搜索: a126954-编号:a126954
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10 133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的晶格路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过x-y=k线,且仅位于该线上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNNE,EENNEN,EENENN,ENEENN,NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径,从(0,0)开始,到(2n,0)结束,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成)。示例:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d),uud(d)u(d),u(d)u(d)du,u(d)duu(d)和duu(d)u(d)(向下返回x轴显示在括号之间)-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0…]生成,其中M是无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,[1,2,2,2,2,2,2,2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:
从(0,0)到(2n,2k)的2n步行走次数,由步长u=(1,1)和d=(1,-1)组成,路径保持在非负象限中。例如:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuu d,uuuudu,uuuduu,uuduuu,uduuuu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.,则和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081美元,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号,对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆,2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形;请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇数整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256-加里·亚当森,2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度;常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9边(非边)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888……方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c^2;(5,9,5,1)=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。;边=1的9边形(非边形)的四个不同对角线长度。(参见中的注释A089942号它使用类似的运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)。)-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1)给出,其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏,2013年4月30日
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),根据单位圆(长度单位1)内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R(n、2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫S多项式(参见A049310型):
ρ(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034级),出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第796页。
T.Myers和L.Shapiro,序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木,众议员。,204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利(Jonathan E.Beagley)和保罗·德鲁布(Paul Drube),Tableau反演的组合数学,电子。J.Combina.,22(2015),#P2.44。
安德鲁·洛布,推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》,第83卷,第496号(1999年3月),第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero,加泰罗尼亚三角数的幂和,arXiv:1602.04347[math.NT],2016(见2.8)。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学。,第14卷,第4期(1957年),405-414:124。[注意:有一个输入错误]
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配方奶粉
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T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。
T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。
G.f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)
T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。总和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108号:加泰罗尼亚语的数字。
T(n,0)=A000108号(n) ;如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
如果n<0或n<k,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1)。
三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=*A085478号(n,k)。
和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。
和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。
和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310号(n) 。
求和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。
T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(n,j)*二项式(j,k)。
如果求和{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1),则求和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n。
和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。
(结束)
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108号(n+j)-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1)-彼得·卢什尼2016年5月13日
T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-7)/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-3)*(2*n-9)/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2:2 3 1
3: 5 9 5 1
4:14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0,0,1,2,1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1(结束)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n/5)=
2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度数△(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以减少,即分别为R(4,1)=1和R(4],5)=-R(4,1)=-1。因此,ρ(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于从0到12的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=n,则1 elif k>n,则0 elif k=0,则T(n-1,0)+T
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..9)od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*)
连接[{1},扁平[Table[二项式[2n-1,n-k]-二项式[2],{n,10},{k,0,n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*)
压扁[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
b=非b
(岩浆)/*作为三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪,2015年10月16日
(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)
三角行(n)=对于(x=0,n-1,对于(y=0,x,print1(a(y,x),“,”));打印(“”)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 14, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 0, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 42, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 0, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 132, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.8
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评论
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有墙行走:从(0,0)到(n,m)的n步行走次数的三角形,其中每一步都从(a,b)到(a+1,b+1)或(a+1、b-1),并且路径保持在非负象限内。
T(n,m)是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如:T(4,2)=3,因为我们有UDUU、UUDU和UUUD,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。(这基本上是与前面的wall属性walk不同的公式。)-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡尔三角形相同,只是竖条的左边不能出现数字。”[Conway and Smith]
对于行多项式p(n,x):=和{m=0..n}(a(n,m)*x^m):c(z^2)/(1-x*z*c(z*2))。行总和(x=1):A001405号(中心二项式)。
在夏皮罗等人的语言中,这种下三角(普通)卷积阵列被视为矩阵,属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv(x)(此处A049310型)由Ginv(x)=(f^{(-1)}(x))/x从其m=0列的g.f.(此处g(x)=1/(1+x^2))获得,其中f(x):=x*g(x),f^{(-1){是f的成分反函数(此处我们发现Ginv,0)=1,c(x^2”)。参见Shapiro等人的参考。
{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有2134、4231和3214。{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243、1324和2134。避开图案213并且正好具有k个不动点的{1,2,…,n}的对合的数目。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243、1432和4231-Emeric Deutsch公司2006年10月12日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
按不带零的列,第n行=A000108号与自身卷曲了n次;相当于A=(1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…),则第n行=A^(n+1)的系数-加里·亚当森2009年5月13日
作为右上角三角形,行表示5平方(24)的幂:
5平方码(24)^1=0.101020514。。。
5平方码(24)^2=0.010205144。。。
5平方(24)^3=0.001030928。。。
(除以sqrt(96),这些幂表示A007318号,中间列为1/sqrt(96)。)(结束)
T(n,k)是具有k(1,0)个步长的长度为n的分散Dyck路径(即,长度为n且在正高度没有(1,0)个步长的Motzkin路径)的数目。例如:T(5,3)=4,因为表示U=(1,1),D=(1,-1),H=1,0),我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH-Emeric Deutsch公司2011年6月1日
设S(N,x)表示x中的第N个切比雪夫S多项式(参见A049310型,参见[W.Lang])。那么x^n=sum_{k=0..n}T(n,k)*S(k,x)-L.埃德森·杰弗里2012年9月6日
这个三角形a(n,m)也出现在有理数ρ(n)=2*cos(Pi/n)=R(n,2)上代数数的幂ρ
rho(N)^N=总和(a(N,m)*R(N,m+1),m=0..N),N>=0,在N>=1中相同。R(N,j)=S(j-1,x=rho(N))(切比雪夫S(A049310型)). 请参阅以下对此的评论A039599号(甚至权力)和A039598号(奇数幂)。证据:见L.Edson Jeffery于2012年9月6日发表的评论,该评论源于T(n,k)(此处称为a(n,k))是Riordan三角形的倒数A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年9月21日
贝尔型Riordan三角形的所谓A序列(c(x^2),x*c(x^2))(见上面的注释)是A(x)=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1),n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z(x)=x,它证明了递归a(n,0)=a(n-1,1),n>=1,a(0,0)=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参阅下面的W.Lang链接A006232号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
三角形行描述了李代数sl(2)的标准(二维)表示的张量幂分解为不可约。因此,a(n,m)是标准表示的第n张量幂的第m(m+1)维)不可约表示的重数-马穆卡·吉卜拉泽2015年5月26日
Riordan行多项式p(n,x)属于Boas-Buck类(参见中的注释和参考A046521号)因此,它们满足Boas-Buck恒等式:(E_x-n*1)*p(n,x)=(E_x+1)*Sum_{j=0..n-1}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*p(n-1-j,x),对于n>=0,其中E_x=x*d/dx(Euler算子)。对于三角形a(n,m),这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
对于第n行,非零值表示由x轴上方和下方n+1个互不相交的拱形成的奇数分量(回路),约束条件如下:顶部有地板((n+3)/2),起始拱位于位置1和下一个连续奇数位置。所有其他起始顶部拱门位置均匀。底部的拱门是彩虹状的拱门。如果分量=1,则拱结构为半弯曲解。
示例:对于第3{0,2,0,1}行,有3个拱配置:2个拱配置的组件=1;1有一个组件=3。c=组件,U=顶部拱从奇数位置开始,U=顶部拱在偶数位置开始;d=顶部拱结束:
.
