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搜索: a126954-编号:a126954
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A039599号 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 +10
133
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,4
评论
T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的晶格路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过x-y=k线,且仅位于该线上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNNE,EENNEN,EENENN,ENEENN,NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
这个三角形的矩阵逆是三角矩阵T(n,k)=(-1)^(n+k)*A085478号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
基本上与A050155号除非有前导对角线A000108号(加泰罗尼亚数字)1、1、2、5、14、42、132、429-菲利普·德尔汉姆2005年5月31日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径,从(0,0)开始,到(2n,0)结束,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成)。示例:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d),uud(d)u(d),u(d)u(d)du,u(d)duu(d)和duu(d)u(d)(向下返回x轴显示在括号之间)-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
Riordan数组(c(x),x*c(xA000108号; 逆数组是(1/(1+x),x/(1+x)^2)-菲利普·德尔汉姆2007年2月12日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0…]生成,其中M是无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,[1,2,2,2,2,2,2,2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
应用于A124733号.二项式矩阵应用于A089942号. -菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
形状的标准表格编号(n+k,n-k)-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
发件人菲利普·德尔汉姆2007年3月30日:(开始)
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:
(0,0) ->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号
(1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号
(1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号
(2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号
(3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号
(4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号.(结束)
表U(n,k)=和{j=0..n}T(n,j)*k^j如下所示A098474号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月29日
序列读取模块2给出A127872号. -菲利普·德尔汉姆2007年4月12日
从(0,0)到(2n,2k)的2n步行走次数,由步长u=(1,1)和d=(1,-1)组成,路径保持在非负象限中。例如:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuu d,uuuudu,uuuduu,uuduuu,uduuuu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
三角形矩阵,按行读取,等于三角形的矩阵逆129818年. -菲利普·德尔汉姆2007年6月19日
设a_m的和{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.,则和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081美元,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号,对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆,2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形;请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇数整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256-加里·亚当森,2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度;常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9边(非边)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888……方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c^2;(5,9,5,1)=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。;边=1的9边形(非边形)的四个不同对角线长度。(参见中的注释A089942号它使用类似的运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)。)-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1)给出,其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏,2013年4月30日
发件人沃尔夫迪特·朗,2013年9月20日:(开始)
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),根据单位圆(长度单位1)内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R(n、2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫S多项式(参见A049310型):
ρ(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034级),出现。
关于rho(n)的奇幂,请参见A039598号.(结束)
等式多项式分子的无符号系数。Chakravarty和Kodama论文的2.1,定义了A067311号. -汤姆·科普兰2016年5月26日
三角形是加泰罗尼亚数字的Riordan平方A321620型. -彼得·卢什尼2023年2月14日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第796页。
T.Myers和L.Shapiro,序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木,众议员。,204 (2010), 93-104.
链接
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A.帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学14(1957),405-414。[选定页面的注释扫描]
阿萨纳西奥斯·帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学。,第14卷,第4期(1957年),405-414:124。[注意:有一个输入错误]
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孙一东、马飞,与加泰罗尼亚三角有关的一些新二项式和,《组合数学电子杂志》21(1)(2014),#P1.33
孙一东、马飞,加泰罗尼亚三角形的四种变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO],2013。
孙一东;马路平一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39,157-169(2014),表2.2。
维基百科,Lobb编号
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杨胜良、董燕妮、何田晓霞,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式,《离散数学》340.12(2017),3081-3091。
配方奶粉
T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。
发件人Emeric Deutsch公司2006年5月6日:(开始)
T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。
G.f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)
以下公式由添加菲利普·德尔汉姆2003年至2009年期间:(开始)
按行读取三角形T(n,k);由提供A000012号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.
T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。总和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108号:加泰罗尼亚语的数字。
T(n,0)=A000108号(n) ;如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
T(n,k)=A009766号(n+k,n-k)=A033184号(n+k+1,2k+1)。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
如果n<0或n<k,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1)。
a(n)+a(n+1)=1+A000108号(m+1)如果n=m*(m+3)/2;a(n)+a(n+1)=A039598号(n) 否则。
T(n,k)=A050165型(n,n-k)。
Sum_{j>=0}T(n-k,j)*A039598号(k,j)=A028364号(n,k)。
三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=*A085478号(n,k)。
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000108号(n) ,A000984号(n) ,A007854号(n) ,A076035型(n) ,A076036号(n) 对于x=0,1,2,3,4。
和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。
T(n,k)*(-2)^(n-k)=A114193号(n,k)。
和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。
和{k=0..n}T(n,k)*5^k=A127628号(n) 。
总和_{k=0..n}T(n,k)*7^k=A115970型(n) 。
T(n,k)=和{j=0..n-k}106566英镑(n+k,2*k+j)。
和{k=0..n}T(n,k)*6^k=A126694号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A000108号(k)=A007852号(n+1)。
总和{k=0..层(n/2)}T(n-k,k)=A000958号(n+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310号(n) 。
T(2*n,n)=A126596号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*(-x)^k=A000007号(n) ,A126983号(n) ,A126984号(n) ,A126982号(n) ,A126986号(n) ,A126987号(n) ,A127017号(n) ,2016年1月27日(n) ,A126985号(n) ,A127053号(n) 对于x分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395号(n,k)。
T(n,k)=和{j>=0}106566英镑(n,j)*二项式(j,k)。
T(n,k)=和{j>=0}A127543号(n,j)*A038207号(j,k)。
总和{k=0..层(n/2)}T(n-k,k)*A000108号(k)=A101490号(n+1)。
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。
求和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。
T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(n,j)*二项式(j,k)。
和{j>=0}A110506型(n,j)*二项式(j,k)=和{j>=0}A110510型(n,j)*A038207号(j,k)=T(n,k)*2^(n-k)。
和{j>=0}A110518号(n,j)*A027465美元(j,k)=和{j>=0}A110519年(n,j)*A038207号(j,k)=T(n,k)*3^(n-k)。
和{k=0..n}T(n,k)*A001045号(k)=A049027号(n) ,对于n>=1。
如果求和{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1),则求和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n。
和{k=0..n}T(n,k)*40000澳元(k)=2017年1月(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A122553号(k)=A051924号(n+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*A123932号(k)=A051944号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。
和{k=0..n}T(n,k)*A000217号(k)=A002457号(n-1),对于n>=1。
和{j>=0}二项式(n,j)*T(j,k)=A124733号(n,k)。
和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) ,A000984号(n) ,A089022美元(n) ,A035610型(n) ,A130976号(n) ,A130977号(n) ,A130978号(n) ,A130979号(n) ,A130980号(n) ,A131521号(n) 对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
和{k=0..n}T(n,k)*A005043号(k)=A127632号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*132262英镑(k)=A089022美元(n) 。
温度(n,k)+T(n,k+1)=A039598号(n,k)。
T(n,k)=A128899型(n,k)+A128899型(n,k+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*A015518号(k)=A076025型(n) ,对于n>=1。同时求和{k=0..n}T(n,k)*A015521号(k)=A076026号(n) ,对于n>=1。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*x^(n-k)=A033999号(n) ,A000007号(n) ,A064062号(n) ,A110520型(n) ,A132863号(n) ,A132864号(n) ,A132865号(n) ,132866英镑(n) ,A132867号(n) ,A132869号(n) ,132897英镑(n) 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^(k+1)*A000045号(k)=A109262号(n) ,A000045号:=斐波那契数。
和{k=0..n}T(n,k)*A000035号(k)*2016年0月16日(k)=A143464号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*2016年0月16日(k)=A101850号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A010684号(k)=A100320号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A000034号(k)=A029651号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A010686号(k)=A144706号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A006130型(k-1)=A143646号(n) ,使用A006130型(-1)=0.
