搜索： a122857-编号：a122857
|
| |
|
|
A035154号
|
| a（n）=Sum_{d|n}克罗内克（-36，d）。 |
|
+10
14
|
|
|
|
1、1、1、1、2、1、0、1、1、2、0、1、2、0、2、0、0、0、0、1、3、2、1、0、2、2、0、1、2、2、2、2、2、2、2、0、0、0、2、1、3、2、2、2、1、1、0、0、0、2、0、2、2、2、2、0、0、1、4、0、2、0、0、1、2、3，0，0，2，0，2，1，2，0，0，4，0，2，0，2，0，0，0，0，1，2，1，0，3，2，2，0，2，0，0，0，0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
参考文献
|
布鲁斯·伯恩特（Bruce C.Berndt），《拉马努扬的笔记本第四部分》（Ramanujan’s Notebooks Part IV），施普林格-弗拉格出版社，1994年，见第197页，条目44。
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
-1+（θ_3（q）^2+θ_3（q^3）^2）/2的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2013年7月9日
Moebius变换是周期12序列[1，0，0，0,1，0,-1，0,0,0，-1，0，…]。
与a（2^e）=a（3^e）=1相乘，如果p==1（mod 4），a（p^e）=e+1；如果p==3（mod4），则a（p*e）=（1+（-1）^e）/2。（结束）
Dirichlet g.f.：zeta（s）*L（chi，s），其中chi（n）=克罗内克（-36，n）。和{n>0}a（n）/n^s=Product_{p素数}1/（（1-p^-s）*（1-Kronecker（-36，p）*p^/s））-迈克尔·索莫斯2011年6月24日
通用公式：和{n>=0}（-1）^n*（x^（6*n+1）/（1-x^-保罗·D·汉纳2011年12月14日
通用格式：x/（1-x）+x^5/（1-x^5）-x^7/。。。
|
|
|
例子
|
G.f.=x+x ^2+x ^3+x ^4+2*x ^5+x ^6+x ^8+x ^9+2*x ^10+x ^12+2*x^13+。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<1，0，和[KroneckerSymbol[-36，d]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2011年6月24日*）
a[n_]：=级数系数[（-2+椭圆Theta[3，0，q]^2+椭圆Theta[3，0,q^3]^2）/4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年7月9日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，kronecker（-36，d）））}/*迈克尔·索莫斯，2006年7月30日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，迪勒（p=2，n，1/（（1-X）*（1-kronecker（-36，p）*X））[n]）}/*迈克尔·索莫斯2006年7月30日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n\6+1，（-1）^m*（x^（6*m+1）/（1-x^/*保罗·D·汉纳*/
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n,容易的,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A125061号
|
| psi（q）*psi（q^2）*chi（q^3）*chi（-q^6）的q次幂展开式，其中psi（），chi（）是Ramanujanθ函数。 |
|
+10
9
|
|
|
|
1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 0, 6, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 3, 2, 3, 0, 2, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 6, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 1, 3, 6, 2, 2, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 6, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 9, 0, 0, 6, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 6, 0, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第82页，等式（32.53）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
eta（q^2）*eta（q ^4）^2*eta。
（θ_3（q）^2+3*theta_3（q^3）^2）/4的q次幂展开。
周期12序列的欧拉变换[1，0，2，-2，1，-2，-1，-2，2，0，1，-2，…]。
莫比乌斯变换是周期12序列[1，0，2，0，1，0，-1，0，-2，0，-1,0，…]。
a（n）与a（2^e）=1相乘，a（3^e）=2-（-1）^e，a（p^e）=e+1如果p==1（mod 4），a（p ^e）==（1-（-1））^e）/2如果p==3（mod4）。
通用公式：1+Sum_{k>0}（x^k+x^（3*k））/（1-x^。
G.f.是满足f（-1/（12t））=3（t/i）G（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t），G（）为A122857号.
|
|
|
例子
|
G.f.=1+q+q^2+3*q^3+q^4+2*q^5+3*qq^6+q^8+q^9+2*q ^10+3*q ^12+。。。
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，sumdiv（n，d，（d%2）*（d%3==0）+1）*（-1）^（d\6））}；
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，
[p，e]=A[k，]；如果（p==2，1，p==3，1+e%2*2，p%4==1，e+1，！（e%2））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）*eta（x^4+a）^2*eta；
|
|
|
交叉参考
|
参见。A002175号,A008441号,A019669年,A053692号,A113407号,A121444号,A122856号,A122857号,A122865号,A125061号,A138741号,A138745号,A138746号,A138949号,A138950型,A138951号,A138952号,A163746美元.