top UuUdUddd c=3 top UdUuUddd c=1 top Ud UdUudd c=1
/\ /\
//\\ / \
// \\ / /\ \ /\
// \\ / / \ \ / \
///\ /\\\ /\ / / /\ \ \ /\ /\ / /\ \
\\\ \/ /// \ \ \ \/ / / / \ \ \ \/ / / /
\\\ /// \ \ \ / / / \ \ \ / / /
\\\///\\\///\\\////
\\// \ \ / / \ \ / /
\/ \ \/ / \ \/ /
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对于第4{2,0,3,0,1}行,有6个拱形配置:2有一个组件=1;3具有组件=3:1具有组件=1。(结束)
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参考文献
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J.H.Conway和D.A.Smith,《四元数和八元数》,A K Peters,Ltd.,马萨诸塞州纳提克,2003年。见第60页。MR1957212(2004a:17002)
A.Nkwanta,晶格路径和RNA二级结构,《非裔美国人数学》,编辑N.Dean,Amer。数学。Soc.,1997年,第137-147页。
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链接
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E.Deutsch、A.Robertson和D.Saracino,精细限制对合《欧洲组合数学杂志》28(2007),481-498(见第486和498页)。
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp,帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》,35(1997),318-328。
Frank Ruskey和Mark Weston,具有对合等距的球面维恩图,《组合学电子期刊》,第18期(2011年),第191期。
L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson,Riordan集团,离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
W.-J.Woan,加泰罗尼亚小径面积,离散数学。,226 (2001), 439-444.
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配方奶粉
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a(n,m):如果n<m或n-m奇数,则=0,否则a(n、m)=(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1);
a(n,m)=(4*(n-1)*a(n-2,m)+2*(m+1)*a。
第m列的G.f.:c(x^2)*(x*c(x*2))^m,其中c(x)=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
如果n>0且m>=0,a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1),如果m>0,a(0,0)=1,如果m>0,a(0,m)=0,如果m<0,a(n,m)=0-亨利·博托姆利2001年1月25日
如果m+n是奇数,则求和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=0;和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号((m+n)/2)如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
T(n,k)=和{i=0..n,(-1)^(n-i)*C(n,i)*和{j=0..i,C(i,j)*(C(i-j,j+k)-C(i-j、j+k+2))}};k列具有例如,f.BesselI(k,2x)-BesselI(k+2,2x)-保罗·巴里2006年2月16日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
行多项式C(n,x)的递归性:=和{m=0..n}a(n,m)*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat(k)*C(n-1-k,x),n>=0,其中C(-1,1/x)=1/x和Chat(k)=A000108号(k/2)如果n是偶数,否则为0。从行多项式的o.g.f:g(z;x):=Sum_{n>=0}C(n,x)*z^n=C(z^2)*(1+x*z*g(z,x))开始A000108号. -艾哈迈德·扎希德KÜÇÜK和沃尔夫迪特·朗2015年8月23日
m列序列的Boas-Buck递推(见上文注释)为:a(n,m)=((m+1)/(n-m))*Sum_{j=0..n-1-m}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*a(n-1-j,k),对于n>m>=0,输入a(m,m)=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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三角形a(n,m)开始于:
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 2 0 3 0 1
5: 0 5 0 4 0 1
6: 5 0 9 0 5 0 1
7:0 14 0 14 0 6 0 1
8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1
9: 0 42 0 48 0 27 0 8 0 1
10: 42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1
例如,第四行对应于多项式p(3,x)=2*x+x^3。
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,0,0,0,1,0,1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,0,0,1,0,1(结束)
列k=2,n=6的Boas-Buck递推:a(6,2)=(3/4)*(0+2*a(4,2)+0+6*a(2,2))=(3/4)*(2*3+6)=9-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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T: =proc(n,k):如果n+k mod 2=0,则(k+1)*二项式(n+1,(n-k)/2)/(n+1)else 0 fi end:对于从0到13的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#生成三角形序列;Emeric Deutsch公司2006年10月12日
F: =proc(l,p)如果((l-p)mod 2)=1,则为0,否则为(p+1)*l/(((l-p)/2)!*((l+p)/2+1)!);fi;结束;
r: =n->[序列(F(n,p),p=0..n)];[序列(r(n),n=0..15)]#N.J.A.斯隆2011年1月29日
A053121号:=proc(n,k)选项记忆`如果`(k>n或k<0,0,`如果`(n=k,1,
进程名(n-1,k-1)+进程名(n-1,k+1))结束进程:
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数学
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a[n,m]/;n<m||奇数Q[n-m]=0;a[n_,m_]=(m+1)二项式[n+1,(n-m)/2]/(n+1);扁平[表[a[n,m],{n,0,12},{m,0,n}][[1;;90]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a053121 n k=a053121_tab!!不!!k
a053121_row n=a053121.tabl!!n个
a053121_tabl=迭代
(\row->zipWith(+)([0]++行)(尾行++[0,0]))[1]
(鼠尾草)
M=矩阵(ZZ,dim,dim)
对于n in(0..dim-1):M[n,n]=1
对于n in(1..dim-1):
对于k in(0..n-1):
M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k+1]