T(n,2*k)+T(n、2*k+1)=A118919号(n,k)。
求和{k=0..j}T(n,k)=A050157号(n,j)。
和{k=0..2}T(n,k)=A026012年(n) ;和{k=0..3}T(n,k)=A026029号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A000045号(k+2)=A026671号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A000045号(k+1)=A026726号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A057078号(k)=A000012号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A108411号(k)=A155084号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A057077号(k) =2^n=A000079号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*A057079号(k) =3^n=A000244号(n) 。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*A011782美元(k)=A000957号(n+1)。
(结束)
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108号(n+j)-保罗·巴里2011年2月17日
和{k=0..n}T(n,k)*A071679号(k+1)=A026674号(n+1)-菲利普·德尔汉姆2014年2月1日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1)-彼得·卢什尼2016年5月13日
T(n,n-2)=A014107号(n) -R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-7)/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-3)*(2*n-9)/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
例子
三角形T(n,k)开始于:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2:2 3 1
3: 5 9 5 1
4:14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
…重新格式化者沃尔夫迪特·朗2015年12月21日
发件人保罗·巴里2011年2月17日:(开始)
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0,0,1,2,1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1(结束)
发件人沃尔夫迪特·朗,2013年9月20日:(开始)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n/5)=
2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度数△(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以减少,即分别为R(4,1)=1和R(4],5)=-R(4,1)=-1。因此,ρ(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)
MAPLE公司
T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于从0到12的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=n,则1 elif k>n,则0 elif k=0,则T(n-1,0)+T
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..9)od#彼得·卢什尼2023年2月14日
数学
表[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*)
连接[{1},扁平[Table[二项式[2n-1,n-k]-二项式[2],{n,10},{k,0,n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*)
压扁[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)
黄体脂酮素
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行
定义A039599号_三角形(n):
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
b=非b
A039599号_三角形(10)#彼得·卢什尼,2012年5月1日
(岩浆)/*作为三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪,2015年10月16日
(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)
三角行(n)=对于(x=0,n-1,对于(y=0,x,print1(a(y,x),“,”));打印(“”)
三角形(10)\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年6月24日
交叉参考
行总和:A000984号.
三角形总和(见注释):A000958号(Kn11),A001558号(Kn12)中,A088218号(图1、图2)。
关键词
非n,,容易的,美好的
作者
扩展
更正人菲利普·德尔汉姆,2009年11月26日,2009年12月14日
状态
经核准的
A053121号 加泰罗尼亚三角形(0)按行读取。 +10
109
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 14, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 0, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 42, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 0, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 132, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0.8
评论
逆下三角矩阵A049310型(n,m)(切比雪夫s多项式的系数)。
有墙行走:从(0,0)到(n,m)的n步行走次数的三角形,其中每一步都从(a,b)到(a+1,b+1)或(a+1、b-1),并且路径保持在非负象限内。
T(n,m)是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如:T(4,2)=3,因为我们有UDUU、UUDU和UUUD,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。(这基本上是与前面的wall属性walk不同的公式。)-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡尔三角形相同,只是竖条的左边不能出现数字。”[Conway and Smith]
对于行多项式p(n,x):=和{m=0..n}(a(n,m)*x^m):c(z^2)/(1-x*z*c(z*2))。行总和(x=1):A001405号(中心二项式)。
在夏皮罗等人的语言中,这种下三角(普通)卷积阵列被视为矩阵,属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv(x)(此处A049310型)由Ginv(x)=(f^{(-1)}(x))/x从其m=0列的g.f.(此处g(x)=1/(1+x^2))获得,其中f(x):=x*g(x),f^{(-1){是f的成分反函数(此处我们发现Ginv,0)=1,c(x^2”)。参见Shapiro等人的参考。
{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有2134、4231和3214。{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243、1324和2134。避开图案213并且正好具有k个不动点的{1,2,…,n}的对合的数目。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243、1432和4231-Emeric Deutsch公司2006年10月12日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
Riordan数组(c(x^2),xc(x*2)),其中c(x)是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年11月25日
A053121号^2=三角形A145973号.卷曲为A001405号=三角形A153585号. -加里·亚当森2008年12月28日
按不带零的列,第n行=A000108号与自身卷曲了n次;相当于A=(1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…),则第n行=A^(n+1)的系数-加里·亚当森2009年5月13日
按行读取的三角形,乘积A130595型A064189号视为无限下三角阵列;A053121号=A130595型*A064189号=B^(-1)*A097609型*B其中B=A007318号. -菲利普·德尔汉姆2009年12月7日
发件人马克·多尔斯,2010年8月17日:(开始)
作为右上角三角形,行表示5平方(24)的幂:
5平方码(24)^1=0.101020514。。。
5平方码(24)^2=0.010205144。。。
5平方(24)^3=0.001030928。。。
(除以sqrt(96),这些幂表示A007318号,中间列为1/sqrt(96)。)(结束)
T(n,k)是具有k(1,0)个步长的长度为n的分散Dyck路径(即,长度为n且在正高度没有(1,0)个步长的Motzkin路径)的数目。例如:T(5,3)=4,因为表示U=(1,1),D=(1,-1),H=1,0),我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH-Emeric Deutsch公司2011年6月1日
设S(N,x)表示x中的第N个切比雪夫S多项式(参见A049310型,参见[W.Lang])。那么x^n=sum_{k=0..n}T(n,k)*S(k,x)-L.埃德森·杰弗里2012年9月6日
这个三角形a(n,m)也出现在有理数ρ(n)=2*cos(Pi/n)=R(n,2)上代数数的幂ρ
rho(N)^N=总和(a(N,m)*R(N,m+1),m=0..N),N>=0,在N>=1中相同。R(N,j)=S(j-1,x=rho(N))(切比雪夫S(A049310型)). 请参阅以下对此的评论A039599号(甚至权力)和A039598号(奇数幂)。证据:见L.Edson Jeffery于2012年9月6日发表的评论,该评论源于T(n,k)(此处称为a(n,k))是Riordan三角形的倒数A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年9月21日
贝尔型Riordan三角形的所谓A序列(c(x^2),x*c(x^2))(见上面的注释)是A(x)=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1),n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z(x)=x,它证明了递归a(n,0)=a(n-1,1),n>=1,a(0,0)=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参阅下面的W.Lang链接A006232号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
三角形行描述了李代数sl(2)的标准(二维)表示的张量幂分解为不可约。因此,a(n,m)是标准表示的第n张量幂的第m(m+1)维)不可约表示的重数-马穆卡·吉卜拉泽2015年5月26日
Riordan行多项式p(n,x)属于Boas-Buck类(参见中的注释和参考A046521号)因此,它们满足Boas-Buck恒等式:(E_x-n*1)*p(n,x)=(E_x+1)*Sum_{j=0..n-1}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*p(n-1-j,x),对于n>=0,其中E_x=x*d/dx(Euler算子)。对于三角形a(n,m),这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
发件人罗杰·福特2018年1月22日:(开始)
对于第n行,非零值表示由x轴上方和下方n+1个互不相交的拱形成的奇数分量(回路),约束条件如下:顶部有地板((n+3)/2),起始拱位于位置1和下一个连续奇数位置。所有其他起始顶部拱门位置均匀。底部的拱门是彩虹状的拱门。如果分量=1,则拱结构为半弯曲解。
示例:对于第3{0,2,0,1}行,有3个拱配置:2个拱配置的组件=1;1有一个组件=3。c=组件,U=顶部拱从奇数位置开始,U=顶部拱在偶数位置开始;d=顶部拱结束:
.
top UuUdUddd c=3 top UdUuUddd c=1 top Ud UdUudd c=1
/\ /\
//\\ / \
// \\ / /\ \ /\
// \\ / / \ \ / \
///\ /\\\ /\ / / /\ \ \ /\ /\ / /\ \
\\\ \/ /// \ \ \ \/ / / / \ \ \ \/ / / /
\\\ /// \ \ \ / / / \ \ \ / / /
\\\///\\\///\\\////
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\/ \/
对于第4{2,0,3,0,1}行,有6个拱形配置:2有一个组件=1;3具有组件=3:1具有组件=1。(结束)
参考文献
J.H.Conway和D.A.Smith,《四元数和八元数》,A K Peters,Ltd.,马萨诸塞州纳提克,2003年。见第60页。MR1957212(2004a:17002)
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链接
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C.Banderier和D.Merlini,具有无限跳跃集的格点路径
保罗·巴里,Riordan阵列、作为矩的正交多项式和Hankel变换,J.国际顺序。14(2011)第11.2.2号,示例3。
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保罗·巴里和A.轩尼诗,Riordan数组及其相关整数序列的Meixner型结果,J.国际顺序。13(2010)#10.9.4,示例3。
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D.Gouyou-Beauchamps,Chemins sous-diagonaux et tableau de Young公司第112-125页,“Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985)”,Lect。数学笔记。12341986(参见第114页的|F_{l,p}|)-N.J.A.斯隆2011年1月29日
Aoife轩尼诗,Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用,博士论文,沃特福德理工学院,2011年10月。
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L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson,Riordan集团,离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
孙一东、马路平,一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39, 157-169 (2014).
W.-J.Woan,加泰罗尼亚小径面积,离散数学。,226 (2001), 439-444.
