搜索： a123513-编号：a123513
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A001563号
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| a（n）=n*n！=（n+1）！-不！。
（原名M3545 N1436）
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+10
156
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0, 1, 4, 18, 96, 600, 4320, 35280, 322560, 3265920, 36288000, 439084800, 5748019200, 80951270400, 1220496076800, 19615115520000, 334764638208000, 6046686277632000, 115242726703104000, 2311256907767808000, 48658040163532800000, 1072909785605898240000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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类似的序列，初始0被1替换，即A094258号，由递归a（2）=1，a（n）=a（n-1）*（n-1）^2/（n-2）定义Andrey Ryshevich（Ryshevich（AT）notes.idlab.net），2002年5月21日
E_1（x）+gamma+log（x）幂级数展开中的分母，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
如果任意长度k的所有排列都是按字典顺序排列的，那么这个序列中的第n项（n≤k）给出了排列的索引，该排列将最后n个元素向右旋转一个位置。例如，有4个项目的24个排列。按字典顺序，它们是（0,1,2,3），（0,1,1,2），（0，2,1，3）。。。(3,2,0,1), (3,2,1,0). 置换0是（0,1,2,3），它旋转最后一个1元素，也就是说，它没有变化。置换1是（0,1,3,2），它旋转最后两个元素。置换4是（0,3,1,2），它旋转最后3个元素。置换18是（3,0,1,2），它旋转最后4个元素。相同的数字适用于任何长度的排列Henry H.Rich（glasss（AT）bellsouth.net），2003年9月27日
a（n）=[1,4,18,96，…]的斯特林变换是A069321号（n） =[1,5,31233，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的部分和为A033312号（n+1）=[0,1,5,23，…]。
的二项式变换A000166号（n+1）=[0,1,2,9，…]是a（n）=[0,1,4,18，…]。
的二项式变换A000255号（n+1）=[1,3,11,53，…]是a（n+1，=[1,4,18,96，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的二项式变换为A093964号（n） =[0,1,6,33…]。
的部分总和A001564号（n） =[1,3,4,14，…]是a（n+1）=[1,4,18,96，…]。
（结束）
[n+1]的所有排列中的小下降数。置换（x_1，x_2，…，x_n）中的一个小下降是一个位置i，使得x_i-x_（i+1）=1。例如：a（2）=4，因为在{1,2,3}的置换123、13\2、2\13、231、312、3\2\1中有4个小下降（用\表示）。a（n）=和{k=0..n-1}k*A123513型（n，k）-Emeric Deutsch公司2006年10月2日
等效地，在大卫、肯德尔和巴顿的记法中，第263页，这是n+1个字母的所有排列中连续递增对的总数（参见。A010027号). -N.J.A.斯隆2014年4月12日
a（n）也是[n]的所有排列中从左到右最大值的位置之和。例如：a（3）=18，因为[3]的置换123132213231312和321中的左至右最大值的位置分别为123、12、13、12、1和1，并且1+2+3+1+2+1+3+1+2+1=18-Emeric Deutsch公司2008年9月21日
用另一个1:（1，1，4，18，…）作为系列的前言；然后下一项=后者的点积，其中“n发生n次”。例如：96=（1，1，4，8）点（4，4，4）=（4+4+16+72）-加里·亚当森2009年4月17日
a（n）也是n+1节点上星图S_{n+1}的最小（n-）可区别标记数-埃里克·W·韦斯坦2014年10月14日
a（n-1）是n个元素上没有长度n的圈的置换数-丹尼斯·沃尔什2017年10月2日
以n+1为基数的泛数字的数目，因此每个数字只出现一次。例如，有一个（9）=9*9！=3265920以10为基数的泛数字(A050278号). -阿米拉姆·埃尔达尔2020年4月13日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第218页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第336页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第263页。
L.B.W.Jolley，《级数求和》，多佛（1961）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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I.Kortchemski，置换记录的渐近行为，arXiv:0804.0446v2[math.CO]，2008年5月18日。
雷泽·洛瓦斯（RezsöL.Lovas），伊斯坦·梅泽尔（István Mezö），关于整数的奇异拓扑，arXiv:1008.0713[math.GN]，2010年。见第4页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
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配方奶粉
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例如：x/（1-x）^2。
（y+n！）^n，n>=1的展开式中y^（n-1）的系数给出了序列1，4，18，96，600，4320，35280-阿图尔·贾辛斯基2007年10月22日
函数在正半轴上的第n个矩的积分表示，用Maple表示法：a（n）=Integral_{x=0..oo}（x^n*（x*（x-1）*exp（-x））dx，对于n>=0。此表示形式可能不唯一-卡罗尔·彭森2001年9月27日
a（0）=0，a（n）=（n-1）*（1+Sum_{i=1..n-1}a（i））对于i>0-杰拉尔德·麦卡维2004年6月11日
出现在下列恒等式的分母中：和{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2））=1/4，和{n>=1}1/k-1）.-Dick Boland，2005年6月6日[一般表达式意味着Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*…*（n+k-1））=（Sum_}n>=k}1/C（n，k））/k！=1/（（k-1）*（k-1-宋嘉宁2023年5月7日]