返回M
(PARI)T(n,m)=如果(n<m||(n-m)%2,返回(0));(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1)
对于(n=0,9,对于(m=0,n,打印1(T(n,m)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A039598号
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| 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 |
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+10 68
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1, 2, 1, 5, 4, 1, 14, 14, 6, 1, 42, 48, 27, 8, 1, 132, 165, 110, 44, 10, 1, 429, 572, 429, 208, 65, 12, 1, 1430, 2002, 1638, 910, 350, 90, 14, 1, 4862, 7072, 6188, 3808, 1700, 544, 119, 16, 1, 16796, 25194, 23256, 15504, 7752, 2907, 798, 152, 18, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Riordan阵列((1-2x-sqrt(1-4x))/(2x^2),(1-2x-sqrt(1-4x))/(2x))。反向数组为A053122号. -保罗·巴里,2005年3月17日
T(n,k)是n个台阶的行走次数,每个台阶沿n、S、W或E方向,从原点开始,保持在上半平面,并在高度k处结束(参见R.K.盖伊参考文献,第5页)。例如:T(3,2)=6,因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-Emeric Deutsch公司2005年4月15日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由T(0,0)=1给出的行读取,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=2*T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
从(0,0)到(2n+1,2k+1)的(2n+1)-步数,包括步数u=(1,1)和d=(1,-1),其中路径位于非负象限。示例:T(2,0)=5,因为我们有uuudd、uudud、uuddu、uduud、ududu;T(2,1)=4,因为我们有uuud,uuudu,uuduu,uduuu;T(2,2)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日和4月18日
按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和两种类型的步骤H=(1,0)组成;示例:T(3,1)=14,因为我们有UDU、UUD、4个HHU路径、4个HUH路径和4个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
如果k<0或如果k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
带偏移量[1,1],这是(普通)卷积三角形a(n,m),m列的o.g.f.由(c(x)-1)^m给出,其中c(xA000108号参见Riordan评论保罗·巴里.
T(n,k)也是具有k个不动点的(n链的)保序完全变换的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
T(n,k)/2^(2n+1)=n=2n+3.-阶最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko(Pavel(AT)Holoborodko.com),2008年12月19日
有符号三角形S(n,k):=(-1)^(n-k)*T(n,k)提供了f(n,l):=l(2*l)*5^n*f(2*l)^(2*n+1)(f=Fibonacci数A000045号,L=卢卡斯数A000032号)和F(4*l*(k+1)),k=0。。。,n、 对于每个l>=0:f(n,l)=Sum{k=0..n}S(n,k)*f(4*l*(k+1)),n>=0,l>=0。证明:l.h.s.的o.g.f.,g(l;x):=Sum_{n>=0}f(n,l)*x^n=f(4*l)/(1-5*f(2*l)^2*x)与r.h.s的o.f.相匹配:在交换n-和k-求和之后,s=(C(x)/x,C(x保罗·巴里),C(x):=1-C(-x),o.g.f.C(x)为A000108号(加泰罗尼亚数字),用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F(4*l*(k))*GS(k;x),三角形S的k列的o.g.F是GS(k;x):=和{n>=k}S(n,k)*x^n=C(x)^(k+1)/x。结果是GF(l;C(x*F(4*l)/(1-l(4*1)*x+x^2)(参见A049670号、和A028412号). 如果使用,则恒等式L(4*n)-5*F(2*n)^2=2(在科西的书中[参考A065563号]这是第15号,第88页,归于卢卡斯,1876年),证明从上面恢复了l.h.s.的o.g.f.,归结为加泰罗尼亚o.g.f上的一个微不足道的恒等式,即1/c^2(-x)=1+2*x-(x*c(-x))^2-沃尔夫迪特·朗2012年8月27日
行多项式R(x)的O.g.f:=和{k=0..n}a(n,k)*x^k:
这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1],Z序列是[2,1]。请参阅下面的W.Lang链接A006232号包含详细信息和参考-沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n+1)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),表示单位圆(长度单位为1)中正规n-gon中均匀诱导的对角线/边长比R(n、2*(k+1))=S(2*k+1,ρ(n))。S(n,x)是切比雪夫S多项式(参见A049310型):rho(N)^(2*N+1)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*(k+1)),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034级),出现。关于rho(n)的偶次幂,请参见A039599号.(结束)
示例部分中的三对角Toeplitz生产矩阵P对应于简单李代数A_n的无符号Cartan矩阵,因为n趋于无穷大(参见Damianou ref.inA053122号). -汤姆·科普兰,2015年12月11日(2015年12月月28日修订)
T(n,k)是从原点开始,在n或E方向上,由n个台阶组成的非交叉步行对的数量,这两条路径的端点之间的水平距离为k。参见Shapiro 1976-彼得·巴拉2017年4月12日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第796页。
B.A.Bondarenko,《广义帕斯卡三角和金字塔(俄语)》,FAN,塔什干,1990年,ISBN 5-648-00738-8。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
何塞·阿加皮托(JoséAgapito)、恩格拉·梅斯特雷(ngela Mestre)、玛丽亚·托雷斯(Maria M.Torres)和帕斯奎尔·佩特鲁洛(Pasquale Petrullo),关于单参数加泰罗尼亚数组《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.5.1条。
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Xi Chen、H.Liang和Y.Wang,递归矩阵的全正性,arXiv:1601.05645[math.CO],2016年。
Xi Chen、H.Liang和Y.Wang,递归矩阵的全正性《线性代数及其应用》,第471卷,2015年4月15日,第383-393页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd,多烯烃类的计数:一个完整的数学解决方案,J.化学。Inf.计算。科学。,35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
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L.W.夏皮罗,加泰罗尼亚三角,离散数学。,14, 83-90, 1976.