配方奶粉
a(n,m):如果n<m或n-m奇数,则=0,否则a(n、m)=(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1);
a(n,m)=(4*(n-1)*a(n-2,m)+2*(m+1)*a。
第m列的G.f.:c(x^2)*(x*c(x*2))^m,其中c(x)=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
G.f.:G(t,z)=c(z^2)/(1-t*z*c(z*2)),其中c(z)=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚数字的G.f(A000108号). -Emeric Deutsch公司2011年6月16日
如果n>0且m>=0,a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1),如果m>0,a(0,0)=1,如果m>0,a(0,m)=0,如果m<0,a(n,m)=0-亨利·博托姆利2001年1月25日
和{k>=0}T(m,k)^2=A000108号(m) ●●●●-保罗·D·汉娜2005年4月23日
如果m+n是奇数,则求和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=0;和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号((m+n)/2)如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
T(n,k)=和{i=0..n,(-1)^(n-i)*C(n,i)*和{j=0..i,C(i,j)*(C(i-j,j+k)-C(i-j、j+k+2))}};k列具有例如,f.BesselI(k,2x)-BesselI(k+2,2x)-保罗·巴里2006年2月16日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A054336号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
T(2*n+1,2*k+1)=A039598号(n,k),T(2*n,2*k)=A039599号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日
总和_{k=0..n}T(n,k)^x=A000027号(n+1),A001405号(n) ,A000108号(n) ,A003161号(n) ,A129123号(n) 对于x分别为0,1,2,3,4-菲利普·德尔汉姆2009年11月22日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A126930号(n) ,A126120号(n) ,A001405号(n) ,A054341号(n) ,A126931号(n) 对于x=-1,0,1,2,3-菲利普·德尔汉姆2009年11月28日
和{k=0..n}T(n,k)*A000045号(k+1)=A098615号(n) -菲利普·德尔汉姆2012年2月3日
行多项式C(n,x)的递归性:=和{m=0..n}a(n,m)*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat(k)*C(n-1-k,x),n>=0,其中C(-1,1/x)=1/x和Chat(k)=A000108号(k/2)如果n是偶数,否则为0。从行多项式的o.g.f:g(z;x):=Sum_{n>=0}C(n,x)*z^n=C(z^2)*(1+x*z*g(z,x))开始A000108号. -艾哈迈德·扎希德KÜÇÜK沃尔夫迪特·朗2015年8月23日
m列序列的Boas-Buck递推(见上文注释)为:a(n,m)=((m+1)/(n-m))*Sum_{j=0..n-1-m}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*a(n-1-j,k),对于n>m>=0,输入a(m,m)=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
和{m=1..n}a(n,m)=A037952美元(n) -R.J.马塔尔,2021年9月23日
例子
三角形a(n,m)开始于:
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 2 0 3 0 1
5: 0 5 0 4 0 1
6: 5 0 9 0 5 0 1
7:0 14 0 14 0 6 0 1
8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1
9: 0 42 0 48 0 27 0 8 0 1
10: 42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1
…(由重新格式化沃尔夫迪特·朗2013年9月20日)
例如,第四行对应于多项式p(3,x)=2*x+x^3。
发件人保罗·巴里2009年5月29日:(开始)
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,0,0,0,1,0,1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,0,0,1,0,1(结束)
列k=2,n=6的Boas-Buck递推:a(6,2)=(3/4)*(0+2*a(4,2)+0+6*a(2,2))=(3/4)*(2*3+6)=9-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
MAPLE公司
T: =proc(n,k):如果n+k mod 2=0,则(k+1)*二项式(n+1,(n-k)/2)/(n+1)else 0 fi end:对于从0到13的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#生成三角形序列;Emeric Deutsch公司2006年10月12日
F: =proc(l,p)如果((l-p)mod 2)=1,则为0,否则为(p+1)*l/(((l-p)/2)!*((l+p)/2+1)!);fi;结束;
r: =n->[序列(F(n,p),p=0..n)];[序列(r(n),n=0..15)]#N.J.A.斯隆2011年1月29日
A053121号:=proc(n,k)选项记忆`如果`(k>n或k<0,0,`如果`(n=k,1,
进程名(n-1,k-1)+进程名(n-1,k+1))结束进程:
seq(打印(seq(A053121号(n,k),k=0..n),n=0..12)#彼得·卢什尼2011年5月1日
数学
a[n,m]/;n<m||奇数Q[n-m]=0;a[n_,m_]=(m+1)二项式[n+1,(n-m)/2]/(n+1);扁平[表[a[n,m],{n,0,12},{m,0,n}][[1;;90]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a053121 n k=a053121_tab!!不!!k
a053121_row n=a053121.tabl!!n个
a053121_tabl=迭代
(\row->zipWith(+)([0]++行)(尾行++[0,0]))[1]
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月24日
(鼠尾草)
定义A053121号_三角形(暗淡):
M=矩阵(ZZ,dim,dim)
对于n in(0..dim-1):M[n,n]=1
对于n in(1..dim-1):
对于k in(0..n-1):
M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k+1]
返回M
A053121号_三角形(13)#彼得·卢什尼2012年9月19日
(PARI)T(n,m)=如果(n<m||(n-m)%2,返回(0));(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1)
对于(n=0,9,对于(m=0,n,打印1(T(n,m)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
交叉参考
囊性纤维变性。A008315号,A049310型,A000108号,A001405号(行总和),A145973号,A153585号,A108786号,A037952美元。另一个版本:A008313号.A039598号A039599号没有零,以及奇数和偶数行)。
无零对角变量:A033184号并且在行反转的情况下:A009766号.
关键词
容易的,美好的,,非n
作者
扩展
编辑人N.J.A.斯隆2011年1月29日
状态
经核准的
A039598号 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 +10
68
1, 2, 1, 5, 4, 1, 14, 14, 6, 1, 42, 48, 27, 8, 1, 132, 165, 110, 44, 10, 1, 429, 572, 429, 208, 65, 12, 1, 1430, 2002, 1638, 910, 350, 90, 14, 1, 4862, 7072, 6188, 3808, 1700, 544, 119, 16, 1, 16796, 25194, 23256, 15504, 7752, 2907, 798, 152, 18, 1 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
T(n,k)是具有n+1个边的所有有序树中k+1级的叶子数-Emeric Deutsch公司2005年1月15日
Riordan阵列((1-2x-sqrt(1-4x))/(2x^2),(1-2x-sqrt(1-4x))/(2x))。反向数组为A053122号. -保罗·巴里,2005年3月17日
T(n,k)是n个台阶的行走次数,每个台阶沿n、S、W或E方向,从原点开始,保持在上半平面,并在高度k处结束(参见R.K.盖伊参考文献,第5页)。例如:T(3,2)=6,因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-Emeric Deutsch公司2005年4月15日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由T(0,0)=1给出的行读取,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=2*T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
从(0,0)到(2n+1,2k+1)的(2n+1)-步数,包括步数u=(1,1)和d=(1,-1),其中路径位于非负象限。示例:T(2,0)=5,因为我们有uuudd、uudud、uuddu、uduud、ududu;T(2,1)=4,因为我们有uuud,uuudu,uuduu,uduuu;T(2,2)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日和4月18日
按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和两种类型的步骤H=(1,0)组成;示例:T(3,1)=14,因为我们有UDU、UUD、4个HHU路径、4个HUH路径和4个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
如果k<0或如果k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
带偏移量[1,1],这是(普通)卷积三角形a(n,m),m列的o.g.f.由(c(x)-1)^m给出,其中c(xA000108号参见Riordan评论保罗·巴里.