a（n）=总和{m=2..n+1}|Stirling1（n+1，m）|，n>=1和a（0）：=0，其中Stirling 1（n，m）=A048994号（n，m），n>=m=0。
a（n）=1/（和{k>=0}k！/（n+k+1）！），n>0-弗拉德塔·乔沃维奇2006年9月13日
a（n）的倒数是多项式因子形式的超前系数，通过将二项式系数与一个固定的下限项相加，直到n作为上限项，再除以项指数，得到n>=1:Sum_{k=i.n.n}C（k，i）/k=（1/a（n，n））*n*（n-1）**（n-i+1）。前几个这样的多项式是和{k=1..n}C（k，1）/k=（1/1）*n，和{k=2..n}C（k、2）/k=（1/4）*n*（n-1布雷兹奈（breznayp（AT）uwgb.edu），2008年9月28日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^（n-1）*f（n、1、-2），（n>=1）-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.79659999…[焦利方程289]
G.f.：2*x*Q（0），其中Q（k）=1-1/（k+2-x*（k+2）^2*（k+3）/（x*（k+2）*（k+3）-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月19日
G.f.:W（0）*（1-sqrt（x））-1，其中W（k）=1+sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月18日
G.f.：T（0）/x-1/x，其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月17日
通用公式：Q（0）*（1-x）/x-1/x，其中Q（k）=1-x*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月22日
带递归的D-有限：a（n）+（-n-2）*a（n-1）+（n-1-R.J.马塔尔2020年1月14日
a（n）=（-1）^（n+1）*（n+1A094485型（n，k）*伯努利（k）。伯努利数的Worpitzky表示的倒数-彼得·卢什尼2020年5月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=γ-Ei（-1）=A239069型.（结束）
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例子
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E_1（x）+γ+对数（x）=x/1-x^2/4+x^3/18-x^4/96+。。。，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
G.f.=x+4*x^2+18*x^3+96*x^4+600*x^5+4320*x^6+35280*x^7+322560*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[n！n，{n，0，25}](*哈维·P·戴尔2011年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*n！）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月11日*/
（哈斯克尔）
a001563 n=a001563_列表！！n个
a001563_list=zipWith（-）（尾部a000142_list）a000142_列表
（岩浆）[阶乘（n+1）-阶乘（n）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2014年8月8日
（Sage）[n*（0..20）中n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
（GAP）列表（[0..20]，n->n*阶乘（n））//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A010027号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是具有k个连续升序对（0<=k<=n-1）的[n]的置换数。 |
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20
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 9, 11, 1, 4, 18, 44, 53, 1, 5, 30, 110, 265, 309, 1, 6, 45, 220, 795, 1854, 2119, 1, 7, 63, 385, 1855, 6489, 14833, 16687, 1, 8, 84, 616, 3710, 17304, 59332, 133496, 148329, 1, 9, 108, 924, 6678, 38934, 177996, 600732, 1334961, 1468457, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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置换p_1、p_2……中的“连续上升对”。。。，pn是一对pi，p{i+1}=pi+1。
相同的三角形，但行索引不同，也会出现如下情况：U（n，k）=具有k个块（1<=k<=n）的[n]的置换数，其中置换块是出现在连续位置的最大连续整数序列。例如，置换5412367具有4个块：5、4、123和67。
第n行中的条目之和为n！。
这本质上是指数Riordan数组[exp（-x）/（1-x）^2，x]（参见。A123513型). -保罗·巴里2010年6月17日
U（n-1，k-2）*n*（n-1）/k=[n]的置换数，其中k个元素不被置换固定-迈克尔·索莫斯，2018年8月19日
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第263页。
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链接
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配方奶粉
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U（n，k）=二项式（n-1，k-1）*（k-1）*求和{j=0..k-1}（-1）^（k-j-1）*（j+1）/（k-j-1-）！（1<=k<=n）。
U（n，k）=（k+1）*二项式（n，k）*（1/n）*和{i=0..k+1}（-1）^i/i！。
U（n，k）=（1/n）*二项式（n，k）*d（k+1），其中d（j）=A000166号（j） （错位数）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
1, 2, 3;
1, 3, 9, 11;
1, 4, 18, 44, 53;
1, 5, 30, 110, 265, 309;
1, 6, 45, 220, 795, 1854, 2119;
1, 7, 63, 385, 1855, 6489, 14833, 16687;
1, 8, 84, 616, 3710, 17304, 59332, 133496, 148329;
1, 9, 108, 924, 6678, 38934, 177996, 600732, 1334961, 1468457;
...