L.W.夏皮罗,加泰罗尼亚三角,离散数学。14(1976年),第1期,第83-90页。[带注释的扫描副本]
Charles Zhao-Chen Wang和Yi Wang,加泰罗尼亚三角的总正性,离散数学。338(2015),第4期,566--568。MR3300743。
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配方奶粉
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第n行:C(2n,n-k)-C(2n、n-k-2)。
a(n,k)=C(2n+1,n-k)*2*(k+1)/(n+k+2)=A050166号(n,n-k)=a(n-1,k-1)+2*a(n-1,k)+a(n-l,k+1)[如果n<0或n<k,a(0,0)=1,a(n,k)=0]-亨利·博托姆利2001年9月24日
T(n,0)=A000108号(n+1),如果n<k,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+2),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号(m+n+1)。(结束)
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,…]生成,其中M=一个无限三对角矩阵,在上对角线和次对角线中有1,在主对角线上有[2,2,2,…]-加里·亚当森2006年12月17日
G.f.:G(t,x)=C^2/(1-txC^2),其中C=(1-sqrt(1-4x))/(2x)是加泰罗尼亚函数。从这里G(-1,x)=C,即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号). -Emeric Deutsch公司2007年1月20日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=4^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
G.f.:1/(1-xy-2x-x^2/(1-2x-x^2)/(1-2x-x^2。
让U表示主对角线上或下有1的下单位三角形数组,其他地方有0。对于k=0,1,2,。。。将U(k)定义为下单元三角形块数组
/确定0(_k)\
\0 U/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别是,U(0)=U。那么这个数组等于双无限乘积(…*U(2)*U(1)*U。(结束)
O.g.f.g(x,t)=(1/x)*(x/f(x,t))的级数反转,其中f(x,t)=(1+(1+t)*x)^2/(1+t*x)。
1+x*d/dx(G(x,t))/G(x,t)=1+(2+t)*x+(6+4*t+t^2)*x^2+。。。是o.g.fA094527号.(结束)
猜想:和{k=0..n}T(n,k)/(k+1)^2=H(n+1)*A000108号(n) *(2*n+1)/(n+1),其中H(n+1”)=Sum_{k=0..n}1/(k+1)-沃纳·舒尔特2015年7月23日
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^2=(2*n+1)*二项式(2*n,n)。(A002457号)
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=4^n*(3*n+2)/2。
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^4=(2*n+1)^2*二项式(2*n,n)。
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^5=4^n*(15*n^2+15*n+4)/4。(结束)
用L表示这个下三角阵列;则L*转置(L)是Hankel矩阵(1/(i+j)*二项式(2*i+2*j-2,i+j-1))_i,j>=1的Cholesky因式分解=A172417号读取为方形数组。见张伯兰,第1669页-彼得·巴拉2023年10月15日
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例子
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三角形T(n,k)开始:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 2 1
2: 5 4 1
3: 14 14 6 1
4: 42 48 27 8 1
5: 132 165 110 44 10 1
6: 429 572 429 208 65 12 1
7:1430 2002 1638 910 350 90 14 1
8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1
9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1
10: 58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1
生产矩阵开始:
2, 1
1, 2, 1
0, 1, 2, 1
0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
重现性:T(5,1)=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列为[1,2,1]。
Riordan Z序列[2,1]的递归:T(5,0)=132=2*42+1*48。(结束)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^5=5*R(n,2)+4*R。对于N=5(只有一条明显对角线的五边形),度数δ(5)=2,因此R(5,4)和R(5、6)可以减少,即分别为R(5,1)=1和R(5,6)=-R(5,1)=-1。因此,rho(5)^5=5*R(N,2)+4*1+1*(-1)=3+5*R。(结束)
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->二项式(2*n,n-k)-二项式#N.J.A.斯隆2013年8月26日
PMatrix(10,n->二项式(2*n,n)/(n+1))#彼得·卢什尼2022年10月7日
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数学
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黄体脂酮素
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(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行。
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n)内的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
b=非b
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
(岩浆)/*作为三角形:*/[[二项式(2*n,n-k)-二项式:k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年7月22日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A064189号
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| 三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,定义为:T(0,0)=1,如果n<k,T(n,k)=0,T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。 |
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+10 56
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 21, 30, 25, 14, 5, 1, 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1, 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1, 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1, 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1, 2188, 3610, 3915, 3288, 2235, 1242, 560, 200, 54, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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按相反顺序读取莫茨金三角形。
Riordan数组(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x^2”,(1-x-sqlt(1-2x-3x^ 2))或(2x))。逆是数组(1/(1+x+x^2),x/(1+x+x^ 2))(A104562号). -保罗·巴里2005年3月15日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。为(x,y)选择不同的值会产生其他三角形:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
考虑一个带有标记为(n,k)的正方形、秩或行n>=0、文件或列k>=0的半无限棋盘;长度n从(0,0)到(n,k),0<=k<=n的主通道数为T(n,k)。上述循环关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯(Harrie Grondijs)对莫茨金三角的评论A026300型. -约翰内斯·梅耶尔2010年10月10日
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参考文献
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E.Barcucci、R.Pinzani和R.Sprugnoli,Motzkin家族,P.U.M.A.系列。A、 第2卷,1991年,第3-4期,第249-279页。
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链接
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I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham,Motzkin和Jones单体的幂等统计,arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO],2015。
R.Donaghey和L.W.Shapiro,莫茨金数《组合理论》,A辑,23(1977),291-301。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。
汤姆·哈尔弗森和西奥多·雅各布森,集部分表与图代数的表示,arXiv:1808.08118[math.RT],2018年。
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配方奶粉
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Sum_{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=3^n。
求和{k=0..n}T(n,k)*T(n、n-k)=T(2*n,n)-T(2*m,n+2)
k列具有例如f.exp(x)*(贝塞尔I(k,2*x)-BesselI(k+2.2*x))-保罗·巴里2006年2月16日
T(n,k)=和{j=0..n}C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j、j+k+2))-保罗·巴里2006年2月16日
第n行由M^n*V生成,其中M=无限三对角矩阵,所有1都在上、主、次对角中;V=无限向量[1,0,0,0,…]。例如,第3行=(4,5,3,1),因为M^3*V=[4,5,3,1,0,0,…]-加里·亚当森2006年11月4日
T(n,k)=(k/n)*Sum_{j=0..n}二项式(n,j)*Binominal(j,2*j-n-k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月12日
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*(k+1)=(-1)-沃纳·舒尔特,2015年7月8日
求和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=(2*n+1)*3^n-沃纳·舒尔特,2015年7月8日
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)=Sum_{n>=k>=0}T(n,k)*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日
T(n,k)=二项式(n,k)*超几何([(k-n)/2,(k-n+1)/2],[k+2],4)-彼得·卢什尼2021年5月19日
关于点x=0展开的函数(1-x^2)*(1+x+x2)^n的n次泰勒多项式的系数以相反的顺序给出了第n行中的项-彼得·巴拉2022年9月6日
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例子
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三角形开始:
[0]1;
[1] 1, 1;
[2] 2, 2, 1;
[3] 4, 5, 3, 1;
[4] 9, 12, 9, 4, 1;
[5] 21, 30, 25, 14, 5, 1;
[6] 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1;
[7] 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1;
[8] 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1;
[9] 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1.