T(n,k)也是具有k个不动点的(n链的)保序完全变换的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
T(n,k)/2^(2n+1)=n=2n+3.-阶最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko(Pavel(AT)Holoborodko.com),2008年12月19日
有符号三角形S(n,k):=(-1)^(n-k)*T(n,k)提供了f(n,l):=l(2*l)*5^n*f(2*l)^(2*n+1)(f=Fibonacci数A000045号,L=卢卡斯数A000032号)和F(4*l*(k+1)),k=0。。。,n、 对于每个l>=0:f(n,l)=Sum{k=0..n}S(n,k)*f(4*l*(k+1)),n>=0,l>=0。证明:l.h.s.的o.g.f.,g(l;x):=Sum_{n>=0}f(n,l)*x^n=f(4*l)/(1-5*f(2*l)^2*x)与r.h.s的o.f.相匹配:在交换n-和k-求和之后,s=(C(x)/x,C(x保罗·巴里),C(x):=1-C(-x),o.g.f.C(x)为A000108号(加泰罗尼亚数字),用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F(4*l*(k))*GS(k;x),三角形S的k列的o.g.F是GS(k;x):=和{n>=k}S(n,k)*x^n=C(x)^(k+1)/x。结果是GF(l;C(x*F(4*l)/(1-l(4*1)*x+x^2)(参见A049670号、和A028412号). 如果使用,则恒等式L(4*n)-5*F(2*n)^2=2(在科西的书中[参考A065563号]这是第15号,第88页,归于卢卡斯,1876年),证明从上面恢复了l.h.s.的o.g.f.,归结为加泰罗尼亚o.g.f上的一个微不足道的恒等式,即1/c^2(-x)=1+2*x-(x*c(-x))^2-沃尔夫迪特·朗2012年8月27日
行多项式R(x)的O.g.f:=和{k=0..n}a(n,k)*x^k:
((1+x)-C(z))/(x-(1+x)^2*z)A000108号(加泰罗尼亚语数字)。根据Riordan((C(x)-1)/x,C(x保罗·巴里以上评论。这与Emeric Deutsch公司在公式部分-沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1],Z序列是[2,1]。请参阅下面的W.Lang链接A006232号包含详细信息和参考-沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
发件人沃尔夫迪特·朗,2013年9月20日:(开始)
T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n+1)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),表示单位圆(长度单位为1)中正规n-gon中均匀诱导的对角线/边长比R(n、2*(k+1))=S(2*k+1,ρ(n))。S(n,x)是切比雪夫S多项式(参见A049310型):rho(N)^(2*N+1)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*(k+1)),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034级),出现。关于rho(n)的偶次幂,请参见A039599号.(结束)
示例部分中的三对角Toeplitz生产矩阵P对应于简单李代数A_n的无符号Cartan矩阵,因为n趋于无穷大(参见Damianou ref.inA053122号). -汤姆·科普兰,2015年12月11日(2015年12月月28日修订)
T(n,k)是从原点开始,在n或E方向上,由n个台阶组成的非交叉步行对的数量,这两条路径的端点之间的水平距离为k。参见Shapiro 1976-彼得·巴拉2017年4月12日
加泰罗尼亚数的卷积三角形A000108号. -彼得·卢什尼2022年10月7日
参考文献
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链接
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L.W.夏皮罗,加泰罗尼亚三角,离散数学。14(1976年),第1期,第83-90页。[带注释的扫描副本]
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孙一东、马飞,与加泰罗尼亚三角有关的一些新二项式和,《组合数学电子杂志》21(1)(2014),#P1.33。
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W.-J.Woan、L.Shapiro和D.G.Rogers,加泰罗尼亚数、勒贝格积分和4^{n-2}阿默尔。数学。月刊,104(1997),926-931。
杨胜良、董燕妮、何田晓霞,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式,离散数学340.12(2017):3081-3091。
配方奶粉
第n行:C(2n,n-k)-C(2n、n-k-2)。
a(n,k)=C(2n+1,n-k)*2*(k+1)/(n+k+2)=A050166号(n,n-k)=a(n-1,k-1)+2*a(n-1,k)+a(n-l,k+1)[如果n<0或n<k,a(0,0)=1,a(n,k)=0]-亨利·博托姆利2001年9月24日
发件人菲利普·德尔汉姆2004年2月14日:(开始)
T(n,0)=A000108号(n+1),如果n<k,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+2),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号(m+n+1)。(结束)
T(n,k)=A009766号(n+k+1,n-k)=A033184号(n+k+2,2k+2)-菲利普·德尔汉姆2004年2月14日
和{j>=0}T(k,j)*A039599号(n-k,j)=A028364号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2004年3月4日
反对角和{k=0..n}T(n-k,k)=A000957号(n+3)-杰拉尔德·麦卡维2005年6月5日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,…]生成,其中M=一个无限三对角矩阵,在上对角线和次对角线中有1,在主对角线上有[2,2,2,…]-加里·亚当森2006年12月17日
G.f.:G(t,x)=C^2/(1-txC^2),其中C=(1-sqrt(1-4x))/(2x)是加泰罗尼亚函数。从这里G(-1,x)=C,即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号). -Emeric Deutsch公司2007年1月20日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000957号(n+1),A000108号(n) ,A000108号(n+1),2017年1月(n) ,A049027号(n+1),A076025型(n+1),A076026号(n+1)分别表示x=-2,-1,0,1,2,3,4(见A067345号). -菲利普·德尔汉姆2007年3月21日,2011年11月4日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=4^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A035324号(n,k),A035324号偏移量为0(0≤k≤n)-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日和4月18日
T(n,k)=A039599号(n,k)+A039599号(n,k+1)-菲利普·德尔汉姆,2007年9月11日
求和{k=0..n+1}T(n+1,k)*k^2=A029760号(n) -菲利普·德尔汉姆2007年12月16日
和{k=0..n}T(n,k)*A059841美元(k)=A000984号(n) -菲利普·德尔汉姆2008年11月12日
G.f.:1/(1-xy-2x-x^2/(1-2x-x^2)/(1-2x-x^2。
和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) ,2017年1月(n) ,A194723号(n+1),A194724号(n+1),A194725号(n+1),A194726号(n+1),A194727号(n+1),1949年728年(n+1),A194729号(n+1),A194730型(n+1),x分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德尔汉姆2011年11月3日
发件人彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)
这个三角形将Riordan群分解为(C(x),x*C(x=A033184号*A007318号,其中C(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号.
让U表示主对角线上或下有1的下单位三角形数组,其他地方有0。对于k=0,1,2,。。。将U(k)定义为下单元三角形块数组
/确定0(_k)\
\0 U/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别是,U(0)=U。那么这个数组等于双无限乘积(…*U(2)*U(1)*U。(结束)
发件人彼得·巴拉2015年7月21日:(开始)
O.g.f.g(x,t)=(1/x)*(x/f(x,t))的级数反转,其中f(x,t)=(1+(1+t)*x)^2/(1+t*x)。
1+x*d/dx(G(x,t))/G(x,t)=1+(2+t)*x+(6+4*t+t^2)*x^2+。。。是o.g.fA094527号.(结束)
猜想:和{k=0..n}T(n,k)/(k+1)^2=H(n+1)*A000108号(n) *(2*n+1)/(n+1),其中H(n+1”)=Sum_{k=0..n}1/(k+1)-沃纳·舒尔特2015年7月23日
发件人沃纳·舒尔特2015年7月25日:(开始)
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^2=(2*n+1)*二项式(2*n,n)。(A002457号)
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=4^n*(3*n+2)/2。
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^4=(2*n+1)^2*二项式(2*n,n)。
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^5=4^n*(15*n^2+15*n+4)/4。(结束)
o.g.f.g(x,t)是指g(x、t+1)是A035324号,但偏移量为0,G(x,t-1)是A033184号,偏移量也为0-彼得·巴拉2015年9月20日
用L表示这个下三角阵列;则L*转置(L)是Hankel矩阵(1/(i+j)*二项式(2*i+2*j-2,i+j-1))_i,j>=1的Cholesky因式分解=A172417号读取为方形数组。见张伯兰,第1669页-彼得·巴拉2023年10月15日
例子
三角形T(n,k)开始:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 2 1
2: 5 4 1
3: 14 14 6 1
4: 42 48 27 8 1
5: 132 165 110 44 10 1
6: 429 572 429 208 65 12 1
7:1430 2002 1638 910 350 90 14 1
8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1
9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1
10: 58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1
…由重新格式化和扩展沃尔夫迪特·朗2012年11月13日。
生产矩阵开始:
2, 1
1, 2, 1
0, 1, 2, 1
0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
-菲利普·德尔汉姆2011年11月7日
发件人沃尔夫迪特·朗,2012年11月13日:(开始)
重现性:T(5,1)=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列为[1,2,1]。
Riordan Z序列[2,1]的递归:T(5,0)=132=2*42+1*48。(结束)
发件人沃尔夫迪特·朗,2013年9月20日:(开始)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^5=5*R(n,2)+4*R。对于N=5(只有一条明显对角线的五边形),度数δ(5)=2,因此R(5,4)和R(5、6)可以减少,即分别为R(5,1)=1和R(5,6)=-R(5,1)=-1。因此,rho(5)^5=5*R(N,2)+4*1+1*(-1)=3+5*R。(结束)
MAPLE公司
T: =(n,k)->二项式(2*n,n-k)-二项式#N.J.A.斯隆2013年8月26日
#使用来自的函数PMatrixA357368飞机。在左侧和上方添加行和列。
PMatrix(10,n->二项式(2*n,n)/(n+1))#彼得·卢什尼2022年10月7日
数学
压扁[表[二项式[2n,n-k]-二项式[2],{n,0,9},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月3日*)
黄体脂酮素
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行。
定义A039598号_三角形(n):
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n)内的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
b=非b
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
A039598号_三角形(10)#彼得·卢什尼,2012年5月1日
(岩浆)/*作为三角形:*/[[二项式(2*n,n-k)-二项式:k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年7月22日
(PARI)T(n,k)=二项式(2*n,n-k)-二项式\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年11月7日
交叉参考
的镜像A050166号.行和为2017年1月.