对于n=3，置换123、132、213、231、312、321分别有2,0,0,1,0个连续的升序对，因此三角形的第3行是3,2,1-N.J.A.斯隆2014年4月12日
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MAPLE公司
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U:=proc（n，k）选项运算符，箭头：阶乘（k+1）*二项式（n，k）*（总和（（-1）^i/阶乘（i），i=0。。k+1））/n结束过程：对于n到10个do序列（U（n，k），k=1。。n） 结束do；#生成三角形序列#Emeric Deutsch公司2010年5月15日
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数学
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交叉参考
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A289632型是具有附加限制的类似三角形，即必须隔离所有连续对，即不能背对背形成更长的连续序列。
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关键词
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作者
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扩展
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由David、Kendall和Barton恢复的原始定义N.J.A.斯隆2014年4月12日
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状态
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经核准的
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A345462型
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| 行读取的三角形T（n，k）（n>=1，0<=k<=n-1）：“第一个换位”算法k步后的不同排列数。 |
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2
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1, 2, 1, 6, 3, 1, 24, 13, 4, 1, 120, 67, 23, 5, 1, 720, 411, 146, 36, 6, 1, 5040, 2921, 1067, 272, 52, 7, 1, 40320, 23633, 8800, 2311, 456, 71, 8, 1, 362880, 214551, 81055, 21723, 4419, 709, 93, 9, 1, 3628800, 2160343, 825382, 224650, 46654, 7720, 1042, 118, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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第一种换位算法是：如果排列排序，则退出；否则，将第一个未排序的字母与其当前索引中的字母交换。重复上述步骤。
在每个步骤中，至少对1个字母（可能是2个）进行排序。
如果计算达到这个恒等式所需的步骤，就会得到第一类斯特林数（相反）。
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第3卷/排序和搜索，Addison-Wesley出版社，1973年。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=n！；T（n，n-3）=（3*（n-1）^2-n+3）/2。
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例子
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三角形开始：
1;
2, 1;
6, 3, 1;
24, 13, 4, 1;
120, 67, 23, 5, 1;
720, 411, 146, 36, 6, 1;
5040, 2921, 1067, 272, 52, 7, 1;
40320, 23633, 8800, 2311, 456, 71, 8, 1;
...
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MAPLE公司
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b： =proc（n，k）选项记忆；（k+1）*
二项式（n，k）*加（（-1）^i/i！，i=0..k+1）/n
结束时间：
T： =proc（n，k）选项记忆；
`如果`（k=0，n！，T（n，k-1）-b（n，n-k+1））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n-1），n=1..10）#阿洛伊斯·海因茨2021年8月11日
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数学
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b[n_，k_]：=b[n，k]=（k+1）*二项式[n，k]*和[（-1）^i/i！，{i，0，k+1}]/n；
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，n！，T[n、k-1]-b[n，n-k+1]]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A343535型
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| 具有k个连续三元组j，j+1，j-1的[n]的置换数T（n，k）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=楼层（n/3），按行读取。 |
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+10
1
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1, 1, 2, 5, 1, 20, 4, 102, 18, 626, 92, 2, 4458, 564, 18, 36144, 4032, 144, 328794, 32898, 1182, 6, 3316944, 301248, 10512, 96, 36755520, 3057840, 102240, 1200, 443828184, 34073184, 1085904, 14304, 24, 5800823880, 413484240, 12538080, 174000, 600, 81591320880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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k列中的术语是k！的倍数！。
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链接
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配方奶粉
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T（3n，n）=n！。
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例子
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T（4,1）=4:1342，2314，3421，4231。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1;
2;
5, 1;
20, 4;
102, 18;
626, 92, 2;
4458, 564, 18;
36144, 4032, 144;
328794, 32898, 1182, 6;
3316944, 301248, 10512, 96;
36755520, 3057840, 102240, 1200;
443828184, 34073184, 1085904, 14304, 24;
5800823880, 413484240, 12538080, 174000, 600;
81591320880, 5428157760, 156587040, 2214720, 10800;
1228888215960, 76651163160, 2105035440, 29777520, 175800, 120;
...