.
生产矩阵开始:
1, 1
1, 1, 1
0, 1, 1, 1
0,0,1,1,1
0, 0, 0, 1, 1, 1
0,0,0,1,1(结束)
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MAPLE公司
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别名(C=二项式):A064189号:=(n,k)->加(C(n,j)*(C(n-j,j+k)-C(n-j、j+k+2)),j=0..n):seq(seq(A064189号(n,k),k=0..n),n=0..10)#彼得·卢什尼2019年12月31日
PMatrix(10,n->简化(hypergeom([1-n/2,-n/2+1/2],[2],4))#彼得·卢什尼2022年10月8日
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数学
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T[0,0,x_,y_]:=1;T[n,0,x_,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0||k>n,0,T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];表[T[n,k,1,1],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*)
T[n_,k_]:=二项式[n,k]超几何2F1[(k-n)/2,(k-n+1)/2,k+2,4];
表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
M=矩阵(ZZ,dim,dim)
对于范围内的n(dim):M[n,n]=1
对于n in(1..dim-1):
对于k in(0..n-1):
M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k]+M[n-1,k+1]
返回M
(PARI){T(n,k)=如果(k<0||k>n,0,polceoff(polceof(2/(1-x+sqrt(1-2*x-3*x^2)-2*x*y)+x*O(x^n),n),k))}/*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A061554号
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| 反对偶读取的方表:a(n,k)=二项式(n+k,floor(k/2))。 |
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+10 45
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 6, 4, 4, 1, 1, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 35, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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等价地,作为行读取的三角形,这是T(n,k)=二项式(n,floor(n-k)/2);然后,k列具有例如,f.贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔-I(k+1,2x)-保罗·巴里,2006年2月28日
Riordan阵列(1/(1-x-x^2*c(x^2)),x*c(x2));其中c(x)=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月17日
三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
T(n,k)是从(0,k)到某些(n,m)的路径数,这些路径从不低于y=0,至少接触一次y=0并且仅由步骤(1,1)和(1,-1)组成。这可以用Deléham提供的重现性来证明-杰拉尔德·麦卡维2008年10月15日
作为“三角形族”的子集(Deleham 2007年9月25日的评论),以A061554号,M=(-1,0)=(1;-1,1;2,-1,1-A089942号; (1,2) -A039599号; (2,3) -A124733号; (3,4) -A124574号; (4,5) -A126331号; ... 这样,由(n,n+1)生成的三角形的二项式变换=由(n+1,n+2)生成的三角。类似地,另一个子集以A053121号-(0,0),采用连续二项式变换得到(1,1)-A064189号; (2,2) -A039598号; (3,3)-A091965号, ... 通过行,(n,n)生成的三角形可以通过从右侧开始的(n-1,n)三角形的两两求和获得。例如,(1,2)的第2行-A039599号= (2, 3, 1); 从右边取两两和,我们得到(5,4,1)=(2,2)的第2行-A039598号. -加里·亚当森2011年8月4日
由行(n)和交替符号(+-+…)组成的三角形从顶部作为一组联立方程求解奇数n(n=2n+1)正多边形的对角线长度。每种情况下的常数都是c=2*cos(2*Pi/N)的幂。举例来说,前3行与七边形有关,联立方程为(1,0,0)=1;(-1,1,0)=c=1.24697。。。;且(2,-1,1)=c^2。答案是1、2.24697…和1.801。。。;具有边=1的七边形的3个不同的对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
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链接
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里德·阿克顿(Reed Acton)、T.凯尔·彼得森(T.Kyle Petersen)、布莱克·希尔曼(Blake Shirman)和布里吉特·艾琳·坦纳(Bridget Eileen Tenner),洞察力大师,arXiv:2401.11680[math.CO],2024。见第15页。
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配方奶粉
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作为三角形:T(n,k)=二项式(n,m),其中m=楼层((n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2)。
a(0,k)=二项式(k,floor(k/2))=A001405号(k) ;对于n>0 T(n,k)=T(n+1,k-2)+T(n-1,k)。
第n行=M^n*V,其中M=无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,(1,0,0,0,…)位于主对角线。V=无限向量[1,0,0,0,…]。例如:(3,3,1,0,0,0,…)=M^3*V-加里·亚当森2006年11月4日
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例子
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阵列开始:
1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, ...
1, 1, 3, 4, 10, 15, 35, 56, 126, 210, ...
1, 1, 4, 5, 15, 21, 56, 84, 210, 330, ...
1、1、5、6、21、28、84、120、330、495。。。
1, 1, 6, 7, 28, 36, 120, 165, 495, 715, ...
1, 1, 7, 8, 36, 45, 165, 220, 715, 1001, ...
1, 1, 8, 9, 45, 55, 220, 286, 1001, 1365, ...
1, 1, 9, 10, 55, 66, 286, 364, 1365, 1820, ...
1, 1, 10, 11, 66, 78, 364, 455, 1820, 2380, ...
1, 1, 11, 12, 78, 91, 455, 560, 2380, 3060, ...