关键词
非n,,容易的,美好的
作者
扩展
一个条目中的拼写错误由更正菲利普·德尔汉姆2007年12月16日
状态
经核准的
A064189号 三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,定义为:T(0,0)=1,如果n<k,T(n,k)=0,T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。 +10
56
1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 21, 30, 25, 14, 5, 1, 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1, 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1, 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1, 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1, 2188, 3610, 3915, 3288, 2235, 1242, 560, 200, 54, 10, 1 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,4
评论
按相反顺序读取莫茨金三角形。
T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,弱位于x轴上方,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和H=(1,0)组成。例如:T(3,1)=5,因为我们有HHU、UDU、HUH、UHH和UUD。第0、1、2和3列给出A001006号(莫茨金数),A002026号(莫茨金数的第一个差异),A005322号A005323号分别是-Emeric Deutsch公司2004年2月29日
Riordan数组(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x^2”,(1-x-sqlt(1-2x-3x^ 2))或(2x))。逆是数组(1/(1+x+x^2),x/(1+x+x^ 2))(A104562号). -保罗·巴里2005年3月15日
应用于A039598号. -菲利普·德尔汉姆2007年2月28日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。为(x,y)选择不同的值会产生其他三角形:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
三角形的等式二项式变换A053121号. -加里·亚当森2008年10月25日
考虑一个带有标记为(n,k)的正方形、秩或行n>=0、文件或列k>=0的半无限棋盘;长度n从(0,0)到(n,k),0<=k<=n的主通道数为T(n,k)。上述循环关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯(Harrie Grondijs)对莫茨金三角的评论A026300型. -约翰内斯·梅耶尔2010年10月10日
参考文献
请参见A026300型以获取更多参考和其他信息。
E.Barcucci、R.Pinzani和R.Sprugnoli,Motzkin家族,P.U.M.A.系列。A、 第2卷,1991年,第3-4期,第249-279页。
链接
保罗·巴里,关于Motzkin-Schröder路径、Riordan阵列和Somos-4序列,J.国际顺序。(2023)第26卷,第23.4.7条。
保罗·巴里,矩序列、变换和蜘蛛网图,arXiv:2307.00098[math.CO],2023年。
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham,Motzkin和Jones单体的幂等统计,arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO],2015。
I.Dolinka、J.East和R.D.Gray,Motzkin幺半群和部分Brauer幺半群,arXiv预印本arXiv:1512.02279[math.GR],2015。
R.Donaghey和L.W.Shapiro,莫茨金数《组合理论》,A辑,23(1977),291-301。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。
萨缪尔·吉拉乌多,树序列和语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。
汤姆·哈尔弗森和西奥多·雅各布森,集部分表与图代数的表示,arXiv:1808.08118[math.RT],2018年。
多纳泰拉·梅里尼和马西莫·诺森蒂尼,避免Riordan模式的语言代数生成函数《整数序列杂志》,第21卷(2018年),第18.1.3条。
杨胜良、董燕妮、何田晓霞,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式,离散数学340.12(2017):3081-3091。
杨胜良、高元元,Pascal菱形和Riordan阵列,光纤。问,56:4(2018),337-347。见图3。
配方奶粉
Sum_{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=3^n。
求和{k=0..n}T(n,k)*T(n、n-k)=T(2*n,n)-T(2*m,n+2)
G.f.:M/(1-t*z*M),其中M=1+z*M+z^2*M^2是Motzkin数的G.f(A001006号). -Emeric Deutsch公司2004年2月29日
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A001006号(m+n)-菲利普·德尔汉姆2004年3月5日
和{k>=0}T(n-k,k)=A005043号(n+2)-菲利普·德尔汉姆2005年5月31日
k列具有例如f.exp(x)*(贝塞尔I(k,2*x)-BesselI(k+2.2*x))-保罗·巴里2006年2月16日
T(n,k)=和{j=0..n}C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j、j+k+2))-保罗·巴里2006年2月16日
第n行由M^n*V生成,其中M=无限三对角矩阵,所有1都在上、主、次对角中;V=无限向量[1,0,0,0,…]。例如,第3行=(4,5,3,1),因为M^3*V=[4,5,3,1,0,0,…]-加里·亚当森2006年11月4日
T(n,k)=A122896号(n+1,k+1)-菲利普·德尔汉姆2007年4月21日
T(n,k)=(k/n)*Sum_{j=0..n}二项式(n,j)*Binominal(j,2*j-n-k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月12日
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*(k+1)=(-1)-沃纳·舒尔特,2015年7月8日
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=(2*n+1)*3^n-沃纳·舒尔特,2015年7月8日
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)=Sum_{n>=k>=0}T(n,k)*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日
T(n,k)=二项式(n,k)*超几何([(k-n)/2,(k-n+1)/2],[k+2],4)-彼得·卢什尼2021年5月19日
关于点x=0展开的函数(1-x^2)*(1+x+x2)^n的n次泰勒多项式的系数以相反的顺序给出了第n行中的项-彼得·巴拉2022年9月6日
例子
三角形开始:
[0]1;
[1] 1, 1;
[2] 2, 2, 1;
[3] 4, 5, 3, 1;
[4] 9, 12, 9, 4, 1;
[5] 21, 30, 25, 14, 5, 1;
[6] 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1;
[7] 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1;
[8] 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1;
[9] 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1.
.
发件人菲利普·德尔汉姆2011年11月4日:(开始)
生产矩阵开始:
1, 1
1, 1, 1
0, 1, 1, 1
0,0,1,1,1
0, 0, 0, 1, 1, 1
0,0,0,1,1(结束)
MAPLE公司
别名(C=二项式):A064189号:=(n,k)->加(C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j、j+k+2)),j=0..n):seq(seq(A064189号(n,k),k=0..n),n=0..10)#彼得·卢什尼2019年12月31日
#使用来自的函数PMatrixA357368飞机。在上面添加一行,在左边添加一列。
PMatrix(10,n->简化(hypergeom([1-n/2,-n/2+1/2],[2],4))#彼得·卢什尼2022年10月8日
数学
T[0,0,x_,y_]:=1;T[n,0,x_,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0||k>n,0,T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];表[T[n,k,1,1],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*)
T[n_,k_]:=二项式[n,k]超几何2F1[(k-n)/2,(k-n+1)/2,k+2,4];
表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
定义A064189号_三角(暗):
M=矩阵(ZZ,dim,dim)
对于范围内的n(dim):M[n,n]=1
对于n in(1..dim-1):
对于k in(0..n-1):
M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k]+M[n-1,k+1]
返回M
A064189号_三角天使(9)#彼得·卢什尼2012年9月20日
(PARI){T(n,k)=如果(k<0||k>n,0,polceoff(polceof(2/(1-x+sqrt(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)+x*O(x^n),n),k))}/*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/
交叉参考
A026300型(此序列的主条目),行颠倒。
行总和给出:A005773号(n+1)或A307789型(n+2)。
关键词
非n,容易的,
作者
N.J.A.斯隆2001年9月21日
扩展
更多术语来自弗拉德塔·乔沃维奇2001年9月23日
状态
经核准的
A061554号 反对偶读取的方表:a(n,k)=二项式(n+k,floor(k/2))。 +10
45
1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 6, 4, 4, 1, 1, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 35, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,4
评论
等价地,按行读取的三角形,其中的行是通过对Pascal三角形行的元素进行排序而获得的(A007318号)按降序排列-菲利普·德尔汉姆2005年5月21日
等价地,作为行读取的三角形,这是T(n,k)=二项式(n,floor(n-k)/2);然后,k列具有例如,f.贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔-I(k+1,2x)-保罗·巴里,2006年2月28日
反对角线和为A037952美元(n+1)=C(n+1,[n/2])。矩阵逆是三角形的行反转A066170号.特征序列为A125094号(n) =和{k=0..n-1}A125093号(n-1,k)*A125094号(k) ●●●●-保罗·D·汉娜,2006年11月20日
Riordan阵列(1/(1-x-x^2*c(x^2)),x*c(x2));其中c(x)=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月17日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
T(n,k)是从(0,k)到某些(n,m)的路径数,这些路径从不低于y=0,至少接触一次y=0并且仅由步骤(1,1)和(1,-1)组成。这可以用Deléham提供的重现性来证明-杰拉尔德·麦卡维2008年10月15日
按行读取的三角形=的部分和A053121号从右边开始-加里·亚当森2008年10月24日
作为“三角形族”的子集(Deleham 2007年9月25日的评论),以A061554号,M=(-1,0)=(1;-1,1;2,-1,1-A089942号; (1,2) -A039599号; (2,3) -A124733号; (3,4) -A124574号; (4,5) -A126331号; ... 这样,由(n,n+1)生成的三角形的二项式变换=由(n+1,n+2)生成的三角。类似地,另一个子集以A053121号-(0,0),采用连续二项式变换得到(1,1)-A064189号; (2,2) -A039598号; (3,3)-A091965号, ... 通过行,(n,n)生成的三角形可以通过从右侧开始的(n-1,n)三角形的两两求和获得。例如,(1,2)的第2行-A039599号= (2, 3, 1); 从右边取两两和,我们得到(5,4,1)=(2,2)的第2行-A039598号. -加里·亚当森2011年8月4日
由行(n)和交替符号(+-+…)组成的三角形从顶部作为一组联立方程求解奇数n(n=2n+1)正多边形的对角线长度。每种情况下的常数都是c=2*cos(2*Pi/N)的幂。举例来说,前3行与七边形有关,联立方程为(1,0,0)=1;(-1,1,0)=c=1.24697。。。;且(2,-1,1)=c^2。答案是1、2.24697…和1.801。。。;具有边=1的七边形的3个不同的对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
链接
里德·阿克顿(Reed Acton)、T.凯尔·彼得森(T.Kyle Petersen)、布莱克·希尔曼(Blake Shirman)和布里吉特·艾琳·坦纳(Bridget Eileen Tenner),洞察力大师,arXiv:2401.11680[math.CO],2024。见第15页。
约翰·西格勒,关于x轴条带中晶格路径的一些注记和猜想,arXiv:1501.04750[math.CO],2015年。
Aoife轩尼诗,Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用,博士论文,沃特福德理工学院,2011年10月。
孙一东、马路平,一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39,157-169(2014),表2.2。
配方奶粉
作为三角形:T(n,k)=二项式(n,m),其中m=楼层((n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2)。
a(0,k)=二项式(k,floor(k/2))=A001405号(k) ;对于n>0 T(n,k)=T(n+1,k-2)+T(n-1,k)。
第n行=M^n*V,其中M=无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,(1,0,0,0,…)位于主对角线。V=无限向量[1,0,0,0,…]。例如:(3,3,1,0,0,0,…)=M^3*V-加里·亚当森2006年11月4日
Sum_{k=0..n}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A001405号(m+n)-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
和{k=0..n}T(n,k)=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A127361号(n) ,A126869号(n) ,A001405号(n) ,A000079号(n) ,A127358号(n) ,A127359号(n) ,A127360型(n) 对于x=-2,-1,0,1,2,3,4-菲利普·德尔汉姆2009年12月4日
例子
阵列开始:
1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, ...
