78 13 1

7: 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

8: 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1

9: 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1

10: 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1

...

展开示例(关于Todd多项式,请参见A084930型以及上面的评论):

(4*x)^2=10*Todd(n,0)+5*Todd(n,1)+1*Todd(n,2)=10*1+5*(-3+4*x)+1*(5-20*x+16*x^2)。

(4*x)^3=35*1+21*(-3+4*x)+7*(5-20*x+16*x^2)+(-7+56*x-112*x^2+64*x^3)*1。(结束)

---------------------------------------------------------------------

生产矩阵是

3,1,

1,2,1,

0,1,2,1,

0,0,1,2,1,

0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,2,1

-保罗·巴里2011年3月8日

Fibonacci数F,n=2行奇数幂的应用:

F*l^5=(10*(-1)^(2*(l+1))*F*l+5*(-1)^(1*(l+1))*F{3*l}+1*F{5*l})/5^2,l>=0-狼牙2012年8月24日

数学

表[二项式[2*n+1,n-k],{n,0,10},{k,0,n}](*G、 C.格雷贝尔2017年5月22日*)

T[0,0,x,y]:=1;T[n_1,0,x_u,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n,k|,x|,y|]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0 | k>n,0,

T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-1,k+1,x,y]];

Table[T[n,k,3,2],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*G、 C.格雷贝尔2017年5月22日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a111418 n k=a111418表格!!n!!k

a111418_行n=a111418_tabl!!n

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--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月14日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A113187号.

列为:A001700型,A002054,A003516号,A030053型,A030054型,A030055型,A030056号.

关键字

容易的,,

作者

菲利普·德莱厄姆2005年11月13日

状态

经核准的

页码12

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