三角形(反对角线)版本开始:
1;
1, 1;
2, 1, 1;
3, 3, 1, 1;
6, 4, 4, 1, 1;
10, 10, 5, 5, 1, 1;
20, 15, 15, 6, 6, 1, 1;
35、35、21、21、7、7、1、1;
70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1;
126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1;
252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1;
462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1; ...
矩阵反转开始:
1;
-1, 1;
-1, -1, 1;
1, -2, -1, 1;
1, 2, -3, -1, 1;
-1, 3, 3, -4, -1, 1;
-1, -3, 6, 4, -5, -1, 1;
1, -4, -6, 10, 5, -6, -1, 1;
1、4、-10、-10、15、6、-7、-1、1。。。
生产矩阵为
1, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,1(结束)
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MAPLE公司
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T:=proc(n,k)选项记忆;
如果n=k,则1 elif k<0或n<0或k>n,则0
elif k=0,然后T(n-1,0)+T
对于从0到9的n,做seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日
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数学
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t[n_,k_]=二项式[n,Floor[(n+1)/2-(-1)^(n-k)*(k+1)/2]];扁平[表[t[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月31日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)T(n,k)=二项式(n,(n+1)\2-(-1)^(n-k)*((k+1)\2))
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交叉参考
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行是A001405号,A037952美元,A037955号,A037951号,A037956号,A037953号,A037957号等。列是截断的成对A000012号,A000027号,A000217号,A000292号,A000332号,A000389号,A000579号等。主对角线是A051036号.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 1, 17, 8, 1, 76, 50, 12, 1, 354, 288, 99, 16, 1, 1704, 1605, 700, 164, 20, 1, 8421, 8824, 4569, 1376, 245, 24, 1, 42508, 48286, 28476, 10318, 2380, 342, 28, 1, 218318, 264128, 172508, 72128, 20180, 3776, 455, 32, 1, 1137400, 1447338
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=4*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+4*T(n-1,k)+T(n-l,k+1),对于k>=1-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和四种类型的步骤H=(1,0)组成;例如:T(3,1)=50,因为我们有UDU、UUD、16个HHU路径、16个HUH路径和16个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
Riordan阵列((1-4x-sqrt(1-8x+12x^2))/(2x^ 2),(1-4x sqrt。的反转A159764号. -保罗·巴里2009年4月21日
6^n=(第n行项)点((1,2,3,…)中的第一个n+1项)。示例:6^3=216=(76,50,12,1)点(1,2,3,4)=(76+100+36+4)=216-加里·亚当森2011年6月15日
“三角形族”(2007年9月25日Deléham评论)的一个子集是以三角形开始的二项式变换序列A053121号, (0,0); 给予->A064189号, (1,1); ->A039598号, (2,2); ->A091965号, (3,3); ->A052179美元, (4,4); ->A125906号、(5,5)->等。;通常,由(n,n)生成的三角形的二项式变换=由((n+1),(n+1))生成的变换-加里·亚当森2011年8月3日
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链接
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里戈伯托·弗洛雷斯、莱安德罗·朱内斯、何塞·拉米雷斯、,n维立方格中路径的进一步结果,《整数序列杂志》,第21卷(2018),第18.1.2条。
R.K.Guy,猫道,沙阶和帕斯卡金字塔,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.1.6。
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配方奶粉
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第n行=M^n*V,其中M=无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,(4,4,4,…)位于主对角线。例如,第3行=(76,50,12,1),因为M^3*V=[76,50、12,1,0,0,…]-加里·亚当森2006年11月4日
和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=6^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
总尺寸:2/(1-4*x-2*x*y+平方(1-8*x+12*x^2))-丹尼尔·切卡2022年8月17日
第m列的G.f.:x^m*(A(x))^(m+1),其中A(x(A005572号). 明确地说,g.f.是x^m*((1-4*x-sqrt(1-8*x+12*x^2))/(2*x*2))^(m+1)-丹尼尔·切卡2022年8月28日
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例子
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三角形开始:
1;
4, 1;
17、8、1;
76, 50, 12, 1;
354, 288, 99, 16, 1;
...
生产矩阵开始:
4, 1;
1, 4, 1;
0, 1, 4, 1;
0,0,1,4,1;
0, 0, 0, 1, 4, 1;
0, 0, 0, 0, 1, 4, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 1;
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MAPLE公司
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T: =proc(n,k)选项记忆`如果`(min(n,k)<0,
`如果`(最大(n,k)=0,1,T(n-1,k-1)+4*T(n-1,k)+T(n-l,k+1))
结束时间:
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..10)#阿洛伊斯·海因茨2021年10月28日
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数学
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t[0,0]=1;t[n,k]/;k<0|k>n=0;t[n_,0]:=t[n,0]=4*t[n-1,0]+t[n-1,1];t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]+4*t[n-l,k]+t[n-1,k+1];扁平[表[t[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年10月10日,在_Philippe Deleham_*之后)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A091965号
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| 按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不低于y=0线,由步骤U=(1,1)、D=(1,-1)和三种类型的步骤H=(1,0)(3-Motzkin步骤的左因子)组成。 |
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+10 33
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1, 3, 1, 10, 6, 1, 36, 29, 9, 1, 137, 132, 57, 12, 1, 543, 590, 315, 94, 15, 1, 2219, 2628, 1629, 612, 140, 18, 1, 9285, 11732, 8127, 3605, 1050, 195, 21, 1, 39587, 52608, 39718, 19992, 6950, 1656, 259, 24, 1, 171369, 237129, 191754, 106644, 42498, 12177, 2457
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T(n,k),0<=k<=n,由T(0,0)=1给出的行读取,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=3*T(n-1,0)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
如果k<0或如果k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
5^n=(第n行项)点((1,2,3,…)中的第一个n+1项)。第4行的示例:5^4=625=(137,132,57,12,1)点(1,2,3,4,5)=(137+264+171+48+5)=625-加里·亚当森2011年6月15日
Riordan数组((1-3*x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x^ 2),(1-3*x-sqort(1-6*x+5*x ^2)(2*x))-菲利普·德尔汉姆2012年2月19日
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参考文献
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A.Nkwanta,晶格路径和RNA二级结构,离散数学中的DIMACS系列。和理论计算机科学,34,1997,137-147。
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链接
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赫尔穆特·普罗丁格,Motzkin路径的振幅,arXiv:2104.07596[math.CO],2021。提到这个序列。
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配方奶粉