1, 1, 3, 4, 10, 15, 35, 56, 126, 210, ...
1, 1, 4, 5, 15, 21, 56, 84, 210, 330, ...
1、1、5、6、21、28、84、120、330、495。。。
1, 1, 6, 7, 28, 36, 120, 165, 495, 715, ...
1, 1, 7, 8, 36, 45, 165, 220, 715, 1001, ...
1, 1, 8, 9, 45, 55, 220, 286, 1001, 1365, ...
1, 1, 9, 10, 55, 66, 286, 364, 1365, 1820, ...
1, 1, 10, 11, 66, 78, 364, 455, 1820, 2380, ...
1, 1, 11, 12, 78, 91, 455, 560, 2380, 3060, ...
三角形(反对角线)版本开始:
1;
1, 1;
2, 1, 1;
3, 3, 1, 1;
6, 4, 4, 1, 1;
10, 10, 5, 5, 1, 1;
20, 15, 15, 6, 6, 1, 1;
35、35、21、21、7、7、1、1;
70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1;
126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1;
252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1;
462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1; ...
矩阵反转开始:
1;
-1, 1;
-1, -1, 1;
1, -2, -1, 1;
1, 2, -3, -1, 1;
-1, 3, 3, -4, -1, 1;
-1, -3, 6, 4, -5, -1, 1;
1, -4, -6, 10, 5, -6, -1, 1;
1、4、-10、-10、15、6、-7、-1、1。。。
发件人保罗·巴里,2009年5月21日:(开始)
生产矩阵为
1, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,1(结束)
MAPLE公司
T:=proc(n,k)选项记忆;
如果n=k,则1 elif k<0或n<0或k>n,则0
elif k=0,然后T(n-1,0)+T
对于从0到9的n,做seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日
数学
t[n_,k_]=二项式[n,Floor[(n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2]];扁平[表[t[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月31日*)
黄体脂酮素
(PARI)T(n,k)=二项式(n,(n+1)\2-(-1)^(n-k)*((k+1)\2))
交叉参考
关键词
非n,
作者
亨利·博托姆利,2001年5月17日
扩展
条目修订人N.J.A.斯隆2006年11月22日
状态
经核准的
A052179美元 三次格上游动计数中产生的数字三角形。 +10
34
1, 4, 1, 17, 8, 1, 76, 50, 12, 1, 354, 288, 99, 16, 1, 1704, 1605, 700, 164, 20, 1, 8421, 8824, 4569, 1376, 245, 24, 1, 42508, 48286, 28476, 10318, 2380, 342, 28, 1, 218318, 264128, 172508, 72128, 20180, 3776, 455, 32, 1, 1137400, 1447338 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=4*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+4*T(n-1,k)+T(n-l,k+1),对于k>=1-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和四种类型的步骤H=(1,0)组成;例如:T(3,1)=50,因为我们有UDU、UUD、16个HHU路径、16个HUH路径和16个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
Riordan阵列((1-4x-sqrt(1-8x+12x^2))/(2x^ 2),(1-4x sqrt。的反转A159764号. -保罗·巴里2009年4月21日
6^n=(第n行项)点((1,2,3,…)中的第一个n+1项)。示例:6^3=216=(76,50,12,1)点(1,2,3,4)=(76+100+36+4)=216-加里·亚当森2011年6月15日
“三角形族”(2007年9月25日Deléham评论)的一个子集是以三角形开始的二项式变换序列A053121号, (0,0); 给予->A064189号, (1,1); ->A039598号, (2,2); ->A091965号, (3,3); ->A052179美元, (4,4); ->A125906号、(5,5)->等。;通常,由(n,n)生成的三角形的二项式变换=由((n+1),(n+1))生成的变换-加里·亚当森2011年8月3日
链接
里戈伯托·弗洛雷斯、莱安德罗·朱内斯、何塞·拉米雷斯、,n维立方格中路径的进一步结果,《整数序列杂志》,第21卷(2018),第18.1.2条。
R.K.Guy,猫道,沙阶和帕斯卡金字塔,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.1.6。
配方奶粉
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A005572号(m+n)-菲利普·德尔汉姆2005年9月15日
第n行=M^n*V,其中M=无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,(4,4,4,…)位于主对角线。例如,第3行=(76,50,12,1),因为M^3*V=[76,50、12,1,0,0,…]-加里·亚当森2006年11月4日
和{k=0..n}T(n,k)=A005573号(n) -菲利普·德尔汉姆2007年2月4日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=6^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A033543号(n) ,A064613号(n) ,A005572号(n) ,A005573号(n) 对于x=-2,-1,0,1-菲利普·德尔汉姆2009年11月28日
作为无穷下三角矩阵=的二项式变换A091965号和的第四个二项式变换A053121号. -加里·亚当森2011年8月3日
总尺寸:2/(1-4*x-2*x*y+平方(1-8*x+12*x^2))-丹尼尔·切卡2022年8月17日
第m列的G.f.:x^m*(A(x))^(m+1),其中A(x(A005572号). 明确地说,g.f.是x^m*((1-4*x-sqrt(1-8*x+12*x^2))/(2*x*2))^(m+1)-丹尼尔·切卡2022年8月28日
例子
三角形开始:
1;
4, 1;
17、8、1;
76, 50, 12, 1;
354, 288, 99, 16, 1;
...
生产矩阵开始:
4, 1;
1, 4, 1;
0, 1, 4, 1;
0,0,1,4,1;
0, 0, 0, 1, 4, 1;
0, 0, 0, 0, 1, 4, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 1;
-菲利普·德尔汉姆2011年11月4日
MAPLE公司
T: =proc(n,k)选项记忆`如果`(min(n,k)<0,
`如果`(最大(n,k)=0,1,T(n-1,k-1)+4*T(n-1,k)+T(n-l,k+1))
结束时间:
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..10)#阿洛伊斯·海因茨2021年10月28日
数学
t[0,0]=1;t[n,k]/;k<0|k>n=0;t[n_,0]:=t[n,0]=4*t[n-1,0]+t[n-1,1];t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]+4*t[n-l,k]+t[n-1,k+1];扁平[表[t[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年10月10日,在_Philippe Deleham_*之后)
交叉参考
关键词
非n,步行,,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆2000年1月26日
状态
经核准的
A091965号 按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1)、D=(1,-1)和三种类型的步骤H=(1,0)(3-Motzkin步骤的左因子)组成。 +10
33
1, 3, 1, 10, 6, 1, 36, 29, 9, 1, 137, 132, 57, 12, 1, 543, 590, 315, 94, 15, 1, 2219, 2628, 1629, 612, 140, 18, 1, 9285, 11732, 8127, 3605, 1050, 195, 21, 1, 39587, 52608, 39718, 19992, 6950, 1656, 259, 24, 1, 171369, 237129, 191754, 106644, 42498, 12177, 2457 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
T(n,0)=A002212号(n+1),T(n,1)=A045445号(n+1);行总和给出A026378号.