|
|
|
关键字
|
非n,容易的,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A281451型
|
| x（x，x）*f（x，x^17）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10
6
|
|
|
|
1, 3, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 0, 0, 4, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
f（x，x^m）=1+和{k>=1}x^（（m+1）*k*（k-1）/2）（x^k+x^-N.J.A.斯隆2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
通用公式：x*（Z}x^k^2中的和{k）*（Z{k}x^（9*k^2+8*k）中的和_k）。
通用格式：x*产品{k>0}（1+x^（2*k-1））^2*（1-x^。
a（4*n）=a（8*n+7）=a。
a（32*n+25）=2*A281490型（n） ●●●●。a（64*n+49）=a（n）。a（128*n+17）=2*2014年2月（n） ●●●●。
a（n）=b（9*n+7），其中b=A002654号,A035154号,A113446号,A122864号,A125061号,129484英镑,A138950型,A163746号,A256276型,A258228型,A258256型.
|
|
|
例子
|
G.f.=x+3*x ^2+2*x ^3+2*x ^5+2**x ^6+2*x^10+2*×^11+2*x^17+。。。
G.f.=q^16+3*q^25+2*q^34+2*q ^52+2*。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[9 n+7，KroneckerSymbol[-4，#]&]]；
a[n_]：=如果[n<0，0，Times@@（其中[#<3，1，Mod[#，4]==1，#2+1，True，（1+（-1）^#2）/2]&@@@FactorInteger[9 n+7]）]；
a[n_]：=级数系数[x椭圆Theta[3，0，x]Q赭石[-x，x^18]Q赭石[-x^17，x^18]Q赭石[x^18]，{x，0，n}]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（9*n+7，d，（d%4==1）-（d%4==3））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（a，p，e）；a=因子（9*n+7）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，1，p%4==1，e+1，1-e%2））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（m=9*n+7，k，s）；对于步骤（j=0，平方（m），3，if（issquare（m-j^2，&k）&&（k%9==4||k%9==5），s+=（j>0）+1）；s）}；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A132003型
|
| （phi（q^3）/phi（q））*phi（-q^2）*pi（-q ^6）的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujan theta函数。 |
|
+10
4
|
|
|
|
1, -2, 2, -2, 2, -4, 2, 0, 2, -2, 4, 0, 2, -4, 0, -4, 2, -4, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 2, -6, 4, -2, 0, -4, 4, 0, 2, 0, 4, 0, 2, -4, 0, -4, 4, -4, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 2, -2, 6, -4, 4, -4, 2, 0, 0, 0, 4, 0, 4, -4, 0, 0, 2, -8, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, -4, 4, -6, 0, 0, 4, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第85页，方程式（32.72）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
eta（q）^2*eta（q^4）*eta。
a（n）=-2*b（n），其中b（）与b（2^e）=2*0^e-1相乘，b（3^e）=1，b（p^e）=e+1，如果p==1（mod 4），b（p ^e）=（1+（-1）^e）/2，如果p=3（mod4）。
周期12序列[-2，1，0，0，-2，-4，-2，0，1，-2，-2，…]的欧拉变换。
通用公式：1-2*Sum_{k>0}Kronecker（-36，k）*x^k/（1+x^k）。
a（12*n+7）=a（12*n+11）=0。a（4*n+1）=-2*A008441号（n） ●●●●。
a（n）=（-1）^n*A122857号（n） ●●●●。（φ（-q）^2+φ（-q^3）^2）/2的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2023年3月5日
|
|
|
例子
|
G.f.=1-2*x+2*x^2-2*x ^3+2*x*^4-4*x ^5+2*x^6+2*x ^8-2*x ^9+4*x ^10+。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-2除数和[n，（-1）^（n+#）KroneckerSymbol[-36，#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-2倍@@（其中[#<5，-（-1）^#，Mod[#，4]==3，1-Mod[#2，2]，True，#2+1]@@@FactorInteger@n）]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*）
a[n_]：=系列系数[EllipticTheta[3，0，q^3]EllipticTheta[4，0，q^2]EllipticTheta[4，0，q^6]/EllipticTheta[3，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*）
a[n_]：=级数系数[（椭圆Theta[4，0，q]^2+椭圆Theta[4，0、q^3]^2）/2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2023年3月5日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-2*sumdiv（n，d，（-1）^（n+d）*kronecker（-36，d））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）^2*eta（x^4+a）*eta；