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G.f.:G=2/(1-3*z-2*t*z+平方(1-6*z+5*z^2))。或者,G=M/(1-t*z*M),其中M=1+3*z*M+z^2*M^2。
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,…]生成,其中M=无限三对角矩阵,上对角线和次对角线中有1,主对角线为[3,3,3,…]-加里·亚当森2006年12月17日
Sum_{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=5^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
T(n,k)=(k+1)*和{m=k.n}二项式(2*(m+1),m-k)*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁,2011年10月8日
第n行多项式R(n,x)等于关于点x=0展开的函数(1-x^2)*(1+3*x+x2)^n的第n次泰勒多项式-彼得·巴拉2022年9月6日
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例子
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三角形开始:
1;
3, 1;
10, 6, 1;
36, 29, 9, 1;
137, 132, 57, 12, 1;
543, 590, 315, 94, 15, 1;
2219, 2628, 1629, 612, 140, 18, 1;
T(3,1)=29,因为我们有UDU、UUD、9个HHU路径、9个HUH路径和9个UHH路径。
生产矩阵开始
3, 1;
1, 3, 1;
0, 1, 3, 1;
0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1;
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数学
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T[0,0,x_,y_]:=1;T[n_,0,x_,y_]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y_]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0|k>n,0,
T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];
表[T[n,k,3,3],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
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黄体脂酮素
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(最大值)
T(n,k):=(k+1)*和(二项式(2*(m+1),m-k)*二项式/弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年10月8日*/
(鼠尾草)
@缓存函数
如果n==0且k==0:返回1
如果k<0或k>n:返回0
对于(0..7)中的n:
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 5, 3, 1, 13, 9, 4, 1, 35, 26, 14, 5, 1, 96, 75, 45, 20, 6, 1, 267, 216, 140, 71, 27, 7, 1, 750, 623, 427, 238, 105, 35, 8, 1, 2123, 1800, 1288, 770, 378, 148, 44, 9, 1, 6046, 5211, 3858, 2436, 1296, 570, 201, 54, 10, 1, 17303, 15115, 11505, 7590, 4302, 2067, 825, 265
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下给定的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=2*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+T(n-l,k)+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
第k列有例如f.exp(x)*(贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔-I(k+1,2x))-保罗·巴里2011年3月8日
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链接
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配方奶粉
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对于k>0,a(n,k)=a(n-1,k-1)+a(n-1,k)+a。
Riordan阵列((平方(1-2x-3x^2)+3x-1)/(2x(1-3x)),(1-x-sqrt(1-2x-3x^ 2))/(2 x))。Riordan数组的逆((1-x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x*2))。第一列是A005773号(n+1)。行总和为3^n(A000244号). 如果L=A038622号,则L*L'是的Hankel矩阵A005773号(n+1),其中L'是L的转置-保罗·巴里2006年9月18日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbaurerC(n-k-1,-n+1、-1/2)。在这种形式中,三角形1,1,1,3,7,19的第一列也缺失了,。。。(参见。A002426号)可以计算-彼得·卢什尼2016年5月12日
T(n,k)=和{j=k.n}二项式(n,j)*二项式。
第n行多项式R(n,x)等于关于点x=0展开的函数(1+x)*(1+x+x^2)^n的第n次泰勒多项式-彼得·巴拉2022年9月6日
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例子
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三角形开始
1;
2, 1;
5、3、1;
13, 9, 4, 1;
35, 26, 14, 5, 1;
96, 75, 45, 20, 6, 1;
267, 216, 140, 71, 27, 7, 1;
750、623、427、238、105、35、8、1;
2123, 1800, 1288, 770, 378, 148, 44, 9, 1;
生产矩阵为
2, 1,
1, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1
(结束)
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MAPLE公司
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T:=(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)+GegenbaurerC(n-k-1,-n+1、-1/2)):
对于从1到9的n,做序列(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日
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数学
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nmax=10;t[n/;n>0,k_/;k>=1]:=t[n,k]=t[n-1,k-1]+t[n-1,k]+t[n-1,k+1];t[0,0]=1;t[0,_]=0;t[_?阴性,_?阴性]=0;t[n,0]:=2 t[n-1,0]+t[n-1,1];扁平[表[t[n,k],{n,0,nmax},{k,0,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月9日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)s=[0,1];{A038622号(n,k)=如果(n==0,1,t=(2*(n+k)*;s[1]=s[2];s[2]=t;t) }
(哈斯克尔)
导入数据。列表(转置)
a038622 n k=a038622_tabl!!不!!k
a038622_行n=a038622 _ tabl!!n个
a038622_tabl=迭代(\row->映射和$
转置[尾行++[0,0],行++[0],[头行]++行])[1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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N.J.A.斯隆,torsten.sillke(AT)lhsystems.com
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 6, 6, 3, 1, 6, 15, 15, 10, 4, 1, 15, 36, 40, 29, 15, 5, 1, 36, 91, 105, 84, 49, 21, 6, 1, 91, 232, 280, 238, 154, 76, 28, 7, 1, 232, 603, 750, 672, 468, 258, 111, 36, 8, 1, 603, 1585, 2025, 1890, 1398, 837, 405, 155, 45, 9, 1, 1585, 4213, 5500
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.8
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评论
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三角形T(n,k),0<=k<=n,定义为:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=T(n-1,1),T(n、k)=T-菲利普·德尔汉姆,2007年2月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。为(x,y)选择不同的值会产生其他三角形:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
Riordan阵列((1+x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x(1+x)),(1-x-sqort(1-2x-3x^2,)/(2 x))。Riordan数组的逆((1+x)/(1+x+x^2),x/(1+x+x*2))。第k列的E.g.f.为exp(x)*(贝塞尔_I(k,2x)-贝塞尔_I(k+1,2x))。
使用前n行的联立方程求解奇数n=(2n+1)正多边形的对角线长度,常数为c^0,c^1,c^2。。。;其中c=1+2*cos(2*Pi/N)=sin(3*Pi/N)/sin(Pi/N”)=N>5的第三长对角线。举例来说,取与9边形(非边形)相关的前4行,N=(2*4+1),其中c=1+2*cos(2*Pi/9)=2.5320888……联立方程为(1,0,0,0)=1;(0,1,0,0)=c;(1,1,1,0)=c^2,(1,3,2,1)=c^3。答案是1、2.532…、2.879…和1.879。。。;边=1的9边(非边)的四个不同对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
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链接
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E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005),第101-122页。
D.Merlini、D.G.Rogers、R.Sprugnoli和M.C.Verri,关于Riordan阵列的一些替代特征,卡纳德·J·数学。,49 (1997), 301-320.