反之亦然A207815型. -加里·亚当森,2006年12月17日[由更正菲利普·德尔汉姆2012年2月22日]
反转A084536号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月23日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由T(0,0)=1给出的行读取,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=3*T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
如果k<0或如果k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
5^n=(第n行项)点((1,2,3,…)中的第一个n+1项)。第4行的示例:5^4=625=(137,132,57,12,1)点(1,2,3,4,5)=(137+264+171+48+5)=625-加里·亚当森2011年6月15日
Riordan数组((1-3*x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x^ 2),(1-3*x-sqort(1-6*x+5*x ^2)(2*x))-菲利普·德尔汉姆2012年2月19日
参考文献
A.Nkwanta,晶格路径和RNA二级结构,离散数学中的DIMACS系列。和理论计算机科学,34,1997,137-147。
链接
文森佐·利班迪,行n=0..100,扁平
张树川和罗伯特·史洛克,格子条上磁场中Potts模型的配分函数和传递矩阵的结构《J.Stat.Physics》137(2009)667,表5。
赫尔穆特·普罗丁格,Motzkin路径的振幅,arXiv:2104.07596[math.CO],2021。提到这个序列。
赫尔穆特·普罗丁格,多边缘树和三色Motzkin路径:双向问题,arXiv:2105.03350[math.CO],2021。
赫尔穆特·普罗丁格,加权一元二叉树、六叉树、标记有序树和相关结构,arXiv:2106.14782[math.CO],2021年。
配方奶粉
G.f.:G=2/(1-3*z-2*t*z+平方(1-6*z+5*z^2))。或者,G=M/(1-t*z*M),其中M=1+3*z*M+z^2*M^2。
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A002212号(m+n+1)-菲利普·德尔汉姆2005年9月14日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,…]生成,其中M=无限三对角矩阵,上对角线和次对角线中有1,主对角线为[3,3,3,…]-加里·亚当森2006年12月17日
Sum_{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=5^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A117641号(n) ,A033321美元(n) ,A007317号(n) ,A002212号(n+1),A026378号(n+1)分别针对x=-3,-2,-1,0,1-菲利普·德尔汉姆2009年11月28日
T(n,k)=(k+1)*和{m=k.n}二项式(2*(m+1),m-k)*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁,2011年10月8日
第n行多项式R(n,x)等于关于点x=0展开的函数(1-x^2)*(1+3*x+x2)^n的第n次泰勒多项式-彼得·巴拉2022年9月6日
例子
三角形开始:
1;
3, 1;
10, 6, 1;
36, 29, 9, 1;
137, 132, 57, 12, 1;
543, 590, 315, 94, 15, 1;
2219, 2628, 1629, 612, 140, 18, 1;
T(3,1)=29,因为我们有UDU、UUD、9个HHU路径、9个HUH路径和9个UHH路径。
生产矩阵开始
3, 1;
1, 3, 1;
0, 1, 3, 1;
0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
-菲利普·德尔汉姆2011年11月7日
数学
nmax=9;t[n,k_]:=((k+1)*n*超几何2F1[k+3/2,k-n,2k+3,-4])/((k+1)*(n-k)!);扁平[表[t[n,k],{n,0,nmax},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月14日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
T[0,0,x_,y_]:=1;T[n_,0,x_,y_]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y_]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0|k>n,0,
T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];
表[T[n,k,3,3],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
黄体脂酮素
(最大值)
T(n,k):=(k+1)*和(二项式(2*(m+1),m-k)*二项式/弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年10月8日*/
(鼠尾草)
@缓存函数
定义A091965号(n,k):
如果n==0且k==0:返回1
如果k<0或k>n:返回0
如果k==0:返回3*A091965号(n-1,0)+A091965号(n-1,1)
返回A091965号(n-1,k-1)+3*A091965号(n-1,k)+A091965号(n-1,k+1)
对于(0..7)中的n:
[A091965号(n,k)对于(0..n)]中的k#彼得·卢什尼2012年11月5日
交叉参考
囊性纤维变性。A002212号,A045445号,A026378号.
囊性纤维变性。A123965号.
关键词
非n,
作者
Emeric Deutsch公司2004年3月13日
状态
经核准的
A038622号 计算有根多边形的三角形数组。 +10
32
1, 2, 1, 5, 3, 1, 13, 9, 4, 1, 35, 26, 14, 5, 1, 96, 75, 45, 20, 6, 1, 267, 216, 140, 71, 27, 7, 1, 750, 623, 427, 238, 105, 35, 8, 1, 2123, 1800, 1288, 770, 378, 148, 44, 9, 1, 6046, 5211, 3858, 2436, 1296, 570, 201, 54, 10, 1, 17303, 15115, 11505, 7590, 4302, 2067, 825, 265 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
PARI程序以正方形或直角三角形数组格式给出该三角形数组的任意行k和任意第n项-Randall L Rathbun公司,2002年1月20日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=2*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+T(n-l,k)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
按行读取的三角形=的部分和A064189号从右边开始-加里·亚当森2008年10月25日
第k列有例如f.exp(x)*(贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔-I(k+1,2x))-保罗·巴里2011年3月8日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..120行,展平
D.Gouyou-Beauchamps和G.Viennot,二维有向动物问题与一维路径问题的等价性,申请中的高级。数学。9(1988),第3期,334-357。见第340页的表1。
配方奶粉
对于k>0,a(n,k)=a(n-1,k-1)+a(n-1,k)+a。
Riordan阵列((平方(1-2x-3x^2)+3x-1)/(2x(1-3x)),(1-x-sqrt(1-2x-3x^ 2))/(2 x))。Riordan数组的逆((1-x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x*2))。第一列是A005773号(n+1)。行总和为3^n(A000244号). 如果L=A038622号,则L*L'是的Hankel矩阵A005773号(n+1),其中L'是L的转置-保罗·巴里2006年9月18日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbaurerC(n-k-1,-n+1、-1/2)。在这种形式中,三角形1,1,1,3,7,19的第一列也缺失了,。。。(参见。A002426号)可以计算-彼得·卢什尼2016年5月12日
发件人彼得·巴拉,2021年7月12日:(开始)
T(n,k)=和{j=k.n}二项式(n,j)*二项式。
Riordan阵列的矩阵乘积(1/(1-x),x/(1-x=A007318号*A061554号(三角形版本),其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.
三角形等于A007318号^(-1) *A092392号*A007318号.(结束)
第n行多项式R(n,x)等于关于点x=0展开的函数(1+x)*(1+x+x^2)^n的第n次泰勒多项式-彼得·巴拉2022年9月6日
例子
发件人保罗·巴里,2011年3月8日:(开始)
三角形开始
1;
2, 1;
5、3、1;
13, 9, 4, 1;
35, 26, 14, 5, 1;
96, 75, 45, 20, 6, 1;
267, 216, 140, 71, 27, 7, 1;
750、623、427、238、105、35、8、1;
2123, 1800, 1288, 770, 378, 148, 44, 9, 1;
生产矩阵为
2, 1,
1, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1
(结束)
MAPLE公司
T:=(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbaurerC(n-k-1,-n+1、-1/2)):
对于从1到9的n,做序列(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日
数学
nmax=10;t[n/;n>0,k_/;k>=1]:=t[n,k]=t[n-1,k-1]+t[n-1,k]+t[n-1,k+1];t[0,0]=1;t[0,_]=0;t[_?阴性,_?阴性]=0;t[n,0]:=2 t[n-1,0]+t[n-1,1];扁平[表[t[n,k],{n,0,nmax},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)s=[0,1];{A038622号(n,k)=如果(n==0,1,t=(2*(n+k)*;s[1]=s[2];s[2]=t;t) }
(哈斯克尔)
导入数据。列表(转置)
a038622 n k=a038622_tabl!!不!!k
a038622_行n=a038622 _ tabl!!n个
a038622_tabl=迭代(\row->映射和$
转置[尾行++[0,0],行++[0],[头行]++行])[1]
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A005773号(第1列),A005774号(第2列),A005775号,A066822号,A000244号(行总和)。
关键词
非n,,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆,torsten.sillke(AT)lhsystems.com
扩展
更多术语来自大卫·W·威尔逊
状态
经核准的
A089942号 应用于A039599号. +10
32
1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 6, 6, 3, 1, 6, 15, 15, 10, 4, 1, 15, 36, 40, 29, 15, 5, 1, 36, 91, 105, 84, 49, 21, 6, 1, 91, 232, 280, 238, 154, 76, 28, 7, 1, 232, 603, 750, 672, 468, 258, 111, 36, 8, 1, 603, 1585, 2025, 1890, 1398, 837, 405, 155, 45, 9, 1, 1585, 4213, 5500 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0.8
评论
的反面A071947号-与晶格路径相关。第一列是A005043号.