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=因子（n）；-2*prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==3，1，p==2，-1，p%4==1，e+1，1-e%2））}；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A281452型
|
| f（x，x）*f（x^5，x^13）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10
3
|
|
|
|
1, 2, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
f（a，b）=1+和{k=1..oo}（ab）^（k（k-1）/2）*（a^k+b^k）-N.J.A.斯隆2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
G.f.：（Z}x^k^2中的和{k）*（Z}x^中的和_{k（9*k^2+4*k））。
G.f.：产品{k>0}（1+x^（2*k-1））^2*（1-x^。
a（n）=b（9*n+4）与b=A002654号,A035154号,A113446号,A122864号,A125061号,129484英镑,A138950型,A163746号,A256276型,158228元,A258256型.
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+2*x^4+x^5+2*x^6+4*x^9+x^13+4*x^14+2*x*^16+。。。
G.f.=q^4+2*q^13+2*q ^40+q ^49+2*q ^58+4*q ^85+q ^121+4*q^130+。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[9 n+4，KroneckerSymbol[-4，#]&]]；
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x]QPochhammer[-x^5，x^18]QPochharmer[-x^13，x^18]QPoch hammer[x^18]{x，0，n}]；
a[n_]：=如果[n<0，0，Times@@（其中[#<3，1，Mod[#，4]==1，#2+1，True，（1+（-1）^#2）/2]&@@@FactorInteger[9 n+4]）]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（9*n+4，d，（d%4==1）-（d%4==3））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（m=9*n+4，k，s）；对于步骤（j=0，平方（m），3，if（issquare（m-j^2，&k）&&（k%9==2||k%9==7），s+=（j>0）+1）；s）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（a，p，e）；a=因子（9*n+4）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，1，p%4==1，e+1，1-e%2））}；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A281453型
|
| f（x，x）*f（x^7，x^11）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10
3
|
|
|
|
1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 1, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
f（a，b）=1+和{k=1..oo}（ab）^（k（k-1）/2）*（a^k+b^k）-N.J.A.斯隆2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
G.f.：（Z}x^k^2中的和{k）*（Z}x^中的和_{k（9*k^2+2*k））。
G.f.：产品{k>0}（1+x^（2*k-1））^2*（1-x^。
a（4*n+2）=a（8*n+5）=一（16*n+3）=（32*n+31）=一个（64*n+55）=a（128*n+39）=0。
a（n）=b（9*n+1），其中b=A002654号,A035154号,A091400型,A113446号,A122864号,A125061号,129484英镑,A138950型,A163746号,A256276型,158228元,A258256型.
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+2*x^4+x^7+2*x|8+2*x*9+3*x^11+2*x*12+。。。
G.f.=q+2*q ^ 10+2*q^ 37+q ^ 64+2*q ^ 73+2*q^ 82+3*q^100+。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[9 n+1，KroneckerSymbol[-4，#]&]]；
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x]QPochhammer[-x^7，x^18]QPoch hammer[-x^11，x^18]QPochamer[x^18]{x，0，n}]；
a[n_]：=如果[n<0，0，Times@@（其中[#<3，1，#==3，Mod[#2，2]2+1，Mod[#，4]==1，#2+1，True，（1+（-1）^#2）/2]&@@@FactorInteger[9 n+1]）]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（9*n+1，d，kronecker（-4，d）））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（m=9*n+1，k，s）；对于步骤（j=0，平方（m），3，if（issquare（m-j^2，&k）&&（k%9==1||k%9==8），s+=（j>0）+1）；s）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，my（a，p，e）；a=因子（9*n+1）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，1，p==3，-2*（-1）^e，p%4==1，e+1，1-e%2））}；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.007秒内完成
|