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配方奶粉
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G.f.:(1+z-q)/[(1+z)(2z-t+tz+tq)],其中q=sqrt(1-2z-3z^2)。
和{k=0..n}T(n,k)*(2k+1)=3^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1/2),对于1<=k<=n-彼得·卢什尼2016年5月12日
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例子
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三角形开始
1,
0, 1,
1, 1, 1,
1, 3, 2, 1,
3, 6, 6, 3, 1,
6, 15, 15, 10, 4, 1,
15, 36, 40, 29, 15, 5, 1,
36, 91, 105, 84, 49, 21, 6, 1,
91, 232, 280, 238, 154, 76, 28, 7, 1
生产矩阵为
0, 1,
1, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
0,0,0,0,0,0,1,1,1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->简化(GegenbauerC(n-k,-n+1,-1/2)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1/2)):对于n从1到9的do-seq(T(n,k),k=1..n)od#彼得·卢什尼2016年5月12日
#或通过重复:
T:=proc(n,k)选项记忆;
如果n=k,则1 elif k<0或n<0或k>n,则0
elif k=0,然后T(n-1,1),否则T
对于从0到9的n,做seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2021年5月25日
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数学
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T[n_,k_]:=GegenbauerC[n-k,-n+1,-1/2]-GegenbauerC[n-k-1,-n+1,-1/2];表[T[n,k],{n,1,10},{k,1,n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年2月28日*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 10, 5, 1, 35, 21, 7, 1, 126, 84, 36, 9, 1, 462, 330, 165, 55, 11, 1, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1, 24310, 19448, 12376, 6188, 2380, 680, 136, 17, 1, 92378, 75582, 50388
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形T(n,k),0<=k<=n,由以下定义的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或如果k>n,T(n、0)=3*T(n-1,0)+T(n-1.1),T(k,n)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1),对于k>=1-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
k列有例如f.exp(2x)(贝塞尔_I(k,2x)+贝塞尔_I(k+1,2x))-保罗·巴里2007年6月6日
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:(0,0)->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; (3,1)->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179美元; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
这个三角形T(n,k)出现在斐波那契数F的奇幂展开式中=A000045号以奇数的倍数作为指数的F数表示。参见Ozeki参考,第108页,引理2。公式是:F_l^(2*n+1)=和(T(n,k)*(-1)^(n-k)*-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
这个三角形出现在(4*x)^n的展开式中,根据多项式Todd(n,x):=T(2*n+1,sqrt(x))/sqrt(x)=sum(A084930号(n,m)*x^m),n>=0。这是根据下三角Riordan矩阵的反演A084930号并比较行多项式的g.f-沃尔夫迪特·朗2014年8月5日
这个三角形是有符号Riordan三角形(-1)^(n-m)的倒数*A111125号(n,m)。
这个三角形T(n,k)出现在x^n的展开式中,用多项式todd(k,x):=T(2*k+1,sqrt(x)/2)/(sqrtA053120元和A049310型分别为:x^n=总和(T(n,k)*todd(k,x),k=0..n)。将此与前面的注释进行比较。
这个Riordan三角形的A和Z序列是[1,2,1,重复0]和[3,1,反复0]。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参阅下面的W.Lang链接A006232号这与菲利普·德勒姆(Philippe Deléham)2007年3月22日的评论中给出的复发情况相对应。(结束)
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链接
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E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005),第101-122页。
K.Ozeki,关于Melham的总和,斐波纳契夸脱。46/47(2008/2009),编号2107-110。
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配方奶粉
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T(n,k)=C(2*n+1,n-k)。
和{k=0..n}T(n,k)=4^n。
T(n,k)=总和{j=k.n,C(n,j)*2^(n-j)*C(j,floor((j-k)/2))}-保罗·巴里2007年6月6日
G.f.行多项式:((1+x)-(1-x)/sqrt(1-4*z))/(2*(x-(1+x)^2*z)
(请参阅上文注释中提到的Riordan属性)-沃尔夫迪特·朗2014年8月5日
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 3 1
2: 10 5 1
3: 35 21 7 1
4: 126 84 36 9 1
5: 462 330 165 55 11 1
6: 1716 1287 715 286 78 13 1
7: 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
8: 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
9: 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
10: 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
...
(4*x)^2=10*托德(n,0)+5*托德。
(4*x)^3=35*1+21*(-3+4*x)+7*(5-20*x+16*x^2)+(-7+56*x-112*x^2+64*x^3)*1。(结束)
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生产矩阵为
3, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0,0,1,2,1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
斐波那契数F奇数幂的应用,第n=2行:
F_l^5=(10*(-1)^(2*(l+1)))*F_l+5*(-1-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
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数学
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表[二项式[2*n+1,n-k],{n,0,10},{k,0,n}](*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
T[0,0,x_,y_]:=1;T[n,0,x_,y]:=x*T[n-1,0,x,y]+T[n-1,1,x,y];T[n_,k_,x_,y_]:=T[n,k,x,y]=如果[k<0|k>n,0,
T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-l,k+1,x,y]];
表[T[n,k,3,2],{n,0,10},{k,0,n}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年5月22日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a111418 n k=a111418_tabl!!不!!k
a111418_row n=a111418-tabl!!n个
a111418_tabl=地图背面a122366_tabl
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交叉参考
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关键词
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