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MAPLE公司
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b： =proc（s，l，t）选项记忆`如果`（s={}，1，添加（（h->
展开（b（s减去{j}，j，`if`（h=1,2,1））*
`如果`（t=2且h=-2，x，1））（j-l），j=s）
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））(
b（{$1..n}，-1，1）：
seq（T（n），n=0..13）；
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数学
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b[s_，l_，t_]：=b[s，l，t]=If[s={}，1，求和[函数[h，
展开[b[s~互补~{j}，j，如果[h==1，2，1]]*
如果[t==2&&h=-2，x，1]]][j-l]，{j，s}]]；
T[n_]：=系数列表[b[范围[n]，-1，1]，x]；
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A264027型
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| 行读取三角形：T（n，k）=和{T=k.n-2}（-1）^（T-k）*（n-T）*二项（t，k）*二项（n-2，t）。 |
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+10
0
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2, 4, 2, 14, 8, 2, 64, 42, 12, 2, 362, 256, 84, 16, 2, 2428, 1810, 640, 140, 20, 2, 18806, 14568, 5430, 1280, 210, 24, 2, 165016, 131642, 50988, 12670, 2240, 294, 28, 2, 1616786, 1320128, 526568, 135968, 25340, 3584, 392, 32, 2, 17487988, 14551074, 5940576, 1579704, 305928, 45612, 5376, 504, 36, 2
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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链接
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J.Liese、J.Remmel、，具有k个例外的置换数的Q-类比，聚氨酯。M.A.第21卷（2010年），第2期，第285-320页（见第291页表1中的E_{n，2}（x））。
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例子
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三角形开始：
2;
4, 2;
14, 8, 2;
64, 42, 12, 2;
362, 256, 84, 16, 2;
...
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数学
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表[和[（-1）^（t-k）（n-t）！*二项式[t，k]二项式[n-2，t]，{t，k，n-2}]，{n，2，11}，{k，0，n-2{]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年11月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）tabl（nn）={对于（n=2，nn，对于（k=0，n-2，print1（总和（t=k，n-2；（-1）^（t-k）*（n-t）！*二项式（t，k）*二项式（n-2，t）），“，”）；）；print（）；}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A264028型
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| 行读取三角形：T（n，k）=和{T=k.n.n-3}（-1）^（T-k）*（n-T）*二项（t，k）*二项（n-3，t）。 |
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+10
0
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6, 18, 6, 78, 36, 6, 426, 234, 54, 6, 2790, 1704, 468, 72, 6, 21234, 13950, 4260, 780, 90, 6, 183822, 127404, 41850, 8520, 1170, 108, 6, 1781802, 1286754, 445914, 97650, 14910, 1638, 126, 6, 19104774, 14254416, 5147016, 1189104, 195300, 23856, 2184, 144, 6
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,1
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链接
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J.Liese、J.Remmel，具有k-超越的置换数的Q-类似物，普。M.A.第21卷（2010年），第2期，第285-320页（见第291页表1中的E_{n，3}（x））。
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例子
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三角形开始：
6;
18, 6;
78, 36, 6;
426, 234, 54, 6;
2790, 1704, 468, 72, 6;
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数学
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表[和[（-1）^（t-k）（n-t）！*二项式[t，k]二项式[n-3，t]，{t，k，n-3}]，{n，3，11}，{k，0，n-3{]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年11月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）tabl（nn）={对于（n=3，nn，对于（k=0，n-2，print1（总和（t=k，n-2；（-1）^（t-k）*（n-t）！*二项式（t，k）*二项式（n-2，t）），“，”）；）；print（）；}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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