三角形T(n,k),0<=k<=n,定义为:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,1),T(n、k)=T-菲利普·德尔汉姆,2007年2月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。为(x,y)选择不同的值会产生其他三角形:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
Riordan数组(f(x),x*g(x)),其中f(xA005043号g(x)是A001006号. -菲利普·德尔汉姆2009年11月22日
Riordan阵列((1+x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x(1+x)),(1-x-sqort(1-2x-3x^2,)/(2 x))。Riordan数组的逆((1+x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x*2))。第k列的E.g.f.为exp(x)*(贝塞尔_I(k,2x)-贝塞尔_I(k+1,2x))。
对角线总和为A187306号.
使用前n行的联立方程求解奇数n=(2n+1)正多边形的对角线长度,常数为c^0,c^1,c^2。。。;其中c=1+2*cos(2*Pi/N)=sin(3*Pi/N)/sin(Pi/N”)=N>5的第三长对角线。举例来说,取与9边形(非边形)相关的前4行,N=(2*4+1),其中c=1+2*cos(2*Pi/9)=2.5320888……联立方程为(1,0,0,0)=1;(0,1,0,0)=c;(1,1,1,0)=c^2,(1,3,2,1)=c^3。答案是1、2.532…、2.879…和1.879。。。;边=1的9边(非边)的四个不同对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
链接
P.Barry和A.Hennessy,四项递归、正交多项式和Riordan数组《整数序列杂志》,2012年,第12.4.2.-条发件人N.J.A.斯隆2012年9月21日
E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005),第101-122页。
D.Merlini、D.G.Rogers、R.Sprugnoli和M.C.Verri,关于Riordan阵列的一些替代特征,卡纳德·J·数学。,49 (1997), 301-320.
孙一东;马路平一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39、157-169(2014)表2.2
配方奶粉
G.f.:(1+z-q)/[(1+z)(2z-t+tz+tq)],其中q=sqrt(1-2z-3z^2)。
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A005043号(m+n)-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
和{k=0..n}T(n,k)*(2k+1)=3^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
和{k=0..n}T(n,k)*2^k=A112657号(n) -菲利普·德尔汉姆2007年4月1日
T(n,2k)+T(n、2k+1)=A109195号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1/2),对于1<=k<=n-彼得·卢什尼2016年5月12日
例子
三角形开始
1,
0, 1,
1, 1, 1,
1, 3, 2, 1,
3, 6, 6, 3, 1,
6, 15, 15, 10, 4, 1,
15, 36, 40, 29, 15, 5, 1,
36, 91, 105, 84, 49, 21, 6, 1,
91, 232, 280, 238, 154, 76, 28, 7, 1
生产矩阵为
0, 1,
1, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0,0,0,0,0,0,1,1,1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1
MAPLE公司
T: =(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1/2)):对于n从1到9的do-seq(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日
#或通过重复:
T:=proc(n,k)选项记忆;
如果n=k,则1 elif k<0或n<0或k>n,则0
elif k=0,然后T(n-1,1),否则T
对于从0到9的n,做seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日
数学
T[n_,k_]:=GegenbauerC[n-k,-n+1,-1/2]-GegenbauerC[n-k-1,-n+1,-1/2];表[T[n,k],{n,1,10},{k,1,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年2月28日*)
交叉参考
行总和给出A002426号(中心三项式系数)。
关键词
非n,
作者
保罗·巴里2003年11月16日
扩展
编辑人Emeric Deutsch公司2004年3月4日
状态
经核准的
A111418号 帕斯卡三角形奇数行的右侧。 +10
32
1, 3, 1, 10, 5, 1, 35, 21, 7, 1, 126, 84, 36, 9, 1, 462, 330, 165, 55, 11, 1, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1, 24310, 19448, 12376, 6188, 2380, 680, 136, 17, 1, 92378, 75582, 50388 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,2
评论
Riordan数组(c(x)/sqrt(1-4*x),x*c(xA000108号。的未签名版本A113187号对角线和为A014301号(n+1)。
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下定义的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=3*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1),对于k>=1-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
反转A122366号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
k列有例如f.exp(2x)(贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔_I(k+1,2x))-保罗·巴里2007年6月6日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
对角线总和为A014301号(n+1)-保罗·巴里2011年3月8日
这个三角形T(n,k)出现在斐波那契数F的奇幂展开式中=A000045号以奇数的倍数作为指数的F数表示。参见Ozeki参考,第108页,引理2。公式是:F_l^(2*n+1)=和(T(n,k)*(-1)^(n-k)*-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
中心术语给出A052203号. -莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月14日
这个三角形出现在(4*x)^n的展开式中,根据多项式Todd(n,x):=T(2*n+1,sqrt(x))/sqrt(x)=sum(A084930号(n,m)*x^m),n>=0。这是根据下三角Riordan矩阵的反演A084930号并比较行多项式的g.f-沃尔夫迪特·朗2014年8月5日
发件人沃尔夫迪特·朗2014年8月15日:(开始)
这个三角形是有符号Riordan三角形(-1)^(n-m)的倒数*A111125号(n,m)。
这个三角形T(n,k)出现在x^n的展开式中,用多项式todd(k,x):=T(2*k+1,sqrt(x)/2)/(sqrtA053120元A049310型分别为:x^n=总和(T(n,k)*todd(k,x),k=0..n)。将此与前面的注释进行比较。
这个Riordan三角形的A和Z序列是[1,2,1,重复0]和[3,1,反复0]。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参阅下面的W.Lang链接A006232号这与菲利普·德勒姆(Philippe Deléham)2007年3月22日的评论中给出的复发情况相对应。(结束)
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..125行,展平
保罗·巴里,关于序列的Hurwitz变换《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.8.7号。
E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005),第101-122页。
Asamoah Nkwanta和Earl R.Barnes,两个加泰罗尼亚型Riordan阵列及其与第一类切比雪夫多项式的联系,《整数序列期刊》,第12.3.32012条。
A.Nkwanta、A.Tefera、,加泰罗尼亚生成函数和数的奇异关系和恒等式《整数序列杂志》,16(2013),#13.9.5。
K.Ozeki,关于Melham的总和,斐波纳契夸脱。46/47(2008/2009),编号2107-110。
孙一东;马路平一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39,157-169(2014),表2.2。
配方奶粉
T(n,k)=C(2*n+1,n-k)。
和{k=0..n}T(n,k)=4^n。
和{k,0<=k<=n}(-1)^k*T(n,k)=二项式(2*n,n)=A000984号(n) -菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
T(n,k)=总和{j=k.n,C(n,j)*2^(n-j)*C(j,floor((j-k)/2))}-保罗·巴里2007年6月6日
Sum_{k,k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=2017年1月(m+n)-菲利普·德尔汉姆2009年11月22日
G.f.行多项式:((1+x)-(1-x)/sqrt(1-4*z))/(2*(x-(1+x)^2*z)
(请参阅上文注释中提到的Riordan属性)-沃尔夫迪特·朗2014年8月5日
例子
发件人沃尔夫迪特·朗,2014年8月5日:(开始)
三角形T(n,k)开始于:
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 3 1
2: 10 5 1
3: 35 21 7 1
4: 126 84 36 9 1
5: 462 330 165 55 11 1
6: 1716 1287 715 286 78 13 1
7: 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
8: 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
9: 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
10: 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
...
展开示例(有关Todd多项式,请参见A084930号以及上面的评论):
(4*x)^2=10*托德(n,0)+5*托德。
(4*x)^3=35*1+21*(-3+4*x)+7*(5-20*x+16*x^2)+(-7+56*x-112*x^2+64*x^3)*1。(结束)
---------------------------------------------------------------------
生产矩阵为
3, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0,0,1,2,1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
-保罗·巴里2011年3月8日
斐波那契数F奇数幂的应用,第n=2行:
F_l^5=(10*(-1)^(2*(l+1)))*F_l+5*(-1-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
数学
表[二项式[2*n+1,n-k],{n,0,10},{k,0,n}](*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
T[0,0,x_,y_]:=1;T[n,0,x_,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y_]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0|k>n,0,
T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];
表[T[n,k,3,2],{n,0,10},{k,0,n}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a111418 n k=a111418_tabl!!不!!k
a111418_row n=a111418-tabl!!n个
a111418_tabl=地图背面a122366_tabl
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月14日
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A113187号.
关键词
容易的,非n,
作者
菲利普·德尔汉姆2005年11月13日
状态
经核准的
第页12

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